江苏省南京市六合区部分学校2024年九上数学开学调研试题【含答案】

这是一份江苏省南京市六合区部分学校2024年九上数学开学调研试题【含答案】，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时，应先假设（ ）
A．有一个内角小于60°B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60°D．每一个内角都大于60°
2、（4分）把一张对边互相平行的纸条，折成如图所示，是折痕，若，则下列结论正确的有是( )
（1）；（2）；
（3）；（4）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
3、（4分）用长为28米的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为25平方米．若设它的一边长为x米，根据题意列出关于x的方程为( )
A．x(28﹣x)＝25B．2x(14﹣x)＝25
C．x(14﹣x)＝25D．
4、（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A．3：4B．9：16C．9：1D．3：1
5、（4分）如图，已知直线与相交于点（2，），若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）下列说法正确的是 （ ）
A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
7、（4分）如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为1，过点作直线垂直于，在上取点，使，以点为圆心，以为半径作弧，弧与数轴的交点所表示的数为（ ）
A．B．C．D．
8、（4分）函数中，自变量x的取值范围是
A．x＞﹣1B．x＜﹣1C．x≠﹣1D．x≠0
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图所示，在正方形中，延长到点，若，则四边形周长为__________．
10、（4分）若式子+有意义,则x的取值范围是____.
11、（4分）如图，在□ABCD中，对角线AC和BD交于点O，点E为AB边上的中点，OE=2.5cm，则AD=________cm。
12、（4分）若一组数据的平均数为17，方差为2，则另一组数据的平均数和方差分别为（ ）
A．17，2B．18，2C．17，3D．18，3
13、（4分）分式与的最简公分母是_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）（1）如图1，已知正方形ABCD，点M和N分别是边BC，CD上的点，且BM=CN，连接AM和BN，交于点P．猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论；
（2）如图2，将图（1）中的△APB绕着点B逆时针旋转90º，得到△A′P′B，延长A′P′交AP于点E，试判断四边形BPEP′的形状，并说明理由．
15、（8分）某班同学进行数学测验，将所得成绩（得分取整数）进行整理分成五组，并绘制成频数直方图（如图），请结合直方图提供的信息，回答下列问题：
（1）该班共有多少名学生参加这次测验？
（2）求1．5～2．5这一分数段的频数是多少，频率是多少？
（3）若80分以上为优秀，则该班的优秀率是多少？
16、（8分）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，在现有网格中，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形。
(1)在图1中，画一个等腰直角三角形，使它的面积为5；
(2)在图2中,画一个三角形,使它的三边长分别为3,2 , ；
(3)在图3中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数.
17、（10分）解方程：-=-1．
18、（10分）（感知）如图①在等边△ABC和等边△ADE中，连接BD，CE，易证：△ABD≌△ACE；
（探究）如图②△ABC与△ADE中，∠BAC=∠DAE，∠ABC=∠ADE，求证：△ABD∽△ACE；
（应用）如图③，点A的坐标为（0，6），AB=BO，∠ABO=120°，点C在x轴上运动，在坐标平面内作点D，使AD=CD，∠ADC=120°，连结OD，则OD的最小值为 ．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则不等式kx+b≥4的解是______．
20、（4分）化简：______．
21、（4分）甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是8.5环，方差分别是：，，则射击成绩较稳定的是______（填“甲”或“乙”）.
22、（4分）若，且，则的值是__________．
23、（4分）斜边长17cm，一条直角边长15cm的直角三角形的面积 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）暑假期间，商洛剧院举行专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，为了吸引广大师生来听音乐会，剧院制定了两种优惠方案：
方案一：购买一张成人票赠送一张学生票；
方案二：成人票和学生票都打九折.
我校现有4名老师与若干名（不少于4人）学生听音乐会.
（1）设学生人数为（人），付款总金额为（元），请分别确定两种优惠方案中与的函数关系式；
（2）请你结合参加听音乐会的学生人数，计算说明怎样购票花费少？
25、（10分）先化简，然后a在﹣1、1、2三个数中任选一个合适的数代入求值．
26、（12分）先化简，再求值：÷（1﹣），请你给x赋予一个恰当的值，并求出代数式的值．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
根据反证法的第一步是假设结论不成立矩形解答即可．
【详解】
解：用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于”时，
第一步应先假设每一个内角都小于，
故选：．
本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
2、C
【解析】
利用平行线的性质，折叠的性质依次判断.
【详解】
∵A∥B，
∴∠EF=，故（1）正确；
由翻折得到∠GEF=,
∴∠GE=64°，
∴∠AEC=180°-∠GE=116°，故（2）错误；
∵A∥B，
∴∠BGE=∠GE=64°，故（3）正确；
∵EC∥FD
∴∠BFD=∠BGC=180°-∠BGE=116°，故（4）正确，
正确的有3个，
故选：C.
此题考查平行线的性质，翻折的性质，熟记性质定理并熟练运用是解题的关键.
3、C
【解析】
由它的一边长为x，表示出另一边长，根据矩形的面积公式列出方程即可得．
【详解】
设它的一边长为x米，则另一边长为＝14﹣x(米)，
根据题意，得：x(14﹣x)＝25，
故选C．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
4、B
【解析】
可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．
【详解】
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC=3：1，
∴DE：DC=3：4，
∴DE：AB=3：4，
∴S△DFE：S△BFA=9：1．
故选B．
5、B
【解析】
试题解析：根据题意当x＞1时，若y1＞y1．
故选B．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
6、D
【解析】
分别根据菱形、正方形、平行四边形和矩形的判定逐项判断即可．
【详解】
对角线相等且互相垂直的四边形不一定是平行四边形，更不一定是菱形，故A不正确；
对角线互相垂直平分的四边形为菱形，但不一定是正方形，故B不正确；
对角线互相垂直的四边形，其对角线不一定会平分，故不一定是平行四边形，故C不正确；
对角线互相平分说明四边形为平行四边形，又对角线相等，可知其为矩形，故D正确；
故选：D．
考查平行四边形及特殊平行四边形的判定，掌握平行四边形及特殊平行四边形的对角线所满足的条件是解题的关键．
7、B
【解析】
由数轴上点表示的数为，点表示的数为1，得PA=2，根据勾股定理得，进而即可得到答案．
【详解】
∵数轴上点表示的数为，点表示的数为1，
∴PA=2，
又∵l⊥PA，，
∴，
∵PB=PC=，
∴数轴上点所表示的数为：．
故选B．
本题主要考查数轴上点表示的数与勾股定理，掌握数轴上两点之间的距离求法，是解题的关键．
8、C
【解析】
试题分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须．故选C．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
由正方形的性质可知，在中，由勾股定理可得CE长，在中，根据勾股定理得DE长，再由求周长即可.
【详解】
解：如图，连接DE，
四边形ABCD为正方形





在中，根据勾股定理得，

在中，根据勾股定理得
所以四边形周长为，
故答案为：.
本题主要考查了勾股定理的应用，灵活的应用勾股定理求线段长是解题的关键.
10、2≤x≤3
【解析】
根据二次根式有意义的条件得到不等式组，解不等式组即可.
【详解】
根据题意得;
解得：2≤x≤3
故答案为：2≤x≤3
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数要大于等于0是关键.
11、5
【解析】
由平行四边形的对角线互相平分得AO=OC，结合E为AB的中点，则OE为△ABC的中位线，得到BC=2OE，从而求出BC的长.
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
又∵E为AB的中点，
∴OE为△ABC的中位线 ，
∴BC=2OE=2×2.5=5cm
故答案为：5.
此题主要考查中位线的性质，解题的关键是熟知中位线的判断与性质.
12、B
【解析】
根据平均数和方差的变化规律，即可得出答案．
【详解】
∵数据x1+1，x1+1，，xn+1的平均数为17，
∴x1+1，x1+1，，xn+1的平均数为18，
∵数据x1+1，x1+1，，xn+1的方差为1，
∴数据x1+1，x1+1，，xn+1的方差不变，还是1；
故选B．
本题考查了方差与平均数，用到的知识点：如果一组数据x1，x1，，xn的平均数为，方差为S1，那么另一组数据ax1+b，ax1+b，，axn+b的平均数为a+b，方差为a1S1．
13、2a-2b
【解析】
根据确定最简公分母的方法求解即可．
【详解】
解：∵分式与的分母分别是：2a-2b=2(a-b)，b-a=-(a-b)，
∴最简公分母是2a-2b，
故答案为：2a-2b.
本题考查了最简公分母的定义及求法，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）AM⊥BN，证明见解析；（2）四边形BPEP′是正方形，理由见解析.
【解析】
（1）易证△ABM≌△BCN，再根据角度的关系得到∠APB=90°，即可得到AM⊥BN；
（2）根据旋转的性质及（1）得到四边形BPEP′是矩形，再根据BP= BP′,得到四边形BPEP′是正方形.
【详解】
（1）AM⊥BN
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABM=∠BCN=90°
∵BM=CN，
∴△ABM≌△BCN
∴∠BAM=∠CBN
∵∠CBN+∠ABN=90°，
∴∠ABN+∠BAM=90°，
∴∠APB=90°
∴AM⊥BN．
（2）四边形BPEP′是正方形.
△A′P′B是△APB绕着点B逆时针旋转90º所得，
∴BP= BP′,∠P′BP=90º.
又由（1）结论可知∠APB=∠A′P′B=90°，
∴∠BP′E=90°.
所以四边形BPEP′是矩形.
又因为BP= BP′,所以四边形BPEP′是正方形.
此题主要考查特殊平行四边形的性质与判定，解题的关键是熟知正方形的性质与判定.
15、（1）50；（2）频数：10 频率：0.2；（3）优秀率：36%
【解析】
（1）将统计图中的数据进行求和计算可得答案；
（2）由图可得频数，根据频率等于频数除以总数进行计算可得答案；
（3）根据直方图可得80分以上的优秀人数，再进一步计算百分比．
【详解】
解：（1）根据题意，该班参加测验的学生人数为4＋10＋18＋12＋6＝50（人），
答：该班共有50名学生参加这次测验；
（2）由图可得：1.5～2.5这一分数段的频数为10，频率为10÷50＝0.2；
（3）由图可得：该班的优秀人数为12＋6＝18人，
则该班的优秀率为：18÷50×100%＝36%，
答：该班的优秀率是36%．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
16、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析；
【解析】
（1）画一个边长为 的直角三角形即可；
（2）利用勾股定理画出三角形即可；
（3）画一个三边长为3，4，5的三角形即可．
【详解】
(1)如图所示；
(2)如图所示；
(3)如图所示.
此题考查勾股定理，作图—应用与设计作图，解题关键在于掌握作图法则.
17、x=-1
【解析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
解：去分母得：1+6-x=-1x+6，
解得：x=-1，
经检验x=-1是分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意要检验．
18、探究：见解析；应用：.
【解析】
探究：由△DAE∽△BAC，推出，可得，由此即可解决问题；
应用：当点D在AC的下方时，先判定△ABO∽△ADC，得出，再根据∠BAD＝∠OAC，得出△ACO∽△ADB，进而得到∠ABD＝∠AOC＝90°，得到当OD⊥BE时，OD最小，最后过O作OF⊥BD于F，根据∠OBF＝30°，求得OF＝OB＝，即OD最小值为；当点D在AC的上方时，作B关于y轴的对称点B'，则同理可得OD最小值为．
【详解】
解：探究：如图②中，
∵∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE，
∴△DAE∽△BAC，∠DAB＝∠EAC，
∴，
∴，
∴△ABD∽△ACE；
应用：①当点D在AC的下方时，如图③−1中，
作直线BD，由∠DAC＝∠DCA＝∠BAO＝∠BOA＝30°，可得△ABO∽△ADC，
∴，即，
又∵∠BAD＝∠OAC，
∴△ACO∽△ADB，
∴∠ABD＝∠AOC＝90°，
∵当OD⊥BE时，OD最小，
过O作OF⊥BD于F，则△BOF为直角三角形，
∵A点的坐标是（0，6），AB＝BO，∠ABO＝120°，
∴易得OB＝2，
∵∠ABO＝120°，∠ABD＝90°，
∴∠OBF＝30°，
∴OF＝OB＝，
即OD最小值为；
当点D在AC的上方时，如图③−2中，
作B关于y轴的对称点B'，作直线DB'，则同理可得：△ACO∽△ADB'，
∴∠AB'D＝∠AOC＝90°，
∴当OD⊥B'E时，OD最小，
过O作OF'⊥B'D于F'，则△B'OF'为直角三角形，
∵A点的坐标是（0，6），AB'＝B'O，∠AB'O＝120°，
∴易得OB'＝2，
∵∠AB'O＝120°，∠AB'D＝90°，
∴∠OB'F'＝30°，
∴OF'＝OB'＝，
即OD最小值为．
故答案为：．
本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线，利用垂线段最短进行判断分析．解题时注意：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、x≤1
【解析】
根据图形得出k＜1和直线与y轴交点的坐标为（1，4），即可得出不等式的解集．
【详解】
∵从图象可知：k＜1，直线与y轴交点的坐标为（1，4），∴不等式kx+b≥4的解集是x≤1．
故答案为：x≤1．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，能根据图形读出正确信息是解答此题的关键．
20、3
【解析】
分析：根据算术平方根的概念求解即可.
详解：因为32=9
所以=3.
故答案为3.
点睛：此题主要考查了算术平方根的意义，关键是确定被开方数是哪个正数的平方.
21、甲
【解析】
根据方差的性质即可求解.
【详解】
∵＜，∴成绩较稳定的是甲
此题主要考查利用方差判断稳定性，解题的关键是熟知方差的性质.
22、-1
【解析】
根据平方差公式解答即可．
【详解】
∵x2-y2=（x+y）（x-y）=20，x+y=-2，
∴x-y=-1．
故答案为：-1．
本题考查了平方差公式，解题的关键是熟记平方差公式．
23、60cm2
【解析】
试题分析：先根据勾股定理求得另一条直角边的长，再根据直角三角形的面积公式即可求得结果.
由题意得，另一条直角边的长
则直角三角形的面积
考点：本题考查的是勾股定理，直角三角形的面积公式
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握勾股定理和直角三角形的面积公式，即可完成．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1），；（2）①当购买24张票时，两种方案付款一样多，②时，，方案①付款较少，③当时，，方案②付款较少.
【解析】
（1）首先根据方案①：付款总金额=购买成人票金额+除去4人后的学生票金额；
方案②：付款总金额=（购买成人票金额+购买学生票金额）打折率，列出关于的函数关系式；
（2）根据（1）的函数关系式求出当两种方案付款总金额相等时，购买的票数，再分三种情况讨论.
【详解】
（1）按方案①可得：
按方案②可得：
（2）因为，
①当时，得，解得，
∴当购买24张票时，两种方案付款一样多.
②当时，得，解得，
∴时，，方案①付款较少.
③当时，得，解得，
当时，，方案②付款较少.
本题根据实际问题考查了一次函数的应用.解决本题的关键是根据题意正确列出两种方案的解析式，进而计算出临界点的取值，再进一步讨论.
25、5
【解析】
解：原式=．
取a=2，原式．
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的a的值（使分式的分母和除式不为0）代入进行计算即可．
26、.
【解析】
先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取是分式有意义的x的值代入计算可得．
【详解】
原式＝
＝
＝，
当x＝0时，原式＝．
本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解（有括号，先算括号），然后约分得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人