江苏省南京市南航附中2025届数学九年级第一学期开学综合测试试题【含答案】

这是一份江苏省南京市南航附中2025届数学九年级第一学期开学综合测试试题【含答案】，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）若平行四边形中两个邻角的度数比为1：3，则其中较小的内角是( )
A．30°B．45°C．60°D．75°
2、（4分）若一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是（ ）
A．ab＞0B．a﹣b＞0C．a2+b＞0D．a+b＞0
3、（4分）下列二次根式化简的结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
4、（4分）不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）如图，在中，，，．点，，分别是相应边上的中点，则四边形的周长等于（ ）
A．8B．9C．12D．13
6、（4分）已知多项式x2+bx+c分解因式为（x+3）（x﹣1），则b、c的值为（ ）
A．b＝3，c＝﹣2B．b＝﹣2，c＝3C．b＝2，c＝﹣3D．b＝﹣3，c＝﹣2
7、（4分）一个三角形的三个内角之比是1∶2∶3，且最小边长度是8，则最长边的长度是( )
A．10B．12C．16D．24
8、（4分）若bk＞0，则直线y=kx-b一定通过（ ）
A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三、四象限D．第一、四象限
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如果一组数据x1，x2，…，xn的方差是4，则另一组数据x1+3，x2+3，…，xn+3的方差是_____．
10、（4分）化简：＝__________．
11、（4分）点在函数的图象上，则__________
12、（4分）一次函数y=kx+2（k≠0）的图象与x轴交于点A（n，0），当n＞0时，k的取值范围是_____．
13、（4分）已知P1（1，y1），P2（2，y2）是正比例函数的图象上的两点，则y1 y2（填“＞”或“＜”或“=”）．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，已知反比例函数 y=的图像经过点A（－1，a），过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，△AOB的面积为.
（1）求a、k的值；
（2）若一次函数y=mx+n图像经过点A和反比例函数图像上另一点，且与x轴交于M点，求AM的值：
（3）在（2）的条件下，如果以线段AM为一边作等边△AMN，顶点N在一次数函数y=bx上，则b= ______.
15、（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函y=kx+b的图象经过点A（-2，4），且与正比例函数的图象交于点B（a，2）．
（1）求a的值及一次函数y=kx+b的解析式；
（2）若一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点C，且正比例函数y=-x的图象向下平移m（m＞0）个单位长度后经过点C，求m的值；
（3）直接写出关于x的不等式0＜＜kx+b的解集．
16、（8分）．已知：如图4，在中，∠BAC=90°，DE、DF是的中位线，连结EF、AD． 求证：EF=AD．
17、（10分）已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA、EC．
（1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；
（2）若点P在线段AB上．如图2，连接AC，当P为AB的中点时，判断△ACE的形状，并说明理由.
18、（10分）某校九年级两个班各捐款1800元．已知（2）班比（1）班人均捐款多4元，（2）班的人数比（1）班的人数少10%．求两个班人均捐款各为多少元？
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）在一次智力抢答比赛中，四个小组回答正确的情况如下图．这四个小组平均正确回答__________道题目？（结果取整数）
20、（4分）已知一次函数的图象经过第一、二、四象，请你写出一个满足条件的值__________.
21、（4分）已知y＋2与x－3成正比例，且当x＝0时，y＝1，则当y＝4时，x的值为________．
22、（4分）如图，在中，，，，点在上，以为对角线的所有中，的最小值是____．
23、（4分）在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a=4，b、c恰好是方程的两个实数根，则△ABC的周长为__________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，直线：与轴、轴分别交于、两点，在轴上有一点，动点从点开始以每秒1个单位的速度匀速沿轴向左移动．
（1）点的坐标：________；点的坐标：________；
（2）求的面积与的移动时间之间的函数解析式；
（3）在轴右边，当为何值时，，求出此时点的坐标；
（4）在（3）的条件下，若点是线段上一点，连接，沿折叠，点恰好落在轴上的点处，求点的坐标．
25、（10分）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：.
26、（12分）某G20商品专卖店每天的固定成本为400元，其销售的G20纪念徽章每个进价为3元，销售单价与日平均销售的关系如下表：
(1)设销售单价比每个进价多x元，用含x的代数式表示日销售量．
(2)若要使日均毛利润达到1840元(毛利润＝总售价﹣总进价﹣固定成本)，且尽可能多的提升日销售量，则销售单价应定为多少元？
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
根据平行四边形的性质，可设较小的角为x，较大的角是3x,列式子即可得出结果.
【详解】
设较小的角为x,较大的是3x,x+3x=180,x=45°.
故选B.
本题考查平行四边形的性质，比较简单.
2、C
【解析】
解：∵一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，∴a＜0，b＞0，∴ab＜O，故A错误，a﹣b＜0，故B错误，，故C正确，a+b不一定大于0，故D错误．故选C．
3、B
【解析】
二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
【详解】
解：，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误．
故选：．
本题考查了二次根式化简，熟练掌握化简二次根式是解题的关键．
4、D
【解析】
先解不等式组可求得不等式组的解集是,再根据在数轴上表示不等式解集的方法进行表示.
【详解】
解不等式组可求得:
不等式组的解集是,
故选D.
本题主要考查不等组的解集数轴表示,解决本题的关键是要熟练掌握正确表示不等式组解集的方法.
5、B
【解析】
根据三角形中位线的性质及线段的中点性质求解即可.
【详解】
解：点，，分别是相应边上的中点
是三角形ABC的中位线

同理可得，
四边形的周长
故答案为：B
本题考查了三角形的中位线，熟练运用三角形中位线的性质求线段长是解题的关键.
6、C
【解析】
因式分解结果利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出b与c的值即可．
【详解】
解：根据题意得：x2+bx+c＝(x+3)(x-1)＝x2+2x-3，
则b＝2，c＝﹣3，
故选：C．
本题考查多项式与多项式相乘得到的结果相等，则要求等号两边同类项的系数要相同，熟练掌握多项式的乘法法则是解决本题的关键．
7、C
【解析】
根据三角形的三个内角之比是1：2：3，求出各角的度数，再根据直角三角形的性质解答即可．
【详解】
设一份是x，则三个角分别是x，2x，3x．
再根据三角形的内角和定理，得：
x＋2x＋3x＝180，
解得：x＝30，则2x＝60，3x＝90．
故此三角形是有一个30角的直角三角形．
根据30的角所对的直角边是斜边的一半，得，最长边的长度是1．
故选C．
此题要首先根据三角形的内角和定理求得三个角的度数，再根据直角三角形的性质求得最长边的长度即可．
8、D
【解析】
根据题意讨论k和b的正负情况，然后可得出直线y=kx-b一定通过哪两个象限．
【详解】
解：由bk＞0，知，①b＞0，k＞0；②b＜0，k＜0；
①b＞0，k＞0时，直线经过第一、三、四象限，
②b＜0，k＜0时，直线经过第一、二、四象限．
综上可得，函数一定经过一、四象限．
故选：D．
本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1
【解析】
试题分析：数据x1，x2，…，xn的平均数设为a，则数据x1＋3，x2＋3，…，xn＋3的平均数为a＋3，
根据方差公式：S2＝[(x1－a)2＋(x2－a)2＋…(xn－a)2]＝1．
则数据x1＋3，x2＋3，… ，xn＋3的方差
S′2＝{[(x1＋3)－(a＋3)]2＋[(x2＋3)－(a＋3)]2＋…(xn＋3)－(a＋3)] 2}
＝[(x1－a)2＋(x2－a)2＋…(xn－a)2]
＝1．
故答案为1．
点睛：此题主要考查了方差公式的运用，关键是根据题意得到平均数的变化，再正确运用方差公式进行计算即可．
10、2x
【解析】
根据分式的除法法则进行计算即可．
【详解】
故答案为：．
本题考查了分式除法运算，掌握分式的除法法则是解题的关键．
11、
【解析】
把点A（m，m+5）代入得到关于m的一元一次方程，解之即可．
【详解】
解：把点A（m，m+5）代入得：
m+5=-2m+1
解得：m=.
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确掌握代入法是解题的关键．
12、k＜1
【解析】
分析：根据题意可以用含k的式子表示n，从而可以得出k的取值范围.
详解：∵一次函数y=kx+2（k≠1）的图象与x轴交于点A（n，1），
∴n=﹣，
∴当n＞1时，﹣＞1，
解得，k＜1，
故答案为k＜1．
点睛：本题考查一次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答.
13、＜.
【解析】
试题分析：∵正比例函数的，∴y随x的增大而增大.
∵，∴y1＜y1．
考点：正比例函数的性质.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1），；（2）；（3）.
【解析】
（1）根据点A的坐标以及三角形的面积公式即可求出a值，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k的值；
（2）根据反比例函数解析式可求出点C的坐标，由点A、C的坐标利用待定系数法即可求出直线AM的解析式，令线AM的解析式中y=0求出x值，即可得出点M的坐标，再利用勾股定理即可求出线段AM的长度；
（3）设点N的坐标为（m，n），由等边三角形的性质结合两点间的距离公式即可得出关于m、n的二元二次方程组，解方程组即可得出n与m之间的关系，由此即可得出b值．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∴，
∴把A点的坐标为，
代入得；
（2）∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
将，代入y=mx+n中，
得 ,解得： ,
∴直线AM解析式为：，
当时，，
∴，
在中，，，
∴；
（3）设点N的坐标为（m，n），
∵△AMN为等边三角形，且AM=，A(-1，)，M（2，0）,
∴，
解得：，
∵顶点N（m，n）在一次函数y=bx上，
∴b=.
本题考查了三角形的面积公式、反比例函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及解二元二次方程组，解题的关键是：（1）求出点A的坐标；（2）求出点M的坐标；（3）根据等边三角形的性质找出关于m、n的二元二次方程组．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据等边三角形的性质利用两点间的距离公式找出点的横纵坐标之间的关系是关键．
15、（1）y=2x+8；（2）m=；（3）-3＜x＜1
【解析】
（1）先确定B的坐标，然后根据待定系数法求解析式；
（2）先求得C的坐标，然后根据题意求得平移后的直线的解析式，把C的坐标代入平移后的直线的解析式，即可求得M的值；
（3）找出直线y=-x落在y=kx+b的下方且在x轴上方的部分对应的x的取值范围即可．
【详解】
解：（1）∵正比例函数的图象经过点B（a，2），
∴2=-a，解得，a=-3，
∴B（-3，2），
∵一次函数y=kx+b的图象经过点A（-2，4），B（-3，2），
∴，解得，
∴一次函数y=kx+b的解析式为y=2x+8；
（2）∵一次函数y=2x+8的图象与x轴交于点C，
∴C（-4，1），
∵正比例函数y=-x的图象向下平移m（m＞1）个单位长度后经过点C，
∴平移后的函数的解析式为y=-x-m，
∴1=-×（-4）-m，
解得m=；
（3）∵一次函y=kx+b与正比例函数y=-x的图象交于点B（-3，2），
且一次函数y=2x+8的图象与x轴交于点C（-4，1），
∴关于x的不等式1＜-x＜kx+b的解集是-3＜x＜1．
考查了两条直线相交或平行的问题，解题关键是掌握理解待定系数法、直线上点的坐标特征、直线的平移和一次函数和一元一次不等式的关系．
16、证明：因为DE,DF是△ABC的中位线
所以DE∥AB，DF∥AC …………. 2分
所以四边形AEDF是平行四边形 ………….… 5分
又因为∠BAC=90°
所以平行四边形AEDF是矩形……………………分
所以EF=AD …………………………….….………10分
【解析】略
17、（1）证明见解析；（2）△ACE是直角三角形，理由见解析.
【解析】
分析：(1)根据四边形ABCD和四边形BPEF是正方形，证明△APE≌△CFE；(2)分别判断△ABC，△APE是等腰直角三角形得∠CAE＝90°.
详解：(1)∵四边形ABCD和四边形BPEF是正方形，
∴AB＝BC，BP＝BF，∴AP＝CF，
在△APE和△CFE中，
AP＝CF，∠P＝∠F，PE＝EF，
∴△APE≌△CFE，
∴EA＝EC；
(2)∵P为AB的中点，
∴PA＝PB，又PB＝PE，
∴PA＝PE，
∴∠PAE＝45°，又∠DAC＝45°，
∴∠CAE＝90°，即△ACE是直角三角形.
点睛：本题考查了正方形的性质，正方形的四边相等且平行，四角相等，每一条对角线平分一组对角，注意到等腰直角的底角等于45°.
18、1班人均捐款36元，2班人均捐款40元．
【解析】
解：设1班有x人，则2班有0.9x人，
由题意，得－＝4，解之得x＝50(人)．
经检验x＝50是原分式方程的根．
∴2班有45人，∴1班人均捐款为＝36(元)，2班人均捐款为＝40(元)．
答：1、2两个班人均捐款各36元和40元．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1
【解析】
先求出四个小组回答的总题目数，然后除以4即可．
【详解】
解：这四个小组平均正确回答题目数
（8+1+16+10）≈1（道），
故答案为：1．
本题考查的是条形统计图．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
20、答案不唯一
【解析】
一次函数的图象经过第一、二、四象限，说明x的系数小于1，常数项大于1，据此写出一次函数．
【详解】
解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，
∴函数x的系数小于1，常数项大于1．
又∵常数项是3，
∴这个函数可以是y=-x+3等．
故答案为：-1
本题考查了一次函数的系数与图象的关系，涉及到的知识点为：一次函数图象经过第一、二、四象限，说明x的系数小于1，常数项大于1．
21、-1
【解析】
解：设y+2=k（x-1），
∵x=0时，y=1，
∴k（0-1）=1+2，
解得：k=-1，
∴y+2=-（x-1），
即y=-x+1，
当y=4时，则4=-x+1，解得x=-1．
22、6
【解析】
由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD⊥BC时，DE线段取最小值．
【详解】
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴OD=OE，OA=OC．
∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC．
∴OD是△ABC的中位线，
∴，，
∴，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，
，，
∴，
∴.
故答案为：6.
本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质以及垂线段最短的知识．正确理解DE最小的条件是关键．
23、9或10.1
【解析】
根据等腰△ABC中，当a为底，b，c为腰时，b=c，得出△=[-（2k+1）]2-4×1（k-）=4k2+4k+1-20k+11=4k2-16k+16=0，解方程求出k=2，则b+c=2k+1=1；当a为腰时，则b=4或c=4，然后把b或c的值代入计算求出k的值，再解方程进而求解即可．
【详解】
等腰△ABC中，当a为底，b，c为腰时，b=c，若b和c是关于x的方程x2-（2k+1）x+1（k-）=0的两个实数根，
则△=[-（2k+1）]2-4×1（k-）=4k2+4k+1-20k+11=4k2-16k+16=0，
解得：k=2，
则b+c=2k+1=1，
△ABC的周长为4+1=9；
当a为腰时，则b=4或c=4，
若b或c是关于x的方程x2-（2k+1）x+1（k-）=0的根，
则42-4（2k+1）+1（k-）=0，
解得：k=，
解方程x2-x+10=0，
解得x=2.1或x=4，
则△ABC的周长为：4+4+2.1=10.1．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1），；（2）；（3）；（4）
【解析】
（1）在中，分别令y=0和x=0，则可求得A、B的坐标;
（2）利用t可表示出OM,则可表示出S,注意分M在y轴右侧和左侧两种情况;
（3）由全等三角形的性质可得OM=OB=2,则可求得M点的坐标; ．
（4）由勾股定理可得：,折叠可知;,可得：，故，，设，则，在中，根据勾股定理可列得方程，即可求出答案．
【详解】
解：(1)在中， 令y=0可求得x=4， 令x=0可求得y=2,
∴A(4，0)，B(0，2)
故答案为:(4，0) ;(0，2)
（2）由题题意可知AM=t,
①当点M在y轴右边时，OM=OA-AM=4-t,
∵N (0，4)
∴ON=4,
∴，
即；
当点在轴左边时，则OM=AM-OA=t-4,
∴，
即．
∴
（3）若，则有，
∴．
（4）由（3）得，，，
∴．
∵沿折叠后与重合，
∴，
∴，
∴此时点在轴的负半轴上，，，
设，则，
在中，，
解得，
∴．
本题为一次函数的综合应用，涉及函数与坐标轴的交点、三角形的面积、全等三角形的性质、折叠及分类讨论思想等知识．本题考查知识点较多，综合性很强．
25、
【解析】
直接利用数轴判断得出：a