江苏省南京市南京外国语学校2024年九年级数学第一学期开学检测试题【含答案】

这是一份江苏省南京市南京外国语学校2024年九年级数学第一学期开学检测试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）已知平行四边形中，一个内角，那么它的邻角（ ）.
A．B．C．D．
2、（4分）如图,点P是双曲线y= (x>0)上的一个动点,过点P作PA⊥x轴于点A,当点P从左向右移动时,△OPA的面积( )
A．逐渐变大B．逐渐变小C．先增大后减小D．保持不变
3、（4分）如图，正方形的两边，分别在平面直角坐标系的轴、轴的正半轴上正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形，已知，，则正方形与正方形的相似比是（ ）
A．B．C．D．
4、（4分）如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积是（ ）
A．3B．4
C．5D．6
5、（4分）下列说法正确的是（ ）
A．两个全等三角形是特殊的位似图形B．两个相似三角形一定是位似图形
C．位似图形的面积比与周长比都和相似比相等D．位似图形不可能存在两个位似中心
6、（4分）一元二次方程配方后可变形为（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）下列命题是真命题的是（ ）
A．如果a2=b2，那么a=b
B．如果两个角是同位角，那么这两个角相等
C．相等的两个角是对项角
D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
8、（4分）一组数据11、12、15、12、11，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是15B．众数是12
C．中位数是11、12D．众数是11、12
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）若为二次根式，则的取值范围是__________
10、（4分）若一元二次方程（为常数）有两个相等的实数根，则______.
11、（4分）如图，四边形是一块正方形场地，小华和小芳在边上取定一点，测量知，，这块场地的对角线长是________．
12、（4分）如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB且E为垂足，如果∠A＝125°，则∠BCE＝____.
13、（4分）如图，在中，已知，，平分，交边于点E，则 ___________ ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分） (1)计算：(1﹣)÷；
(2)化简求值：(﹣)÷，其中m＝﹣1
15、（8分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴的正半轴上，顶点在轴的正半轴上，是边上的一点，，.反比例函数在第一象限内的图像经过点，交于点，.
(1)求这个反比例函数的表达式，
(2)动点在矩形内，且满足.
①若点在这个反比例函数的图像上，求点的坐标，
②若点是平面内一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，求点的坐标.
16、（8分）平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC中的顶点B在x轴的正半轴上，点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，点C的坐标为（3，﹣4）．
（1）点A的坐标为_____；
（2）若将菱形OABC沿y轴正方向平移，使其某个顶点落在反比例函数y= （x＞0）的图象上，则该菱形向上平移的距离为_____．
17、（10分）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝20，若∠A＝60°，求BC，AC的长．
18、（10分）如图，在四边形纸片ABCD中，∠B=∠D=90°，点E，F分别在边BC，CD上，将AB，AD分别沿AE，AF折叠，点B，D恰好都和点G重合，∠EAF=45°．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）求证：三角形ECF的周长是四边形ABCD周长的一半；
（3）若EC=FC=1，求AB的长度．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的，则乙施工队单独完成此项工程需_____天．
20、（4分） “若实数满足,则”,能够说明该命题是假命题的一组的值依次为_．
21、（4分）若一个三角形的三边长分别为5、12、13，则此三角形的面积为 ．
22、（4分）现用甲、乙两种汽车将吨防洪物资运往灾区，甲种汽车载重吨，乙种汽车载重吨，若一共安排辆汽车运送这些物资，则甲种汽车至少应安排 _________辆.
23、（4分）在菱形ABCD中，∠A=60°，其所对的对角线长为4，则菱形ABCD的面积是_______．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在△ABC中，AD是角平分钱，点E在AC上，且∠EAD=∠ADE．
（1）求证：△DCE∽△BCA；
（2）若AB=3，AC=1．求DE的长．
25、（10分）某人购进一批琼中绿橙到市场上零售，已知卖出的绿橙数量x(千克)与售价y(元)的关系如下表：
(1)写出售价y(元)与绿橙数量x(千克)之间的函数关系式；
(2)这个人若卖出50千克的绿橙，售价为多少元？
26、（12分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是、、.
(1)画出关于点成中心对称的△；平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后对应的△；
(2)△和△关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为 ．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
根据平行四边形的性质：邻角互补，求解即可．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=60°，
∴∠B=120°，
故选C．
本题考查了平行四边形的性质：邻角互补，属于基础性题目．
2、D
【解析】
根据反比例函数y= （k≠0）系数k的几何意义得到S△OPA=|k|，由于m为定值6，则S△OPA为定值3
【详解】
∵PA⊥x轴，
∴S△OPA=|k|=×6=3，
即Rt△OPA的面积不变。
故选D.
此题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，解题关键在于得到S△OPA=|k|
3、A
【解析】
分别求出两正方形的对角线长度即可求解.
【详解】
由，得到C点（3,0）
故AC=
∵，正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形，
∴A’C’=AC-2AA’=
∴正方形与正方形的相似比是A’C’:AC=1：3
故选A.
此题主要考查多边形的相似比，解题的关键是熟知相似比的定义.
4、D
【解析】
过点D作DH⊥OB于点H，如图，根据角平分线的性质可得DH=DP=4，再根据三角形的面积即可求出结果．
【详解】
解：过点D作DH⊥OB于点H，如图，
∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DH⊥OB，
∴DH=DP=4，
∴△ODQ的面积=．
故选：D．
本题主要考查了角平分线的性质，属于基本题型，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．
5、D
【解析】
根据位似图形的定义与性质对各个选项进行判断即可.
【详解】
A.全等三角形是特殊的相似三角形，其相似比为1，但是两个全等三角形不一定对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，故本选项错误，
B.两个位似三角形的对应顶点的连线一定相交于一点，对应边一定互相平行，而相似三角形只要求形状相同、大小不等，并没有位置上的特殊要求，故本选项错误，
C.位似图形的面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比，故本选项错误，
D.两个位似图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，这一点是唯一的， 故本选项正确.
故选D.
本题主要考查位似图形的定义与性质，1.位似图形对应线段的比等于相似比；2.位似图形的对应角都相等；3.位似图形对应点连线的交点是位似中心；4.位似图形面积的比等于相似比的平方；5.位似图形高、周长的比都等于相似比；6.位似图形对应边互相平行或在同一直线上.
6、A
【解析】
把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程作边写成完全平方形式即可
【详解】
x−8x=2，
x−8x+16=18，
(x−4) =18.
故选：A
此题考查一元二次方程-配方法，掌握运算法则是解题关键
7、D
【解析】
利用平方的定义、平行线的性质、对顶角的性质及平面内两直线的位置关系分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
A、如果a2=b2，那么a=±b，故错误，是假命题；
B、两直线平行，同位角才相等，故错误，是假命题；
C、相等的两个角不一定是对项角，故错误，是假命题；
D、平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，正确，是真命题，
故选D．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平方的定义、平行线的性质、对顶角的性质及平面内两直线的位置关系等知识，难度不大．
8、D
【解析】
根据中位数、众数的概念求解．
【详解】
这组数据按照从小到大的顺序排列为：11、11、1、1、15，
则中位数是1，
众数是11、1．
故选D．
本题考查了中位数、众数的知识，掌握各知识点的概念是解答本题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数大于或等于0，即可求m的取值范围．
【详解】
解：根据题意得：3-m≥0，
解得．
主要考查了二次根式的意义和性质．二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
10、±2
【解析】
根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于b的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】
∵方程有两个相等的实数根，
∴△=b−4×1=b−4=0，
解得：b=±2.
故答案为：±2
此题考查根的判别式，解题关键在于掌握判别式
11、40m
【解析】
先根据勾股定理求出BC，故可得到正方形对角线的长度．
【详解】
∵，
∴，
∴对角线AC=．
故答案为：40m．
此题主要考查利用勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟知勾股定理的运用．
12、1
【解析】
分析：根据平行四边形的性质和已知，可求出∠B，再进一步利用直角三角形的性质求解即可．
详解：∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∴∠B=180°-125°=55°，
∵CE⊥AB，
∴在Rt△BCE中，∠BCE=90°-∠B=90°-55°=1°．
故答案为1．
点睛：本题主要考查了平行四边形的性质，运用平行四边形对边平行的性质，得到邻角互补的结论，这是运用定义求四边形内角度数的常用方法．
13、1
【解析】
由和平分，可证，从而可知为等腰三角形，则，由，，即可求出．
【详解】
解：中，AD//BC，
平分
故答案为1．
本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、 (1)x+1； (2)m-3，-4.
【解析】
分析：
（1）按照分式混合运算的相关运算法则进行计算即可；
（2）先按照分式混合运算的相关运算法则将原式化简，再代值计算即可.
详解：
（1）原式=
=
=；
（2）原式=
=，
当m=-1时，
原式=-1-3=-4.
点睛：熟记“分式混合运算的相关运算法则”是解答本题的关键.
15、（1）；（2）① ；②
【解析】
（1）设点B的坐标为（m，n），则点E的坐标为（m，n），点D的坐标为（m−6，n），利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出m的值，结合OC：CD＝5：3可求出n值，再将m，n的值代入k＝mn中即可求出反比例函数的表达式；
（2）由三角形的面积公式、矩形的面积公式结合S△PAO＝S四边形OABC可求出点P的纵坐标．
①若点P在这个反比例函数的图象上，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点P的坐标；
②由点A，B的坐标及点P的纵坐标可得出AP≠BP，进而可得出AB不能为对角线，设点P的坐标为（t，2），分AP＝AB和BP＝AB两种情况考虑：（i）当AB＝AP时，利用勾股定理可求出t值，进而可得出点P1的坐标，结合P1Q1的长可求出点Q1的坐标；（ii）当BP＝AB时，利用勾股定理可求出t值，进而可得出点P2的坐标，结合P2Q2的长可求出点Q2的坐标．综上，此题得解．
【详解】
解：（1）设点B的坐标为（m，n），则点E的坐标为（m，n），点D的坐标为（m−6，n）．
∵点D，E在反比例函数的图象上，
∴k＝mn＝（m−6）n，
∴m＝1．
∵OC：CD＝5：3，
∴n：（m−6）＝5：3，
∴n＝5，
∴k＝mn＝×1×5＝15，
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）∵S△PAO＝S四边形OABC，
∴OA•yP＝OA•OC，
∴yP＝OC＝2．
①当y＝2时，＝2，
解得：x＝，
∴若点P在这个反比例函数的图象上，点P的坐标为（，2）．
②由（1）可知：点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（1，5），
∵yP＝2，yA＋yB＝5，
∴y P≠，
∴AP≠BP，
∴AB不能为对角线．
设点P的坐标为（t，2）．
分AP＝AB和BP＝AB两种情况考虑（如图所示）：
（i）当AB＝AP时，（1−t）2＋（2−0）2＝52，
解得：t1＝6，t2＝12（舍去），
∴点P1的坐标为（6，2），
又∵P1Q1＝AB＝5，
∴点Q1的坐标为（6，1）；
（ii）当BP＝AB时，（1−t）2＋（5−1）2＝52，
解得：t3＝1−2，t2＝1＋2（舍去），
∴点P2的坐标为（1−2，2）．
又∵P2Q2＝AB＝5，
∴点Q2的坐标为（1−2，−1）．
综上所述：点Q的坐标为（6，1）或（1−2，−1）．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、矩形的面积、菱形的性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出点B的横纵坐标；（2）①由点P的纵坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出点P的坐标；②分AP＝AB和BP＝AB两种情况，利用勾股定理及菱形的性质求出点Q的坐标．
16、（1）（3，4）
（2）2或8
【解析】
（1）根据菱形的对称性，得A(3，4)
（2）则反比例函数为 则B(6，0),若点B向上平移到反比例函数上．则B(6,2)，即向上平移2个单位；若点C在反比例函数上，则C（3,4），即向上平移8个单位.故该菱形向上平移的距离为2或8.
17、
【解析】
由已知可得，∠B＝30°，根据30°角直角三角形的性质可得AC=10，再由勾股定理即可求得BC的长.
【详解】
解：∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝180°－∠C－∠A＝180°－90°－60°＝30°.
∴AC＝AB＝×20＝10.
在Rt△ABC中，由勾股定理得BC＝＝＝10.
本题考查勾股定理.熟记定理是关键.
18、（1）见解析；（2）见解析；（3）+1
【解析】
分析：（1）由题意得，∠BAE=∠EAG，∠DAF=∠FAG，于是得到∠BAD=2∠EAF=90°，推出四边形ABCD是矩形，根据正方形的判定定理即可得到结论；
（2）根据EG=BE，FG=DF，得到EF=BE+DF，于是得到△ECF的周长=EF+CE+CF=BE+DF+CE+CF=BC+CD，即可得到结论；
（3）根据EC=FC=1，得到BE=DF，根据勾股定理得到EF=，于是得到结论．
详（1）证明：由题意得，∠BAE=∠EAG，∠DAF=∠FAG，
∴∠BAD=2∠EAF=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AB=AG，AD=AG，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）证明：∵EG=BE，FG=DF，
∴EF=BE+DF，
∴△ECF的周长=EF+CE+CF=BE+DF+CE+CF=BC+CD，
∴三角形ECF的周长是四边形ABCD周长的一半；
（3）∵EC=FC=1，
∴BE=DF，
∴EF=，
∵EF=BE+DF，
∴BE=DF=EF=，
∴AB=BC=BE+EC=+1．
点睛：本题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：翻折前后对应边相等，另外要求同学们熟练掌握勾股定理的应用．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、2．
【解析】
求的是工效，工作时间，一定是根据工作总量来列等量关系．等量关系为：甲20天的工作总量+乙22天的工作总量=2．
【详解】
解：设甲施工队单独完成此项工程需x天，
则乙施工队单独完成此项工程需x天．
根据题意得：．
解这个方程得：x=3．
经检验：x=3是所列方程的解．
∴当x=3时，x=2．
故答案为2
应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
20、1,2,1
【解析】
列举一组数满足a＜b＜c，不满足a+b＜c即可．
【详解】
解：当a=1，b=2，c=1时，满足a＜b＜c，不满足a+b＜c，
所以说明该命题是假命题的一组a，b，c的值依次为1，2，1．
故答案为1，2，1．
本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
21、30
【解析】
解：先根据勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，再利用面积公式求得面积．
解：∵52+122=132，
∴三边长分别为5、12、13的三角形构成直角三角形，其中的直角边是5、12，
∴此三角形的面积为×5×12=30
22、6
【解析】
设甲种汽车安排x辆，则乙种汽车安排10-x辆, 根据两辆汽车载重不少于46吨建立不等式求出其解，即可得出答案.
【详解】
解：设甲种汽车安排x辆，则乙种汽车安排10-x辆，根据题意可得：5x+4(10-x)≥46
解得：x≥6
因此甲种汽车至少应安排6辆.
本题主要考查了一元一次不等式的应用，关键是以载重不少于46吨作为不等量关系列出方程求解.
23、8．
【解析】
直接利用菱形的性质结合勾股定理得出菱形的另一条对角线的长，进而利用菱形面积求法得出答案．
【详解】
如图所示：
∵在菱形ABCD中，∠BAD=60°，其所对的对角线长为4，
∴可得AD=AB，故△ABD是等边三角形，
则AB=AD=4，
故BO=DO=2，
则AO=，
故AC=4，
则菱形ABCD的面积是：×4×4=8．
故答案为：8．
此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确得出菱形的另一条对角线的长是解题关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）、证明过程见解析；（2）、
【解析】
试题分析：（1）已知AD平分∠BAC，可得∠EAD=∠ADE，再由∠EAD=∠ADE，可得∠BAD=∠ADE，即可得AB∥DE，从而得△DCE∽△BCA；（2）已知∠EAD=∠ADE，由三角形的性质可得AE=DE，设DE=x，所以CE=AC﹣AE=AC﹣DE=1﹣x，由（1）可知△DCE∽△BCA，根据相似三角形的对应边成比例可得x：3=（1﹣x）：1，解得x的值，即可得DE的长．
试题解析：（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵∠EAD=∠ADE，
∴∠BAD=∠ADE，
∴AB∥DE，
∴△DCE∽△BCA；
（2）解：∵∠EAD=∠ADE，
∴AE=DE，
设DE=x，
∴CE=AC﹣AE=AC﹣DE=1﹣x，
∵△DCE∽△BCA，
∴DE：AB=CE：AC，
即x：3=（1﹣x）：1，
解得：x=，
∴DE的长是．
考点：相似三角形的判定与性质．
25、 (1)y=2.1x；(2)这个人若卖出50千克的绿橙，售价为1元．
【解析】
（1）根据表中所给信息，判断出y与x的数量关系，列出函数关系式即可；
（2）把x=50代入函数关系式即可．
【详解】
(1)设售价为y(元)与绿橙数量x(千克)之间的函数关系式为y=kx+b，由已知得，
，
解得k=2.1，b=0；
∴y与x之间的函数关系式为y=2.1x；
(2)当x=50时，
y=2.1×50=1．
答：这个人若卖出50千克的绿橙，售价为1元．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意可以列出相应的函数关系式，并且可以求在x一定时的函数值．
26、 (1)画图见解析；（2）（2，-1）.
【解析】
试题分析：(1)、根据网格结构找出点A、B关于点C成中心对称的点A1、B1的位置，再与点A顺次连接即可；根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；(2)、根据中心对称的性质，连接两组对应点的交点即为对称中心．
试题解析：(1)、△A1B1C如图所示， △A2B2C2如图所示； (2)、如图，对称中心为（2，﹣1）．
考点：(1)、作图-旋转变换；(2)、作图-平移变换．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
数量x(千克)
1
2
3
4
5
…
售价y(元)
2+0.1
4+0.2
6+0.3
8+0.4
10+0.5
…