江苏省南京市秦淮区四校联考2024年数学九上开学综合测试模拟试题【含答案】

这是一份江苏省南京市秦淮区四校联考2024年数学九上开学综合测试模拟试题【含答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）（2011•潼南县）目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水．据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开x分钟后，水龙头滴出y毫升的水，请写出y与x之间的函数关系式是（ ）
A、y=0.05xB、y=5x
C、y=100xD、y=0.05x+100
2、（4分）窗棂即窗格（窗里面的横的或竖的格）是中国传统木构建筑的框架结构设计．下列表示我国古代窗棂样式结构图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3、（4分）自2011年以来长春市己连续三届被评为“全国文明城市”，为了美化城市环境，今年长春市计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树万棵，可列方程是( )
A．B．
C．D．
4、（4分）已知关于x的分式方程=1的解是负数，则m的取值范围是（ ）
A．m≤3B．m≤3且m≠2C．m＜3D．m＜3且m≠2
5、（4分）如图，将平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转40°，得到平行四边形AB′C′D′，若点B′恰好落在BC边上，则∠DC′B′的度数为（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
6、（4分）一只蚂蚁在如图所示的方格地板上随机爬行，每个小方格形状大小完全相同，当蚂蚁停下时，停在地板中阴影部分的概率为（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8、（4分）如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形一定是______．
10、（4分）在学校组织的科学素养竞赛中，八（3）班有25名同学参赛，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为90分，80分，70分，60分，现将该班的成绩绘制成扇形统计图如图所示，则此次竞赛中该班成绩在70分以上（含70分）的人数有_______人．
11、（4分）已知方程组，则x+y的值是____．
12、（4分）某校为了提升初中学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神，举办了“玩转数学”比赛．评委从研究报告、小组展示、答辩三个方面为每个参赛小组打分，按照研究报告占40%，小组展示占30%，答辩占30%计算各小组的成绩，各项成绩均按百分制记录．甲小组的研究报告得85分，小组展示得90分，答辩得80分，则甲小组的参赛成绩为_____．
13、（4分）如图所示，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于E，AF⊥DE，垂足为F，已知∠DAF＝50°，则∠C的度数是____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民户一表生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：
说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费=自来水费用＋污水处理费．
（1）设小王家一个月的用水量为吨，所应交的水费为元，请写出与的函数关系式；
（2）随着夏天的到来，用水量将增加．为了节省开支，小王计划把7月份的水费控制在不超过家庭月收入的.若小王家的月收入为元，则小王家7月份最多能用多少吨水？
15、（8分）倡导健康生活推进全民健身，某社区去年购进A，B两种健身器材若干件，经了解，B种健身器材的单价是A种健身器材的1．5倍，用7200元购买A种健身器材比用5400元购买B种健身器材多10件．
（1）A，B两种健身器材的单价分别是多少元？
（2）若今年两种健身器材的单价和去年保持不变，该社区计划再购进A，B两种健身器材共50件，且费用不超过21000元，请问：A种健身器材至少要购买多少件？
16、（8分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（0，﹣1）．
（1）写出A、B两点的坐标
（1）经过平移，△ABC的顶点A移到了点A1，画出平移后的△A1B1C1；若△ABC内有一点P（a，b），直接写出按（1）的平移变换后得到对应点P1的坐标．
（3）画出△ABC绕点C旋转180°后得到的△A1B1C1．
17、（10分）先观察下列等式，再回答问题：
① =1+1=2；
②=2+ =2 ；
③=3+=3；…
（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想第四个等式；
（2）请按照上面各等式规律，试写出用 n（n 为正整数）表示的等式，并用所学知识证明．
18、（10分）如图，已知菱形ABCD边长为4，，点E从点A出发沿着AD、DC方向运动，同时点F从点D出发以相同的速度沿着DC、CB的方向运动．
如图1，当点E在AD上时，连接BE、BF，试探究BE与BF的数量关系，并证明你的结论；
在的前提下，求EF的最小值和此时的面积；
当点E运动到DC边上时，如图2，连接BE、DF，交点为点M，连接AM，则大小是否变化？请说明理由．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，在中，，，以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，连结并延长，交于点，则的长为____.
20、（4分）一次函数的图象与y轴的交点坐标________________.
21、（4分）如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，OA＝OB，则图中有____对全等三角形．
22、（4分）已知菱形ABCD的两条对角线长分别为12和16，则这个菱形ABCD的面积S=_____．
23、（4分）直角三角形的三边长分别为、、，若，，则__________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）解方程：-=1．
25、（10分）学校新到一批实验器材需要整理，若实验管理员李老师一人单独整理需要40分钟完成，现在李老师与工人王师傅共同整理20分钟后，李老师因事外出，王师傅再单独整理了20分钟才完成任务.
（1）王师傅单独整理这批实验器材需要多少分钟完成；
（2）学校要求王师傅的工作时间不能超过30分钟，要完成整理这批器材，李老师至少要工作多少分钟？
26、（12分） (1)分式化简()÷；
(2)若(1)中a为正整数，分式的值也为正整数，请直接写出所有符合条件的a的值
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、：解：y=100×0.05x，
即y=5x．
故选B．
【解析】：每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升，则一分钟滴水100×0.05毫升，则x分钟可滴100×0.05x毫升，据此即可求解．
2、A
【解析】
将一个图形沿着一条直线翻折后两侧能够完全重合，这样的图形是轴对称图形；将一个图形绕着一个点旋转180°后能与自身完全重合，这样的图形是中心对称图形，根据定义依次判断即可得到答案.
【详解】
A、是轴对称图形，是中心对称图形；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，
故选：A.
此题考查轴对称图形的定义，中心对称图形的定义，熟记定义并掌握图形的特点是解题的关键.
3、A
【解析】
根据题意给出的等量关系即可列出方程．
【详解】
解：设原计划每天植树x万棵，需要天完成，
∴实际每天植树（x+0.2x）万棵，需要天完成，
∵提前5天完成任务，
∴，
故选：A．
本题考查分式方程的应用，解题的关键是利用题目中的等量关系，本题属于基础题型．
4、D
【解析】
解方程得到方程的解，再根据解为负数得到关于m的不等式结合分式的分母不为零，即可求得m的取值范围.
【详解】
=1，
解得：x=m﹣3，
∵关于x的分式方程=1的解是负数，
∴m﹣3＜0，
解得：m＜3，
当x=m﹣3=﹣1时，方程无解，
则m≠2，
故m的取值范围是：m＜3且m≠2，
故选D．
本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法以及分式方程的分母不为零是解题关键．
5、C
【解析】
先根据旋转得出△ABB'是等腰三角形，再根据旋转的性质以及平行四边形的性质，判定三角形AOB'和△DOC'都是等腰三角形，最后根据∠DOC'的度数，求得∠DC'B'的度数．
【详解】
由旋转得，∠BAB'=40°，AB=AB'，∠B=∠AB'C'，
∴∠B=∠AB'B=∠AB'C'=70°，
∵AD∥BC，
∴∠DAB'=∠AB'C'=70°，
∴AO=B'O，∠AOB=∠DOC'=40°，
又∵AD=B'C'，
∴OD=OC'，
∴△ODC'中，∠DC'O=
故选C．
考查了旋转的性质，解决问题的关键是掌握等腰三角形的性质与平行四边形的性质．在旋转过程中，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
6、C
【解析】
首先确定在阴影的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出蚂蚁停在阴影部分的概率。
【详解】
∵正方形被等分成9份，其中阴影方格占4份，
∴当蚂蚁停下时，停在地板中阴影部分的概率为，
故选：C
此题考查概率公式，掌握运算法则是解题关键
7、B
【解析】
根据二次根式的被开方数是非负数解题．
【详解】
解：依题意，得
a-1≥0，
解得，a≥1．
故选：B．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
8、A
【解析】
先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB=45°，即可得出结论．
【详解】
∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠EBC=45°，
∴∠ECB=45°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°，
故选A．
此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出∠ECB是解本题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、菱形
【解析】
由条件可知AB∥CD，AD∥BC，再证明AB=BC，即可解决问题．
【详解】
过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．
∵两把直尺的对边分别平行，即：AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两把直尺的宽度相等，
∴DE=DF．
又∵平行四边形ABCD的面积=AB•DE=BC•DF，
∴AB=BC，
∴平行四边形ABCD为菱形．
故答案为：菱形．
本题主要考查菱形的判定定理，添加辅助线，利用平行四边形的面积法证明平行四边形的邻边相等，是解题的关键．
10、21
【解析】
首先根据统计图，求出此次竞赛中该班成绩在70分以上（含70分）的人数所占比例，然后已知总数，即可得解.
【详解】
根据统计图的信息，得此次竞赛中该班成绩在70分以上（含70分）的人数所占比例为
此次竞赛中该班成绩在70分以上（含70分）的人数为
故答案为21.
此题主要考查扇形统计图的相关知识，熟练掌握，即可解题.
11、﹣1．
【解析】
根据题意，①-②即可得到关于x+y的值
【详解】
，
①﹣②得到：﹣3x﹣3y＝6，
∴x+y＝﹣1，
故答案为﹣1．
此题考查解二元一次方程组，难度不大
12、85分
【解析】
根据加权平均数的定义计算可得．
【详解】
根据题意知，甲小组的参赛成绩为85×40%+90×30%+80×30%=85（分），
故答案为：85分．
本题考查的是加权平均数的求法，根据某方面的需要选拔时往往利用加权平均数更合适．
13、100°.
【解析】
根据直角三角形两锐角互余，平行四边形的性质即可解决问题.
【详解】
∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝90°，
∵∠DAF＝50°，
∴∠ADF＝90°﹣50°＝40°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC＝2∠ADF＝80°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠C+∠ADC＝180°，
∴∠C＝100°
故答案为100°.
本题考查平行四边形的性质、直角三角形的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）y＝ ；（2）40吨．
【解析】
（1）由水费＝自来水费＋污水处理，分段得出y与x的函数关系式；
（2）先判断用水量超过30吨，继而再由水费不超过184，可得出不等式，解出即可．
【详解】
解：（1）设小王家一个月的用水量为x吨，所应交的水费为y元，则
①当用水量17吨及以下时，y＝（2.2＋0.8）x＝3x；
②当17＜x≤30时，y＝17×2.2＋4.2（x−17）＋0.8x＝5x−34；
③当x＞30时，y＝17×2.2＋13×4.2＋6（x−30）＋0.8x＝6.8x−1．
∴y＝ ；
（2）当用水量为30吨时，水费为：6.8×30−1＝116元，9200×2%＝184元，
∵116＜184，
∴小王家七月份的用水量超过30吨，
设小王家7月份用水量为x吨，
由题意得：6.8x−1≤184，
解得：x≤40，
∴小王家七月份最多用水40吨．
本题考查了一次函数的应用及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学模型求解．
15、（1） A，B单价分别是360元，540元；（2）34件．
【解析】
（1）设A种型号健身器材的单价为x元/套，B种型号健身器材的单价为1．5x元/套，根据“B种健身器材的单价是A种健身器材的1．5倍，用7200元购买A种健身器材比用5400元购买B种健身器材多10件”，即可得出关于x，y的分式方程，解之即可得出结论；
（2）设购买A种型号健身器材m套，则购买B种型号的健身器材(50﹣m)套，根据总价＝单价×数量结合这次购买两种健身器材的总费用不超过21000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
【详解】
解：（1）设A种型号健身器材的单价为x元/套，B种型号健身器材的单价为1．5x元/套，
根据题意，可得：，
解得：x＝360，
经检验x＝360是原方程的根，
1.5×360＝540(元)，
因此，A，B两种健身器材的单价分别是360元，540元；
（2）设购买A种型号健身器材m套，则购买B种型号的健身器材(50﹣m)套，
根据题意，可得：360m+540(50﹣m)≤21000，
解得：m≥，
因此，A种型号健身器材至少购买34套．
本题考查的知识点是分式方程以及一元一次不等式的实际应用，读懂题意，找出题目中的等量关系式是解此题的关键．
16、（1）A（﹣1，1），B（﹣3，1）；（1）P1（a+4，b+1）；（3）见解析.
【解析】
（1）根据直角坐标系写出A、B两点的坐标即可.
（1）首先确定点A的平移路径，再将B和C按照点A的平移路线平移，再将平移点连接起来即可.
（3）首先根据点C将A点和B点旋转 ，再将旋转后的点连接起来即可.
【详解】
解：（1）根据图形得：A（﹣1，1），B（﹣3，1）；
（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
根据题意得：P1（a+4，b+1）；
（3）如图所示：△A1B1C1，即为所求．
本题主要考查直角坐标系中图形的平移和旋转，关键在于根据点的平移和旋转来确定图形的平移和旋转.
17、（1）；（2），证明见解析．
【解析】
（1）根据“第一个等式内数字为1，第二个等式内数字为2，第三个等式内数字为3”，即可猜想出第四个等式为44；
（2）根据等式的变化，找出变化规律“n”，再利用开方即可证出结论成立．
【详解】
（1）∵①1+1=2；②22；③33；里面的数字分别为1、2、3，
∴④ ．
（2）观察，发现规律：1+1=2，223344，…，∴ ．
证明：等式左边=n右边．
故n成立．
本题考查了二次根式的性质与化简以及规律型中数的变化类，解题的关键是：（1）猜测出第四个等式中变化的数字为4；（2）找出变化规律“n”．解决该题型题目时，根据数值的变化找出变化规律是关键．
18、，证明见解析；的最小值是，；如图3，当点E运动到DC边上时，大小不发生变化，理由见解析.
【解析】
先证明和是等边三角形，再证明≌，可得结论；
由≌，易证得是正三角形，继而可得当动点E运动到当，即E为AD的中点时，BE的最小，根据等边三角形三线合一的性质可得BE和EF的长，并求此时的面积；
同理得：≌，则可得，所以，则A、B、M、D四点共圆，可得．
【详解】
，
证明：、F的速度相同，且同时运动，
，
又四边形ABCD是菱形，
，
，
，
是等边三角形，
同理也是等边三角形，
，
在和中，
，
≌，
；
由得：≌，
，
，
，
是等边三角形，
，
如图2，当动点E运动到，即E为AD的中点时，BE的最小，此时EF最小，
，，
，
的最小值是，
中，，，
，
，
；
如图3，当点E运动到DC边上时，大小不发生变化，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
、B、M、D四点共圆，
．
此题是四边形的综合题，考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、四点共圆的判定和性质、垂线段最短以及全等三角形的判定与性质注意证得≌是解此题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1.
【解析】
根据作图过程可得得AE平分∠ABC；再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明∠AEB=∠CBE，证出AE=AB=3，即可得出DE的长．，
【详解】
解：根据作图的方法得：AE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=5，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=3，
∴DE=AD﹣AE=5﹣3=1；
故答案为：1．
此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定．熟练掌握平行四边形的性质，证出AE=AB是解决问题的关键．
20、 (0，-2)
【解析】
根据一次函数与y轴的交点得横坐标等于0，将x=0代入y=x-2，可得y的值，从而可以得到一次函数y=x-2的图象与y轴的交点坐标．
【详解】
将x=0代入y=x−2，可得y=−2，
故一次函数y=x−2的图象与y轴的交点坐标是(0,−2).
故答案为：（0，-2）
此题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于一次函数与y轴的交点得横坐标等于0
21、1
【解析】
试题分析：OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，
∴PE=PF，∠1=∠2，
在△AOP与△BOP中，
，
∴△AOP≌△BOP，
∴AP=BP，
在△EOP与△FOP中，
，
∴△EOP≌△FOP，
在Rt△AEP与Rt△BFP中，
，
∴Rt△AEP≌Rt△BFP，
∴图中有1对全等三角形，
故答案为1．
考点：角平分线的性质，全等三角形的判定和性质．
22、1．
【解析】
根据菱形的性质，菱形的面积=对角线乘积的一半．
【详解】
解：菱形的面积是：．
故答案为1．
本题考核知识点：菱形面积. 解题关键点：记住根据对角线求菱形面积的公式．
23、或5
【解析】
根据斜边分类讨论，然后利用勾股定理分别求出c的值即可．
【详解】
解：①若b是斜边长
根据勾股定理可得：
②若c是斜边长
根据勾股定理可得：
综上所述：或5
故答案为：或5
此题考查的是勾股定理，掌握用勾股定理解直角三角形和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、x=–2
【解析】
试题分析：根据分式方程的解法即可求出答案．
试题解析：解：去分母得：（x+3）2﹣4（x﹣3）=（x﹣3）（x+3）
x2+6x+9﹣4x+12=x2﹣9，x=﹣2．把x=﹣2代入（x﹣3）（x+3）≠0，∴原分式方程的解为：x=﹣2．
25、（1）王师傅单独整理这批实验器材需要80分钟．（2）李老师至少要工作1分钟．
【解析】
（1）设王师傅单独整理这批实验器材需要x分钟，则王师傅的工作效率为，根据李老师与工人王师傅共同整理20分钟的工作量+王师傅再单独整理了20分钟的工作量=1，可得方程，解出即可；
（2）根据王师傅的工作时间不能超过30分钟，列出不等式求解．
【详解】
解：（1）设王师傅单独整理这批实验器材需要x分钟，则王师傅的工作效率为，
由题意，得：20（+）+20×=1，
解得：x=80，
经检验得：x=80是原方程的根．
答：王师傅单独整理这批实验器材需要80分钟．
（2）设李老师要工作y分钟，
由题意，得：（1﹣）÷≤30，
解得：y≥1．
答：李老师至少要工作1分钟．
考点：分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
26、 (1)；(2)a=3 .
【解析】
（1）根据分式的运算法则即可求出答案．
（2）根据题意即可求出答案．
【详解】
(1)原式＝，
=
＝；
(2)由题意可知：a+1＝1或2或4，
且a+1≠0，a2﹣1≠0，a≠0，
∴a＝3
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
自来水销售价格
污水处理价格
每户每月用水量
单价：元/吨
单价：元/吨
吨及以下
超过 17 吨但不超过 30 吨的部分
超过 30 吨的部分