北师大版2024-2025学年九年级数学上册专题2.1一元二次方程【八大题型】专题特训(原卷版+解析)

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专题2.1 一元二次方程【八大题型】【北师大版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc13464" 【题型1 识别一元二次方程】  PAGEREF _Toc13464 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc11370" 【题型2 由一元二次方程的概念求参数的值】  PAGEREF _Toc11370 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc5397" 【题型3 由一元二次方程的概念求参数的取值范围】  PAGEREF _Toc5397 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc28000" 【题型4 一元二次方程的一般形式】  PAGEREF _Toc28000 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc25991" 【题型5 由一元二次方程的解求参数的值】  PAGEREF _Toc25991 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc4650" 【题型6 由一元二次方程的解求代数式的值】  PAGEREF _Toc4650 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc17516" 【题型7 由一元二次方程的解通过降次求代数式的值】  PAGEREF _Toc17516 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc24277" 【题型8 由一元二次方程的根求另一方程的根】  PAGEREF _Toc24277 \h 4【知识点1 一元二次方程的定义】等号两边都就是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数得最高次数就是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。【题型1 识别一元二次方程】【例1】（2023春·山东青岛·九年级校考期中）下列关于x的方程：①ax2+bx+c=0；②3(x−9)2−(x+1)2=1；③x+3=1x；④a2+1x2−a=0；其中一元二次方程的个数是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【变式1-1】（2023春·广东茂名·九年级统考期末）下列是一元二次方程的是（    ）A．2x+1=0 B．x2+y=1 C．x2+2x+1=0 D．x2+1x=1【变式1-2】（2023春·江苏徐州·九年级校考期末）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（　　）A．ax2+bx+c=0 B．x2−2=(x+3)2 C．x2+3x−5=0 D．x2−1=0【变式1-3】（2023春·甘肃兰州·九年级统考期中）下列关于x的方程：①ax2+3x2+2=0；②x2+x−1=0；③x2+1x=0；④x2−2x3+3=0；⑤2x2−1=2x+12中，是一元二次方程的个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【题型2 由一元二次方程的概念求参数的值】【例2】（2023春·新疆乌鲁木齐·九年级乌市八中校考期末）mx|m−2|+3x−7=0是一元二次方程，则m=___________．【变式2-1】（2023春·江苏无锡·九年级统考期末）若方程xm+1−3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m=______．【变式2-2】（2023春·河南开封·九年级统考期末）若关于x的方程k−1x2+2x−3=0是一元二次方程，则k的值可以是______．（写出一个即可）【变式2-3】（2023春·四川乐山·九年级统考期末）若m−1xm+1−3x+5=0是关于x的一元二次方程，则m=__________．【题型3 由一元二次方程的概念求参数的取值范围】【例3】（2023春·福建龙岩·九年级统考期中）已知关于x的方程a−3x2+a−1x=3为一元二次方程，则a的取值范围是__________．【变式3-1】（2023春·福建莆田·九年级统考期末）若方程kx2−2x+1=0是关于x的一元二次方程，则k的取值范围是（   ）A．k>0 B．k≠0 C．k≥0 D．k为实数【变式3-2】（2023春·广东深圳·九年级统考期末）关于x的方程（a2＋1）x2＋2ax﹣6＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（    ）A．a≠±1 B．a≠0C．a 为任何实数 D．不存在【变式3-3】（2023春·河南漯河·九年级统考期中）若关于x的方程ax2=x+1x−1是一元二次方程，则a的取值范围是（    ）A．a≠0 B．a≠1 C．a≠−1 D．a≠±1【知识点2 一元二次方程的一般形式】一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)、其中，ax2就是二次项，a就是二次项系数；bx就是一次项，b就是一次项系数；c就是常数项。【题型4 一元二次方程的一般形式】【例4】（2023春·河北邯郸·九年级统考期中）将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是4，一次项系数是−7，常数项是2的方程是（    ）A．4x2+2=7x B．4x2−2=7x C．4x2+7x=2 D．−4x2−7x=2【变式4-1】（2023春·贵州铜仁·九年级统考期末）一元二次方程x2+2x=1的二次项系数、一次项系数与常数项的和等于______．【变式4-2】（2023春·云南楚雄·九年级统考期末）一元二次方程2x2+x=3化成一般形式后，二次项的系数是2，常数项是（   ）A．2 B．1 C．3 D．−3【变式4-3】（2023春·湖南株洲·九年级校考期中）若关于x一元二次方程(2a−4)x2+(3a+9)x+a−8=0不含一次项，则a=______．【知识点2 一元二次方程的解】使一元二次方程左右两边相等得未知数得值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解得定义就是解方程过程中验根得依据。【题型5 由一元二次方程的解求参数的值】【例5】（2023春·云南昆明·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程2x2−3x−a2+1=0的一个根为2，则a的值为__________．【变式5-1】（2023春·广东惠州·九年级统考期末）已知关于x的方程4x2−7x+m=0的一个根是2，则m的值是______．【变式5-2】（2023春·吉林四平·九年级统考期末）关于x的一元二次方程kx2+2x−3=0的一个根是1，则k的值是（    ）A．1 B．2 C．3 D．无法确定【变式5-3】（2023春·江苏苏州·九年级苏州市振华中学校校考开学考试）已知关于x的一元二次方程x2−22x+m−1=0，若方程有一个根是x=2+1，则m为______．【题型6 由一元二次方程的解求代数式的值】【例6】（2023春·山东德州·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0的一个根是x=−1，则2020−a+b的值是(      )A．2018 B．2020 C．2022 D．2024【变式6-1】（2023春·山西朔州·九年级统考期末）已知t为一元二次方程x2−1011x+2023=0的一个解，则2t2−2022t值为（    ）A．−2023 B．−2022 C．−4046 D．−4044【变式6-2】（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考开学考试）已知a是方程2x2−3x−7=0的一个根，求代数式a+1a−1+3aa−2的值．【变式6-3】（2023春·黑龙江鸡西·九年级统考期末）设α，β是方程x2+2022x−2=0的两个根，则α2+2022α−1β2+2022β+2=__________．【题型7 由一元二次方程的解通过降次求代数式的值】【例7】（2023春·河北沧州·九年级统考期中）已知m是方程x2+x−1=0的根，则m3+2m2+2023的值为______．【变式7-1】（2023春·湖南永州·九年级校考期末）若m(m≠0)是方程x2−x−1=0的一个根，则代数式m−1m的值为（    ）A．1 B．12 C．25 D．不能确定【变式7-2】（2023春·山东滨州·九年级统考期末）已知a为方程x2+3x−2023=0的根，那么a3+2a2−2026a+2023的值为_________．【变式7-3】（2023春·湖南岳阳·九年级统考期末）已知a是方程x2−2021x+1=0的一个根，则a3−2021a2−2021a2+1=____．【题型8 由一元二次方程的根求另一方程的根】【例8】（2023春·新疆·九年级新疆农业大学附属中学校考期中）若关于x的一元二次方程ax2+2bx−2=0的一个根是x=2021，则一元二次方程a2x+22+bx+2b=1必有一根为（    ）A．2020 B．2021 C．2022 D．2019【变式8-1】（2023·全国·九年级假期作业）若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0a≠0有一根为2022，则方程ax+12+bx+1=−5必有根为（    ）A．2022 B．2020 C．2019 D．2021【变式8-2】（2023春·江苏南京·九年级南京外国语学校仙林分校校考阶段练习）关于x的方程x+m2=n的解是x1=−2，x2=1（m、n为常数），则方程x+m+32=n的解是_____．【变式8-3】（2023春·江苏连云港·九年级校考阶段练习）关于x的方程a（x+m）2+b=0的根是x1=5，x2=-6，（a，b，m均为常数，a≠0），则关于x的方程a（x+m+2）2+b=0的根是__________.专题2.1 一元二次方程【八大题型】【北师大版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc13464" 【题型1 识别一元二次方程】  PAGEREF _Toc13464 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc11370" 【题型2 由一元二次方程的概念求参数的值】  PAGEREF _Toc11370 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc5397" 【题型3 由一元二次方程的概念求参数的取值范围】  PAGEREF _Toc5397 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc28000" 【题型4 一元二次方程的一般形式】  PAGEREF _Toc28000 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc25991" 【题型5 由一元二次方程的解求参数的值】  PAGEREF _Toc25991 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc4650" 【题型6 由一元二次方程的解求代数式的值】  PAGEREF _Toc4650 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc17516" 【题型7 由一元二次方程的解通过降次求代数式的值】  PAGEREF _Toc17516 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc24277" 【题型8 由一元二次方程的根求另一方程的根】  PAGEREF _Toc24277 \h 13【知识点1 一元二次方程的定义】等号两边都就是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数得最高次数就是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。【题型1 识别一元二次方程】【例1】（2023春·山东青岛·九年级校考期中）下列关于x的方程：①ax2+bx+c=0；②3(x−9)2−(x+1)2=1；③x+3=1x；④a2+1x2−a=0；其中一元二次方程的个数是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据一元二次方程的定义求解即可．【详解】解：①当a=0时，ax2+bx+c=0不是关于x的一元二次方程，不符合题意，②3(x−9)2−(x+1)2=1是关于x的一元二次方程，符合题意；③x+3=1x是分式方程，不符合题意；④∵a2+1≠0，∴(a2+1)x2−a=0是关于x的一元二次方程，符合题意；所以②④是关于x的一元二次方程，共有2个，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0)．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．【变式1-1】（2023春·广东茂名·九年级统考期末）下列是一元二次方程的是（    ）A．2x+1=0 B．x2+y=1 C．x2+2x+1=0 D．x2+1x=1【答案】C【分析】一元二次方程的概念：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐项判断即可．【详解】解：A中方程的未知数的最高次数是1次，故不是一元二次方程，不符合题意；B中方程含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意；C中方程是一元二次方程，符合题意；D中方程不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查一元二次方程的概念，熟知一元二次方程满足的条件是解答的关键．【变式1-2】（2023春·江苏徐州·九年级校考期末）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（　　）A．ax2+bx+c=0 B．x2−2=(x+3)2 C．x2+3x−5=0 D．x2−1=0【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可．【详解】解：A、当a=0时，该方程不是关于x的一元二次方程，故A不符合题意；B、方程整理后不含有二次项，该方程不是关于x的一元二次方程，故B不符合题意；C、该方程属于分式方程，不是关于x的一元二次方程，故C不符合题意；D、符合一元二次方程的定义，故D符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0a≠0．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．【变式1-3】（2023春·甘肃兰州·九年级统考期中）下列关于x的方程：①ax2+3x2+2=0；②x2+x−1=0；③x2+1x=0；④x2−2x3+3=0；⑤2x2−1=2x+12中，是一元二次方程的个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】本题根据一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．据此逐项判定即可．【详解】解： ax2+3x2+2=0，当a=−3，不是一元二次方程，故①不是一元二次方程；x2+x−1=0满足一元二次方程的条件，故②是一元二次方程；x2+1x=0分母含有未知数是分式方程，故③不是一元二次方程；x2−2x3+3=0未知数的最高次数是3，是一元三次方程，故④不是一元二次方程；2x2−1=2x+12化简后为4x+3=0，是一元一次方程，故⑤不是一元二次方程；所以正确的只有②共1个，故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．【题型2 由一元二次方程的概念求参数的值】【例2】（2023春·新疆乌鲁木齐·九年级乌市八中校考期末）mx|m−2|+3x−7=0是一元二次方程，则m=___________．【答案】4【分析】根据只含有一个未知数，且未知数的最高指数为2的整式方程为一元二次方程，则m−2=2，然后选出合适的值即可．【详解】解：mx|m−2|+3x−7=0是一元二次方程，∴|m−2|=2，m≠0，∴m=4或0，m≠0，∴m=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，结合一元二次方程的概念求出参数值是解题关键．【变式2-1】（2023春·江苏无锡·九年级统考期末）若方程xm+1−3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m=______．【答案】1【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行求解即可．【详解】解：∵方程xm+1−3x+1=0是关于x的一元二次方程，∴m+1=2，∴m=1，故答案为：1．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．【变式2-2】（2023春·河南开封·九年级统考期末）若关于x的方程k−1x2+2x−3=0是一元二次方程，则k的值可以是______．（写出一个即可）【答案】0（答案不唯一）【分析】根据一元二次方程的定义，可得二次项系数不为0，据此即可求解．【详解】解：∵关于x的方程k−1x2+2x−3=0是一元二次方程，∴k−1≠0解得：k≠1，∴k的值可以是0（答案不唯一）．故答案为：0（答案不唯一）．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．【变式2-3】（2023春·四川乐山·九年级统考期末）若m−1xm+1−3x+5=0是关于x的一元二次方程，则m=__________．【答案】−3【分析】根据一元二次方程的定义进行求解即可．【详解】解：∵m−1xm+1−3x+5=0是关于x的一元二次方程，∴m−1≠0m+1=2，∴m=−3，故答案为：−3．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）的方程叫做一元二次方程．【题型3 由一元二次方程的概念求参数的取值范围】【例3】（2023春·福建龙岩·九年级统考期中）已知关于x的方程a−3x2+a−1x=3为一元二次方程，则a的取值范围是__________．【答案】a≥1且a≠3．【分析】直接利用一元二次方程的定义与二次根式有意义条件分析即可．【详解】解：∵关于x的方程a−3x2+a−1x=3是一元二次方程，∴a-3≠0，且a-1≥0，解得：a≥1 且a≠3．故答案为：a≥1且a≠3．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握一元二次方程的定义与二次根式有意义条件是解题关键．【变式3-1】（2023春·福建莆田·九年级统考期末）若方程kx2−2x+1=0是关于x的一元二次方程，则k的取值范围是（   ）A．k>0 B．k≠0 C．k≥0 D．k为实数【答案】B【分析】一元二次方程是指未知数只有一次且未知数最高次数为2次的方程，根据这一点判断即可．【详解】根据一元二次方程的定义未知数最高次数为2次故x2这一项必须存在故k≠0故选B【点睛】本题考查一元二次方程的定义，理解这个定义是关键．【变式3-2】（2023春·广东深圳·九年级统考期末）关于x的方程（a2＋1）x2＋2ax﹣6＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（    ）A．a≠±1 B．a≠0C．a 为任何实数 D．不存在【答案】C【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．【详解】解：∵关于x的方程（a2+1）x2+2ax﹣6＝0是一元二次方程，a2+1不可能为0，∴a 为任何实数．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，理解一元二次方程的定义是解题的关键．【变式3-3】（2023春·河南漯河·九年级统考期中）若关于x的方程ax2=x+1x−1是一元二次方程，则a的取值范围是（    ）A．a≠0 B．a≠1 C．a≠−1 D．a≠±1【答案】B【分析】由ax2=x+1x−1，得到a−1x2+1=0，根据方程的定义，即可得到结果【详解】∵关于x的方程ax2=x+1x−1是一元二次方程，∴a−1x2+1=0，∴a−1≠0，解得：a≠1，故选：B【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，熟练掌握方程的概念是解决问题的关键【知识点2 一元二次方程的一般形式】一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)、其中，ax2就是二次项，a就是二次项系数；bx就是一次项，b就是一次项系数；c就是常数项。【题型4 一元二次方程的一般形式】【例4】（2023春·河北邯郸·九年级统考期中）将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是4，一次项系数是−7，常数项是2的方程是（    ）A．4x2+2=7x B．4x2−2=7x C．4x2+7x=2 D．−4x2−7x=2【答案】A【分析】把每个选项的方程化为一元二次方程的一般式即可得到答案．【详解】解：A、4x2+2=7x化为一般式为4x2−7x+2=0，二次项系数是4，一次项系数是-7，常数项是2，符合题意；B、4x2−2=7x化为一般式为4x2−7x−2=0，二次项系数是4，一次项系数是-7，常数项是-2，不符合题意；C、4x2+7x=2化为一般式为4x2+7x−2=0，二次项系数是4，一次项系数是7，常数项是-2，不符合题意；D、−4x2−7x=2化为一般式为4x2+7x+2=0，二次项系数是4，一次项系数是7，常数项是2，不符合题意；故选A．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常项数，正确把一元二次方程化为一般形式是解题的关键：一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0中，a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项．【变式4-1】（2023春·贵州铜仁·九年级统考期末）一元二次方程x2+2x=1的二次项系数、一次项系数与常数项的和等于______．【答案】2【分析】先化为一般形式，继而即可求解．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【详解】解：x2+2x=1的一般形式为x2+2x−1=0，∴二次项系数、一次项系数与常数项分别为1,2,−1∴1+2−1=2，故答案为：2．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．【变式4-2】（2023春·云南楚雄·九年级统考期末）一元二次方程2x2+x=3化成一般形式后，二次项的系数是2，常数项是（   ）A．2 B．1 C．3 D．−3【答案】D【分析】把原方程移项化为一般形式，根据一元二次方程的定义解答即可．【详解】解：2x2+x=3，移项得，2x2+x−3=0，则二次项系数、常数项分别为：2、−3，故选D．【点睛】本题考查的是一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数、一次项系数、常数项，掌握上述知识点是解题的关键．【变式4-3】（2023春·湖南株洲·九年级校考期中）若关于x一元二次方程(2a−4)x2+(3a+9)x+a−8=0不含一次项，则a=______．【答案】−3【分析】根据一元二次方程的一次项系数为0和二次项系数不为0，列出方程和不等式求解即可．【详解】解：由题意得：2a−4≠03a+9=0，解得a=−3，故答案为：−3．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和有关概念，准确理解题意是解题关键．【知识点2 一元二次方程的解】使一元二次方程左右两边相等得未知数得值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解得定义就是解方程过程中验根得依据。【题型5 由一元二次方程的解求参数的值】【例5】（2023春·云南昆明·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程2x2−3x−a2+1=0的一个根为2，则a的值为__________．【答案】±3【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．【详解】解：把x=2代入方程2x2−3x−a2+1=0，得8−6−a2+1=0，解得a=±3．故答案为：±3．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．【变式5-1】（2023春·广东惠州·九年级统考期末）已知关于x的方程4x2−7x+m=0的一个根是2，则m的值是______．【答案】−2【分析】由题意知，4×22−7×2+m=0，计算求解即可．【详解】解：由题意知，4×22−7×2+m=0，解得m=−2，故答案为：−2．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，解一元一次方程．解题的关键在于正确的运算．【变式5-2】（2023春·吉林四平·九年级统考期末）关于x的一元二次方程kx2+2x−3=0的一个根是1，则k的值是（    ）A．1 B．2 C．3 D．无法确定【答案】A【分析】把x=1代入方程可得到关于k的方程，然后求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2+2x−3=0的一个根为1，∴k×12+2×1−3=0，解得：k=1．故选A．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，正确理解一元二次方程的解是使得一元二次方程左右两边成立的未知数的值是解题的关键．【变式5-3】（2023春·江苏苏州·九年级苏州市振华中学校校考开学考试）已知关于x的一元二次方程x2−22x+m−1=0，若方程有一个根是x=2+1，则m为______．【答案】2【分析】将x=2+1代入方程，进行求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2−22x+m−1=0有一个根是x=2+1，∴2+12−22×2+1+m−1=0，解得：m=2；故答案为：2．【点睛】本题考查一元二次方程的解．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．【题型6 由一元二次方程的解求代数式的值】【例6】（2023春·山东德州·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0的一个根是x=−1，则2020−a+b的值是(      )A．2018 B．2020 C．2022 D．2024【答案】C【分析】直接把x=−1代入方程ax2+bx+2=0中得到b−a=2，再把b−a=2整体代入所求式子中进行求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0的一个根是x=−1，∴a−b+2=0，∴a−b=−2，即b−a=2，∴2020−a+b=2020+b−a=2020+2=2022，故选C．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，代数式求值，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．【变式6-1】（2023春·山西朔州·九年级统考期末）已知t为一元二次方程x2−1011x+2023=0的一个解，则2t2−2022t值为（    ）A．−2023 B．−2022 C．−4046 D．−4044【答案】C【分析】根据一元二次方程解的定义可得t2−1011t+2023=0，求出t2−1011t=−2023，进而可得答案．【详解】解：∵t为一元二次方程x2−1011x+2023=0的一个解，∴t2−1011t+2023=0，∴t2−1011t=−2023，∴2t2−2022t=−4046，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟知方程的解即为能使方程两边相等的未知数的值是解题的关键．【变式6-2】（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考开学考试）已知a是方程2x2−3x−7=0的一个根，求代数式a+1a−1+3aa−2的值．【答案】13【分析】先根据一元二次方程解的定义得到2a2−3a=7，再把所求式子化简为22a2−3a−1，由此求解即可．【详解】解：∵a是方程2x2−3x−7=0的一个根，∴2a2−3a−7=0，∴2a2−3a=7，∴a+1a−1+3aa−2=a2−1+3a2−6a=4a2−6a−1=22a2−3a−1=2×7−1=13．【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，一元二次方程解的定义，灵活运用所学知识是解题的关键．【变式6-3】（2023春·黑龙江鸡西·九年级统考期末）设α，β是方程x2+2022x−2=0的两个根，则α2+2022α−1β2+2022β+2=__________．【答案】4【分析】首先根据题意得到α2+2022α=2，β2+2022β=2，然后代入求解即可．【详解】∵α，β是方程x2+2022x−2=0的两个根，∴α2+2022α−2=0，β2+2022β−2=0∴α2+2022α=2，β2+2022β=2，∴α2+2022α−1β2+2022β+2=2−1×2+2=4故答案为：4．【点睛】此题考查了一元二次方程解的意义，解题的关键是掌握一元二次方程解的意义．【题型7 由一元二次方程的解通过降次求代数式的值】【例7】（2023春·河北沧州·九年级统考期中）已知m是方程x2+x−1=0的根，则m3+2m2+2023的值为______．【答案】2024【分析】由m是方程的根，可得m2+m=1，变形m3+2m2+2023为m3+m2+m2+2023，然后整体代入得结果．【详解】解：∵m是方程x2+x−1=0的根，∴m2+m=1，∴m3+2m2+2023=m3+m2+m2+2023=mm2+m+m2+2023=m+m2+2023=1+2023=2024．故答案为：2024．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义及整体代入的思想，解决本题的关键是利用根的定义得关于m的等式，变形m3+2m2+2023后整体代入．【变式7-1】（2023春·湖南永州·九年级校考期末）若m(m≠0)是方程x2−x−1=0的一个根，则代数式m−1m的值为（    ）A．1 B．12 C．25 D．不能确定【答案】A【分析】根据一元二次方程根的定义得出m2=m+1，再把代数式m−1m变形为m−1m=m2−1m，然后代入即可【详解】解：∵m(m≠0)是方程x2−x−1=0的一个根，∴m2−m−1=0∴m2=m+1∴m−1m=m2−1m=m+1−1m=1故选：A【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义和分式的化简求值，熟练掌握一元二次方程根的定义是解题的关键【变式7-2】（2023春·山东滨州·九年级统考期末）已知a为方程x2+3x−2023=0的根，那么a3+2a2−2026a+2023的值为_________．【答案】0【分析】根据一元二次方程的解的定义得到a2+3a−2023=0，然后对原式进行化简，再将a2+3a−2023=0整体代入即可．【详解】解：∵x2+3x−2023=0，∴a2+3a−2023=0，∵a3+2a2−2026a+2023=aa2+2a−2026+2023=aa2+3a−2023−a−3+2023，=aa2+3a−2023−a2−3a+2023=aa2+3a−2023−a2+3a−2023将a2+3a−2023=0代入，则原式=a×0−0=0，故答案为：0．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也考查了代数式的变形，利用整体代入法的思想是解答本题的关键．【变式7-3】（2023春·湖南岳阳·九年级统考期末）已知a是方程x2−2021x+1=0的一个根，则a3−2021a2−2021a2+1=____．【答案】−2021【分析】由方程根的定义可得a2−2021a+1=0，变形为a2+1=2021a．再将a2−2021a+1=0等号两边同时乘a并变形得a3−2021a2=−a，代入a3−2021a2−2021a2+1逐步化简即可．【详解】∵a是方程x2−2021x+1=0的一个根．∴a2−2021a+1=0，即a2+1=2021a．将a2−2021a+1=0等号两边同时乘a得：a(a2−2021a+1)=0，即a3−2021a2=−a．∴a3−2021a2−2021a2+1=−a−20212021a=−a−1a=−a2+1a=−2021aa=−2021．故答案为：-2021．【点睛】本题考查一元二次方程解的定义以及代数式求值．熟练掌握整体代入的思想是解答本题的关键．【题型8 由一元二次方程的根求另一方程的根】【例8】（2023春·新疆·九年级新疆农业大学附属中学校考期中）若关于x的一元二次方程ax2+2bx−2=0的一个根是x=2021，则一元二次方程a2x+22+bx+2b=1必有一根为（    ）A．2020 B．2021 C．2022 D．2019【答案】D【分析】先合并带b的式子，再左右两边乘以2后利用整体思想解题即可．【详解】解：原式化简为：a2x+22+bx+2−1=0，则有ax+22+2bx+2−2=0，∵一元二次方程ax2+2bx−2=0的一个根是x=2021，∴x+2=2021，解得x=2019，故选：D．【点睛】本题主要考查一元二次方程的根，能够利用整体思想是解题关键．【变式8-1】（2023·全国·九年级假期作业）若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0a≠0有一根为2022，则方程ax+12+bx+1=−5必有根为（    ）A．2022 B．2020 C．2019 D．2021【答案】D【分析】设t=x+1，即ax+12+bx+1=−5可改写为at2+bt+5=0，由题意关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0a≠0有一根为x=2022，即at2+bt+5=0有一个根为t=2022，所以x+1=2022，x=2021．【详解】由ax+12+bx+1=−5得到ax+12+bx+1+5=0，对于一元二次方程ax+12+bx+1=−5，设t=x+1，所以at2+bt+5=0，而关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0a≠0有一根为x=2022，所以at2+bt+5=0有一个根为t=2022，则x+1=2022，解得x=2021，所以一元二次方程ax+12+bx+1=−5有一根为x=2021．故选：D．【点睛】本题考查一元二次方程的解．掌握换元法解题是解答本题的关键．【变式8-2】（2023春·江苏南京·九年级南京外国语学校仙林分校校考阶段练习）关于x的方程x+m2=n的解是x1=−2，x2=1（m、n为常数），则方程x+m+32=n的解是_____．【答案】x1=−5,x2=−2【分析】把后面一个方程中的x+3看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．【详解】解：∵x+m+32=n，∴x+3+m2=n，∵方程x+m2=n的解是x1=−2，x2=1（m、n为常数），∴方程x+3+m2=n的解是x1+3=−2,x2+3=1，∴x1=−5,x2=−2．【点睛】此题主要考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．【变式8-3】（2023春·江苏连云港·九年级校考阶段练习）关于x的方程a（x+m）2+b=0的根是x1=5，x2=-6，（a，b，m均为常数，a≠0），则关于x的方程a（x+m+2）2+b=0的根是__________【答案】x1=3，x2=-8【分析】将方程a（x+m+2）2+b=0变形为a（x+2+m）2+b=0，对照已知方程及其根得出x+2=5或x+2=-6，解之可得答案．【详解】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的根是x1=5，x2=-6，∴关于x的方程a（x+m+2）2+b=0，即a[（x+ 2）+ m]2+b=0，∴a[（x+ 2）+ m]2+b=0满足x+2=5或x+2=-6，解得x1=3，x2=-8，故答案为：x1=3，x2=-8【点睛】此题主要考查了方程解的定义以及直接开方法求解，注意由两个方程的特点，运用整体思想进行简便计算．