北师大版2024-2025学年九年级数学上册专题2.10一元二次方程章末八大题型总结(拔尖篇)专题特训(原卷版+解析)

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专题2.10 一元二次方程章末八大题型总结（拔尖篇）【北师大版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc2359" 【题型1 利用根与系数的关系降次求值】  PAGEREF _Toc2359 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc11610" 【题型2 利用一元二次方程的解法解特殊方程】  PAGEREF _Toc11610 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc5857" 【题型3 利用一元二次方程求最值】  PAGEREF _Toc5857 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc22316" 【题型4 利用一元二次方程的根求取值范围】  PAGEREF _Toc22316 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc25497" 【题型5 一元二次方程中的新定义问题】  PAGEREF _Toc25497 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc19093" 【题型6 一元二次方程中的规律探究】  PAGEREF _Toc19093 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc21578" 【题型7 一元二次方程在几何中的动点问题】  PAGEREF _Toc21578 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc4319" 【题型8 一元二次方程与几何图形的综合问题】  PAGEREF _Toc4319 \h 7【题型1 利用根与系数的关系降次求值】【例1】（2023春·安徽池州·九年级统考期末）已知α和β是方程x2+2023x+1=0的两个根，则α2+2024α+2β2+2024β+2的值为（    ）A．−2021 B．2021 C．−2023 D．2023【变式1-1】（2023春·四川南充·九年级四川省营山中学校校考期中）已知a，b是方程x2−x−1=0的两根，则代数式2a3+5a+3b3+3b+1的值是（    ）A．19 B．20 C．14 D．15【变式1-2】（2023春·全国·九年级专题练习）已知a是方程x2−2021x+1=0的一个根，则a3−2021a2−2021a2+1= ．【变式1-3】（2023春·四川自贡·九年级统考期末）若m、n是一元二次方程x2+2x−1=0的两个实数根，则n3+n2m2n−1的值为（    ）A．1 B．-1 C．2 D．-2【题型2 利用一元二次方程的解法解特殊方程】【例2】（2023春·上海青浦·九年级校考期末）解方程：(1)x+2−8−x=2；(2)2xx2−2x−3−1x−3=1；(3)2x2−32x2−1+1=0【变式2-1】（2023春·上海·九年级期中）解方程：mx2−3=x2+2 m≠1【变式2-2】（2023春·内蒙古通辽·九年级统考期末）阅读理解：解方程：x3−x=0．解：方程左边分解因式，得x(x+1)(x−1)=0，解得x1=0，x2=1，x3=−1．问题解决：（1）解方程：4x3−12x2−x=0．（2）解方程：(x2−x)2−3(x2−x)=0．（3）方程(2x2−x+1)2−2(2x2−x)−5=0的解为 ．【变式2-3】（2023春·江西景德镇·九年级景德镇一中校考期末）解方程：(1)x4+2x3−9x2−2x+8=0；(2)|x−1|+|x−2|+|2x−3|=4；(3)x2+y2+xy−3y+3=0．【题型3 利用一元二次方程求最值】【例3】（2023春·江西景德镇·九年级景德镇一中校考期末）设实数x,y,z满足x2+y2+z2−xy−yz−zx=27，则y−z的最大值为 .【变式3-1】（2023春·四川泸州·九年级校考期末）已知实数x，y满足x2+3x+y−3=0，则x+y的最大值为 ．【变式3-2】（2023·浙江金华·九年级期中）当a= ，b= 时，多项式a2−2ab+2b2−2a−4b+25有最小值，这个最小值是 ．【变式3-3】（2023春·山东济南·九年级阶段练习）阅读下面材料：丽丽这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形.类比这一特性，丽丽发现像m+n，mnp，m2+n2等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变.太神奇了！于是她把这样的式子命名为神奇对称式.她还发现像m2+n2，(m-1)(n-1)等神奇对称式都可以用mn,m+n表示.例如：m2+n2=(m+n)2−2mn， (m−1)(n−1)=mn−(m+n)+1.于是丽丽把mn 和 m+n称为基本神奇对称式 .请根据以上材料解决下列问题：（1）代数式①1mn ， ②m2−n2 ， ③nm， ④ xy + yz + zx中，属于神奇对称式的是__________（填序号）；（2）已知(x−m)(x−n)=x2−px+q. ① q=__________（用含m，n的代数式表示）；② 若p=3，  q=−2，则神奇对称式1m+1n=__________；③ 若p2−q=0 ，求神奇对称式m3+1m+n3+1n的最小值.【题型4 利用一元二次方程的根求取值范围】【例4】（2023春·四川眉山·九年级校考期中）关于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0有两个不等的实数根x1，x2，且x1＜1＜x2，那么a的取值范围是（　　）A．﹣27＜a＜25 B．a＞25 C．a＜﹣27 D．﹣211＜a＜0【变式4-1】（2023春·全国·九年级期中）已知m、n是关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两个不相等的实数根，且m2+mn+n2＝3，则q的取值范围是 ．【变式4-2】（2023春·江西景德镇·九年级景德镇一中校考期末）关于x的方程(1−m2)x2−2mx−1=0的所有根都是比2小的正实数，则实数m的取值范围是 ．【变式4-3】（2023春·山东烟台·九年级山东省烟台第十中学校考期中）若关于x的方程(m2−5m+6)x2−(3−m)x+14=0无解，则m的取值范围是 ．【题型5 一元二次方程中的新定义问题】【例5】（2023春·四川资阳·九年级统考期末）定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个实数根，若x1