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初中数学北师大版（2024）九年级上册1 投影课后测评
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这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册1 投影课后测评，共35页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc4102" 【题型1 判断是平行投影或中心投影】 PAGEREF _Tc4102 \h 2
\l "_Tc24509" 【题型2 判断投影的形状】 PAGEREF _Tc24509 \h 3
\l "_Tc21459" 【题型3 正投影】 PAGEREF _Tc21459 \h 4
\l "_Tc27213" 【题型4 根据投影求线段长度】 PAGEREF _Tc27213 \h 5
\l "_Tc14687" 【题型5 根据投影求面积】 PAGEREF _Tc14687 \h 6
\l "_Tc5275" 【题型6 坐标系中利用投影求值】 PAGEREF _Tc5275 \h 7
\l "_Tc27071" 【题型7 由投影长度确定时间顺序】 PAGEREF _Tc27071 \h 9
\l "_Tc13623" 【题型8 视点、视角和盲区】 PAGEREF _Tc13623 \h 9
【知识点 投影】
1.投影
一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.
2.中心投影
若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论：
等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.
(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.
在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.
注意：
光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.
3.平行投影
1.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论：
(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.
(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.
2. 物高与影长的关系
（1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长.
（2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.
即：.
利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.
注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.
注意：
1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻.
2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线.
【题型1 判断是平行投影或中心投影】
【例1】（2023春·全国·九年级专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．皮影可看成平行投影
B．无影灯（手术用的）是平行投影
C．日食不是太阳光所形成的投影现象
D．月食是太阳光所形成的投影现象
【变式1-1】（2023秋·贵州贵阳·九年级期末）日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成．当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．则晷针在晷面上形成的投影是（ ）
A．中心投影B．平行投影
C．既是平行投影又是中心投影D．不能确定
【变式1-2】（2023秋·九年级单元测试）把下列物体与它们的投影连接起来．
【变式1-3】（2023春·九年级单元测试）下列光源形成的投影不同于其他三种的是（ ）
A．太阳光B．灯光C．探照灯光D．台灯
【题型2 判断投影的形状】
【例2】（2023秋·陕西西安·九年级高新一中校考阶段练习）正方形纸板在太阳光下的投影不可能是（ ）
A．平行四边形B．一条线段C．矩形D．梯形
【变式2-1】（2023春·九年级单元测试）将一个圆形纸板放在太阳光下，它在地面上所形成的影子的形状不可能是( )
A．圆B．三角形C．线段D．椭圆
【变式2-2】（2023·江苏南京·统考中考真题）如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-3】（2023秋·陕西咸阳·九年级统考期中）小明拿一个三角形木板在阳光下玩，三角形木板在水平地面上形成的投影的形状可能是 ．（只填一种形状即可）
【题型3 正投影】
【例3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，若投影线的方向如箭头所示，则图中物体的正投影是（ ）
B．
C．D．
【变式3-1】（2023秋·九年级单元测试）如图所示的圆台的上下底面与投影线平行，圆台的正投影是（ ）
A．矩形B．两条线段C．等腰梯形D．圆环
【变式3-2】（2023·全国·九年级专题练习）某几何体在投影面P前的摆放方式确定以后，改变它与投影面P之间的距离，其正投影的形状（ ）
A．不发生变化B．变大C．变小D．无法确定
【变式3-3】（2023秋·九年级单元测试）下列投影是正投影的是( )
A．①B．②C．③D．都不是
【题型4 根据投影求线段长度】
【例4】（2023秋·河南郑州·九年级校考期中）小红想利用阳光下的影长测量学校旗杆AB的高度．如图，他在某一时刻在地面上竖直立一个3米长的标杆CD，测得其影长DE=0.5米．
(1)请在图中画出此时旗杆AB在阳光下的投影BF．
(2)如果BF=1.5，求旗杆AB的高．
【变式4-1】（2023春·九年级课时练习）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为3:5，且三角板的一边长为6cm，则投影三角板的对应边长为( )
A．15cmB．10cmC．8cmD．3.6cm
【变式4-2】（2023秋·山西晋中·九年级校考阶段练习）如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡在线段DE上．
（1）请你确定灯泡所在的位置，并画出表示小亮在灯光下形成的影子线段．
（2）如果灯杆高12m，小亮的身高1.6m，小亮与灯杆的距离13m，请求出小亮影子的长度．
【变式4-3】（2023春·九年级课时练习）如图，一路灯距地面5.6米，身高1.6米的小方从距离灯的底部（点O）5米的A处，沿OA所在的直线行走到点C时，人影长度增长3米，小方行走的路程AC＝（ ）
A．7.2B．6.6C．5.7D．7.5
【题型5 根据投影求面积】
【例5】（2023秋·山西晋中·九年级统考期末）如图，三角板在手电筒光源的照射下形成了投影，三角板与其投影是位似图形，其相似比是2:5，若三角板的面积是6cm2，则其投影的面积是（ ）
A．15cm2B．30cm2C．85cm2D．752cm2
【变式5-1】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，正方形纸板ABCD在投影面α上的正投影为A1B1C1D1，其中边AB、CD与投影面平行，AD,BC与投影面不平行．若正方形ABCD的边长为5厘米，∠BCC1=45°，求其投影A1B1C1D1的面积．
【变式5-2】（2023春·全国·九年级专题练习）圆桌面（桌面中间有一个直径为1m的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为2m，桌面离地面1m，若灯泡离地面2m，则地面圆环形阴影的面积是（ ）
A．2πm2B．3πm2C．6πm2D．12πm2
【变式5-3】（2023秋·九年级单元测试）如图，在一间黑屋里用一白炽灯照射一个球，
（1）球在地面上的阴影是什么形状？
（2）当把白炽灯向上移时，阴影的大小会怎样变化？
（3）若白炽灯到球心距离为1米，到地面的距离是3米，球的半径是0.2米，求球在地面上阴影的面积是多少？
【题型6 坐标系中利用投影求值】
【例6】（2023秋·九年级单元测试）如图，在直角坐标系中，点P2,2 是一个光源．木杆AB 两端的坐标分别为0,1、3,1 ．则木杆AB 在x轴上的投影长为（ ）
A．3B．5C．6D．7
【变式6-1】（2023春·天津和平·九年级专题练习）在直角坐标平面内，一点光源位于A(0，5)处，线段CD垂直于x轴，D为垂足，C(3，1)，则DE的长为 ．
【变式6-2】（2023·山东济南·九年级统考期末）如图，直角坐标平面内，小明站在点A（﹣10，0）处观察y轴，眼睛距地面1.5米，他的前方5米处有一堵墙DC，若墙高DC＝2米，则小明在y轴上的盲区（即OE的长度）为 米．
【变式6-3】（2023春·全国·九年级专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，图形W在坐标轴上的投影长度定义如下：设点Px1,y1，Qx2,y2是图形W上的任意两点，若x1−x2的最大值为m，则图形W在x轴上的投影长度为lx=m；若y1−y2的最大值为n，则图形W在y轴上的投影长度为ly=n．如图1，图形W在x轴上的投影长度为lx=4−0=4；在y轴上的投影长度为ly=3−0=3．
(1)已知点A1，2，B2，3，C3，1，如图2所示，若图形W为四边形OABC，则lx=__________，ly=___________；
(2)已知点C（32，0），点D在直线y=12x−1x<0上，若图形W为△OCD，当lx=ly时，求点D的坐标；
(3)若图形W为函数y=x2（a≤x≤b）的图象，其中（0≤a【题型7 由投影长度确定时间顺序】
【例7】（2023春·九年级单元测试）有阳光的某天下午，小明在不同时刻拍了相同的三张风景照A，B，C，冲选后不知道拍照的时间顺序了，已知投影长度lA>lC>lB，则A，B，C的先后顺序是（ ）
A．A、B、C B．A、C、BC．B、A、CD．B、C、A
【变式7-1】（2023·九年级单元测试）如图，从小区的某栋楼的A，B，C，D四个位置向对面楼方向看，所看到的范围的大小顺序是（ ）
A．A＞B＞C＞DB．D＞C＞B＞AC．C＞D＞B＞AD．B＞A＞D＞C
【变式7-2】（2023春·九年级单元测试）小亮在上午8时、9时、12时、17时四次到室外的阳光下观察一棵树的影子随太阳变化的情况，他发现这四个时刻这棵树影子的长度各不相同，那么影子最长的时刻为 ；影子最短的时刻是 ．
【变式7-3】（2023春·九年级单元测试）某天小颖在室外的阳光下观察大树的影子随太阳转动的情况如下图所示，这五张图所对应的时间顺序是 ．
【题型8 视点、视角和盲区】
【例8】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在房子屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区是（ ）
A．△ACEB．△ADFC．△ABDD．四边形BCED
【变式8-1】（2023秋·宁夏中卫·九年级校考期末）“白日依山尽，黄河入海流．欲穷千里目，更上一层楼．”这里主要是（ ）
A．增大盲区B．减少盲区C．改变光点D．增加亮度
【变式8-2】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图所示，凯凯和乐乐捉迷藏，乐乐站在图中的P处，凯凯藏在图中哪些位置，才不易被乐乐发现( )
A．M，R，S，FB．N，S，E，FC．M，F，S，RD．E，S，F，M
【变式8-3】（2023春·全国·九年级专题练习）如图是某校校史荣誉室的正方形网格平面图，实线表示墙体或门．在点A处安装了360度旋转摄像头，由于墙体的的遮挡，阴影部分无法监控，这部分无法监控到的区域通常称为监控盲区．
（1）小红同学进入校史荣誉室随意参观，站在监控盲区的概率是多少？
（2）为了监控效果更好，使得监控盲区最小，请你帮助学校在墙体AB上重新设计摄像头安装的位置，画出示意图，并说明理由．
专题5.1 投影【八大题型】
【北师大版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc4102" 【题型1 判断是平行投影或中心投影】 PAGEREF _Tc4102 \h 2
\l "_Tc24509" 【题型2 判断投影的形状】 PAGEREF _Tc24509 \h 4
\l "_Tc21459" 【题型3 正投影】 PAGEREF _Tc21459 \h 6
\l "_Tc27213" 【题型4 根据投影求线段长度】 PAGEREF _Tc27213 \h 8
\l "_Tc14687" 【题型5 根据投影求面积】 PAGEREF _Tc14687 \h 12
\l "_Tc5275" 【题型6 坐标系中利用投影求值】 PAGEREF _Tc5275 \h 15
\l "_Tc27071" 【题型7 由投影长度确定时间顺序】 PAGEREF _Tc27071 \h 20
\l "_Tc13623" 【题型8 视点、视角和盲区】 PAGEREF _Tc13623 \h 22
【知识点 投影】
1.投影
一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.
2.中心投影
若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论：
等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.
(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.
在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.
注意：
光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.
3.平行投影
1.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论：
(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.
(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.
2. 物高与影长的关系
（1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长.
（2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.
即：.
利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.
注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.
注意：
1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻.
2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线.
【题型1 判断是平行投影或中心投影】
【例1】（2023春·全国·九年级专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．皮影可看成平行投影
B．无影灯（手术用的）是平行投影
C．日食不是太阳光所形成的投影现象
D．月食是太阳光所形成的投影现象
【答案】D
【分析】分析各选项可知，皮影和无影灯都是点光源形成的投影，而日食都是太阳光形成的投影；接下来，根据中心投影与平行投影的知识进行分析判断，问题即可得解．
【详解】解：根据平行投影和中心投影的区别可知：皮影和无影灯都是中心投影，而日食是太阳光形成的投影
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是中心投影和平行投影的定义，掌握其概念是解决此题的关键．
【变式1-1】（2023秋·贵州贵阳·九年级期末）日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成．当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．则晷针在晷面上形成的投影是（ ）
A．中心投影B．平行投影
C．既是平行投影又是中心投影D．不能确定
【答案】B
【分析】根据中心投影的定义：把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影；平行投影的定义：光源是以平行的方式照射到物体上的投影，据此解答即可．
【详解】解：晷针在晷面上形成的投影是平行投影，
故选：B．
【点睛】本题考查了中心投影和平行投影的定义，熟记相关定义是解本题的关键．
【变式1-2】（2023秋·九年级单元测试）把下列物体与它们的投影连接起来．
【答案】见解析
【分析】根据投影的定义解答即可．
【详解】解：如图：
【点睛】本题主要考查了投影，理解投影的定义成为解答本题的关键．
【变式1-3】（2023春·九年级单元测试）下列光源形成的投影不同于其他三种的是（ ）
A．太阳光B．灯光C．探照灯光D．台灯
【答案】A
【分析】判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的，如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影．
【详解】解：四个选项中只有太阳光可认为是平行光线；
故太阳光线下形成的投影是平行投影．
故选：A．
【点睛】本题考查平行投影的概念，属于基础题，注意基本概念的掌握是关键．
【题型2 判断投影的形状】
【例2】（2023秋·陕西西安·九年级高新一中校考阶段练习）正方形纸板在太阳光下的投影不可能是（ ）
A．平行四边形B．一条线段C．矩形D．梯形
【答案】D
【分析】根据平行投影的性质，进行判断即可．
【详解】解：一张正方形纸板在太阳光线的照射下，形成影子不可能是梯形，
故选：D．
【点睛】本题考查平行投影．熟练掌握平行投影的性质，是解题的关键．
【变式2-1】（2023春·九年级单元测试）将一个圆形纸板放在太阳光下，它在地面上所形成的影子的形状不可能是( )
A．圆B．三角形C．线段D．椭圆
【答案】B
【分析】在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，依此进行分析
【详解】当纸片和光线方向一致是为线段，与光线垂直为圆，不垂直不平行为椭圆，所以不可能是三角形.
【点睛】本题关键能想象出实物与投影的关系.
【变式2-2】（2023·江苏南京·统考中考真题）如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】因为中心投影物体的高和影长成比例，正确的区分中心投影和平行投影，依次分析选项即可找到符合题意的选项
【详解】因为正方形的对角线互相垂直，且一条对角线垂直地面，光源与对角线组成的平面垂直于地面，则有影子的对角线仍然互相垂直，且由于光源在平板的的上方，则上方的边长影子会更长一些，
故选D
【点睛】本题考查了中心投影的概念，应用，利用中心投影的特点，理解中心投影物体的高和影长成比例是解题的关键．
【变式2-3】（2023秋·陕西咸阳·九年级统考期中）小明拿一个三角形木板在阳光下玩，三角形木板在水平地面上形成的投影的形状可能是 ．（只填一种形状即可）
【答案】三角形（答案不唯一）
【分析】在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，据此即可解答．
【详解】当三角形木板与阳光垂直时，投影是三角形；
故答案为：三角形（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了平行投影特点，不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同，解题的关键是熟练理解平行投影特点．
【题型3 正投影】
【例3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，若投影线的方向如箭头所示，则图中物体的正投影是（ ）
B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据正投影的定义，得出圆柱的正投影为长方形，正方体的正投影为正方形，即可求解．
【详解】解：观察图中的两个立体图形，圆柱的正投影为长方形，正方体的正投影为正方形，
故选：C．
【点睛】本题考查了正投影，掌握正投影的定义是解题的关键．正投影是指平行投射线垂直于投影面．
【变式3-1】（2023秋·九年级单元测试）如图所示的圆台的上下底面与投影线平行，圆台的正投影是（ ）
A．矩形B．两条线段C．等腰梯形D．圆环
【答案】C
【分析】根据正投影的定义“是指平行投射线垂直于投影面”分析即可．
【详解】根据题意，圆台的上下底面与投影线平行，则圆台的正投影是该圆台的轴截面，即等腰梯形，
故选：C．
【点睛】本题考查了正投影的定义，正确理解正投影的定义是解题关键．
【变式3-2】（2023·全国·九年级专题练习）某几何体在投影面P前的摆放方式确定以后，改变它与投影面P之间的距离，其正投影的形状（ ）
A．不发生变化B．变大C．变小D．无法确定
【答案】A
【分析】几何体的正投影只与几何体相对于投影面的倾斜程度有关，与两者间距离无关可知答案．
【详解】解：某一几何体在投影面P前的摆放位置确定以后，改变它与投影面P的距离，其正投影的形状不发生变化，
故选：A．
【点睛】本题主要考查平行投影的性质，熟练掌握线段、平面图形、几何体的平行投影性质是根本．
【变式3-3】（2023秋·九年级单元测试）下列投影是正投影的是( )
A．①B．②C．③D．都不是
【答案】C
【分析】平行投影法分为正投影和斜投影，正投影是平行光垂直于屏幕的投影．
【详解】根据题意：①是点光源的投影，是错误的；②是斜投影，故错误；③是正投影，故正确.
故选C.
【点睛】本题考查的是正投影的基本知识，本题属于基础题．
【题型4 根据投影求线段长度】
【例4】（2023秋·河南郑州·九年级校考期中）小红想利用阳光下的影长测量学校旗杆AB的高度．如图，他在某一时刻在地面上竖直立一个3米长的标杆CD，测得其影长DE=0.5米．
(1)请在图中画出此时旗杆AB在阳光下的投影BF．
(2)如果BF=1.5，求旗杆AB的高．
【答案】(1)见解析
(2)9m
【分析】（1）利用太阳光线为平行光线作图：连接CE，过A点作AF∥CE交BD于F，则BF为所求；
（2）证明△ABF∽△CDE，然后利用相似比计算AB的长．
【详解】（1）解：连接CE，过A点作AF∥CE交BD于F，则BF为所求，如图；
（2）解：∵AF∥CE，
∴∠AFB=∠CED，
而∠ABF=∠CDE=90°，
∴△ABF∽△CDE，
∴ABCD=BFDE， 即AB3=1.50.5，
∴AB=9，
即旗杆AB的高为9m．
【点睛】本题考查平行投影、相似三角形的判定与性质，解题的关键是证明△ABF∽△CDE．
【变式4-1】（2023春·九年级课时练习）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为3:5，且三角板的一边长为6cm，则投影三角板的对应边长为( )
A．15cmB．10cmC．8cmD．3.6cm
【答案】B
【分析】中心投影下的三角板与投影三角板一定是相似的，再根据相似三角形对应边的比等于相似比，列式进行计算即可．
【详解】解：三角板的一边长为6cm，则设投影三角板的对应边长为xcm，
∵三角板与其投影的相似比为3:5，
∴35=6x，
∴x=10cm，
∴投影三角板的对应边长为10cm．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了中心投影与相似三角形的性质，熟练掌握中心投影的概念与相似三角形的性质是解答此题的关键．
【变式4-2】（2023秋·山西晋中·九年级校考阶段练习）如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡在线段DE上．
（1）请你确定灯泡所在的位置，并画出表示小亮在灯光下形成的影子线段．
（2）如果灯杆高12m，小亮的身高1.6m，小亮与灯杆的距离13m，请求出小亮影子的长度．
【答案】（1）详见解析；（2）小亮影子的长度为2m．
【分析】（1）连接EG进而延长交DF于点N，得出FN进而得出答案；
（2）直接利用相似三角形的判定与性质得出答案．
【详解】解：（1）如图所示：FN即为所求；
（2）∵FG∥DE，
∴△GFN∽△NDE，
∴FNND＝FGDE，
∵灯杆高12m，小亮的身高1.6m，小亮与灯杆的距离13m，
∴FNFN+13＝1.612，
解得：FN＝2，
答：小亮影子的长度为2m．
【点睛】本题考查中心投影、解题的关键是正确画出图形，记住物长与影长的比的定值，属于基础题，中考常考题型．
【变式4-3】（2023春·九年级课时练习）如图，一路灯距地面5.6米，身高1.6米的小方从距离灯的底部（点O）5米的A处，沿OA所在的直线行走到点C时，人影长度增长3米，小方行走的路程AC＝（ ）
A．7.2B．6.6C．5.7D．7.5
【答案】D
【分析】设出影长AB的长，利用相似三角形可以求得AB的长，然后在利用相似三角形求得AC的长即可．
【详解】解：∵AE⊥OD，OG⊥OD，
∴AE//OG，
∴∠AEB=∠OGB，∠EAB=∠GOB，
∴△AEB∽△OGB，
∴AEOG=ABBO，即 +5，
解得：AB＝2m；
∵OA所在的直线行走到点C时，人影长度增长3米，
∴DC＝AB+3=5m，OD=OA+AC+CD=AC+10，
∵FC∥GO，
∴∠CFD=∠OGD，∠FCD=∠GOD，
△DFC∽△DGO，
∴FCGO=CDDO，
即+10，
解得：AC＝7.5m．
所以小方行走的路程为7.5m．
故选择：D．
【点睛】本题主要考查的是相似三角形在实际中的中心投影的应用，掌握相似三角形判断与性质，利用对应边成比例是解答本题的关键．
【题型5 根据投影求面积】
【例5】（2023秋·山西晋中·九年级统考期末）如图，三角板在手电筒光源的照射下形成了投影，三角板与其投影是位似图形，其相似比是2:5，若三角板的面积是6cm2，则其投影的面积是（ ）
A．15cm2B．30cm2C．85cm2D．752cm2
【答案】D
【分析】利用位似图形的面积比等于相似比的平方进行计算即可；
【详解】解：设投影的面积为Scm2，6S=252，S=752cm2，
故选：D．
【点睛】本题考查位似图形的面积关系，解题关键掌握位似图形的面积比等于相似比的平方．
【变式5-1】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，正方形纸板ABCD在投影面α上的正投影为A1B1C1D1，其中边AB、CD与投影面平行，AD,BC与投影面不平行．若正方形ABCD的边长为5厘米，∠BCC1=45°，求其投影A1B1C1D1的面积．
【答案】2522cm2
【分析】先根据45°求出投影的各个边长，再求面积
【详解】解：过B点作BH⊥CC1于H，如图，
∵∠BCC1=45°，
∴BH=22， BC=22
∵正方形纸板ABCD在投影面α上的正投影为A1B1C1D1，
∴B1C1=BH=BC=522，C1D1=CD=5，
∴四边形A1B1C1D1的面积=522×5=2522cm2．
【点睛】本题考查等腰直角三角形在投影中的应用，掌握计算方法是关键．
【变式5-2】（2023春·全国·九年级专题练习）圆桌面（桌面中间有一个直径为1m的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为2m，桌面离地面1m，若灯泡离地面2m，则地面圆环形阴影的面积是（ ）
A．2πm2B．3πm2C．6πm2D．12πm2
【答案】B
【分析】先根据AC⊥OB，BD⊥OB可得出△AOC∽△BOD，由相似三角形的对应边成比例可求出BD的长，进而得出BD′＝1m，再由圆环的面积公式即可得出结论．
【详解】解：如图所示：
∵AC⊥OB，BD⊥OB，
∴△AOC∽△BOD，
∴OAOB=ACBD，即12=1BD，
解得：BD＝2m，
同理可得：AC′＝0.5m，则BD′＝1m，
∴S圆环形阴影＝22π﹣12π＝3π（m2）．
故选B．
【点睛】考查的是相似三角形的应用以及中心投影，利用相似三角形的对应边成比例得出阴影部分的半径是解题关键．
【变式5-3】（2023秋·九年级单元测试）如图，在一间黑屋里用一白炽灯照射一个球，
（1）球在地面上的阴影是什么形状？
（2）当把白炽灯向上移时，阴影的大小会怎样变化？
（3）若白炽灯到球心距离为1米，到地面的距离是3米，球的半径是0.2米，求球在地面上阴影的面积是多少？
【答案】(1)圆形；(2)阴影会逐渐变小；(3)925π平方米．
【详解】考点：中心投影．
专题：综合题．
分析：（1）球在灯光的正下方，所以阴影是圆形；
（2）根据中心投影的特点可知：在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长，所以白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小；
（3）先根据相似求出阴影的半径，再求面积．
解答：解：（1）因为球在灯光的正下方，所以阴影是圆形；
（2）白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小；
（3）设球在地面上阴影的半径为x米，
则12−0．223=0.2x，
解得：x2=38，
则S阴影=38π=0.36π平方米．
【题型6 坐标系中利用投影求值】
【例6】（2023秋·九年级单元测试）如图，在直角坐标系中，点P2,2 是一个光源．木杆AB 两端的坐标分别为0,1、3,1 ．则木杆AB 在x轴上的投影长为（ ）
A．3B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】利用中心投影，延长PA、PB 分别交x轴于A′、B′ ，作PE⊥x 轴于E，交AB于D，如图，证明△PAB∽△PA′B′ ，然后利用相似比可求出A′B′ 的长．
【详解】解：延长PA、PB 分别交x轴于A′、B′ ，作PE⊥x 轴于E，交AB于D，如图
∵P2,2，A0,1，B3,1 ．
∴PD=1，PE=2，AB=3 ，
∵AB∥A′B′ ，
∴△PAB∽△PA′B′ ，
∴ABA′B′=ADAE，即3A′B′=12
∴A′B′=6 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．
【变式6-1】（2023春·天津和平·九年级专题练习）在直角坐标平面内，一点光源位于A(0，5)处，线段CD垂直于x轴，D为垂足，C(3，1)，则DE的长为 ．
【答案】34
【分析】画出相应图形，可得相似三角形，利用相似三角形的对应边的比相等可得DE的长．
【详解】解：∵OA⊥x轴，CD⊥x轴，
∴CD∥OA，
∴△CDE∽△AOE，
∴DE：EO=CD：OA，
设DE=x，
∴x3+x=15，
解得：x=34，且符合题意，
∴DE=34，
故答案为：34．
【点睛】此题考查了中心投影和平面直角坐标系的知识，还考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形的对应边成比例．
【变式6-2】（2023·山东济南·九年级统考期末）如图，直角坐标平面内，小明站在点A（﹣10，0）处观察y轴，眼睛距地面1.5米，他的前方5米处有一堵墙DC，若墙高DC＝2米，则小明在y轴上的盲区（即OE的长度）为 米．
【答案】2.5
【详解】首先作出BM⊥EO，得出△BND∽△BME，即可得出BNBM=DNEM，再利用已知得出BN，BM，DN的长，即可求出EM，进而求出EO即可．
解：过点B作BM⊥EO，交CD于点N，
∵CD∥EO，
∴△BND∽△BME，
∴BNBM=DNEM，
∵点A（﹣10，0），
∴BM=10米，
∵眼睛距地面1.5米，
∴AB=CN=MO=1.5米，
∵DC=2米，
∴DN=2﹣1.5=0.5米，
∵他的前方5米处有一堵墙DC，
∴BN=5米，
∴510=0.5EM，
∴EM=1米，
∴EO=1+1.5=2.5米．
故答案为2.5．
【变式6-3】（2023春·全国·九年级专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，图形W在坐标轴上的投影长度定义如下：设点Px1,y1，Qx2,y2是图形W上的任意两点，若x1−x2的最大值为m，则图形W在x轴上的投影长度为lx=m；若y1−y2的最大值为n，则图形W在y轴上的投影长度为ly=n．如图1，图形W在x轴上的投影长度为lx=4−0=4；在y轴上的投影长度为ly=3−0=3．
(1)已知点A1，2，B2，3，C3，1，如图2所示，若图形W为四边形OABC，则lx=__________，ly=___________；
(2)已知点C（32，0），点D在直线y=12x−1x<0上，若图形W为△OCD，当lx=ly时，求点D的坐标；
(3)若图形W为函数y=x2（a≤x≤b）的图象，其中（0≤a【答案】(1)3，3
(2)−1,−32或−2,−2
(3)0≤a<12
【分析】（1）确定出点B在y轴的投影的坐标、点C在x轴上投影的坐标，于是可求得问题的答案；
（2）分两种情况讨论即可：①当−32≤x<0时，②当x<−32时，分别构建方程即可解决问题；
（3）设Aa，a2、Bb，b2．分别求得图形在y轴和x轴上的投影，由lx=ly可得到b+a=1，然后根据0≤a【详解】（1）解：∵B2,3，
∴点B在y轴上的正投影的坐标为0,3．
∴四边形OABC在y轴上的投影长度ly=3．
∵C3,1，
∴点C在x轴上的正投影的坐标为3,0．
∴四边形OABC在x轴上的投影长度lx=3．
故答案为3；3．
（2）∵点D在直线y=12x−1x<0上，
∴设Dx,12x−1，
①当−32≤x<0时，0−−32=0−12x−1，
∴x=−1，
∴点D的坐标为−1,−32；
②当x<−32时，0−x=0−12x−1，
∴x=−2，
∴点D 坐标为−2,−2
综上所述，点D的坐标为−1,−32或−2,−2．
（3）如图3所示：
设Aa，a2、Bb，b2．则CE=b−a，DF=b2−a2=b+ab−a．
∵lx=ly，
∴b+ab−a=b−a，即b+a−1b−a=0．
∵b≠a，
∴b+a=1．
又∵0≤a∴a+a<1，
∴0≤a<12．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用、解答本题主要应用了图形W在坐标轴上的投影长度定义、一次函数、二次函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，依据lx=ly列出关于x的方程和不等式是解题的关键．
【题型7 由投影长度确定时间顺序】
【例7】（2023春·九年级单元测试）有阳光的某天下午，小明在不同时刻拍了相同的三张风景照A，B，C，冲选后不知道拍照的时间顺序了，已知投影长度lA>lC>lB，则A，B，C的先后顺序是（ ）
A．A、B、C B．A、C、BC．B、A、CD．B、C、A
【答案】D
【分析】直接利用平行投影的性质，结合影子与物体长度关系分析得出答案．
【详解】解：由题意可得：都是下午拍摄，影子越长说明太阳倾斜越大，
∵投影长度lA>lC>lB，
∴A，B，C的先后顺序是B、C、A．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了平行投影，正确掌握平行投影的性质是解题关键．
【变式7-1】（2023·九年级单元测试）如图，从小区的某栋楼的A，B，C，D四个位置向对面楼方向看，所看到的范围的大小顺序是（ ）
A．A＞B＞C＞DB．D＞C＞B＞AC．C＞D＞B＞AD．B＞A＞D＞C
【答案】A
【详解】由图可知: 从小区的某栋楼的A，B，C，D四个位置向对面楼方向看，所看到的范围的大小顺序是: A＞B＞C＞D.
【变式7-2】（2023春·九年级单元测试）小亮在上午8时、9时、12时、17时四次到室外的阳光下观察一棵树的影子随太阳变化的情况，他发现这四个时刻这棵树影子的长度各不相同，那么影子最长的时刻为 ；影子最短的时刻是 ．
【答案】 17时 12时
【分析】根据利用光线与地面的夹角的变换进行判断．
【详解】解：上午8时、9时、12时、17时，太阳光线与地面的夹角不同，其中17时太阳光线与地面的夹角最小，所以此时树的影子最长；12时太阳光线与地面的夹角最大，所以此时树的影子最短，
故答案为：17时；12时．
【点睛】本题考查了平行投影，由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影，从早晨到傍晚物体的指向是：西一西北一北一东北一东，影长由长变短再变长．
【变式7-3】（2023春·九年级单元测试）某天小颖在室外的阳光下观察大树的影子随太阳转动的情况如下图所示，这五张图所对应的时间顺序是 ．
【答案】（b）、（d）、（a）、（c）、（e）
【分析】北半球而言，从早晨到傍晚影子的指向是：西、西北、北、东北、东，影长由长变短，再变长．
【详解】解：根据题意，太阳是从东方升起，故影子指向的方向为西方；
然后依次为西、西北、北、东北、东，故分析可得：
按时间先后顺序分别是：（b）、（d）、（a）、（c）、（e）．
【点睛】本题考查平行投影的特点和规律．在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚影子的指向是：西、西北、北、东北、东，影长由长变短，再变长．
【题型8 视点、视角和盲区】
【例8】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在房子屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区是（ ）
A．△ACEB．△ADFC．△ABDD．四边形BCED
【答案】C
【分析】解答此题首先要了解盲区的定义，视线覆盖不到的地方即为该视点的盲区，由图知，E是视点，找到在E点处看不到的区域即可．
【详解】解：由图知：在视点E的位置，看不到AB段，因此监视器的盲区在△ABD所在的区域，
故选：C．
【点睛】本题考查了投影和视图的概念，解答此类问题，首先要确定视点，然后再根据盲区的定义进行判断．
【变式8-1】（2023秋·宁夏中卫·九年级校考期末）“白日依山尽，黄河入海流．欲穷千里目，更上一层楼．”这里主要是（ ）
A．增大盲区B．减少盲区C．改变光点D．增加亮度
【答案】B
【分析】根据站的越高，人的视角就越大，对于圆形地球可视面就越大，盲区越小进行判断即可．
【详解】解∶选项A，站的越高，人的视角就越大，不是增大盲区，错误；
选项B，减少盲区，正确；
选项C，不可能改变光点，错误；
选项D，不是增加亮度，选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了盲区的相关知识，正确理解盲区的概念是解决本题的关键，盲区是指视野盲区，视野盲区就是指人的视线达不到的地方，站得高可以减少盲区．
【变式8-2】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图所示，凯凯和乐乐捉迷藏，乐乐站在图中的P处，凯凯藏在图中哪些位置，才不易被乐乐发现( )
A．M，R，S，FB．N，S，E，FC．M，F，S，RD．E，S，F，M
【答案】D
【分析】凯凯和乐乐捉迷藏，乐乐站在图中的P处，P处为视点，凯凯只有藏在盲区才不会被发现．
【详解】只有在P点的盲区内才不容易被发现．由图可知：P视点的盲区中有E，S，F，M点，因此在这四点时不容易被发现．
故选D．
【点睛】本题考查了视点，视角和盲区的定义．
【变式8-3】（2023春·全国·九年级专题练习）如图是某校校史荣誉室的正方形网格平面图，实线表示墙体或门．在点A处安装了360度旋转摄像头，由于墙体的的遮挡，阴影部分无法监控，这部分无法监控到的区域通常称为监控盲区．
（1）小红同学进入校史荣誉室随意参观，站在监控盲区的概率是多少？
（2）为了监控效果更好，使得监控盲区最小，请你帮助学校在墙体AB上重新设计摄像头安装的位置，画出示意图，并说明理由．
【答案】（1）320；（2）见详解
【分析】（1）分别求出荣誉室面积和盲区面积，再利用概率公式，即可求解；
（2）把摄像头安装在AB的中点处，计算出监控盲区的面积，然后把摄像头安装在AB的其他位置，表达出监控盲区的面积，即可得到结论．
【详解】解：（1）设小正方形的边长为1，
∴荣誉室面积=2×2+2×2+2×6=20，盲区面积=2×2-12×2×1=3，
∴站在监控盲区的概率=3÷20=320；
（2）如图所示：摄像头安装在AB的中点处，监控盲区的面积最小，此时，监控盲区面积=2×12×1×2=2，
若摄像头不安装在AB的中点处，则监控盲区面积=12×(CM+2)×2＞2．
【点睛】本题主要考查几何概率，掌握概率公式和方格纸的面积的计算，是解题的关键．
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc4102" 【题型1 判断是平行投影或中心投影】 PAGEREF _Tc4102 \h 2
\l "_Tc24509" 【题型2 判断投影的形状】 PAGEREF _Tc24509 \h 3
\l "_Tc21459" 【题型3 正投影】 PAGEREF _Tc21459 \h 4
\l "_Tc27213" 【题型4 根据投影求线段长度】 PAGEREF _Tc27213 \h 5
\l "_Tc14687" 【题型5 根据投影求面积】 PAGEREF _Tc14687 \h 6
\l "_Tc5275" 【题型6 坐标系中利用投影求值】 PAGEREF _Tc5275 \h 7
\l "_Tc27071" 【题型7 由投影长度确定时间顺序】 PAGEREF _Tc27071 \h 9
\l "_Tc13623" 【题型8 视点、视角和盲区】 PAGEREF _Tc13623 \h 9
【知识点 投影】
1.投影
一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.
2.中心投影
若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论：
等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.
(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.
在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.
注意：
光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.
3.平行投影
1.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论：
(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.
(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.
2. 物高与影长的关系
（1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长.
（2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.
即：.
利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.
注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.
注意：
1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻.
2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线.
【题型1 判断是平行投影或中心投影】
【例1】（2023春·全国·九年级专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．皮影可看成平行投影
B．无影灯（手术用的）是平行投影
C．日食不是太阳光所形成的投影现象
D．月食是太阳光所形成的投影现象
【变式1-1】（2023秋·贵州贵阳·九年级期末）日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成．当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．则晷针在晷面上形成的投影是（ ）
A．中心投影B．平行投影
C．既是平行投影又是中心投影D．不能确定
【变式1-2】（2023秋·九年级单元测试）把下列物体与它们的投影连接起来．
【变式1-3】（2023春·九年级单元测试）下列光源形成的投影不同于其他三种的是（ ）
A．太阳光B．灯光C．探照灯光D．台灯
【题型2 判断投影的形状】
【例2】（2023秋·陕西西安·九年级高新一中校考阶段练习）正方形纸板在太阳光下的投影不可能是（ ）
A．平行四边形B．一条线段C．矩形D．梯形
【变式2-1】（2023春·九年级单元测试）将一个圆形纸板放在太阳光下，它在地面上所形成的影子的形状不可能是( )
A．圆B．三角形C．线段D．椭圆
【变式2-2】（2023·江苏南京·统考中考真题）如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-3】（2023秋·陕西咸阳·九年级统考期中）小明拿一个三角形木板在阳光下玩，三角形木板在水平地面上形成的投影的形状可能是 ．（只填一种形状即可）
【题型3 正投影】
【例3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，若投影线的方向如箭头所示，则图中物体的正投影是（ ）
B．
C．D．
【变式3-1】（2023秋·九年级单元测试）如图所示的圆台的上下底面与投影线平行，圆台的正投影是（ ）
A．矩形B．两条线段C．等腰梯形D．圆环
【变式3-2】（2023·全国·九年级专题练习）某几何体在投影面P前的摆放方式确定以后，改变它与投影面P之间的距离，其正投影的形状（ ）
A．不发生变化B．变大C．变小D．无法确定
【变式3-3】（2023秋·九年级单元测试）下列投影是正投影的是( )
A．①B．②C．③D．都不是
【题型4 根据投影求线段长度】
【例4】（2023秋·河南郑州·九年级校考期中）小红想利用阳光下的影长测量学校旗杆AB的高度．如图，他在某一时刻在地面上竖直立一个3米长的标杆CD，测得其影长DE=0.5米．
(1)请在图中画出此时旗杆AB在阳光下的投影BF．
(2)如果BF=1.5，求旗杆AB的高．
【变式4-1】（2023春·九年级课时练习）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为3:5，且三角板的一边长为6cm，则投影三角板的对应边长为( )
A．15cmB．10cmC．8cmD．3.6cm
【变式4-2】（2023秋·山西晋中·九年级校考阶段练习）如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡在线段DE上．
（1）请你确定灯泡所在的位置，并画出表示小亮在灯光下形成的影子线段．
（2）如果灯杆高12m，小亮的身高1.6m，小亮与灯杆的距离13m，请求出小亮影子的长度．
【变式4-3】（2023春·九年级课时练习）如图，一路灯距地面5.6米，身高1.6米的小方从距离灯的底部（点O）5米的A处，沿OA所在的直线行走到点C时，人影长度增长3米，小方行走的路程AC＝（ ）
A．7.2B．6.6C．5.7D．7.5
【题型5 根据投影求面积】
【例5】（2023秋·山西晋中·九年级统考期末）如图，三角板在手电筒光源的照射下形成了投影，三角板与其投影是位似图形，其相似比是2:5，若三角板的面积是6cm2，则其投影的面积是（ ）
A．15cm2B．30cm2C．85cm2D．752cm2
【变式5-1】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，正方形纸板ABCD在投影面α上的正投影为A1B1C1D1，其中边AB、CD与投影面平行，AD,BC与投影面不平行．若正方形ABCD的边长为5厘米，∠BCC1=45°，求其投影A1B1C1D1的面积．
【变式5-2】（2023春·全国·九年级专题练习）圆桌面（桌面中间有一个直径为1m的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为2m，桌面离地面1m，若灯泡离地面2m，则地面圆环形阴影的面积是（ ）
A．2πm2B．3πm2C．6πm2D．12πm2
【变式5-3】（2023秋·九年级单元测试）如图，在一间黑屋里用一白炽灯照射一个球，
（1）球在地面上的阴影是什么形状？
（2）当把白炽灯向上移时，阴影的大小会怎样变化？
（3）若白炽灯到球心距离为1米，到地面的距离是3米，球的半径是0.2米，求球在地面上阴影的面积是多少？
【题型6 坐标系中利用投影求值】
【例6】（2023秋·九年级单元测试）如图，在直角坐标系中，点P2,2 是一个光源．木杆AB 两端的坐标分别为0,1、3,1 ．则木杆AB 在x轴上的投影长为（ ）
A．3B．5C．6D．7
【变式6-1】（2023春·天津和平·九年级专题练习）在直角坐标平面内，一点光源位于A(0，5)处，线段CD垂直于x轴，D为垂足，C(3，1)，则DE的长为 ．
【变式6-2】（2023·山东济南·九年级统考期末）如图，直角坐标平面内，小明站在点A（﹣10，0）处观察y轴，眼睛距地面1.5米，他的前方5米处有一堵墙DC，若墙高DC＝2米，则小明在y轴上的盲区（即OE的长度）为 米．
【变式6-3】（2023春·全国·九年级专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，图形W在坐标轴上的投影长度定义如下：设点Px1,y1，Qx2,y2是图形W上的任意两点，若x1−x2的最大值为m，则图形W在x轴上的投影长度为lx=m；若y1−y2的最大值为n，则图形W在y轴上的投影长度为ly=n．如图1，图形W在x轴上的投影长度为lx=4−0=4；在y轴上的投影长度为ly=3−0=3．
(1)已知点A1，2，B2，3，C3，1，如图2所示，若图形W为四边形OABC，则lx=__________，ly=___________；
(2)已知点C（32，0），点D在直线y=12x−1x<0上，若图形W为△OCD，当lx=ly时，求点D的坐标；
(3)若图形W为函数y=x2（a≤x≤b）的图象，其中（0≤a
【例7】（2023春·九年级单元测试）有阳光的某天下午，小明在不同时刻拍了相同的三张风景照A，B，C，冲选后不知道拍照的时间顺序了，已知投影长度lA>lC>lB，则A，B，C的先后顺序是（ ）
A．A、B、C B．A、C、BC．B、A、CD．B、C、A
【变式7-1】（2023·九年级单元测试）如图，从小区的某栋楼的A，B，C，D四个位置向对面楼方向看，所看到的范围的大小顺序是（ ）
A．A＞B＞C＞DB．D＞C＞B＞AC．C＞D＞B＞AD．B＞A＞D＞C
【变式7-2】（2023春·九年级单元测试）小亮在上午8时、9时、12时、17时四次到室外的阳光下观察一棵树的影子随太阳变化的情况，他发现这四个时刻这棵树影子的长度各不相同，那么影子最长的时刻为 ；影子最短的时刻是 ．
【变式7-3】（2023春·九年级单元测试）某天小颖在室外的阳光下观察大树的影子随太阳转动的情况如下图所示，这五张图所对应的时间顺序是 ．
【题型8 视点、视角和盲区】
【例8】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在房子屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区是（ ）
A．△ACEB．△ADFC．△ABDD．四边形BCED
【变式8-1】（2023秋·宁夏中卫·九年级校考期末）“白日依山尽，黄河入海流．欲穷千里目，更上一层楼．”这里主要是（ ）
A．增大盲区B．减少盲区C．改变光点D．增加亮度
【变式8-2】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图所示，凯凯和乐乐捉迷藏，乐乐站在图中的P处，凯凯藏在图中哪些位置，才不易被乐乐发现( )
A．M，R，S，FB．N，S，E，FC．M，F，S，RD．E，S，F，M
【变式8-3】（2023春·全国·九年级专题练习）如图是某校校史荣誉室的正方形网格平面图，实线表示墙体或门．在点A处安装了360度旋转摄像头，由于墙体的的遮挡，阴影部分无法监控，这部分无法监控到的区域通常称为监控盲区．
（1）小红同学进入校史荣誉室随意参观，站在监控盲区的概率是多少？
（2）为了监控效果更好，使得监控盲区最小，请你帮助学校在墙体AB上重新设计摄像头安装的位置，画出示意图，并说明理由．
专题5.1 投影【八大题型】
【北师大版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc4102" 【题型1 判断是平行投影或中心投影】 PAGEREF _Tc4102 \h 2
\l "_Tc24509" 【题型2 判断投影的形状】 PAGEREF _Tc24509 \h 4
\l "_Tc21459" 【题型3 正投影】 PAGEREF _Tc21459 \h 6
\l "_Tc27213" 【题型4 根据投影求线段长度】 PAGEREF _Tc27213 \h 8
\l "_Tc14687" 【题型5 根据投影求面积】 PAGEREF _Tc14687 \h 12
\l "_Tc5275" 【题型6 坐标系中利用投影求值】 PAGEREF _Tc5275 \h 15
\l "_Tc27071" 【题型7 由投影长度确定时间顺序】 PAGEREF _Tc27071 \h 20
\l "_Tc13623" 【题型8 视点、视角和盲区】 PAGEREF _Tc13623 \h 22
【知识点 投影】
1.投影
一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.
2.中心投影
若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论：
等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.
(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.
在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.
注意：
光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.
3.平行投影
1.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论：
(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.
(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.
2. 物高与影长的关系
（1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长.
（2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.
即：.
利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.
注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.
注意：
1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻.
2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线.
【题型1 判断是平行投影或中心投影】
【例1】（2023春·全国·九年级专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．皮影可看成平行投影
B．无影灯（手术用的）是平行投影
C．日食不是太阳光所形成的投影现象
D．月食是太阳光所形成的投影现象
【答案】D
【分析】分析各选项可知，皮影和无影灯都是点光源形成的投影，而日食都是太阳光形成的投影；接下来，根据中心投影与平行投影的知识进行分析判断，问题即可得解．
【详解】解：根据平行投影和中心投影的区别可知：皮影和无影灯都是中心投影，而日食是太阳光形成的投影
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是中心投影和平行投影的定义，掌握其概念是解决此题的关键．
【变式1-1】（2023秋·贵州贵阳·九年级期末）日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成．当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．则晷针在晷面上形成的投影是（ ）
A．中心投影B．平行投影
C．既是平行投影又是中心投影D．不能确定
【答案】B
【分析】根据中心投影的定义：把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影；平行投影的定义：光源是以平行的方式照射到物体上的投影，据此解答即可．
【详解】解：晷针在晷面上形成的投影是平行投影，
故选：B．
【点睛】本题考查了中心投影和平行投影的定义，熟记相关定义是解本题的关键．
【变式1-2】（2023秋·九年级单元测试）把下列物体与它们的投影连接起来．
【答案】见解析
【分析】根据投影的定义解答即可．
【详解】解：如图：
【点睛】本题主要考查了投影，理解投影的定义成为解答本题的关键．
【变式1-3】（2023春·九年级单元测试）下列光源形成的投影不同于其他三种的是（ ）
A．太阳光B．灯光C．探照灯光D．台灯
【答案】A
【分析】判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的，如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影．
【详解】解：四个选项中只有太阳光可认为是平行光线；
故太阳光线下形成的投影是平行投影．
故选：A．
【点睛】本题考查平行投影的概念，属于基础题，注意基本概念的掌握是关键．
【题型2 判断投影的形状】
【例2】（2023秋·陕西西安·九年级高新一中校考阶段练习）正方形纸板在太阳光下的投影不可能是（ ）
A．平行四边形B．一条线段C．矩形D．梯形
【答案】D
【分析】根据平行投影的性质，进行判断即可．
【详解】解：一张正方形纸板在太阳光线的照射下，形成影子不可能是梯形，
故选：D．
【点睛】本题考查平行投影．熟练掌握平行投影的性质，是解题的关键．
【变式2-1】（2023春·九年级单元测试）将一个圆形纸板放在太阳光下，它在地面上所形成的影子的形状不可能是( )
A．圆B．三角形C．线段D．椭圆
【答案】B
【分析】在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，依此进行分析
【详解】当纸片和光线方向一致是为线段，与光线垂直为圆，不垂直不平行为椭圆，所以不可能是三角形.
【点睛】本题关键能想象出实物与投影的关系.
【变式2-2】（2023·江苏南京·统考中考真题）如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】因为中心投影物体的高和影长成比例，正确的区分中心投影和平行投影，依次分析选项即可找到符合题意的选项
【详解】因为正方形的对角线互相垂直，且一条对角线垂直地面，光源与对角线组成的平面垂直于地面，则有影子的对角线仍然互相垂直，且由于光源在平板的的上方，则上方的边长影子会更长一些，
故选D
【点睛】本题考查了中心投影的概念，应用，利用中心投影的特点，理解中心投影物体的高和影长成比例是解题的关键．
【变式2-3】（2023秋·陕西咸阳·九年级统考期中）小明拿一个三角形木板在阳光下玩，三角形木板在水平地面上形成的投影的形状可能是 ．（只填一种形状即可）
【答案】三角形（答案不唯一）
【分析】在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，据此即可解答．
【详解】当三角形木板与阳光垂直时，投影是三角形；
故答案为：三角形（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了平行投影特点，不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同，解题的关键是熟练理解平行投影特点．
【题型3 正投影】
【例3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，若投影线的方向如箭头所示，则图中物体的正投影是（ ）
B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据正投影的定义，得出圆柱的正投影为长方形，正方体的正投影为正方形，即可求解．
【详解】解：观察图中的两个立体图形，圆柱的正投影为长方形，正方体的正投影为正方形，
故选：C．
【点睛】本题考查了正投影，掌握正投影的定义是解题的关键．正投影是指平行投射线垂直于投影面．
【变式3-1】（2023秋·九年级单元测试）如图所示的圆台的上下底面与投影线平行，圆台的正投影是（ ）
A．矩形B．两条线段C．等腰梯形D．圆环
【答案】C
【分析】根据正投影的定义“是指平行投射线垂直于投影面”分析即可．
【详解】根据题意，圆台的上下底面与投影线平行，则圆台的正投影是该圆台的轴截面，即等腰梯形，
故选：C．
【点睛】本题考查了正投影的定义，正确理解正投影的定义是解题关键．
【变式3-2】（2023·全国·九年级专题练习）某几何体在投影面P前的摆放方式确定以后，改变它与投影面P之间的距离，其正投影的形状（ ）
A．不发生变化B．变大C．变小D．无法确定
【答案】A
【分析】几何体的正投影只与几何体相对于投影面的倾斜程度有关，与两者间距离无关可知答案．
【详解】解：某一几何体在投影面P前的摆放位置确定以后，改变它与投影面P的距离，其正投影的形状不发生变化，
故选：A．
【点睛】本题主要考查平行投影的性质，熟练掌握线段、平面图形、几何体的平行投影性质是根本．
【变式3-3】（2023秋·九年级单元测试）下列投影是正投影的是( )
A．①B．②C．③D．都不是
【答案】C
【分析】平行投影法分为正投影和斜投影，正投影是平行光垂直于屏幕的投影．
【详解】根据题意：①是点光源的投影，是错误的；②是斜投影，故错误；③是正投影，故正确.
故选C.
【点睛】本题考查的是正投影的基本知识，本题属于基础题．
【题型4 根据投影求线段长度】
【例4】（2023秋·河南郑州·九年级校考期中）小红想利用阳光下的影长测量学校旗杆AB的高度．如图，他在某一时刻在地面上竖直立一个3米长的标杆CD，测得其影长DE=0.5米．
(1)请在图中画出此时旗杆AB在阳光下的投影BF．
(2)如果BF=1.5，求旗杆AB的高．
【答案】(1)见解析
(2)9m
【分析】（1）利用太阳光线为平行光线作图：连接CE，过A点作AF∥CE交BD于F，则BF为所求；
（2）证明△ABF∽△CDE，然后利用相似比计算AB的长．
【详解】（1）解：连接CE，过A点作AF∥CE交BD于F，则BF为所求，如图；
（2）解：∵AF∥CE，
∴∠AFB=∠CED，
而∠ABF=∠CDE=90°，
∴△ABF∽△CDE，
∴ABCD=BFDE， 即AB3=1.50.5，
∴AB=9，
即旗杆AB的高为9m．
【点睛】本题考查平行投影、相似三角形的判定与性质，解题的关键是证明△ABF∽△CDE．
【变式4-1】（2023春·九年级课时练习）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为3:5，且三角板的一边长为6cm，则投影三角板的对应边长为( )
A．15cmB．10cmC．8cmD．3.6cm
【答案】B
【分析】中心投影下的三角板与投影三角板一定是相似的，再根据相似三角形对应边的比等于相似比，列式进行计算即可．
【详解】解：三角板的一边长为6cm，则设投影三角板的对应边长为xcm，
∵三角板与其投影的相似比为3:5，
∴35=6x，
∴x=10cm，
∴投影三角板的对应边长为10cm．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了中心投影与相似三角形的性质，熟练掌握中心投影的概念与相似三角形的性质是解答此题的关键．
【变式4-2】（2023秋·山西晋中·九年级校考阶段练习）如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡在线段DE上．
（1）请你确定灯泡所在的位置，并画出表示小亮在灯光下形成的影子线段．
（2）如果灯杆高12m，小亮的身高1.6m，小亮与灯杆的距离13m，请求出小亮影子的长度．
【答案】（1）详见解析；（2）小亮影子的长度为2m．
【分析】（1）连接EG进而延长交DF于点N，得出FN进而得出答案；
（2）直接利用相似三角形的判定与性质得出答案．
【详解】解：（1）如图所示：FN即为所求；
（2）∵FG∥DE，
∴△GFN∽△NDE，
∴FNND＝FGDE，
∵灯杆高12m，小亮的身高1.6m，小亮与灯杆的距离13m，
∴FNFN+13＝1.612，
解得：FN＝2，
答：小亮影子的长度为2m．
【点睛】本题考查中心投影、解题的关键是正确画出图形，记住物长与影长的比的定值，属于基础题，中考常考题型．
【变式4-3】（2023春·九年级课时练习）如图，一路灯距地面5.6米，身高1.6米的小方从距离灯的底部（点O）5米的A处，沿OA所在的直线行走到点C时，人影长度增长3米，小方行走的路程AC＝（ ）
A．7.2B．6.6C．5.7D．7.5
【答案】D
【分析】设出影长AB的长，利用相似三角形可以求得AB的长，然后在利用相似三角形求得AC的长即可．
【详解】解：∵AE⊥OD，OG⊥OD，
∴AE//OG，
∴∠AEB=∠OGB，∠EAB=∠GOB，
∴△AEB∽△OGB，
∴AEOG=ABBO，即 +5，
解得：AB＝2m；
∵OA所在的直线行走到点C时，人影长度增长3米，
∴DC＝AB+3=5m，OD=OA+AC+CD=AC+10，
∵FC∥GO，
∴∠CFD=∠OGD，∠FCD=∠GOD，
△DFC∽△DGO，
∴FCGO=CDDO，
即+10，
解得：AC＝7.5m．
所以小方行走的路程为7.5m．
故选择：D．
【点睛】本题主要考查的是相似三角形在实际中的中心投影的应用，掌握相似三角形判断与性质，利用对应边成比例是解答本题的关键．
【题型5 根据投影求面积】
【例5】（2023秋·山西晋中·九年级统考期末）如图，三角板在手电筒光源的照射下形成了投影，三角板与其投影是位似图形，其相似比是2:5，若三角板的面积是6cm2，则其投影的面积是（ ）
A．15cm2B．30cm2C．85cm2D．752cm2
【答案】D
【分析】利用位似图形的面积比等于相似比的平方进行计算即可；
【详解】解：设投影的面积为Scm2，6S=252，S=752cm2，
故选：D．
【点睛】本题考查位似图形的面积关系，解题关键掌握位似图形的面积比等于相似比的平方．
【变式5-1】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，正方形纸板ABCD在投影面α上的正投影为A1B1C1D1，其中边AB、CD与投影面平行，AD,BC与投影面不平行．若正方形ABCD的边长为5厘米，∠BCC1=45°，求其投影A1B1C1D1的面积．
【答案】2522cm2
【分析】先根据45°求出投影的各个边长，再求面积
【详解】解：过B点作BH⊥CC1于H，如图，
∵∠BCC1=45°，
∴BH=22， BC=22
∵正方形纸板ABCD在投影面α上的正投影为A1B1C1D1，
∴B1C1=BH=BC=522，C1D1=CD=5，
∴四边形A1B1C1D1的面积=522×5=2522cm2．
【点睛】本题考查等腰直角三角形在投影中的应用，掌握计算方法是关键．
【变式5-2】（2023春·全国·九年级专题练习）圆桌面（桌面中间有一个直径为1m的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为2m，桌面离地面1m，若灯泡离地面2m，则地面圆环形阴影的面积是（ ）
A．2πm2B．3πm2C．6πm2D．12πm2
【答案】B
【分析】先根据AC⊥OB，BD⊥OB可得出△AOC∽△BOD，由相似三角形的对应边成比例可求出BD的长，进而得出BD′＝1m，再由圆环的面积公式即可得出结论．
【详解】解：如图所示：
∵AC⊥OB，BD⊥OB，
∴△AOC∽△BOD，
∴OAOB=ACBD，即12=1BD，
解得：BD＝2m，
同理可得：AC′＝0.5m，则BD′＝1m，
∴S圆环形阴影＝22π﹣12π＝3π（m2）．
故选B．
【点睛】考查的是相似三角形的应用以及中心投影，利用相似三角形的对应边成比例得出阴影部分的半径是解题关键．
【变式5-3】（2023秋·九年级单元测试）如图，在一间黑屋里用一白炽灯照射一个球，
（1）球在地面上的阴影是什么形状？
（2）当把白炽灯向上移时，阴影的大小会怎样变化？
（3）若白炽灯到球心距离为1米，到地面的距离是3米，球的半径是0.2米，求球在地面上阴影的面积是多少？
【答案】(1)圆形；(2)阴影会逐渐变小；(3)925π平方米．
【详解】考点：中心投影．
专题：综合题．
分析：（1）球在灯光的正下方，所以阴影是圆形；
（2）根据中心投影的特点可知：在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长，所以白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小；
（3）先根据相似求出阴影的半径，再求面积．
解答：解：（1）因为球在灯光的正下方，所以阴影是圆形；
（2）白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小；
（3）设球在地面上阴影的半径为x米，
则12−0．223=0.2x，
解得：x2=38，
则S阴影=38π=0.36π平方米．
【题型6 坐标系中利用投影求值】
【例6】（2023秋·九年级单元测试）如图，在直角坐标系中，点P2,2 是一个光源．木杆AB 两端的坐标分别为0,1、3,1 ．则木杆AB 在x轴上的投影长为（ ）
A．3B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】利用中心投影，延长PA、PB 分别交x轴于A′、B′ ，作PE⊥x 轴于E，交AB于D，如图，证明△PAB∽△PA′B′ ，然后利用相似比可求出A′B′ 的长．
【详解】解：延长PA、PB 分别交x轴于A′、B′ ，作PE⊥x 轴于E，交AB于D，如图
∵P2,2，A0,1，B3,1 ．
∴PD=1，PE=2，AB=3 ，
∵AB∥A′B′ ，
∴△PAB∽△PA′B′ ，
∴ABA′B′=ADAE，即3A′B′=12
∴A′B′=6 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．
【变式6-1】（2023春·天津和平·九年级专题练习）在直角坐标平面内，一点光源位于A(0，5)处，线段CD垂直于x轴，D为垂足，C(3，1)，则DE的长为 ．
【答案】34
【分析】画出相应图形，可得相似三角形，利用相似三角形的对应边的比相等可得DE的长．
【详解】解：∵OA⊥x轴，CD⊥x轴，
∴CD∥OA，
∴△CDE∽△AOE，
∴DE：EO=CD：OA，
设DE=x，
∴x3+x=15，
解得：x=34，且符合题意，
∴DE=34，
故答案为：34．
【点睛】此题考查了中心投影和平面直角坐标系的知识，还考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形的对应边成比例．
【变式6-2】（2023·山东济南·九年级统考期末）如图，直角坐标平面内，小明站在点A（﹣10，0）处观察y轴，眼睛距地面1.5米，他的前方5米处有一堵墙DC，若墙高DC＝2米，则小明在y轴上的盲区（即OE的长度）为 米．
【答案】2.5
【详解】首先作出BM⊥EO，得出△BND∽△BME，即可得出BNBM=DNEM，再利用已知得出BN，BM，DN的长，即可求出EM，进而求出EO即可．
解：过点B作BM⊥EO，交CD于点N，
∵CD∥EO，
∴△BND∽△BME，
∴BNBM=DNEM，
∵点A（﹣10，0），
∴BM=10米，
∵眼睛距地面1.5米，
∴AB=CN=MO=1.5米，
∵DC=2米，
∴DN=2﹣1.5=0.5米，
∵他的前方5米处有一堵墙DC，
∴BN=5米，
∴510=0.5EM，
∴EM=1米，
∴EO=1+1.5=2.5米．
故答案为2.5．
【变式6-3】（2023春·全国·九年级专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，图形W在坐标轴上的投影长度定义如下：设点Px1,y1，Qx2,y2是图形W上的任意两点，若x1−x2的最大值为m，则图形W在x轴上的投影长度为lx=m；若y1−y2的最大值为n，则图形W在y轴上的投影长度为ly=n．如图1，图形W在x轴上的投影长度为lx=4−0=4；在y轴上的投影长度为ly=3−0=3．
(1)已知点A1，2，B2，3，C3，1，如图2所示，若图形W为四边形OABC，则lx=__________，ly=___________；
(2)已知点C（32，0），点D在直线y=12x−1x<0上，若图形W为△OCD，当lx=ly时，求点D的坐标；
(3)若图形W为函数y=x2（a≤x≤b）的图象，其中（0≤a
(2)−1,−32或−2,−2
(3)0≤a<12
【分析】（1）确定出点B在y轴的投影的坐标、点C在x轴上投影的坐标，于是可求得问题的答案；
（2）分两种情况讨论即可：①当−32≤x<0时，②当x<−32时，分别构建方程即可解决问题；
（3）设Aa，a2、Bb，b2．分别求得图形在y轴和x轴上的投影，由lx=ly可得到b+a=1，然后根据0≤a
∴点B在y轴上的正投影的坐标为0,3．
∴四边形OABC在y轴上的投影长度ly=3．
∵C3,1，
∴点C在x轴上的正投影的坐标为3,0．
∴四边形OABC在x轴上的投影长度lx=3．
故答案为3；3．
（2）∵点D在直线y=12x−1x<0上，
∴设Dx,12x−1，
①当−32≤x<0时，0−−32=0−12x−1，
∴x=−1，
∴点D的坐标为−1,−32；
②当x<−32时，0−x=0−12x−1，
∴x=−2，
∴点D 坐标为−2,−2
综上所述，点D的坐标为−1,−32或−2,−2．
（3）如图3所示：
设Aa，a2、Bb，b2．则CE=b−a，DF=b2−a2=b+ab−a．
∵lx=ly，
∴b+ab−a=b−a，即b+a−1b−a=0．
∵b≠a，
∴b+a=1．
又∵0≤a
∴0≤a<12．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用、解答本题主要应用了图形W在坐标轴上的投影长度定义、一次函数、二次函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，依据lx=ly列出关于x的方程和不等式是解题的关键．
【题型7 由投影长度确定时间顺序】
【例7】（2023春·九年级单元测试）有阳光的某天下午，小明在不同时刻拍了相同的三张风景照A，B，C，冲选后不知道拍照的时间顺序了，已知投影长度lA>lC>lB，则A，B，C的先后顺序是（ ）
A．A、B、C B．A、C、BC．B、A、CD．B、C、A
【答案】D
【分析】直接利用平行投影的性质，结合影子与物体长度关系分析得出答案．
【详解】解：由题意可得：都是下午拍摄，影子越长说明太阳倾斜越大，
∵投影长度lA>lC>lB，
∴A，B，C的先后顺序是B、C、A．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了平行投影，正确掌握平行投影的性质是解题关键．
【变式7-1】（2023·九年级单元测试）如图，从小区的某栋楼的A，B，C，D四个位置向对面楼方向看，所看到的范围的大小顺序是（ ）
A．A＞B＞C＞DB．D＞C＞B＞AC．C＞D＞B＞AD．B＞A＞D＞C
【答案】A
【详解】由图可知: 从小区的某栋楼的A，B，C，D四个位置向对面楼方向看，所看到的范围的大小顺序是: A＞B＞C＞D.
【变式7-2】（2023春·九年级单元测试）小亮在上午8时、9时、12时、17时四次到室外的阳光下观察一棵树的影子随太阳变化的情况，他发现这四个时刻这棵树影子的长度各不相同，那么影子最长的时刻为 ；影子最短的时刻是 ．
【答案】 17时 12时
【分析】根据利用光线与地面的夹角的变换进行判断．
【详解】解：上午8时、9时、12时、17时，太阳光线与地面的夹角不同，其中17时太阳光线与地面的夹角最小，所以此时树的影子最长；12时太阳光线与地面的夹角最大，所以此时树的影子最短，
故答案为：17时；12时．
【点睛】本题考查了平行投影，由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影，从早晨到傍晚物体的指向是：西一西北一北一东北一东，影长由长变短再变长．
【变式7-3】（2023春·九年级单元测试）某天小颖在室外的阳光下观察大树的影子随太阳转动的情况如下图所示，这五张图所对应的时间顺序是 ．
【答案】（b）、（d）、（a）、（c）、（e）
【分析】北半球而言，从早晨到傍晚影子的指向是：西、西北、北、东北、东，影长由长变短，再变长．
【详解】解：根据题意，太阳是从东方升起，故影子指向的方向为西方；
然后依次为西、西北、北、东北、东，故分析可得：
按时间先后顺序分别是：（b）、（d）、（a）、（c）、（e）．
【点睛】本题考查平行投影的特点和规律．在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚影子的指向是：西、西北、北、东北、东，影长由长变短，再变长．
【题型8 视点、视角和盲区】
【例8】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在房子屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区是（ ）
A．△ACEB．△ADFC．△ABDD．四边形BCED
【答案】C
【分析】解答此题首先要了解盲区的定义，视线覆盖不到的地方即为该视点的盲区，由图知，E是视点，找到在E点处看不到的区域即可．
【详解】解：由图知：在视点E的位置，看不到AB段，因此监视器的盲区在△ABD所在的区域，
故选：C．
【点睛】本题考查了投影和视图的概念，解答此类问题，首先要确定视点，然后再根据盲区的定义进行判断．
【变式8-1】（2023秋·宁夏中卫·九年级校考期末）“白日依山尽，黄河入海流．欲穷千里目，更上一层楼．”这里主要是（ ）
A．增大盲区B．减少盲区C．改变光点D．增加亮度
【答案】B
【分析】根据站的越高，人的视角就越大，对于圆形地球可视面就越大，盲区越小进行判断即可．
【详解】解∶选项A，站的越高，人的视角就越大，不是增大盲区，错误；
选项B，减少盲区，正确；
选项C，不可能改变光点，错误；
选项D，不是增加亮度，选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了盲区的相关知识，正确理解盲区的概念是解决本题的关键，盲区是指视野盲区，视野盲区就是指人的视线达不到的地方，站得高可以减少盲区．
【变式8-2】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图所示，凯凯和乐乐捉迷藏，乐乐站在图中的P处，凯凯藏在图中哪些位置，才不易被乐乐发现( )
A．M，R，S，FB．N，S，E，FC．M，F，S，RD．E，S，F，M
【答案】D
【分析】凯凯和乐乐捉迷藏，乐乐站在图中的P处，P处为视点，凯凯只有藏在盲区才不会被发现．
【详解】只有在P点的盲区内才不容易被发现．由图可知：P视点的盲区中有E，S，F，M点，因此在这四点时不容易被发现．
故选D．
【点睛】本题考查了视点，视角和盲区的定义．
【变式8-3】（2023春·全国·九年级专题练习）如图是某校校史荣誉室的正方形网格平面图，实线表示墙体或门．在点A处安装了360度旋转摄像头，由于墙体的的遮挡，阴影部分无法监控，这部分无法监控到的区域通常称为监控盲区．
（1）小红同学进入校史荣誉室随意参观，站在监控盲区的概率是多少？
（2）为了监控效果更好，使得监控盲区最小，请你帮助学校在墙体AB上重新设计摄像头安装的位置，画出示意图，并说明理由．
【答案】（1）320；（2）见详解
【分析】（1）分别求出荣誉室面积和盲区面积，再利用概率公式，即可求解；
（2）把摄像头安装在AB的中点处，计算出监控盲区的面积，然后把摄像头安装在AB的其他位置，表达出监控盲区的面积，即可得到结论．
【详解】解：（1）设小正方形的边长为1，
∴荣誉室面积=2×2+2×2+2×6=20，盲区面积=2×2-12×2×1=3，
∴站在监控盲区的概率=3÷20=320；
（2）如图所示：摄像头安装在AB的中点处，监控盲区的面积最小，此时，监控盲区面积=2×12×1×2=2，
若摄像头不安装在AB的中点处，则监控盲区面积=12×(CM+2)×2＞2．
【点睛】本题主要考查几何概率，掌握概率公式和方格纸的面积的计算，是解题的关键．
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