北师大版2024-2025学年九年级数学上册专题6.2反比例函数的图象与性质(二)【十大题型】专题特训(原卷版+解析)

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专题6.2 反比例函数的图形与性质（二）【十大题型】【北师大版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc11333" 【题型1 反比例函数图象的对称性】  PAGEREF _Toc11333 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc28605" 【题型2 反比例函数概念、性质的综合应用】  PAGEREF _Toc28605 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc1991" 【题型3 两种函数图象的共存问题】  PAGEREF _Toc1991 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc11269" 【题型4 利用反比例函数与一次函数图象的交点解方程或不等式】  PAGEREF _Toc11269 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc32549" 【题型5 反比例函数与一次函数的综合应用】  PAGEREF _Toc32549 \h 18 HYPERLINK \l "_Toc30566" 【题型6 反比例函数与几何图形的面积的综合】  PAGEREF _Toc30566 \h 24 HYPERLINK \l "_Toc26162" 【题型7 反比例函数的图象与几何变换问题】  PAGEREF _Toc26162 \h 32 HYPERLINK \l "_Toc19921" 【题型8 与反比例函数的图象、性质有关的阅读理解题】  PAGEREF _Toc19921 \h 42 HYPERLINK \l "_Toc2780" 【题型9 反比例函数中的存在性问题】  PAGEREF _Toc2780 \h 50 HYPERLINK \l "_Toc2103" 【题型10 反比例函数中的规律问题】  PAGEREF _Toc2103 \h 62【知识点 反比例函数图象的对称性】（1）中心对称，对称中心是坐标原点（2）轴对称：对称轴为直线和直线【题型1 反比例函数图象的对称性】【例1】（2023春·杭州九年级期末测试）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，若正方形的边长是2，则图中阴影部分的面积等于 ．  【变式1-1】（2023春·江苏·九年级专题练习）如图，点A3a,−a是反比例函数y=kx的图象与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为4π，则反比例函数的解析式为 ．【变式1-2】（2023春·福建漳州·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=kxk≠0经过点A1,2，B2,m．直线AO，BO分别交该双曲线另一支于点C，D，顺次连接AB，BC，CD，DA．求证：四边形ABCD是矩形．【变式1-3】（2023春·江苏无锡·九年级统考期末）如图，过原点的直线交反比例函数y=ax图象于P、Q点，过点Р分别作x轴，y轴的垂线，交反比例函数y=bxx>0的图象于A、B点，已知b−a=3，则图中阴影部分的面积为 ；且当S△APB=3时，b的值为 ．【题型2 反比例函数概念、性质的综合应用】【例2】（2023春·湖南张家界·九年级统考期中）已知反比例函数y＝（2m+1）xm2−5的图象在第一、三象限，求m的值．【变式2-1】（2023春·湖南衡阳·九年级校联考期中）已知y是x的反比例函数，且函数图象过点A−3,8．(1)求y与x的函数关系式；(2)当x取何值时，y=23．【变式2-2】（2023春·江苏苏州·九年级统考期中）若反比例函数y=(2m−1)xm2−2的图象在第二、四象限，则m的值是　 　．【变式2-3】（2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考期中）反比函数y1=(m+1)x3−m2的图象如图所示．（1）求m的值；（2）当x＞﹣1时，y的取值范围是　 　；（3）当直线y2＝﹣x与双曲线y1=(m+1)x3−m2交于A、B两点（A在B的左边）时，结合图象，求出在什么范围时y2＞y1？【题型3 两种函数图象的共存问题】【例3】（2023春·四川成都·九年级成都外国语学校校考期中）若ab＜0，则正比例函数y=ax与反比例函数y=bx在同一坐标系中的大致图象可能是图中的（     ）A． B．C． D．【变式3-1】（2023春·浙江金华·九年级校联考期中）反比例函数y=4x与一次函数y=x+1在同一坐标系中的大致图象可能是（    ）A． B．C． D．【变式3-2】（2023春·山东济南·九年级统考期末）如图，关于x的函数y=−kx(k≠0)和y＝kx－k，它们在同一坐标系内的图象大致是（   ）A．B．C．D．【变式3-3】（2023春·江苏无锡·九年级统考期末）已知一次函数y＝kx＋b，反比例函数y=kbx（kb≠0），下列能同时正确描述这两种函数大致图像的是（  ）A．B．C． D．【题型4 利用反比例函数与一次函数图象的交点解方程或不等式】【例4】（2023春·江苏泰州·九年级统考期末）如图，一次函数y=−x+5与反比例函数y=kx(x>0)的图象相交于A，B两点，且点A的横坐标为1，该反比例函数的图象关于直线y=x−1对称后的图象经过直线y=−x+5上的点C，则线段AC的长度为 ．  【变式4-1】（2023春·江苏淮安·九年级统考期末）正比例函数y1=2x的图象与反比例函数y2=kx的图象有一个交点P的横坐标是2．(1)求k的值和两个函数图象的另一个交点坐标；(2)直接写出y1>y2>0的解集为________________．(3)根据图象，直接写出当−40的图像交于A，B两点，则下列结论错误的是（    ）A．OA=OB B．当A，B两点重合时，k=4C．当k=6时，OA=26 D．不存在这样的k使得△AOB是等边三角形【变式5-1】（2023春·湖北鄂州·九年级统考期末）如图，已知A(1,y1)，B(2,y2)是反比例函数y=2x图象上的两点，动点P(x,0)在x轴正半轴上运动，当|AP−BP|达到最大时，点P的坐标是 ．【变式5-2】（2023春·江西上饶·九年级校联考期末）如图，直线y=−x＋3与坐标轴分别相交于A，B两点，过A，B两点作矩形ABCD，AB=2AD，双曲线y=kx在第一象限经过C，D两点，则k的值是（    ）A．6 B．274 C．272 D．27【变式5-3】（2023春·全国·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴和y轴上，OBOA=2，∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y=kx的图象过点C，当△ACD面积为1时，k的值为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【题型6 反比例函数与几何图形的面积的综合】【例6】（2023春·浙江舟山·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB=90°，AO=AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y=kxk>0, x>0的图象过点C且交线段AB于点D，连接CD，OD，若S△OCD=32，则S△BCDS△OAD的值为（    ）  A．53 B．32 C．52 D．3【变式6-1】（2023春·浙江宁波·九年级统考期末）如图，菱形OABC的边OA在x轴的正半轴上，反比例函数y=kxk>0,x>0的图象经过菱形对角线OB的中点D和顶点C，若菱形OABC的面积为62，则点C的坐标为 ．  【变式6-2】（2023春·浙江金华·九年级统考期末）如图，菱形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为1，0，点D4，4在反比例函数y=kx(x>0)的图像上，直线y=23x+b经过点C，与y轴交于点E，连接AC、AE．  (1)求k、b的值．(2)求△ACE的面积．(3)已知点M在反比例函数y=kx(x>0)的图像上，点M的横坐标为m．若S△MAE>S△ACE，则m的取值范围为___________．【变式6-3】（2023春·湖北襄阳·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+4的图象与反比例函数y=kx的图象相交于Aa,−2，B两点．  (1)求反比例函数的表达式；(2)点C是反比例函数第一象限图象上一点，且△ABC的面积是△AOB面积的一半，求点C的横坐标；(3)将△AOB在平面内沿某个方向平移得到△DEF(其中点A、O、B的对应点分别是D、E、F)，若D、F同时在反比例函数y=kx的图象上，求点E的坐标．【题型7 反比例函数的图象与几何变换问题】【例7】（2023春·江苏镇江·九年级统考期末）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形OAPB的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”．    【尝试初探】（1）点C2，3______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点D4，b是第一象限内的一个“美好点”，则b=______；【深入探究】（2）①若“美好点”Em，6m>0在双曲线y=kx（k≠0，且k为常数）上，则k=______；②在①的条件下，F2，n在双曲线y=kx上，求S△EOF的值；【拓展延伸】（3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点Px，y是第一象限内的“美好点”．①求y关于x的函数表达式；②在图2的平面直角坐标系中画出函数图像的草图，观察图像可知该图像可由函数______（x>0）的图像平移得到；③结合图像研究性质，下列结论正确的选项是______；（多项选择）A．图象与经过点2，2且平行于坐标轴的直线没有交点；B．y随着x的增大而减小；C．y随着x的增大而增大；D．图像经过点10，32；④对于图像上任意一点x，y，代数式2−x⋅y−2是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由．【变式7-1】（2023春·湖北荆州·九年级统考期末）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y=2−xx的图象与性质，其探究过程如下：(1)绘制函数图象，如图．列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝________；描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；(2)观察图象并分析表格，回答下列问题；①当x＜0时，y随x增大而________；（填“增大”或“减小”）②函数y=2−xx的图象是由函数y=2x的图象向________平移________个单位长度而得到；③函数y=2−xx的图象关于点________成中心对称；（填点的坐标）(3)设A(x1,y1)、B(x2,y2)是函数y=2−xx的图象上的两点，且x1+x2=0，试求y1+y2+3的值【变式7-2】（2023春·江苏扬州·九年级统考期末）如图1，将函数y=kxx>0的图像T1向左平移4个单位得到函数y=kx+4x>−4的图像T2，T2与y轴交于点A0,a．(1)若a=3，求k的值(2)如图2，B为x轴正半轴上一点，以AB为边，向上作正方形ABCD，若D、C恰好落在T1上，线段BC与T2相交于点E①求正方形ABCD的面积；②直接写出点E的坐标．【变式7-3】（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考期末）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程，在画函数图象时，我们可以通过列表、描点、连线画函数图象，也可以利用平移、对称、旋转等图形变换的方法画出函数图象，同时，我们也学习了绝对值的意义：a=aa≥0−aa0)是不是王氏函数；(2)若y=1x (13＜x＜2)是王氏函数，求w的取值范围；(3)若y=x3 (a≤x≤a+2,a＞0)是王氏函数，且w的最大值为27，求a的值．【题型9 反比例函数中的存在性问题】【例9】（2023春·福建泉州·九年级校考期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A−2,0，点B0,2，直线AB与反比例函数y=kxx>0的图象在第一象限交于点Ca,4．  (1)求反比例函数的解析式；(2)如图2，点E4,m是反比例函数y=kxx>0图象上一点，连接CE，AE，试问在x轴上是否存在一点D，使△ACD的面积与△ACE的面积相等，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在（2）的条件下，坐标原点O关于点D的对称点为G，且点G在x轴的正半轴上，若点M是反比例函数的第一象限图象上一个动点，连接MG，以MG为边作正方形MGNF，当顶点F恰好落在直线AB上时，求点M的坐标．【变式9-1】（2023春·四川成都·九年级成都实外校考期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x与双曲线y=kx与相交于A，B两点（点A在点B的左侧）．(1)当AB=25时，求k的值；(2)点B关于y轴的对称点为C，连接AC，BC；①判断△ABC的形状，并说明理由；②当△ABC的面积等于16时，双曲线上是否存在一点P，连接AP，BP，使△PAB的面积等于△ABC面积？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【变式9-2】（2023春·福建泉州·九年级统考期末）如图，已知反比例函数y=k1x(x>0)的图象与直线y=k2x+b将于交于A−1,6、B−6,m两点，直线AB交x轴于点M，点C是x轴正半轴上的一点，    (1)求反比例函数及直线AB的解析式；(2)若S△ABC=25，求点C的坐标；(3)若点C的坐标为1,0，点D为x轴上的一点，点E为直线AC上的一点，是否存在点D和点E，使得以点D､E､A､B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出E点的坐标；若不存在，请说明理由．【变式9-3】（2023春·江苏淮安·九年级统考期末）如图1，一次函数y=kx−52k≠0的图像与y轴交于点B，与反比例函数y=mxx>0的图像交于点A8,32，点C是线段AB上一点，点C的横坐标为3，过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图像交于点D，与x轴交于点H，连接OC、OD．(1)一次函数表达式为_________；反比例函数表达式为_______；(2)在线段CD上是否存在点E，使点E到OD的距离等于它到x轴的距离？若存在，求点E的坐标，若不存在，请说明理由；(3)将△OCD沿射线BA方向平移一定的距离后，得到△O′C′D′．①若点O的对应点O′恰好落在该反比例函数图像上（如图2），求出点O′、D′的坐标；②如图3，在平移过程中，射线O′C′与x轴交于点F，点Q是平面内任意一点，若以O′、D′、F﹑Q为顶点的四边形是菱形时，直接写出点O′的坐标．【题型10 反比例函数中的规律问题】【例10】（2023·浙江衢州·统考一模）如图1～4所示，每个图中的“7”字形是由若干个边长相等的正方形拼接而成，“7”字形的一个顶点P落在反比例函数y=1x的图象上，另“7”字形有两个顶点落在x轴上，一个顶点落在y轴上．（1）图1中的每一个小正方形的面积是 ；（2）按照图1→图2→图3→图4→…这样的规律拼接下去，第n个图形中每一个小正方形的面积是 ．（用含n的代数式表示）【变式10-1】（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，点B1在反比例函数y=2x（x＞0）的图象上，过点B1分别作x轴和y轴的垂线，垂足为C1和A，点C1的坐标为（1，0）取x轴上一点C2（32，0），过点C2分别作x轴的垂线交反比例函数图象于点B2，过B2作线段B1C1的垂线交B1C1于点A1，依次在x轴上取点C3（2，0），C4（52，0）…按此规律作矩形，则第n（n≥2，n为整数）个矩形）An-1Cn-1CnBn的面积为 ．【变式10-2】（2023·山东日照·二模）如图，已知点A是双曲线y＝5x在第一象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，且随着点A的运动，点C的横、纵坐标之间存在一规律，这个规律是 ．【变式10-3】（2023春·辽宁抚顺·九年级统考阶段练习）如图，点B11,33在直线l2:y=33x上，过点B1作A1B1⊥l1交直线l:y=3x于点A1，以A1B1为边在△OA1B1外侧作等边三角形A1B1C1，过C1的反比例函数为y=k1x；再过点C1作A2B2⊥l1，分别交直线l1和l2于A2,B2两点，以A2B2为边在△OA2B2外侧作等边三角形A2B2C2，过C2的反比例函数为y=k2x，…，按此规律进行下去，则第n个反比例函数的kn= ．（用含n的代数式表示）专题6.2 反比例函数的图形与性质（二）【十大题型】【北师大版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc11333" 【题型1 反比例函数图象的对称性】  PAGEREF _Toc11333 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc28605" 【题型2 反比例函数概念、性质的综合应用】  PAGEREF _Toc28605 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc1991" 【题型3 两种函数图象的共存问题】  PAGEREF _Toc1991 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc11269" 【题型4 利用反比例函数与一次函数图象的交点解方程或不等式】  PAGEREF _Toc11269 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc32549" 【题型5 反比例函数与一次函数的综合应用】  PAGEREF _Toc32549 \h 18 HYPERLINK \l "_Toc30566" 【题型6 反比例函数与几何图形的面积的综合】  PAGEREF _Toc30566 \h 24 HYPERLINK \l "_Toc26162" 【题型7 反比例函数的图象与几何变换问题】  PAGEREF _Toc26162 \h 32 HYPERLINK \l "_Toc19921" 【题型8 与反比例函数的图象、性质有关的阅读理解题】  PAGEREF _Toc19921 \h 42 HYPERLINK \l "_Toc2780" 【题型9 反比例函数中的存在性问题】  PAGEREF _Toc2780 \h 50 HYPERLINK \l "_Toc2103" 【题型10 反比例函数中的规律问题】  PAGEREF _Toc2103 \h 62【知识点 反比例函数图象的对称性】（1）中心对称，对称中心是坐标原点（2）轴对称：对称轴为直线和直线【题型1 反比例函数图象的对称性】【例1】（2023春·杭州九年级期末测试）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，若正方形的边长是2，则图中阴影部分的面积等于 ．  【答案】1【分析】设反比例函数解析式y=kx，由题意可得：P点坐标为：(1,1)，根据正方形与反比例函数中心对称的性质，即可求解．【详解】解：设反比例函数解析式y=kx，由题意可得：P点坐标为：(1,1)，故图中阴影部分的面积为：1×1=1．故答案为：1．  【点睛】本题考查了反比例函数的性质，k的几何意义，中心对称的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．【变式1-1】（2023春·江苏·九年级专题练习）如图，点A3a,−a是反比例函数y=kx的图象与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为4π，则反比例函数的解析式为 ．【答案】y=−43x【分析】首先根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：14πr2=4π，即可求得圆的半径，再根据两点间距离公式，可得a2=4，据此即可求解．【详解】解：设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：14πr2=4π，解得：r=4．∵点A3a,−a是反比例函y=kx的图象与⊙O的一个交点．∴−3a2=k且−3a2+−a2=r，∴a2=4．∴k=−3×4=−43，则反比例函数的解析式是：y=−43x．故答案为：y=−43x．【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，勾股定理，求反比例函数的解析式，熟练掌握和运用反比例函数图象的性质是解决本题的关键．【变式1-2】（2023春·福建漳州·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=kxk≠0经过点A1,2，B2,m．直线AO，BO分别交该双曲线另一支于点C，D，顺次连接AB，BC，CD，DA．求证：四边形ABCD是矩形．【答案】见解析【分析】将点A代入y=kxk≠0中求出k，再将点B代入y=2x中，求出点B坐标，求出OA，OB的长，根据对称性得到OA=OB=OC=OD，即可证明结论．【详解】解：将A1,2代入y=kxk≠0中，得：k=2，∴y=2x，将B2,m代入y=2x中，∴m=22=1，即B2,1，∴OA=12+22=5，OB=12+22=5，∴OA=OB，由反比例函数对称性可得：OA=OC，OB=OD，即OA=OB=OC=OD，∴四边形ABCD是矩形．【点睛】本题考查了反比例函数图像上的点，对称性，矩形的判定，勾股定理，解题的关键是求出OA和OB的长，熟练运用矩形的判定定理．【变式1-3】（2023春·江苏无锡·九年级统考期末）如图，过原点的直线交反比例函数y=ax图象于P、Q点，过点Р分别作x轴，y轴的垂线，交反比例函数y=bxx>0的图象于A、B点，已知b−a=3，则图中阴影部分的面积为 ；且当S△APB=3时，b的值为 ．【答案】 6 92【分析】连接OA，OB，延长BP交x轴于点C，易求S△BOP＝S△BOC－S△COP＝12b－12a＝32，由P，Q关于与原点成中心对称，得OP=OQ，利用等底同高的三角形的面积相等可得S△BPO＝S△BQO，易求S△BPQ＝2S△BOP＝3，同理可得：S△APQ＝2S△AOP＝3所以S阴影=6．设点C（m，0）m＞0．则P（m，am），A（m，bm），B（bma,am），即可求得AP＝3m,BP=3ma，利用三角形面积公式得到12AP·BP=12×3m×3ma=3，，解得a＝1．5，进一步求得b=92．【详解】连接PQ，OA，OB，延长BP交x轴于点C，设点C对应的数为m，m＞0.则P（m，am），B（m，bm）∴OC=m，PC=am，BC=bm∴S△POC=12OC×PC＝12a，S△BOC＝12ＯＣ×ＢＣ＝12b∴S△BOP＝S△BOC－S△COP＝12b－12a＝32∵P、Q关于原点成中心对称，∴OP=OQ∴S△BPO＝S△BQO∴S△BPQ＝2S△BOP＝3同理可得：S△APQ＝2S△AOP＝3所以S阴影＝S△POP+S△POA=3+3=6设点C（m，0）m＞0．则P（m，am），A（m，bm），B（bma，am），∴AP＝bm−am=3m，BP=bma−m=b−ama=3ma，∵S△APB＝3，∴12AP·BP=12×3m×3ma=3，∴a＝32，∵b−a＝3，∴b＝92，故答案为：6，92．【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，关于原点对称的点的坐标的性质，三角形的面积．利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．【题型2 反比例函数概念、性质的综合应用】【例2】（2023春·湖南张家界·九年级统考期中）已知反比例函数y＝（2m+1）xm2−5的图象在第一、三象限，求m的值．【答案】2【分析】根据反比例函数的定义可知m2﹣5＝﹣1，又根据图象所在象限可得2m+1＞0，解不等式即可求得m的取值范围．【详解】解：∵y=2m+1xm2−5是反比例函数∴m2﹣5＝﹣1，解得：m＝2 或m＝﹣2，∵反比例函数y=2m+1xm2−5的图象在第一、三象限，又 2m+1＞0，解得：m＞−12，∴m＝2．【点睛】本题考查反比例函数的定义与图象性质，一元二次方程的解法，一元一次不等式解法，掌握反比例函数的定义以及图象的性质，一元二次方程的解法，一元一次不等式解法是解题的关键．【变式2-1】（2023春·湖南衡阳·九年级校联考期中）已知y是x的反比例函数，且函数图象过点A−3,8．(1)求y与x的函数关系式；(2)当x取何值时，y=23．【答案】(1)y=−24x(2)x=−36【分析】（1）设该反比例函数的表达式为：y=kxk≠0，将点A代入表达式即可求解；（2）将y=23代入（1）所求表达式即可求解；【详解】（1）解：设该反比例函数的表达式为：y=kxk≠0；将A−3,8代入y=kx得，8=k−3，解得k=−24：∴y=−24x．（2）将y=23代入y=−24x中，23=−24x，解得：x=−36．【点睛】本题主要考查反比例函数，掌握反比例函数相关知识并正确计算是解题的关键．【变式2-2】（2023春·江苏苏州·九年级统考期中）若反比例函数y=(2m−1)xm2−2的图象在第二、四象限，则m的值是　 　．【答案】−1【分析】让未知数的指数为-1，系数小于0列式求值即可．【详解】∵是反比例函数，∴m2-2=-1，解得m=1或-1，∵图象在第二、四象限，∴2m-1＜0，解得m＜0.5，∴m=-1，故答案为-1．【点睛】考查反比例函数的定义及性质：一般形式为y＝kx（k≠0）或y=kx-1（k≠0）；图象在二、四象限，比例系数小于0．【变式2-3】（2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考期中）反比函数y1=(m+1)x3−m2的图象如图所示．（1）求m的值；（2）当x＞﹣1时，y的取值范围是　 　；（3）当直线y2＝﹣x与双曲线y1=(m+1)x3−m2交于A、B两点（A在B的左边）时，结合图象，求出在什么范围时y2＞y1？【答案】（1）-2；（2）y＞1或y＜0；（3）x＜﹣1或0＜x＜1【分析】（1）根据反比例函数的定义以及性质，即可得到m的值；（2）直接根据反比例函数的图象进行解答即可．（3）解析式联立求得A、B的坐标，然后根据A、B的坐标，然后观察函数图象求解．【详解】解：（1）反比函数y1=(m+1)x3−m2在二四象限，∴m+10)图像向下运动而增大，当S△MAE=S△ACE时，12m2m+8−116m+2=6，即m2−7m−8=0，根据十字相乘法对m2−7m−8因式分解得到m−8m+1=0，∵m>0，1>0∴m+1>0，∴根据两个数（式）相乘结果为0，若其中一个不等于0，则另一个数（式）必定为0，则m−8=0，解得m=8；∴M8,2，∴若S△MAE>S△ACE，则m的取值范围为m>8；②若点M在直线DE左侧，ℎ随着点M沿着y=16x(x>0)图像向上运动而增大，当S△MAE=S△ACE时，121−m2m+816m+2=6，即m2+5m−8=0，配方得到m2+5m−8=m+522−574，则m+522=574，直接开平方得m=−52−572或m=−52+572，∵m>0， ∴m=−52−572舍弃，取m=−52+572∴若S△MAE>S△ACE，则m的取值范围为02）；②图见解析，y=4x；③AB；④是为定值，定值为−4【分析】（1）直接根据“美好点”的定义可以判断点C是不是“美好点”，根据“美好点”的定义得到2×4+b=4b，进行计算即可得到b的值；（2）①根据“美好点”的定义求出m的值，得到E的坐标，将点E代入反比例函数解析式，进行计算即可得到答案；②先由①得出点F的坐标，再用待定系数法求出直线EF的解析式，令直线EF与x轴交于点G，当y=0时，求出点G的坐标，最后根据S△EOF=S△FOG−S△EOG进行计算即可；（3）①根据“美好点”的定义可得2x+y=xy，化简整理即可得到答案；②描点连线即可得到图象，由图象观察可知，该图像可由y=4x平移得到；③先画出草图，再根据图象逐一判断即可得到答案；④将y=4x−2+2代入2−x⋅y−2进行计算即可得到答案．【详解】解：（1）∵2+3×2=10≠2×3=6，∴点C2，3不是“美好点”，∵点D4，b是第一象限内的一个“美好点”，∴2×4+b=4b，解得：b=4，故答案为：不是，4；（2）①∵ Em，6m>0是“美好点”，∴2×m+6=6m，解得：m=3，∴E3，6，将E3，6代入双曲线y=kx，得k=18，故答案为：18；②∵ F2，n在双曲线y=kx上，∴n=182=9，∴F2，9，设直线EF的解析式为：y=ax+b，∴2a+b=93a+b=6，解得a=−3b=15，∴直线EF的解析式为：y=−3x+15，令直线EF与x轴交于点G，当y=0时，−3x+15=0，解得：x=5，∴G5，0，画出图如图所示：  ∴S△EOF=S△FOG−S△EOG=12×5×9−12×5×6=152；（3）①∵点Px，y是第一象限内的“美好点”，∴2x+y=xy，化简得：y=2xx−2=4x−2+2，∵第一象限内的点的横坐标为正，∴x>02xx−2>0x−2≠0，解得：x>2，∴ y关于x的函数表达式为：y=4x−2+2（x>2）；②画出草图如图所示：  该图像可由y=4x向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，故答案为：y=4x；③由图象可得：A.图象与经过点2，2且平行于坐标轴的直线没有交点，故A正确，符合题意；B.由图象可知y随着x的增大而减小，故B正确，符合题意；C.y随着x的增大而增大，该选项说法错误，不符合题意；D.当x=10时，y=52，所以图像经过点10，52，故该选项说法错误，不符合题意故选：AB；④∵ y=4x−2+2，∴2−xy−2=2−x4x−2+2−2=−4，∴对于图像上任意一点x，y，代数式2−x⋅y−2是为定值，定值为−4．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握矩形的性质、反比例函数的图象与性质，理解“美好点”的定义，是解题的关键．【变式7-1】（2023春·湖北荆州·九年级统考期末）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y=2−xx的图象与性质，其探究过程如下：(1)绘制函数图象，如图．列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝________；描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；(2)观察图象并分析表格，回答下列问题；①当x＜0时，y随x增大而________；（填“增大”或“减小”）②函数y=2−xx的图象是由函数y=2x的图象向________平移________个单位长度而得到；③函数y=2−xx的图象关于点________成中心对称；（填点的坐标）(3)设A(x1,y1)、B(x2,y2)是函数y=2−xx的图象上的两点，且x1+x2=0，试求y1+y2+3的值【答案】(1)0，图见解析(2)①减小；②下；1；③0,−1(3)1【分析】（1）将x=2代入解析式求出函数值即可；将图中的点用平滑的曲线进行连接即可；（2）根据图象进行解答即可；（3）将点代入解析式，结合x1+x2=0进行计算即可．【详解】（1）解：当x=2时：y=2−22=0，∴m=0；如图：（2）解：如图①当x＜0时，y随x增大而减小；②y=2−xx=2x−1，∴函数y=2−xx的图象是由函数y=2x的图象向下平移1个单位长度而得到；③∵y=2x的图象关于原点对称，∴y=2−xx的图象关于0,−1对称；（3）把A（x1,y1）,B（x2,y2）代入函数y=2−xx得：y1=2−x1x1=2x1−1， y2=2−x2x2=2x2−1∵x1+x2=0，∴y1+y2+3=2x1−1+2x2−1+3=2(x1+x2)x1x2+1=1．【点睛】本题考查反比例函数的图象的平移和性质．根据列表、描点、连线画出函数图象，根据图象得到函数的性质是解题的关键．【变式7-2】（2023春·江苏扬州·九年级统考期末）如图1，将函数y=kxx>0的图像T1向左平移4个单位得到函数y=kx+4x>−4的图像T2，T2与y轴交于点A0,a．(1)若a=3，求k的值(2)如图2，B为x轴正半轴上一点，以AB为边，向上作正方形ABCD，若D、C恰好落在T1上，线段BC与T2相交于点E①求正方形ABCD的面积；②直接写出点E的坐标．【答案】(1)k＝12(2)①正方形ABCD的面积为8；②E−1+17，17−3【分析】（1）先计算点A平移前的坐标为（4，3），这点在图象T1上，代入函数y＝kx(x＞0)中可得k的值；（2）①先根据点A（0，a）可得k＝4a，如图2，过点D作FM⊥y轴于M，过点C作CF⊥FM于F，证明△DMA≌△AOB（AAS），表示点D和C的坐标，可解答；②利用待定系数法可得BC的解析式，与平移后的函数关系式联立方程，解方程可得点E的坐标．【详解】（1）解：当a＝3时，A（0，3）∴点A平移前的点的坐标是（4，3）∴k＝4×3＝12．（2）解：①把点A（0，a）代入y＝kx＋4中得：a＝k4，∴k＝4a，过点D作FM⊥y轴于M，过点C作CF⊥FM于F，如图所示：∴∠DMA＝90°，∴∠DAM＋∠ADM＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∴∠DAM＋∠BAO＝90°，∴∠MDA＝∠BAO，∴△DMA≌△AOB（AAS），∴DM＝OA＝a，当x＝a时，y=4aa=4， ∴AM＝4−a，同理得：△AMD≌△DFC（AAS），∴DF＝AM＝4−a，CF＝DM＝a，∴C（4，4−a），∴4（4−a）＝4a，∴a＝2，∴正方形ABCD的面积＝AD2＝a2＋（4−a）2＝4＋4＝8；②由①得：B（2，0），C（4，2），设BC的解析式为：y＝mx＋b，则2m＋b＝04m＋b＝2，解得：m＝1b＝−2，∴BC的解析式为：y＝x−2，∴x−2＝8x＋4，解得：x=−1±17，∵点E在第一象限，∴x=−1+17，∴E−1+17，17−3．【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了反比例函数与一次函数的交点，平移的性质，三角形全等的性质和判定，正方形的性质等知识，作辅助线，构建全等三角形是解本题的关键，还体现了方程思想，难度适中．【变式7-3】（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考期末）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程，在画函数图象时，我们可以通过列表、描点、连线画函数图象，也可以利用平移、对称、旋转等图形变换的方法画出函数图象，同时，我们也学习了绝对值的意义：a=aa≥0−aa