初中数学22.1.1 二次函数当堂检测题

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【典例1】已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，且A−1,0，C0,3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接PB，PC，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点K．记△PBC，△BDK的面积分别为S1，S2，求S1−S2的最大值；
（3）如图2，连接AC，点E为线段AC的中点，过点E作EF⊥AC交x轴于点F．在抛物线上是否存在点M，使∠MFA=∠OCA？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【思路点拨】
（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出BC的解析式，设Pm,−m2+2m+3，则Km,−m+3，Dm,0，将S1−S2转化为二次函数求最值即可；
（3）易得FE垂直平分AC，设OF=a，则CF=AF=a+1，勾股定理求出F点坐标，三线合一结合同角的余角相等，推出∠AFE=∠OCA，分两种情况讨论，进行求解即可．
【解题过程】
（1）解：把A−1,0，C0,3，代入函数解析式得：
−1−b+c=0c=3，解得：b=2c=3，
∴y=−x2+2x+3；
（2）解：∵当y=0时，−x2+2x+3=0解得x1=−1，x2=3，
∴B3,0，
∴设直线BC的解析式为：y=kx+3k≠0，
把B3,0代入，得：k=−1，
∴y=−x+3，
设Pm,−m2+2m+3，则Km,−m+3，Dm,0，
PK=−m2+2m+3−−m+3=−m2+3m，DK=−m+3，DB=3−m，
∴S1=12PK⋅OB=−32m2+92m，S2=12DK⋅BD=123−m2，
∴S1−S2=−32m2+92m−123−m2=−2m2+152m−92=−2m−1582+8132，
∴当m=158时，S1−S2的最大值为8132；
（3）解：∴A−1,0，C0,3，点E为AC的中点，
∴E−12,32，
∵FE⊥AC，
∴AF=CF，
∴∠AFE=∠CFE，
设OF=a，则CF=AF=a+1，
在Rt△COF中，由勾股定理，得：a2+32=a+12，
∴a=4，
∴F4,0，CF=5，
∵FE⊥AC，∠AOC=90°，
∴∠AFE=∠OCA=90°−∠CAF，
∴∠AFE=∠OCA，
设FE的解析式为：y=kx+b，E−12,32，F4,0，
4k+b=0−12k+b=32，
解得：k=−13b=43，
∴y=−13x+43，
联立y=−x2+2x+3y=−13x+43，
解得x1=7+1096，x2=7−1096，
∴M7−1096,17+10918；M7+1096,17−10918
取点E关于x轴的对称点，连接交抛物线于点M，则：∠MFA=∠EFA=∠OCA，−12,−32，
设的解析式为：y=k1x+b，
则：4k+b=0−12k+b=−32，
解得：k=13b=−43，
∴y=13x−43，
联立y=−x2+2x+3y=13x−43，
解得x1=5+1816，x2=5−1816，
∴M5+1816,−19+18118；M5−1816,−19−18118
综上，点M的坐标为7+1096,17−10918或7−1096,17+10918或5+1816,−19+18118或5−1816,−19−18118．
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1．（2024·山西·二模）如图，抛物线y=−13x2+43x+4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出线段BC所在直线的函数表达式；
（2）点P是线段BC上方抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，交BC于点N求线段PN长的最大值．
2．（24-25九年级上·湖北荆门·阶段练习）如图，抛物线y=−12x2+32x+2交x轴于A、B两点，与y轴交于点C．点D2,n在抛物线上．
（1）求四边形ABDC的面积；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得PC−PB的值最大，若存在，试求出点P的坐标．
3．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A1,0，B−5,0两点，与y轴交于点C， P是抛物线上的任意一点（不与点C重合），点P的横坐标为m，拋物线上点C与点P之间的部分（包含端点）记为图象G．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P位于线段BC上方，求△PBC面积的最大值；
（3）若图象G的最大值与最小值的差为4，求m的取值范围．
4．（23-24九年级上·宁夏石嘴山·期中）如图，直线y=−x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=−x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB=∠OCB？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
5．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，抛物线y=x2−2x−3与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，直线l：y=kx+b与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求点C的坐标和直线l的解析式；
（2）点P是y轴上的一点，求满足PB+PC的值为最小的点P坐标；
（3）点Q是直线l下方抛物线上一动点，动点Q运动到什么位置时，△AQC的面积最大?求出此时Q点坐标和△AQC的最大面积．
6．（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，拋物线y=−12x2+12x+3与x轴正半轴交于点B，与y轴于点C，且过点A−1,2，连接AB，AC，BC．
（1）求△ABC的面积；
（2）若点P是抛物线对称轴上一点，且S△ABC=2S△BCP，求点P的坐标．
7．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，抛物线y=ax2+bx+3过点A(−1，0)，B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）第一象限内的抛物线y=ax2+bx+3图象上有一动点P，x轴正半轴上有一点D，且OD=2，当△PCD的面积是3时，求出点P的坐标；
（3）抛物线y=ax2+bx+3的顶点为Q，直线y=kx与抛物线交于点E，F，M是线段EF的中点，当0