初中数学人教版（2024）九年级上册24.1.1 圆课后测评

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册24.1.1 圆课后测评，共79页。
【典例1】定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”．例如：凸四边形ABCD中，若∠A=∠C，∠B≠∠D，则称四边形ABCD为准平行四边形．
（1）如（图①），A、B、C、D是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°，延长BP到Q，使AQ=AP．求证：四边形AQBC是准平行四边形；
（2）如（图②），准平行四边形ABCD内接于⊙O，AB≠AD，BC=DC，若⊙O的半径为5，AB=6，求AC的长；
（3）如（图③），在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，若四边形ABCD是准平行四边形，且∠BCD≠∠BAD，请直接写出BD长的最大值．
【思路点拨】
（1）可证△APQ是等边三角形，可得∠Q=60°=∠QAP，由圆的内接四边形的性质可得∠QPA=∠ACB=60°=∠Q，由四边形内角和定理可证∠QAC≠∠QBC，可得结论；
（2）如图②，连接BD，由准平行四边形定义可求∠BAD=∠BCD=90°，可得BD是直径，由勾股定理可求AD=8，将ΔABC绕点C顺时针旋转90°得到ΔCDH，可得AB=DH=6，AC=CH，∠ACH=90°，∠ABC=∠CDH，由勾股定理可求AC的长；
（3）如图③，作△ACD的外接圆⊙O，过点O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，由准平行四边形定义可求∠ABC=∠ADC=60°，可得∠AOC=120°，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质，可求OE=1，CO=2OE=2，由勾股定理可求OB，由当点D在BO的延长线时，BD的长有最大值，即可求解．
【解题过程】
解：证明：（1）∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠APQ=60°，且AQ=AP，
∴△APQ是等边三角形，
∴∠Q=60°=∠QAP，
∵四边形APBC是圆内接四边形，
∴∠QPA=∠ACB=60°，
∵∠Q+∠ACB+∠QAC+∠QBC=360°，
∴∠QAC+∠QBC=240°，
且∠QAC=∠QAP+∠BAC+∠PAB=120°+∠PAB>120°，
∴∠QBC45°，求弧FC、线段DF和CD组成的图形面积．
5．（2022秋·江苏盐城·九年级景山中学校考阶段练习）如图，已知正方形 ABCD 的边长为4，以点 A 为圆心，1为半径作圆，点 E 是⊙A 上的一动点，点 E 绕点 D 按逆时针方向转转 90°，得到点 F，接 AF．
（1）求CF长；
（2）当A、E、F三点共线时，求EF长；
（3） AF的最大值是__________．
6．（2022秋·浙江衢州·九年级校考阶段练习）新定义：在一个四边形中，若有一组对角都等于90°，则称这个四边形为双直角四边形．如图1，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，那么四边形ABCD就是双直角四边形．
（1）若四边形ABCD是双直角四边形，且AB＝3，BC＝4，CD＝2，求AD的长；
（2）已知，在图2中，四边形ABCD内接与⊙O，BC＝CD且∠BAC＝45°；
①求证：四边形ABCD是双直角四边形；
②若AB＝AC，AD＝1，求AB的长和四边形ABCD的面积．
7．（2022春·江苏·九年级期末）如图1，已知矩形ABCD中AB=23，AD=3，点E为射线BC上一点，连接DE，以DE为直径作⊙O
（1）如图2，当BE=1时，求证：AB是⊙O的切线
（2）如图3，当点E为BC的中点时，连接AE交⊙O于点F，连接CF，求证：CF=CD
（3）当点E在射线BC上运动时，整个运动过程中CF长度是否存在最小值？若存在请直接写出CF长度的最小值；若不存在，请说明理由．
8．（2022秋·江苏·九年级期中）如图1，已知A−10,0，B−6,0，点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD//AB，∠CDA=90°．点P从点A出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒．
（1）BC=__________；
（2）当∠BCP=15°时，求t的值；
（3）以线段PC为直径的⊙Q随点P的运动而变化，当⊙Q与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．
9．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知AB为半圆O的直径，P为半圆上的一个动点（不含端点），以OP、OB为一组邻边作▱POBQ，连接OQ、AP，设OQ、AP的中点分别为M、N，连接PM、ON．
（1）试判断四边形OMPN的形状，并说明理由．
（2）若点P从点B出发，以每秒15°的速度，绕点O在半圆上逆时针方向运动，设运动时间为ts．
①是否存在这样的t，使得点Q落在半圆O内？若存在，请求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．
②试求：当t为何值时，四边形OMPN的面积取得最大值？并判断此时直线PQ与半圆O的位置关系（需说明理由）．
10．（2022秋·江苏扬州·九年级校联考期中）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB=7，EF=10，BC＞5．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒．
（1）如图②，当t=2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；
（2）在点B运动的过程中，当AD、BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接OG、OH，若∠GOH为直角，求此时t的值．
（3）当矩形ABCD为正方形时，连接AC，在点B运动的过程中，若直线AC与半圆只有一个交点，则t的取值范围是 ．
11．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图1，⊙O的半径为4cm，▱ABCD的顶点A，B，C在⊙O上，AC=BC．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AD也与⊙O相切，求证：四边形ABCD是菱形；
（3）如图2，AD与⊙O相交于点E，连接于CE，当∠B=75°时，求▱ABCD的对角线AC的长及阴影部分图形的面积．
12．（2023·全国·九年级专题练习）（1）【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝ °．
（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数．
（3）【问题拓展】如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 ．
13．（2022·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．
（1）求∠ADB的度数；
（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由；
（3）在（2）条件下过E，F分别作AB，BC的垂线，垂足分别为G，H，连接GH，交BO于M，若AG＝3，S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，求⊙O的半径．
14．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿AB边以1cm/s的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒：

（1）如图1，几秒后，△DPQ的面积等于21cm2？
（2）在运动过程中，若以P为圆心的⊙P同时与直线AD、BD相切（如图2），求t值；
（3）若以Q为圆心，PQ为半径作⊙Q．
①在运动过程中，是否存在t值，使得点D落在⊙Q上？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；
②若⊙Q与四边形CDPQ有三个公共点，则t的取值范围为 ．（直接写出结果，不需说理）
15．（2022·江西抚州·校考二模）如图，在平行四边形ABCD中，点A，B，D三个点都在⊙O上，CD与⊙O交于点F，连接BO并延长交边AD于点E，点E恰好是AD的中点．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AE＝1，∠BAD＝75°；
①求BE的长；
②求阴影部分的面积．
16．（2023秋·广东东莞·九年级统考期末）如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，连接CE．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB=10，DC=4，求AC的长；
（3）若E是弧AC的中点，⊙O的半径为5，求图中阴影部分的面积．
17．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级期末）四边形ABCD为矩形，点A，B在⊙O上，连接OC、OD．
（1）如图1，求证：OC＝OD；
（2）如图2，点E在⊙O上，DE∥OC，求证：DA平分∠EDO；
（3）如图3，在（2）的条件下，DE与⊙O相切，点G在弧BF上，弧FG＝弧AE，若BG＝32，DF＝2，求AB的长．
18．（2023·河南开封·河南大学附属中学校考二模）小贺同学在数学探究课上，用几何画板进行了如下操作：首先画一个正方形ABCD，一条线段OPOP45°，
∴∠FAO=∠AOB，
∵AO平分∠BAD，
∴∠BAO=∠FAO，
∴∠BAO=∠AOB，
∴AB=OB=5，
∵DF=7，BO=5，
∴AF+7=5+r，
∴AE=r−2，
∵⊙O与AD相切，⊙O与AB相切，
∴OE⊥AB，OF⊥AD，AE=AF=r−2，
∴∠OEA=90°，BE=AB−AE=7−r，
∴BE2+OE2=OB2，
∴7−r2+r2=52，解得：r=4或3，
当r=4时，BE=3，当r=3时，BE=4，
∵∠B>45°，
∴∠BOEBE，
∴r=4，即OC=OE=OF=4，
∵OF⊥AD,AD∥BC，
∴OF⊥BC，即∠COF=90°，
∴弧FC、线段DF和CD组成的图形面积
=S梯形CDFO−S扇形COF
=12OC+DF×OF−90π×OC2360
=124+7×4−90π×42360
=22−4π．
5．（2022秋·江苏盐城·九年级景山中学校考阶段练习）如图，已知正方形 ABCD 的边长为4，以点 A 为圆心，1为半径作圆，点 E 是⊙A 上的一动点，点 E 绕点 D 按逆时针方向转转 90°，得到点 F，接 AF．
（1）求CF长；
（2）当A、E、F三点共线时，求EF长；
（3） AF的最大值是__________．
【思路点拨】
（1）连接AE，根据同角的余角相等可得：∠EDA=∠FDC，利用全等三角形的判定定理可得：ΔEDA≅ΔFDC，再由其性质即可得解；
（2）分两种情况讨论：①当点E在正方形内部时，点A、E、F三点共线时，AF与圆C相切；②当点E在正方形外部时，点A、E1、F1三点共线时，AF1与圆C相切；两种情况分别利用勾股定理进行求解即可得；
（3）根据题意判断出AF最大时，点C在AF上，根据正方形的性质求出AC，从而得出AF的最大值．
【解题过程】
解：（1）连接AE，如图所示：
∵∠EDF=∠ADC=90°，
即：∠EDA+∠ADF=∠ADF+∠FDC=90°，
∴∠EDA=∠FDC，
在ΔEDA与ΔFDC中，
ED=FD∠EDA=∠FDCAD=DC，
∴ΔEDA≅ΔFDC，
∴CF=AE=1；
（2）①如图所示：当点A、E、F三点共线时，AF与圆C相切，
则∠AFC=90°，
AC=AD2+CD2=42+42=32，
CF=1，
∴AF=AC2+CF2=31，
∴EF=AF−AE=31−1；
②如图所示：当点A、E1、F1三点共线时，AF1与圆C相切，
则∠AF1C=90°，
AC=42，
CF1=1，
∴AF1=AC2−CF12=31，
∴EF=AF1+AE1=31+1；
综合可得：当点A、E、F三点共线时，EF长为31−1或31+1；
（3）如图所示，点C在线段AF上，AF取得最大值，
AF=AC+CF，
∵AC=32=42，
∴AF=42+1，
即：AF的最大值是42+1，
故答案为：42+1．
6．（2022秋·浙江衢州·九年级校考阶段练习）新定义：在一个四边形中，若有一组对角都等于90°，则称这个四边形为双直角四边形．如图1，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，那么四边形ABCD就是双直角四边形．
（1）若四边形ABCD是双直角四边形，且AB＝3，BC＝4，CD＝2，求AD的长；
（2）已知，在图2中，四边形ABCD内接与⊙O，BC＝CD且∠BAC＝45°；
①求证：四边形ABCD是双直角四边形；
②若AB＝AC，AD＝1，求AB的长和四边形ABCD的面积．
【思路点拨】
（1）连接BD，运用勾股定理求出BD和AD即可；
（2）①连接OB，OC，OD，证明BD是⊙O的直径即可；②过点D作DE⊥AC于点E，设圆的半径为R，由勾股定理求出AB，AD，BC，CD的长，再根据SABCD=SΔABD+SΔBCD运用三角形面积公式求解即可．
【解题过程】
解：（1）连接BD，如图，
在RtΔBCD中，BC＝4，CD＝2，
∵BD2=BC2+CD2
∴BD=16+4=25
在RtΔABD中，AB＝3，BD＝25 ，
∵BD2=BA2+AD2
∴AD=20−9=11
（2）连接OB，OC，OD，如图，
∵∠BAC=45°
∴∠BOC=90°
在ΔBOC和ΔDOC中
OB=ODOC=OCBC=CD
∴ΔBOC≌ΔDOC
∴∠DOC=∠BOC=90°
∴O是线段BD的中点，
∴BD为⊙O的直径
∴∠BCD=∠BAD=90°
∴四边形ABCD是双直角四边形；
（3）过点D作DE⊥AC于点E，
∵∠BAC=45°,∠BAD=90°
∴∠EAD=45°
∴ΔAED是等腰直角三角形
在RtΔAED中，AE=ED，AE2+ED2=AD2
∵AD=1
∴AE=ED=22
设圆的半径为R，
∵ΔBOC和ΔDOC均为等腰直角三角形，
∴BC=CD=2R
在RtΔADC中，EC=DC2−ED2=2R2−12=224R2−1
在RtΔABD中，AB=BD2−AD2=4R2−1
∵AB=AC，AC=AE+EC
∴4R2−1=224R2−1+22
解得，R2=1+22
∴SABCD=SΔABD+SΔBCD
=12AB×AD+12BC×CD
=2+12+12×2R×2R
=2+12+R2
=2+12+1+22
=32+2
7．（2022春·江苏·九年级期末）如图1，已知矩形ABCD中AB=23，AD=3，点E为射线BC上一点，连接DE，以DE为直径作⊙O
（1）如图2，当BE=1时，求证：AB是⊙O的切线
（2）如图3，当点E为BC的中点时，连接AE交⊙O于点F，连接CF，求证：CF=CD
（3）当点E在射线BC上运动时，整个运动过程中CF长度是否存在最小值？若存在请直接写出CF长度的最小值；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）过点O作OM⊥AB，且OM的反向延长线交CD于点N．根据题意结合图形易证线段ON为△DEC中位线，即可求出CE长，从而求出ON与OM长，最后在Rt△DEC中利用勾股定理即可求出DE的长，即⊙O的直径，即可判断OD=DE=OM，从而证明AB为⊙O的切线．
（2）设⊙O与AD交于点G，连接CG、EG、DF、FG，利用圆周角定理以及三角形中线的性质易证△CFG≅△CDG(HL)，即证明CF=CD．
（3）取AD中点H，连接CH、FH、FD．根据（2）中三角形中线的结论可知FH=12AD=32，再在Rt△CDH中，利用勾股定理可求出CH=572．最后利用三角形三边的关系即可求出CF的最小值．
【解题过程】
（1）如图，过点O作OM⊥AB，且OM的反向延长线交CD于点N．
由题意可知四边形BCNM为矩形，
∴MN=AD=3，
∵O为圆心，即O为DE中点，
∴N为DC中点，即线段ON为△DEC中位线，
又∵CE=BC−BE=3−1=2，
∴ON=12CE=1，
∴OM=MN-ON=3-1=2．
在Rt△DEC中，DE=CD2+CE2=(23)2+22=4．
∴OD=DE=OM=2．
即AB为⊙O的切线．
（2）设⊙O与AD交于点G，连接CG、EG、DF、FG，
∵DE为直径，
∴∠EGD=∠EFD=90°．
∴∠GEC=90°，
∴CG为直径．
∴∠CFG=∠CDG=90°，
∵E为BC中点，
∴G为AD中点，
在Rt△AFD中，FG为中线，
∴AG=DG=FG，
在Rt△CFG和Rt△CDG中，FG=DGCG=CG ，
∴△CFG≅△CDG(HL)．
∴CF=CD．
（3）如图，取AD中点H，连接CH、FH、FD．
由（2）可知FH=12AD=32，
在Rt△CDH中，CH=CD2+HD2=(23)2+(32)2=572，
∵CF≥CH−FH=572−32．
∴当F点在CH上时CF长有最小值，最小值为572−32．
8．（2022秋·江苏·九年级期中）如图1，已知A−10,0，B−6,0，点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD//AB，∠CDA=90°．点P从点A出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒．
（1）BC=__________；
（2）当∠BCP=15°时，求t的值；
（3）以线段PC为直径的⊙Q随点P的运动而变化，当⊙Q与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．
【思路点拨】
（1）根据等腰三角形的判定和勾股定理即可得出答案；
（2）分①当点P在点B右侧时，②当点P'在点B左侧时两种情况进行求解即可；
（3）分①当该圆与BC相切于点C，②当该圆与CD相切于点C，③当该圆与AD相切三种情况分别求出t的值即可；
【解题过程】
解：（1）∵∠BOC=90°,∠CBO=45°,
∴∠BCO=∠CBO=45°,
∴B(−6,0)，
∴OC=OB=6,
∴C(0,6),
∴BC=2OB=62.
（2）如图1中，
①当点P在点B右侧时，
∵∠BOC=45°,∠BCP=15°,
∴∠POC=30°,
∴OP=23,
∴t1=10−23,
②当点P'在点B左侧时，
∵∠BCO=45°,∠BCP'=15°,
∴∠P'CO=60°,
∴OP'=63,
∴t2=10−63,
综上所述： t的值为10−23或10−63
(3)如图2中，
由题意知，若该圆与四边形ABCD的边相切，有以下三种情况：
①当该圆与BC相切于点C时，有
∠BCP=90°,
则∠OCP=45°，OP1=6,
∴AP1=OA+OP1=10+6=16,
t=16秒，
②当该圆与CD相切于点C时，有P2C⊥CD,即点P2与点O重合，
∴AP2=OA=10,
t=10秒，
③当该圆与AD相切时，
设P3的坐标为(-10 +t，0)，
∴C(0,6),
∴M点的坐标为(−5+t2,3),
∴MC2=(5−t2)2+32,
过M作MH⊥AD于H ，
∴MH=12(AP3+CD)
=12(10+t)
=5+t2,
∵MH2=MC2,
∴(5+t2)2=(5−t2)2+32,
整理得10t=9，
解得t=910,
综上所述，当⊙Q与四边形ABCD的边或边所在的直线相切时，t的值为16秒或10秒或910 秒
9．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知AB为半圆O的直径，P为半圆上的一个动点（不含端点），以OP、OB为一组邻边作▱POBQ，连接OQ、AP，设OQ、AP的中点分别为M、N，连接PM、ON．
（1）试判断四边形OMPN的形状，并说明理由．
（2）若点P从点B出发，以每秒15°的速度，绕点O在半圆上逆时针方向运动，设运动时间为ts．
①是否存在这样的t，使得点Q落在半圆O内？若存在，请求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．
②试求：当t为何值时，四边形OMPN的面积取得最大值？并判断此时直线PQ与半圆O的位置关系（需说明理由）．
【思路点拨】
（1）由平行四边形的性质可得PQ//OB，PQ＝OB，可证四边形PQOA为平行四边形，可得PA//QO，PA＝QO．由中点的性质可得OM＝PN，可证四边形OMPN为平行四边形，由等腰三角形的性质可得∠ONP＝90°，可得结论；
（2）①求出点Q落在半圆O上时，t的值，点P与点A重合时，t的取值，根据这两个特殊位置，可求点Q落在半圆O内时，t的取值范围；
②由面积公式可得S矩形OMPN＝S△AOP，由△AOP的底AO为定值，则当P旋转运动90°（运动至最高点）时，高取得最大值，此时△AOP的面积取得最大值，即可求t的值，由平行线的性质可得∠OPQ＝90°，可证PQ与半圆O相切．
【解题过程】
解：（1）四边形OMPN为矩形，
理由如下：∵四边形POBQ为平行四边形，
∴PQ//OB，PQ＝OB，
又∵OB＝OA，
∴PQ＝AO，
又∵PQ//OA，
∴四边形PQOA为平行四边形，
∴PA//QO，PA＝QO．
又∵M、N分别为OQ、AP的中点，
∴OM＝12OQ，PN＝12AP，
∴OM＝PN，
∴四边形OMPN为平行四边形，
∵OP＝OA，N是AP的中点，
∴ON⊥AP，即∠ONP＝90°，
∴四边形OMPN为矩形；
（2）①如图，当点Q落在半圆O上时，

∵四边形POBQ是平行四边形，
∴PQ＝OB，PO＝BQ，
又∵OB＝OP＝OQ，
∴OP＝OQ＝PQ＝BO＝BQ，
∴△POQ是等边三角形，△BQO是等边三角形，
∴∠POQ＝∠BOQ＝60°，
∴∠BOP＝120°，
∴t＝12015＝8s，
∴当t＝8s时，点Q落在半圆O上，
∵当点P与点A重合时，t＝18015＝12s，
∴当8＜t＜12时，点Q落在半圆O内；
②∵四边形OMPN为矩形，
∴S矩形OMPN＝ON•NP＝12AP•ON，
∴S矩形OMPN＝S△AOP，
∵△AOP的底AO为定值，
∴当P旋转运动90°（运动至最高点）时，高取得最大值，此时△AOP的面积取得最大值．
∴t＝90÷15＝6秒．
∴当t＝6s时，四边形OMPN面积最大，
此时，PQ与半圆O相切．
理由如下：∵∠POB＝90°，PQ//OB，
∴∠OPQ＝90°，
∴PQ与半圆O相切．
10．（2022秋·江苏扬州·九年级校联考期中）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB=7，EF=10，BC＞5．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒．
（1）如图②，当t=2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；
（2）在点B运动的过程中，当AD、BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接OG、OH，若∠GOH为直角，求此时t的值．
（3）当矩形ABCD为正方形时，连接AC，在点B运动的过程中，若直线AC与半圆只有一个交点，则t的取值范围是 ．
【思路点拨】
（1）通过判定△MEO为等边三角形，然后根据弧长公式求解；
（2）通过判定△GAO≌△HBO，然后利用全等三角形的性质分析求解；
（3）当半圆O与直线AC相切时，可求得t=12−52，此时半圆O与直线AC只有一个交点；当点E与点A重合时，可求得t=7，此时半圆O与直线AC有两个交点；当点F与点A重合时，可求得t=17，此时半圆O与直线AC只有一个交点，即可得到t的取值范围．
【解题过程】
（1）设BC与⊙O交于点M
当t=2.5时，BE=2.5
∵EF=10
∴OE=12EF=5
∴OB=2.5
∴EB=OB
在矩形ABCD中，∠ABC=90°
∴ME=MO
又∵MO=EO
∴ME=EO=MO
∴△MOE是等边三角形
∴∠EOM=90°
∴lME⏜=60π×5180=5π3
即半圆O在矩形ABCD内的弧的长度为5π3.
（2）连接GO，HO
∵∠GOH=90°
∴∠AOG+∠BOH=90∘，
∵∠AGO+∠AOG=90∘
∴∠AGO=∠BOH，
在△AGO和△OBH中，
∠AGO=∠BOH∠GAO=∠HBOOG=OH
∴△AGO≌△BOH
∴OB=AG=t−5
∵AB=7
∴AE=t−7
∴AO=5−t−7＝12−t
在Rt△AGO中，AG2+AO2=OG2
∴t−52+12−t2=52
解得：t1=8，t2=9
即t的值为8或9．
（3）t=12−52或7