初中数学人教版（2024）九年级上册24.1.1 圆测试题

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册24.1.1 圆测试题，共86页。

【典例1】在平面直角坐标系xOy中，对于点P和线段AB，若线段PA或PB的垂直平分线与线段AB有公共点，则称点P为线段AB的融合点．
（1）已知A3，0，B5，0，
①在点P16，0，P21，−2，P33，2中，线段AB的融合点是______；
②若直线y=t上存在线段AB的融合点，求t的取值范围；
（2）已知⊙O的半径为4，Aa,0，Ba+1,0，直线l过点T0,−1，记线段AB关于l的对称线段为A'B'．若对于实数a，存在直线l，使得⊙O上有A'B'的融合点，直接写出a的取值范围．
【思路点拨】
（1）①画出对应线段的垂直平分线，再根据融合点的定义进行判断即可；②先确定线段AB融合点的轨迹为分别以点A，B为圆心，AB长为半径的圆及两圆内区域，则当直线y=t与两圆相切时是临界点，据此求解即可；
（2）先推理出A'B'的融合点的轨迹即为以T为圆心，TA−1的长为半径的圆和以T为圆心，以TB+1的长为半径的圆的组成的圆环上（包括两个圆上），再求出两个圆分别与⊙O内切，外切时a的值即可得到答案．
【解题过程】
（1）解：①如图所示，根据题意可知P1，P3是线段AB的融合点，
故答案为；P1，P3；
②如图1所示，设PA的垂直平分线与线段AB的交点为Q，
∵点Q在线段PA的垂直平分线上，
∴PQ=AQ，
∴当点Q固定时，则点P在以Q为圆心，AQ的长为半径的圆上，
∴当点Q在AB上移动时，此时点P的轨迹即线段AB的融合点的轨迹为分别以点A，B为圆心，AB长为半径的圆及两圆内区域．
当直线y=t与两圆相切时，记为l1，l2，如图2所示．
∵A3，0，B5，0，
∴AB=2,
∴t=2或t=−2．
∴当−2≤t≤2时，直线y=t上存在线段AB的融合点．
（2）解：如图3-1所示，假设线段AB位置确定，
由轴对称的性质可知TA=TA'，TB=TB'，
∴点A'在以T为圆心，TA的长为半径的圆上运动，点B'在以T为圆心，以TB的长为半径的圆上运动，
∴A'B'的融合点的轨迹即为以T为圆心，TA−1的长为半径的圆和以T为圆心，以TB+1的长为半径的圆的组成的圆环上（包括两个圆上）；
当TA如图3-2所示，当以T为圆心，TA−1为半径的圆与⊙O外切时，
∴TA−1=4+1，
∴0−a2+−1−02=6，
∴a2+1=36，
∴a=35（负值舍去）；
如图3-3所示，当以T为圆心，TB+1为半径的圆与⊙O内切时，
∴TB+1=3，
∴0−a−12+−1−02=2，
∴a2+2a+1+1=4，
∴a=3−1（负值舍去）；
∴3−1≤a≤35时，存在直线l，使得⊙O上有A'B'的融合点；
同理当TA>TB时，
当以T为圆心，TB−1为半径的圆与⊙O外切时，
∴TB−1=4+1，
∴0−a−12+−1−02=6，
∴a2+2a+1+1=36，
∴a=−35−1（正值舍去）；
当以T为圆心，TA+1为半径的圆与⊙O内切时，
∴TA+1=3，
∴0−a2+−1−02=2，
∴a2+1=4，
∴a=−3（正值舍去）；
∴−35−1≤a≤−3时，存在直线l，使得⊙O上有A'B'的融合点；
综上所述，当3−1≤a≤35或−35−1≤a≤−3时存在直线l，使得⊙O上有A'B'的融合点．
1．（2022·宁夏固原·统考一模）在平面直角坐标系xOy中，点Px0,y0到直线Ax+By+c=0A2+B2≠0的距离公式为：d=Ax0+By0+CA2+B2，例如，求点P1,3到直线4x+3y−3=0的距离．解：由直线4x+3y−3=0知：A=4，B=3，C=−3所以P1,3到直线4x+3y−3=0的距离为：d=4×1+3×3−342+32=2根据以上材料，解决下列问题：
（1）求点P11,−1到直线3x−4y−5=0的距离．
（2）已知：⊙C是以点C2,1为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y=−34x+b相切，求实数b的值；
（3）如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出△ABP面积的最大值和最小值．
2．（2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向x轴，y轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4，则点P叫做“垂距点”．例如：下图中的P1，3是“垂距点”．
（1）在点A2，2，B32，−52，C−1，5中，是“垂距点”的点为 ；
（2）求函数y=2x+3的图象上的“垂距点”的坐标；
（3）⊙T的圆心T的坐标为1，0，半径为r．若⊙T上存在“垂距点”，则r的取值范围是 ．
3．（2022秋·北京丰台·九年级北京市第十二中学校考阶段练习）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C,给出如下定义:连接PC交⊙C于点N,若点P关于点N的对称点Q在⊙C的内部，则称点P是⊙C的外称点.
（1）当⊙O的半径为1时，
①在点D−1,−1，E2,0，F0,4中，⊙O的外称点是 ；
②若点Mm,n为⊙O的外称点，且线段MO交⊙O于点G22,22，求m的取值范围;
（2）直线y=−x+b过点A1,1， 与x轴交于点B. ⊙T的圆心为Tt,0, 半径为1若线段AB上的所有点都是⊙T的外称点，请直接写出t的取值范围.
4．（2022春·九年级课时练习）对于平面直角坐标系xOy中的图形P，Q，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为图形Q上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P，Q间的“非常距离”，记作dP,Q．已知点A−2,2，B2,2，连接AB．
（1）d（点O，AB）＝ ；
（2）⊙O半径为r，若d⊙O,AB=0，直接写出r的取值范围；
（3）⊙O半径为r，若将点A绕点B逆时针旋转α°0°<α<180°，得到点A'．
①当α=30°时d⊙O,A'=0，求出此时r的值；
②对于取定的r值，若存在两个α使d⊙O,A'=0，直接写出r的范围．
5．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）对于平面内的⊙C和⊙C外一点Q，给出如下定义：若过点Q的直线与⊙C存在公共点，记为点A，B，设k=AQ+BQCQ，则称点A（或点B）是⊙C的“K相关依附点”，特别地，当点A和点B重合时，规定AQ=BQ，k=2AQCQ（或2BQCQ）．
已知在平面直角坐标系xy中，Q(-1,0)，C(1,0)，⊙C的半径为r．
（1）如图1，当r=2时，
①若A1(0,1)是⊙C的“k相关依附点”，求k的值．
②A2(1+2，0)是否为⊙C的“2相关依附点”．
（2）若⊙C上存在“k相关依附点”点M，
①当r=1，直线QM与⊙C相切时，求k的值．
②当k=3时，求r的取值范围．
（3）若存在r的值使得直线y=−3x+b与⊙C有公共点，且公共点时⊙C的“3相关依附点”，直接写出b的取值范围．
6．（2022秋·北京·九年级校考阶段练习）对于平面直角坐标系xOy中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为d1，到y轴的距离为d2，若d1≤d2，则称d1为点P的“引力值”；若d1＞d2，则称d2为点P的“引力值”．特别地，若点P在坐标轴上，则点P的“引力值”为0．
例如，点P（﹣2，3）到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，因为2＜3，所以点P的“引力值”为2．
（1）①点A（﹣1，4）的“引力值”为 ；
②若点B（a，3）的“引力值”为2，则a的值为 ；
（2）若点C在直线y＝﹣2x+4上，且点C的“引力值”为2，求点C的坐标；
（3）已知点M是以（3，4）为圆心，半径为2的圆上一个动点，那么点M的“引力值”d的取值范围是 ．
7．（2022·浙江温州·校联考模拟预测）M（﹣1，−12），N（1，−12）是平面直角坐标系xOy中的两点，若平面内直线MN上方的点P满足：45°≤∠MPN≤90°，则称点P为线段MN的可视点．
（1）在点A1(0，12)，A2(12，0)，A3(0，2)，A4（2，2）中，线段MN的可视点为 ；
（2）若点B是直线y＝x+12上线段MN的可视点，求点B的横坐标t的取值范围；
（3）直线y＝x+b（b≠0）与x轴交于点C，与y轴交于点D，若线段CD上存在线段MN的可视点，直接写出b的取值范围．
8．（2022·北京密云·统考二模）对于平面直角坐标系xOy中的点P2,3与图形T，给出如下定义：在点P与图形T上各点连接的所有线段中，线段长度的最大值与最小值的差，称为图形T关于点P的“宽距”．
（1）如图，⊙O的半径为2，且与x轴分别交于A，B两点．
①线段AB关于点P的“宽距”为______；⊙O关于点P的“宽距”为______．
②点Mm,0为x轴正半轴上的一点，当线段AM关于点P的“宽距”为2时，求m的取值范围．
（2）已知一次函数y=x+1的图象分别与x轴、y轴交于D、E两点，⊙C的圆心在x轴上，且⊙C的半径为1．若线段DE上的任意一点K都能使得⊙C关于点K的“宽距”为2，直接写出圆心C的横坐标xC的取值范围．
9．（2023·北京海淀·九年级期末）对于平面直角坐标系xOy中的图形G和点P给出如下定义；Q为图形G上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的k倍，则称点P为图形G的“k分点”．
已知点N3，0，A1，0，B0，3，C1，−1．
（1）①在点A，B，C中，线段ON的“2分点”是______；
②点Da，0，若点C为线段OD的“二分点”，求a的值；
（2）以点O为圆心，r为半径画图，若线段AN上存在⊙O的“二分点”，直接写出r的取值范围．
10．（2023秋·北京·九年级北京市师达中学校考阶段练习）对于平面直角坐标系xOy中的点M，N和图形W，给出如下定义：若图形W上存在一点P，使得∠PMN=90°，且MP=MN，则称点M为点N关于图形W的一个“旋垂点”
（1）已知点A0，4，B4，4，
①在点M1(−2，2)，M2(0，2)，M3(2，2)中，是点O关于点A的“旋垂点”的是___________；
②若点Mm，n是点O关于线段AB的“旋垂点”，求m的取值范围；
（2）直线y=−x+2与x轴，y轴分别交于C，D两点，⊙T的半径为10，圆心为Tt，0，若在⊙T上存在点P，线段CD上存在点Q，使得点Q是点P关于⊙T的一个“旋垂点”，且PQ=2，直接写出t的取值范围．
11．（2023春·全国·九年级专题练习）对于点P和图形G，若在图形G上存在不重合的点M和点N，使得点P关于线段MN中点的对称点在图形G上，则称点P是图形的G的“中称点”．在平面直角坐标系xOy中，已知点A1,0，B1,1，C0,1．
（1）在点P112,0，P212,12，P31,−2，P4−1,2中，_____是正方形OABC的“中称点”；
（2）⊙T的圆心在x轴上，半径为1．
①当圆心T与原点O重合时，若直线y=x+m上存在⊙T的“中称点”，求m的取值范围；
②若正方形OABC的“中称点”都是⊙T的“中称点”，直接写出圆心T的横坐标t的取值范围．
12．（2023春·江苏扬州·九年级高邮市城北中学校联考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A为任意一点，B为⊙O上一点．给出如下定义：记A、B两点间的距离的最小值为p（规定：点A在⊙O上时，p=0），最大值为q，那么把p+q2的值称为点A与⊙O的“关联距离”，记作dA,⊙O．
（1）如图，点D、E、F的横、纵坐标都是整数．
①dD,⊙O=___；
②若点M在线段EF上，求dM,⊙O的取值范围．
（2）若点N在直线y=3x+23上，求dN,⊙O的取值范围．
（3）正方形的边长为m，若点P在该正方形的边上运动时，满足dP,⊙O的最小值为1，最大值为10，直接写出m的最小值和最大值．
13．（2022秋·北京海淀·九年级清华附中校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，对于图形M和点P，若图形M上存在两个点E、F，使得EP+FP＝2，则称点P为图形M的“距2点”．
设A（﹣4，0），B（4，0），⊙O的半径为r．
（1）①点P1（1，0），P2（0，1），P3（﹣1，﹣12）中，是线段AB的“距2点”的是 ．
②若P4（3，4）是⊙O的“距2点”，求r的取值范围；
（2）设⊙M的半径为2，圆心M是x轴上的动点，C（﹣4，8）．若折线段AC﹣CB上存在点⊙M的“距2点”，直接写出圆心M横坐标的取值范围．
14．（2023·北京·九年级专题练习）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得PM=QN，那么称点P与点Q是图形W的一对平衡点．
（1）已知⊙O的半径为1，点D的坐标为5,0．若点Ex,2在第一象限，且点D与点E是⊙O的一对平衡点，求x的取值范围；
（2）已知点H−3,0，以点O为圆心，OH长为半径画弧交x的正半轴于点K．点Ca,b（其中b≥0）是坐标平面内一个动点，且OC=5，⊙C是以点C为圆心，半径为2的圆，若HK上的任意两个点都是⊙C的一对平衡点，直接写出b的取值范围．

15．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期末）如图1，对于△PMN的顶点P及其对边MN上的一点Q，给出如下定义：以P为圆心，PQ长为半径的圆与直线MN的公共点都在线段MN上，则称点Q为△PMN关于点P的内联点．
在平面直角坐标系xOy中：
（1）如图2，已知点A(6,0)，点B在直线y=−12x+4上．
①若点B(4,2)，点C(4,0)，则在点O，C，A中，点______是△AOB关于点B的内联点；
②若△AOB关于点B的内联点存在，求点B横坐标m的取值范围；
（2）已知点D(3,0)，点E(6,3)，将点D绕原点O旋转得到点F，若△EOF关于点E的内联点存在，直接写出点F横坐标n的取值范围．
16．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）对于半径为r的⊙P及一个正方形给出如下定义：若⊙P上存在到此正方形四条边距离都相等的点，则称⊙P是该正方形的“等距圆”．如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C在点D的左侧．
（1）当r=42时，
①在P1（0，-3），P2（4，6），P3（42，2）中可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是_______________；
②若点P在直线y=−x+2上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圆”，则点P的坐标为_______________；
（2）如图2，在正方形ABCD所在平面直角坐标系xOy中，正方形EFGH的顶点F的坐标为（6，2），顶点E、H在y轴上，且点H在点E的上方．
①若⊙P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC所在直线相切，求⊙P在y轴上截得的弦长；
②将正方形ABCD绕着点D旋转一周，在旋转的过程中，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，则r的取值范围是_______________．

17．（2022·北京海淀·中关村中学校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于线段AB，给出如下定义：若将线段AB沿着某条直线l对称可以得到⊙O的弦A'B'（A'，B'分别为A，B的对应点），则称线段AB是⊙O的以直线l为对称轴的对称的“反射线段”，直线l称为“反射轴”
（1）如图1，线段CD、EF、GH中是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”有___________；
（2）已知A点的坐标为(0,2)，B点坐标为(1,1)，
①如图2，若线段AB是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，画出图形，反射轴l与y轴的交点M的坐标是___________．
②若将“反射线段”AB沿直线y=x的方向向上平移一段距离S，其反射轴l与y轴的交点的纵坐标yM的取值范围为12≤yM≤136，求S的取值范围．
（3）已知点M、N是在以(2,0)为圆心，半径为13的圆上的两个动点，且满足MN=2，若MN是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，当M点在圆上运动一周时，反射轴l与y轴的交点的纵坐标的取值范围是___________．
18．（2022·北京房山·统考一模）对于平面内的点P和图形M，给出如下定义：以点P为圆心，r为半径作圆，若⊙P与图形M有交点，且半径r存在最大值与最小值，则将半径r的最大值与最小值的差称为点P视角下图形M的“宽度dM”．
（1）如图1.点A(4,3)，B(0,3)．
①在点O视角下，则线段AB的“宽度dAB”为_________；
②若⊙B半径为1.5，在点A视角下，⊙B的“宽度d⊙B”为_________；
（2）如图2，⊙O半径为2，点P为直线y=−x+1上一点．求点P视角下⊙O“宽度d⊙O”的取值范围；
（3）已知点C(m,0),CK=1，直线y=33x+3与x轴，y轴分别交于点D，E．
若随着点C位置的变化，使得在所有点K的视角下，线段DE的“宽度”均满足019．（2022秋·北京·九年级校考期中）对于平面直角坐标系xOy中的点C及图形W，有如下定义：若图形W上存在A、B两点，使△ABC为等腰直角三角形，且∠ABC=90°，我们则称点C为图形W的“关联点”．
（1）已知点O(0,0)，M(4,0)，在点C1(0,4)，C2(2,1)，C3(3,−4)中，线段OM的“关联点”是________；
（2）直线y=x+b分别交x轴、y轴于P、Q两点，若点C(−2,1)为线段PQ的“关联点”，求b的取值范围；
（3）已知直线y=−x+m(m>0)分别交x轴、y轴于E、F两点，若线段EF上的所有点都是半径为1的⊙O的“关联点”，直接写出m的取值范围．
20．（2023·北京·九年级专题练习）在平面直角坐标系xOy中，给定图形W和点P，若图形W上存在两个点M，N满足PM=3PN且∠MPN=90°，则称点P是图形W的关联点．已知点A−23,0，B0,2．
（1）在点P1−3,−1，P2−3,3，P3−23,−2中，______是线段AB的关联点；
（2）⊙T是以点Tt,0为圆心，r为半径的圆．
①当t=0时，若线段AB上任一点均为⊙O的关联点，求r的取值范围；
②记线段AB与线段AO组成折线G，若存在t≥4，使折线G的关联点都是⊙T的关联点，直接写出r的最小值．
专题24.3 坐标系中圆的综合
【典例1】在平面直角坐标系xOy中，对于点P和线段AB，若线段PA或PB的垂直平分线与线段AB有公共点，则称点P为线段AB的融合点．
（1）已知A3，0，B5，0，
①在点P16，0，P21，−2，P33，2中，线段AB的融合点是______；
②若直线y=t上存在线段AB的融合点，求t的取值范围；
（2）已知⊙O的半径为4，Aa,0，Ba+1,0，直线l过点T0,−1，记线段AB关于l的对称线段为A'B'．若对于实数a，存在直线l，使得⊙O上有A'B'的融合点，直接写出a的取值范围．
【思路点拨】
（1）①画出对应线段的垂直平分线，再根据融合点的定义进行判断即可；②先确定线段AB融合点的轨迹为分别以点A，B为圆心，AB长为半径的圆及两圆内区域，则当直线y=t与两圆相切时是临界点，据此求解即可；
（2）先推理出A'B'的融合点的轨迹即为以T为圆心，TA−1的长为半径的圆和以T为圆心，以TB+1的长为半径的圆的组成的圆环上（包括两个圆上），再求出两个圆分别与⊙O内切，外切时a的值即可得到答案．
【解题过程】
（1）解：①如图所示，根据题意可知P1，P3是线段AB的融合点，
故答案为；P1，P3；
②如图1所示，设PA的垂直平分线与线段AB的交点为Q，
∵点Q在线段PA的垂直平分线上，
∴PQ=AQ，
∴当点Q固定时，则点P在以Q为圆心，AQ的长为半径的圆上，
∴当点Q在AB上移动时，此时点P的轨迹即线段AB的融合点的轨迹为分别以点A，B为圆心，AB长为半径的圆及两圆内区域．
当直线y=t与两圆相切时，记为l1，l2，如图2所示．
∵A3，0，B5，0，
∴AB=2,
∴t=2或t=−2．
∴当−2≤t≤2时，直线y=t上存在线段AB的融合点．
（2）解：如图3-1所示，假设线段AB位置确定，
由轴对称的性质可知TA=TA'，TB=TB'，
∴点A'在以T为圆心，TA的长为半径的圆上运动，点B'在以T为圆心，以TB的长为半径的圆上运动，
∴A'B'的融合点的轨迹即为以T为圆心，TA−1的长为半径的圆和以T为圆心，以TB+1的长为半径的圆的组成的圆环上（包括两个圆上）；
当TA如图3-2所示，当以T为圆心，TA−1为半径的圆与⊙O外切时，
∴TA−1=4+1，
∴0−a2+−1−02=6，
∴a2+1=36，
∴a=35（负值舍去）；
如图3-3所示，当以T为圆心，TB+1为半径的圆与⊙O内切时，
∴TB+1=3，
∴0−a−12+−1−02=2，
∴a2+2a+1+1=4，
∴a=3−1（负值舍去）；
∴3−1≤a≤35时，存在直线l，使得⊙O上有A'B'的融合点；
同理当TA>TB时，
当以T为圆心，TB−1为半径的圆与⊙O外切时，
∴TB−1=4+1，
∴0−a−12+−1−02=6，
∴a2+2a+1+1=36，
∴a=−35−1（正值舍去）；
当以T为圆心，TA+1为半径的圆与⊙O内切时，
∴TA+1=3，
∴0−a2+−1−02=2，
∴a2+1=4，
∴a=−3（正值舍去）；
∴−35−1≤a≤−3时，存在直线l，使得⊙O上有A'B'的融合点；
综上所述，当3−1≤a≤35或−35−1≤a≤−3时存在直线l，使得⊙O上有A'B'的融合点．
1．（2022·宁夏固原·统考一模）在平面直角坐标系xOy中，点Px0,y0到直线Ax+By+c=0A2+B2≠0的距离公式为：d=Ax0+By0+CA2+B2，例如，求点P1,3到直线4x+3y−3=0的距离．解：由直线4x+3y−3=0知：A=4，B=3，C=−3所以P1,3到直线4x+3y−3=0的距离为：d=4×1+3×3−342+32=2根据以上材料，解决下列问题：
（1）求点P11,−1到直线3x−4y−5=0的距离．
（2）已知：⊙C是以点C2,1为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y=−34x+b相切，求实数b的值；
（3）如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出△ABP面积的最大值和最小值．
【思路点拨】
（1）直接利用距离公式代入计算即可得到答案；
（2）把直线y=−34x+b整理，得3x+4y−4b=0，利用公式列方程求解即可；
（3）先求圆心C(2,1)到直线AB的距离，判断出P到AB的最大距离与最短距离可得答案．
【解题过程】
（1）解：3x-4y-5=0，
其中A=3,B=-4，C=-5，
∴d=|Ax0+By0+C|A2+B2，P1(1,−1)，
∴d=|3+4−5|32+(−4)2=25，
∴距离为25；
（2）直线y=−34x+b整理，得3x+4y−4b=0，
故a=3，b=4，c=−4b．
∵⊙C与直线相切，
∴点C到直线的距离等于半径，
即|3×2+4×1−4b|32+42=1，
整理得|10−4b|=5，
解得b=54或b=154；
（3）如解图，过点C作CD⊥AB于点D．
∵在3x+4y+5=0中，
a=3，b=4，c=5，
∴圆心C(2,1)到直线AB的距离CD=|3×2+4×1+5|32+42=3，
∴⊙C上的点到直线AB的最大距离为3+1=4，
最小距离为3−1=2，
∴SΔABP的最大值为12×2×4=4，
最小值为12×2×2=2．
2．（2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向x轴，y轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4，则点P叫做“垂距点”．例如：下图中的P1，3是“垂距点”．
（1）在点A2，2，B32，−52，C−1，5中，是“垂距点”的点为 ；
（2）求函数y=2x+3的图象上的“垂距点”的坐标；
（3）⊙T的圆心T的坐标为1，0，半径为r．若⊙T上存在“垂距点”，则r的取值范围是 ．
【思路点拨】
（1）由题意利用“垂距点”的定义垂线段的长度的和为4，对点A2,2，B32,−52，C−1,5进行分析判断；
（2）由题意可知点横纵坐标的绝对值的和为4，依次列式求出“垂距点”的坐标；
（3）设“垂距点”的坐标为x,y，则x+y=4x⋅y≠0，画出函数图像，分情况讨论即可解得．
【解题过程】
（1）解：由题意得 ，垂线段的长度的和为4．
A:2+2=4，B:32+−52=4，C:−1+5=6
故答案为：A，B．
（2）解：设函数y=2x+3的图像上的“垂距点”的坐标a,2a+3．
由题意得 a+2a+3=4．
①当a≥0时，a+2a+3=4．
∴a=13．
②当−32≤a＜0时，−a+2a+3=4．
∴a=1（不合题意，舍）．
③当a<−32时，−a−2a＋3=4．
∴a=−73．
∴ 综上所述，函数y＝2x＋3的图像上的“垂距点”的坐标是13,113，−73,−53．
（3）解：设“垂距点”的坐标为x,y，则x+y=4x⋅y≠0
当x>0,y>0时，x+y=4，即y=−x+40当x<0,y>0时，−x+y=4，即y=x+4−4当x<0,y<0时，−x−y=4，即y=−x−4−4当x>0,y<0时，x−y=4，即y=x−40当⊙T与DE相切时，过点T作TN⊥直线DE于点N，则△DNT为等腰直角三角形，
∴TN=22TD=22×4−1=322
当⊙T过点F−4,0时，⊙T上不存在“垂距点”，
此时r=FT=1−−4=5
∴若存在“垂距点”，则r的取值范围是322≤r<5．
故答案为：322≤r<5．
3．（2022秋·北京丰台·九年级北京市第十二中学校考阶段练习）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C,给出如下定义:连接PC交⊙C于点N,若点P关于点N的对称点Q在⊙C的内部，则称点P是⊙C的外称点.
（1）当⊙O的半径为1时，
①在点D−1,−1，E2,0，F0,4中，⊙O的外称点是 ；
②若点Mm,n为⊙O的外称点，且线段MO交⊙O于点G22,22，求m的取值范围;
（2）直线y=−x+b过点A1,1， 与x轴交于点B. ⊙T的圆心为Tt,0, 半径为1若线段AB上的所有点都是⊙T的外称点，请直接写出t的取值范围.
【思路点拨】
（1）①由外称点的定义可知：P到圆心的距离小于3且大于1，点P才是⊙O的外称点，据此可求得答案；②由点G22,22知，点G在一、三象限角平分线上，则点Mm,n也在一、三象限角平分线上，根据外称点的定义，OM<3,且OM>1,由两点之间的距离公式可求得m的取值范围;
（2）根据外称点的定义，分点T(t， 0)在点B左侧时和右侧两种情况，线段AB上的点离⊙T最远的点要小于3，离⊙T最近的点要大于1，画出图形，利用数形结合思想，即可解答.
【解题过程】
（1） ①由外称点的定义可知：P到圆心的距离小于3且大于1，点P才是⊙O的外称点，
点D(-1，-1)，DO=2<3, 点D是⊙O的外称点，
点E(2，0)，EO=2<3, 点E是⊙O的外称点，
点F(0，4)，FO=4>3, 点F不是⊙O的外称点，
故答案是：D,E
②由点G22,22知，点G在一、三象限角平分线上，则点Mm,n也在一、三象限角平分线上，
∴m=n，OM=m2+n2=2m
由外称点的定义可知：OM<3,即2m<3,解得：m<322
又OM>1，则m>22
∴m的取值范围是：22（2）∵直线y=−x+b过点A1,1，代入求得：b=2,
∴直线的解析式是：y=−x+2，则与x轴交于点B的坐标是(2，0)，与y轴交于点C的坐标是(0，2)，∴⊿COB为等腰直角三角形，
当点T(t， 0)在点B左侧时，如图1，离⊙T最远的点为点B，依题意：TB<3，∴t>−1，
当⊙T与线段AB相切时，切点离⊙T为最近，如图2：作TD⊥AB于D，
∴⊿TDB为等腰直角三角形，TD=1
∴TB=2，则OT=2−2，∴依题意：t<2−2
故当点T(t， 0)在点B左侧时，−1
当点T(t， 0)在点B右侧时，如图3，离⊙T最近的点为点B，依题意：TB>1，∴t>3，
离⊙T最远的点为点A，如图4，依题意：TA<3，
由两点之间距离公式：TA2=(t−1)2+12<9，
解得：t<22+1(因为T在Ｂ右侧，t<−22−1舍去)
故当点T(t， 0)在点B右侧时，3综上所述，答案是：−14．（2022春·九年级课时练习）对于平面直角坐标系xOy中的图形P，Q，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为图形Q上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P，Q间的“非常距离”，记作dP,Q．已知点A−2,2，B2,2，连接AB．
（1）d（点O，AB）＝ ；
（2）⊙O半径为r，若d⊙O,AB=0，直接写出r的取值范围；
（3）⊙O半径为r，若将点A绕点B逆时针旋转α°0°<α<180°，得到点A'．
①当α=30°时d⊙O,A'=0，求出此时r的值；
②对于取定的r值，若存在两个α使d⊙O,A'=0，直接写出r的范围．
【思路点拨】
（1）理解题意后直接利用垂线段最短即可求解．
（2）先理解当⊙O与线段有交点时，d⊙O,AB=0，利用⊙O与线段相切和⊙O经过A点即可求解．
（3）①先确定A'位于x轴上，再求出OA'的长即可求解；②先确定A'的轨迹，再利用存在两个α使d(⊙O,A')=0，确定并求出两个界点值，即可求解．
【解题过程】
（1）解：∵O点到AB的距离为2，
∴d（点O，AB）＝2，
故答案为2．
（2）当⊙O与线段有交点时，d⊙O,AB=0，
∵OA=OB=22+22=22，
∴2≤r≤22．
（3）①如图，作A'N⊥AB于点N，作
∴∠A'NB=90°，
由旋转知BA'=BA=2−−2=4，
∵∠ABA'=30°，
∴A'N=12BA'=2,
∴A'位于x轴上，BN=42−22=23，
∴A'M=23，
∴A'O=23−2，
∵d⊙O,A'=0，
∴⊙O经过A'点，
∴r=23−2.
②如图所示，连接OB，
∵对于取定的r值，若存在两个α使d(⊙O,A')=0，
∴⊙O与以AH为直径的半圆有两个交点（A点和H点除外），
此时有两个界点值，分别是⊙O与该半圆内切时和⊙O经过A点时，
由B2,2，得OB=22+22=22,
当⊙O与该半圆内切时，r=4−22，
当⊙O经过A点时，r=22，
∴4−22＜r＜22．
5．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）对于平面内的⊙C和⊙C外一点Q，给出如下定义：若过点Q的直线与⊙C存在公共点，记为点A，B，设k=AQ+BQCQ，则称点A（或点B）是⊙C的“K相关依附点”，特别地，当点A和点B重合时，规定AQ=BQ，k=2AQCQ（或2BQCQ）．
已知在平面直角坐标系xy中，Q(-1,0)，C(1,0)，⊙C的半径为r．
（1）如图1，当r=2时，
①若A1(0,1)是⊙C的“k相关依附点”，求k的值．
②A2(1+2，0)是否为⊙C的“2相关依附点”．
（2）若⊙C上存在“k相关依附点”点M，
①当r=1，直线QM与⊙C相切时，求k的值．
②当k=3时，求r的取值范围．
（3）若存在r的值使得直线y=−3x+b与⊙C有公共点，且公共点时⊙C的“3相关依附点”，直接写出b的取值范围．
【思路点拨】
（1）①如图1中，连接AC、QA1．首先证明QA1是切线，根据k=2AQCQ计算即可解决问题；
②根据定义求出k的值即可判断；
（2）①如图，当r=1时，不妨设直线QM与⊙C相切的切点M在x轴上方（切点M在x轴下方时同理），连接CM，则QM⊥CM，根据定义计算即可；
②如图3中，若直线QM与⊙C不相切，设直线QM与⊙C的另一个交点为N（不妨设QN（3）如图4中，由（2）可知：当k=3时，1⩽r<2．当r=2时，⊙C经过点Q(−1,0)或E(3,0)，当直线y=−3x+b经过点Q时，b=−3，当直线y=−3x+b经过点E时，b=33，即可推出满足条件的b的取值范围为−3【解题过程】
（1）①如图1中，连接AC、QA1．
由题意：OC=OQ=OA1，∴△QA1C是直角三角形，∴∠CA1Q=90°，即CA1⊥QA1，∴QA1是⊙C的切线，∴k=2QA1QC=222=2．
②∵ A2(1+2,0)在⊙C上，∴k=2−2+1+2+12=2，∴A2是⊙C的“2相关依附点”．
故答案为2，是；
（2）①如图2，当r=1时，不妨设直线QM与⊙C相切的切点M在x轴上方（切点M在x轴下方时同理），连接CM，则QM⊥CM．
∵Q(−1,0)，C(1,0)，r=1，∴CQ=2，CM=1，∴ MQ=3，此时k=2MQCQ=3；
②如图3中，
若直线QM与⊙C不相切，设直线QM与⊙C的另一个交点为N（不妨设QN∴MQ+NQ=(MN+NQ)+NQ=2ND+2NQ=2DQ，
∵CQ=2，
∴ k=MQ+NQCQ=2DQCQ=DQ，
∴当k=3时，DQ=3，此时CD=CQ2−DQ2=1，
假设⊙C经过点Q，此时r=2，
∵点Q早⊙C外，
∴r的取值范围是1⩽r<2．
（3）如图4中，由（2）可知：当k=3时，1⩽r<2．
当r=2时，⊙C经过点Q(−1,0)或E(3,0)，当直线y=−3x+b经过点Q时，b=−3，当直线y=−3x+b经过点E时，b=33，∴满足条件的b的取值范围为−36．（2022秋·北京·九年级校考阶段练习）对于平面直角坐标系xOy中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为d1，到y轴的距离为d2，若d1≤d2，则称d1为点P的“引力值”；若d1＞d2，则称d2为点P的“引力值”．特别地，若点P在坐标轴上，则点P的“引力值”为0．
例如，点P（﹣2，3）到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，因为2＜3，所以点P的“引力值”为2．
（1）①点A（﹣1，4）的“引力值”为 ；
②若点B（a，3）的“引力值”为2，则a的值为 ；
（2）若点C在直线y＝﹣2x+4上，且点C的“引力值”为2，求点C的坐标；
（3）已知点M是以（3，4）为圆心，半径为2的圆上一个动点，那么点M的“引力值”d的取值范围是 ．
【思路点拨】
（1）①直接根据“引力值”的定义，其最小距离为“引力值”；
②点B(a,3)到x轴的距离为3，且其“引力值”为2，所以a=±2；
（2）根据点C的“引力值”为2，可得x=±2或y=±2，代入可得结果；
（3）M在点C处时，其“引力值”最小为1，在第一象限角平分线上时，其“引力值”最大，根据勾股定理求出d的值．
【解题过程】
解：（1）①∵点A(−1,4)到x轴的距离为4，到y轴的距离为1，
∵1<4，
∴点A的“引力值”为1．
②∵点B(a,3)的“引力值”为2，
∴a=±2；
（2）设点C的坐标(x,y)，
∵点C的“引力值”为2，
∴x=±2或y=±2，
当x=2时，y=−2×2+4=0，此时点C的“引力值”为0，不符合题意，舍去，
当x=−2时，y=−2×(−2)+4=8，此时点C的坐标为(−2,8)，
当y=2时，−2x+4=2，x=1，此时点C的“引力值”为1，不符合题意，舍去，
当y=−2时，−2x+4=−2，x=3，此时点C的坐标为(3,−2)，
综上所述，点C的坐标为(−2,8)或(3,−2)；
（3）如图，过A分别作x、y轴的垂线，分别交⊙A于B和C，交y轴于D，
∵A(3,4)，AC=AB=2
∴C(1,4)，B(3,2)
∴点M的“引力值”d最小为1，
设M(x,y)，过M作MN⊥AC于N，
当x=y时，点M的“引力值”d最大，
∴MN=x−4，AN=x−3，AM=2，
由勾股定理得：AM2=MN2+AN2，
22=(x−4)2+(x−3)2，
2x2−14x+21=0，
x=14±196−4×2×212×2=7±72，
∴M(7−72，7−72)或(7+72，7+72)，
∴点M的“引力值”d的取值范围是：1⩽d⩽7+72．
故答案为：1⩽d⩽7+72．
7．（2022·浙江温州·校联考模拟预测）M（﹣1，−12），N（1，−12）是平面直角坐标系xOy中的两点，若平面内直线MN上方的点P满足：45°≤∠MPN≤90°，则称点P为线段MN的可视点．
（1）在点A1(0，12)，A2(12，0)，A3(0，2)，A4（2，2）中，线段MN的可视点为 ；
（2）若点B是直线y＝x+12上线段MN的可视点，求点B的横坐标t的取值范围；
（3）直线y＝x+b（b≠0）与x轴交于点C，与y轴交于点D，若线段CD上存在线段MN的可视点，直接写出b的取值范围．
【思路点拨】
（1）根据“直径所对的圆周角是直角”可知线段MN的可视点在以MN为直径的圆的外部或圆上，根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”可知线段MN的可视点在以E为圆心，EM长为半径的⊙E的内部或⊙E上，根据坐标可以判断哪些点符合要求．
（2）点B既要在直线y＝x＋12上，又要⊙E的内部或圆上，且在⊙G的外部或圆上，故应该在直线y＝x＋12与⊙G、⊙E的交点E、F为端点的线段上，求出E、F的横坐标即可．
（3）分b＜0，b＞0两种情况进行讨论．
【解题过程】
解：（1）如图1，以MN为直径的半圆交y轴于点E，以E为圆心，EM长为半径的⊙E交y轴于点F，
∵MN是⊙G的直径，
∴∠MA1N＝90°，
∵M（﹣1，−12），N（1，−12）
∴MN⊥EG，EG＝1，MN＝2
∴EM＝EF=2，
∴∠MFN=12∠MEN＝45°，
∵45°≤∠MPN≤90°，
∴点P应落在⊙E内部，且落在⊙G外部
∴线段MN的可视点为A1，A3；
故答案为A1，A3；
（2）如图，以（0，−12）为圆心，1为半径作圆，以（0，12）为圆心，2为半径作圆，两圆在直线MN上方的部分与直线y=x+12分别交于点E，F．
过点F作FH⊥x轴，过点E作EH⊥FH于点H，
∵FH⊥x轴，
∴FH∥y轴，
∴∠EFH＝∠MEG＝45°，
∵∠EHF＝90°，EF=2，
∴EH＝FH＝1，
∴E（0，12），F（1，32）．
只有当点B在线段EF上时，满足45°≤∠MBN≤90°，点B是线段MN的可视点．
∴点B的横坐标t的取值范围是0≤t≤1．
（3）如图，⊙G与x轴交于H，与y轴交于E，连接GH，OG=12，GH＝1，
∴OH=GH2−OG2=12−(12)2=32，
∴H（32，0）．E（0，12）
当直线y＝x+b（b≠0）与x轴交于点C，与y轴交于点D，若线段CD上存在线段MN的可视点，
①直线y＝x+b与y轴交点在y负半轴上
将H（32，0）代入y＝x+b得32+b＝0，解得b1=−32，
将N（1，−12）代入y＝x+b得1+b=−12，解得b2=−32
∴−32＜b≤−32
②直线y＝x+b与y轴交点在y正半轴上
将 E（0，12）代入得b=12，
当直线y＝x+b与⊙E相切于T时交y轴于Q，连接ET，则ET⊥TQ，
∵∠EQT＝45°，
∴TQ＝ET＝EM=2，
∴EQ=ET2+TQ2=(2)2+(2)2=2
∴OQ＝OE+EQ=12+2=52
∴12≤b≤52
综上所述：12≤b≤52或−32＜b≤−32．
8．（2022·北京密云·统考二模）对于平面直角坐标系xOy中的点P2,3与图形T，给出如下定义：在点P与图形T上各点连接的所有线段中，线段长度的最大值与最小值的差，称为图形T关于点P的“宽距”．
（1）如图，⊙O的半径为2，且与x轴分别交于A，B两点．
①线段AB关于点P的“宽距”为______；⊙O关于点P的“宽距”为______．
②点Mm,0为x轴正半轴上的一点，当线段AM关于点P的“宽距”为2时，求m的取值范围．
（2）已知一次函数y=x+1的图象分别与x轴、y轴交于D、E两点，⊙C的圆心在x轴上，且⊙C的半径为1．若线段DE上的任意一点K都能使得⊙C关于点K的“宽距”为2，直接写出圆心C的横坐标xC的取值范围．
【思路点拨】
（1）①连接PA，PB，求出PA=5，PB=4，证PB⊥x轴，则PA是最大值，PB是最小值，即可由“宽距”定义求解第一空；作直线OP交 ⊙O于G、H，线段PH长度最大，PG长度最小，即可由“宽距”定义求解第二空；
②当0（2）分两种情况：当点C(xC，0）在点D的左侧，且⊙C经过点D时，当点C(xC，0）在点D的右侧，且⊙C与直线y=x+1相切于点N时，分别求解即可．
【解题过程】
（1）解：①如图1，连接PA，PB，
由图可知：A（-2，0），B（2，0），
∴AB=4，
∵P（2，3），
∴PB⊥x轴，
∴PB=3，PA=2+22+32=5，
∴线段AB关于点P的“宽距”为5-3=2；
作直线OP交 ⊙O于G、H，
则点这与⊙O上各点连接的所有线段中，线段PH长度最大，PG长度最小，
∴⊙O关于点P的“宽距”为PH-PG=GH=4；
故答案为：2，4；
②∵点Mm,0为x轴正半轴上的一点，
∴m>0，
当0当m≥2时，
∵P（2，3），
∴点P到x轴的最短距离为3,即点P到AM的最短距离为3，
又∵线段AM关于点P的“宽距”为2，
∴当PM长度是最大时，最大值为2+3=5，
∴PM最大=m−22+32=5，
解得m=6或m=-2，
∴2≤m≤6．
（2）解：如图2，在直线y=x+1中，令x=0，则y=1，令y=0，则x=-1，
∴D（-1，0），E（0，1），
∴OD=OE=1，
∴∠ODE=45°，
当点C(xC，0）在点D的左侧，且⊙C经过点D时，
∵⊙C半径为1，
∴xC=-2，
由（1）①第二空可知，当xC≤-2时，线段DE上任意一点K都能使得⊙C关于K的“宽距”为2；
当点C(xC，0）在点D的右侧，且⊙C与直线y=x+1相切于点N时，则CN⊥DE，
∴CN=1，
∵∠ODE=45°，
∴∠DCN=90°-∠ODE=45°，
∴DN=CN=1，
∴CD=DN2+CN2=12+12=2，
∴OC=CD-OD=2-1，
由（1）①第二空可知，当xC≥2-1时，线段DE上任意一点K都能使得⊙C关于K的“宽距”为2；
综上，圆心C的横坐标xC的取值范围为xC≤-2或xC≥2-1．
9．（2023·北京海淀·九年级期末）对于平面直角坐标系xOy中的图形G和点P给出如下定义；Q为图形G上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的k倍，则称点P为图形G的“k分点”．
已知点N3，0，A1，0，B0，3，C1，−1．
（1）①在点A，B，C中，线段ON的“2分点”是______；
②点Da，0，若点C为线段OD的“二分点”，求a的值；
（2）以点O为圆心，r为半径画图，若线段AN上存在⊙O的“二分点”，直接写出r的取值范围．
【思路点拨】
（1）①分别找出点A、B、C到线段ON的最小值和最大值，是否满足“2分点”定义即可，
②对a的取值分情况讨论：02和a<0，根据“二分点”的定义可求解，
（2）设线段AN上存在⊙O的“二分点”为Mm，01≤m≤3．对r的取值分情况讨论0r，r≥3，根据二分点的定义可求解．
【解题过程】
（1）解：①∵点A在ON上，故最小值为0，不符合题意，
点B到ON的最小值为OB=3，最大值为BN=32+32=32，
∴点B是线段ON的“2分点”，
点C到ON的最小值为1，最大值为CN=22+12=5
∴点C不是线段ON的“2分点”，
故答案为：点B；
②当0点C到OD的最大值为CO=12+−12=2，
∵点C为线段OD的“二分点”，
∴2=22−2a+a2，
即2a2−4a+3=0，
∵Δ<0，
故无解，舍去；
当1点C到OD的最大值为CO=12+−12=2，最大值不是最小值的2倍，所以舍去，
当a>2时，点C到OD的最小值为1，
点C到OD的最大值为CD=a−12+0−12=a2−2a+2，
∵点C为线段OD的“二分点”，
∴a2−2a+2=2×1，a1=1+3，a2=1−3（舍去），
当a<0时，点C到OD的最小值为CO=12+−12=2，
点C到OD的最大值为CD=1−a2+−1−02=a2−2a+2，
∵点C为线段OD的“二分点”，
同0综上a=1+3．
（2）如图所示，设线段AN上存在⊙O的“二分点”为Mm，01≤m≤3，
当0∴2m−r=m+r，即r=13m，
∵1≤m≤3，
∴13≤r≤1，
当1∴2r−m=r+m，即r=3m，
∵1≤m≤3，
∴3≤r≤9，
∵1∴r不存在，
当1r时，最小值为：m−r，最大值为：m+r，
∴2m−r=r+m，即r=13m，
∵13≤r≤1，
∵1∴r不存在．
当r≥3时，最小值为：r−m，最大值为：m+r，
∴2r−m=r+m，即r=3m，
∴3≤r≤9．
∵r≥3，
∴3≤r≤9，
综上所述，r的取值范围为13≤r≤1或3≤r≤9．
10．（2023秋·北京·九年级北京市师达中学校考阶段练习）对于平面直角坐标系xOy中的点M，N和图形W，给出如下定义：若图形W上存在一点P，使得∠PMN=90°，且MP=MN，则称点M为点N关于图形W的一个“旋垂点”
（1）已知点A0，4，B4，4，
①在点M1(−2，2)，M2(0，2)，M3(2，2)中，是点O关于点A的“旋垂点”的是___________；
②若点Mm，n是点O关于线段AB的“旋垂点”，求m的取值范围；
（2）直线y=−x+2与x轴，y轴分别交于C，D两点，⊙T的半径为10，圆心为Tt，0，若在⊙T上存在点P，线段CD上存在点Q，使得点Q是点P关于⊙T的一个“旋垂点”，且PQ=2，直接写出t的取值范围．
【思路点拨】
（1）①根据“旋垂点”的定义，逐个判断即可；②当∠OM1A=90°，M1A=OM1时，m=−2，当∠BM2O＝90°，BM2＝M2O时，m=4，即可求出m的取值范围；
（2）由题意可知，Q点在以T为圆心、半径为2或4的圆上，画出图形，分别求出两种情况下对应t的取值，即可求解．
【解题过程】
（1）解：①由题意可得，O0，0，OA=4
根据“旋垂点”的定义，可知∠OMA=90°，MA=MO
当M1−2，2时，OM1=22+22=22，M1A=22+4−22=22，
∴M1A=OM1，M1A2+OM12=OA2，
∴∠OM1A=90°，即M1是点O关于点A的“旋垂点”，
当M2(0，2)时，OM2=2，M2A=2，
O、M2、A在一条直线上，
∴∠OM2A=180°，即M2不是点O关于点A的“旋垂点”，
当M3(2，2)时，OM3=22+22=22，M3A=22+4−22=22，
∴M3A=OM3，M3A2+OM32=OA2，
∴∠OM3A=90°，即M3是点O关于点A的“旋垂点”，
故答案为：M1、M3；
②∵点A（0，4），B（4，4），
∴AB//x轴，
当∠AM1O=90°，M1A=OM1时，m=−2，
当P点从A到B移动时，−2≤m≤0；
当∠BM2O=90°，BM2=M2O时，m=4，
当P点从A到B移动时，2≤m≤4；
∴当−2≤m≤0或2≤m≤4，点Mm，n是点O关于线段AB的“旋垂点”；
（2）解：当x＝0时，y＝2，
∴D（0，2），
当y＝0时，x＝2，
∴C（2，0），
∵PQ=2，∠PQN＝90°，PQ＝QN，
∴PN=2，
∵⊙T的半径为10，
∴TQ=2或TQ=4，
∴Q点在以T为圆心、半径为2或4的圆上，如图；
当D点与Q'点重合时，TD=4，
∴TO=23 ，
∴t=−23；
当Q'点与C点重合时，OT=2 ，
∴t=−2，
∴−23≤t≤−2；
当Q点与C点重合时，OT=6，
∴t=6；
当Q在CD上且TQ⊥CD时，TQ=2，
∴OT=22−2，
∴t=2−22；
∴2−22≤t≤6；
∴t的取值范围为：−23≤t≤−2或2−22≤t≤6．
11．（2023春·全国·九年级专题练习）对于点P和图形G，若在图形G上存在不重合的点M和点N，使得点P关于线段MN中点的对称点在图形G上，则称点P是图形的G的“中称点”．在平面直角坐标系xOy中，已知点A1,0，B1,1，C0,1．
（1）在点P112,0，P212,12，P31,−2，P4−1,2中，_____是正方形OABC的“中称点”；
（2）⊙T的圆心在x轴上，半径为1．
①当圆心T与原点O重合时，若直线y=x+m上存在⊙T的“中称点”，求m的取值范围；
②若正方形OABC的“中称点”都是⊙T的“中称点”，直接写出圆心T的横坐标t的取值范围．
【思路点拨】
（1）由题意可知，正方形OABC的“中称点”是以D2,2，E−1,2，F−1,−1，G2,−2为顶点的正方形内部，如图可知P112,0，P212,12符合题意；P31,−2，P4−1,2，不符合题意；
（2）①由题意得：⊙T的“中称点”在以O为圆心，3为半径的圆内，当直线y=x+m与此圆相切于点D时，求得直线与y轴交于点E0,32；同理，相切于点F时，直线与y轴交于点G0,−32，即可得到m的取值范围；
②如图，由由题意可知，正方形DEFG在⊙T内部，当⊙T经过−1,2时，解得t=5−1；当⊙T经过2,2时，解得t=2−5，即可求出t的取值范围．
【解题过程】
（1）解：由题意可知，
正方形OABC的“中称点”是以D2,2，E−1,2，F−1,−1，G2,−2为顶点的正方形内部，如图：
P112,0，P212,12在正方形DEFG内部，符合题意；
P31,−2在正方形DEFG外，P4−1,2在正方形DEFG上，不符合题意；
故答案为：P1，P2；
（2）①由题意得：⊙T的“中称点”在以O为圆心，3为半径的圆内，
当直线y=x+m与此圆相切于点D时，设在Dx,y x<0,y>0，
则∠DAO=∠DOA=45°，
∴x=y，
∵x2+y2=32，
∴x=−322，y=322，
∴322=−322+m，
∴m=32，
故直线与y轴交于点E0,32；
同理，相切于点F时，直线与y轴交于点G0,−32，
∵直线y=x+m上存在⊙T的“中称点”，
∴ −32②如图，由由题意可知，正方形DEFG在⊙T内部，
当⊙T经过−1,2时，t>0，
t−−12+22=32，
解得：t=5−1或t=−5−1（舍去）
当⊙T经过2,2时，t<0，
t−22+22=32，
解得：t=2−5或t=5+2（舍去），
综上所述，
∴2−5≤t≤5−1．
12．（2023春·江苏扬州·九年级高邮市城北中学校联考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A为任意一点，B为⊙O上一点．给出如下定义：记A、B两点间的距离的最小值为p（规定：点A在⊙O上时，p=0），最大值为q，那么把p+q2的值称为点A与⊙O的“关联距离”，记作dA,⊙O．
（1）如图，点D、E、F的横、纵坐标都是整数．
①dD,⊙O=___；
②若点M在线段EF上，求dM,⊙O的取值范围．
（2）若点N在直线y=3x+23上，求dN,⊙O的取值范围．
（3）正方形的边长为m，若点P在该正方形的边上运动时，满足dP,⊙O的最小值为1，最大值为10，直接写出m的最小值和最大值．
【思路点拨】
（1）①运用新定义“关联距离”，即可求得答案；②根据新定义“关联距离”，分别求出d(E,⊙O)=2，d(F,⊙O)=3，即可得出答案；
（2）设ON=d，可得p=d−1，q=d+1，运用新定义“关联距离”，可得d(N,⊙O)=d，再利用S△AOB=12OA⋅OB=12AB⋅ON，即可求得答案；
（3）如图2，找出特殊位置，分别画出图形，即可得出答案．
【解题过程】
（1）解：①∵D(0,2)到⊙O的距离的最小值p=1，最大值q=3，
∴d(D,⊙O)=1+32=2，
故答案为：2；
②当M在点E处，d(E,⊙O)=2，
当M在点F处，d(F,⊙O)=2+42=3，
∴2≤d(M,⊙O)≤3；
（2）设ON=d，
∴p=d−r=d−1，q=d+r=d+1，
∴d(N,⊙O)=p+q2=d−1+d+12=d，
∵点N在直线y=3x+23上，
设直线交x轴于点B，交y轴于点A，如图1，
则x=0时，y=23，y=0时，x=−2，
∴A(0，23)，B(−2,0)，
∴OA=23，OB=2，
∴AB=OA2+OB2=4，
当ON⊥AB时，d(N,⊙O)最小，
∴S△AOB=12OA⋅OB=12AB⋅ON，即12×23×2=12×4ON，
∴ON=3，
∵ON无最大值，
∴d(N,⊙O)≥3；
（3）如图2，
∵d(P,⊙O)的最小值为1，最大值为10，
∴两个同心圆中，小圆的半径为1，大圆的半径为10，
∵KL=10−1，
∴m的最小值是10−12=5−22，
在Rt△OMH中，OM=10，OH=m−1，MH=12m，
∴(m−1)2+(12m)2=(10)2，
解得：m=−2（舍去）或m=185；
∴m的最小值为5−22，最大值为185．
13．（2022秋·北京海淀·九年级清华附中校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，对于图形M和点P，若图形M上存在两个点E、F，使得EP+FP＝2，则称点P为图形M的“距2点”．
设A（﹣4，0），B（4，0），⊙O的半径为r．
（1）①点P1（1，0），P2（0，1），P3（﹣1，﹣12）中，是线段AB的“距2点”的是 ．
②若P4（3，4）是⊙O的“距2点”，求r的取值范围；
（2）设⊙M的半径为2，圆心M是x轴上的动点，C（﹣4，8）．若折线段AC﹣CB上存在点⊙M的“距2点”，直接写出圆心M横坐标的取值范围．
【思路点拨】
（1）①P1到(0,0)和(2,0)的距离之和是2，2OP2=2，P3到x轴的距离是12，从而得出结果；
②从OP4=32+42=5，进而求得；
（2）2AM1=2，2AM2=2，BM=32，M(4−32，0)，M3(7,0)，进而求得．
【解题过程】
解：（1）①如图，
∴P1到(0,0)和(2,0)的距离之和是2，
∴P1是线段AB的“距2点”，
∵2OP2=2，
∴P2不是线段AB的“距2点”，
∵P3到x轴的距离是12，
∴P3是线段AB的“距2点”，
故答案是P1和P3；
②如图2，
∵OP4=32+42=5，
∴5−1即4（2）如图3，
设圆心M的横坐标为x，
∵2AM1=2，2AM2=2，
∴−7∵CM=3，
∴BM=32，
∴M(4−32，0)，
∵M3(7,0)，
∴4−32综上所述：圆心M横坐标的取值范围是−714．（2023·北京·九年级专题练习）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得PM=QN，那么称点P与点Q是图形W的一对平衡点．
（1）已知⊙O的半径为1，点D的坐标为5,0．若点Ex,2在第一象限，且点D与点E是⊙O的一对平衡点，求x的取值范围；
（2）已知点H−3,0，以点O为圆心，OH长为半径画弧交x的正半轴于点K．点Ca,b（其中b≥0）是坐标平面内一个动点，且OC=5，⊙C是以点C为圆心，半径为2的圆，若HK上的任意两个点都是⊙C的一对平衡点，直接写出b的取值范围．
【思路点拨】
（1）如图，可得OE1=3，解得此时x=5，OE2=7，解得x=35，可求出范围；
（2）由点C在以O为圆心5为半径的上半圆上运动，推出以C为圆心2为半径的圆刚好与HK相切，此时要想HK上任意两点都是圆C的平衡点，需要满足CK≤6，CH≤6，分两种情形分别求出b的值即可判断．
【解题过程】
（1）解：∵⊙O的半径为1，点D的坐标为5,0，
∴点D到⊙O的最近距离是4，最远距离是6，
∵点D与点E是⊙O的一对平衡点，
此时需要满足E1到⊙O的最大距离是4，即OE1=3，
可得x= 32−22=5，
同理：当E2到⊙O的最小距离为是6时，OE2=7，
此时x=72−22=35，
综上所述，满足条件的x的值为5≤x≤35；

（2）∵点C在以O为圆心5为半径的上半圆上运动，
∴以C为圆心2为半径的圆刚好与HK相切，
此时要想HK上任意两点都是圆C的平衡点需要满足CK≤6，CH≤6，
如图1中，当CK=6时，
作CM⊥HK于M，
则a2+b2=52(3−a)2+b2=62，
解得：a=−13b=4143或a=−13b=−4143（舍去），
如图2中，当CH=6时，同法可得a=13，b=4143，
综上所述，满足条件的b的值为4143≤b≤5．

15．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期末）如图1，对于△PMN的顶点P及其对边MN上的一点Q，给出如下定义：以P为圆心，PQ长为半径的圆与直线MN的公共点都在线段MN上，则称点Q为△PMN关于点P的内联点．
在平面直角坐标系xOy中：
（1）如图2，已知点A(6,0)，点B在直线y=−12x+4上．
①若点B(4,2)，点C(4,0)，则在点O，C，A中，点______是△AOB关于点B的内联点；
②若△AOB关于点B的内联点存在，求点B横坐标m的取值范围；
（2）已知点D(3,0)，点E(6,3)，将点D绕原点O旋转得到点F，若△EOF关于点E的内联点存在，直接写出点F横坐标n的取值范围．
【思路点拨】
（1）①由内联点的定义可知C，A满足条件
②结合图象可知当点B为圆心的圆与AO线段相切时，有一个公共点，且符合内联点定义，故0≤m≤6时均符合题意．
（2）由（1）问可知，当OE与OF，或OF与EF垂直时有一个公共点且满足内联点的定义，故由此可作图，作图见解析，即可由勾股定理、斜率的性质，解得−355≤n≤0和355≤n≤125
【解题过程】
（1）①如图所示，由图像可知C，A点是△AOB关于点B的内联点
②如图所示，当点B为圆心的圆与AO线段相切时，有一个公共点，符合内联点定义
故0≤m≤6．
（2）如图所示，以O为圆心的圆O为点F点的运动轨迹，由（1）问可知当∠EFO或∠FOE为90°时，△EOF关于点E的内联点存在且只有一个，故当F点运动到F1F2和F3F4的范围内时，△EOF关于点E的内联点存在．
设F点坐标为（x，y），则x2+y2=9，由图象即题意知
当F点在F1点时，OF1⊥EF1，即kOF1⋅kEF1=−1有
xF1=0，yF1=3
当F点在F2点时，OF2⊥EO，即kOF2⋅kEO=−1有
OF22+EO2=EF22
即(x2+y2)2+(62+32)2=((6−|x|)2+(3−|y|)2)2
当F点在F3点时，OF3⊥EO，即kOF3⋅kEO=−1有
OF32+EO2=EF32
即(x2+y2)2+(62+32)2=((6−|x|)2+(3−|y|)2)2
解得x=355或x=−355
故xF3=355，xF2=−355
当F点在F4点时，OF4⊥EF4，
OF42+EF42=OE2
即(x2+y2)2+((6−x)2+(3+y)2)2=(62+32)2
化简得x2+y2=6x−3y
且OE⊥F1F4
即kOE⋅kF1F4=−1
即36⋅y−3x−0=−1
化简得y=−2x+3
联立x2+y2=6x−3y
解得x=125或x=0
故xF4=125
综上所述，F点的横坐标n取值范围为−355≤n≤0和355≤n≤125．
16．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）对于半径为r的⊙P及一个正方形给出如下定义：若⊙P上存在到此正方形四条边距离都相等的点，则称⊙P是该正方形的“等距圆”．如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C在点D的左侧．
（1）当r=42时，
①在P1（0，-3），P2（4，6），P3（42，2）中可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是_______________；
②若点P在直线y=−x+2上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圆”，则点P的坐标为_______________；
（2）如图2，在正方形ABCD所在平面直角坐标系xOy中，正方形EFGH的顶点F的坐标为（6，2），顶点E、H在y轴上，且点H在点E的上方．
①若⊙P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC所在直线相切，求⊙P在y轴上截得的弦长；
②将正方形ABCD绕着点D旋转一周，在旋转的过程中，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，则r的取值范围是_______________．
【思路点拨】
（1）①连接AC和BD，交于点M，设⊙P的圆心坐标是(x,y)，列出圆心到M的关系式，把P1(0,−3)，P2(4,6)，P3(42，2)代入，看是否成立来逆定，②把y=−x+2代入x2+(y−2)2=32，求出x和y的值，再写出坐标．
（2）①先求出△LIE为等腰直角三角形，得到L(0,5)，进而得出△LOM为等腰直角三角形，设P(p,−p+5)据关系列出方程求了圆心的坐标，最后得出弦长．②连接DH，作DT⊥HF，以D为圆心，DE为半径作圆，交DT于点E1，交HD于E2，当0HE2时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．据此求解．
【解题过程】
解：（1）①连接AC和BD，交于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴M到正方形ABCD四条边距离都相等
∴⊙P一定通过点M，
∵A(2,4)
∴M(0,2)
设⊙P的圆心坐标是(x,y)，
∴r=42时，
∴x2+(y−2)2=(42)2，
即，x2+(y−2)2=32，
把P1(0,−3)，P2(4,6)，P3(42，2)代入，只有P2，P3成立，
∴可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是P2，P3，
故答案为：P2，P3；
②∵点P在直线y=−x+2上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圆”，
∴把y=−x+2代入x2+(y−2)2=32，得x2+x2=32，
解得x=±4，
∴y=−2或6，
∴P(4,−2)或P(−4,6)．
故答案为：(4,−2)或P(−4,6)．
（2）如下图：
①∵⊙P同时为正方形ABCD与正方形EFGH的“等距圆”，
∴⊙P同时过正方形ABCD的对称中心E和正方形EFGH的对称中心I．
∴点P在线段EI的中垂线上．
∵A(2,4)，正方形ABCD的边CD在x轴上；F(6,2)，正方形EFGH的边HE在y轴上，
∴E(0,2)，I(3,5)
∴∠IEH=45°，
设线段EI的中垂线与y轴交于点L，与x轴交于点M，
∴△LIE为等腰直角三角形，LI⊥y轴，
∴L(0,5)，
∴△LOM为等腰直角三角形，LO=OM
∴M(5,0)，
∴P在直线y=−x+5上，
∴设P(p,−p+5)
过P作PQ⊥直线BC于Q，连接PE，
∵⊙P与BC所在直线相切，
∴PE=PQ，
∴p2+(−p+5−2)2=(p+2)2，
解得：P1=5+25，P2=5−25，
∴P1(5+25，−25)，P2(5−25，25)，
∵⊙P过点E，且E点在y轴上，
∴⊙P在y轴上截得的弦长为2|−25−2|=45+4或2|25−2|=45−4．
②如图2，连接DH，作DT⊥HF，以D为圆心，DE为半径作圆，交DT于点E1，交HD于E2，
当0∵HF所在的直线为：y=−x+8，
DT所在的直线为：y=x−2，
∴T(5,3)，
∵D(2,0)，
∴DT=32+(5−2)2=32，
∵DE=DE1
∴DT−DE1=DT−DE=32−22=2，
∴当0当r>HE2时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．
∵HE2=HD+DE2，DE2=DE，
∴HE2=HD+DE=HO2+OD2+22=217+22，
∴当r>217+22时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．
综上可知当0217+22时线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，
故答案为：0217+22．
17．（2022·北京海淀·中关村中学校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于线段AB，给出如下定义：若将线段AB沿着某条直线l对称可以得到⊙O的弦A'B'（A'，B'分别为A，B的对应点），则称线段AB是⊙O的以直线l为对称轴的对称的“反射线段”，直线l称为“反射轴”
（1）如图1，线段CD、EF、GH中是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”有___________；
（2）已知A点的坐标为(0,2)，B点坐标为(1,1)，
①如图2，若线段AB是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，画出图形，反射轴l与y轴的交点M的坐标是___________．
②若将“反射线段”AB沿直线y=x的方向向上平移一段距离S，其反射轴l与y轴的交点的纵坐标yM的取值范围为12≤yM≤136，求S的取值范围．
（3）已知点M、N是在以(2,0)为圆心，半径为13的圆上的两个动点，且满足MN=2，若MN是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，当M点在圆上运动一周时，反射轴l与y轴的交点的纵坐标的取值范围是___________．
【思路点拨】
（1）在圆中找出对应的弦，其中GH大于圆的直径，故否定；
（2）①画出AB的反射弦，找出对应点的垂直平分线；②以AB为斜边作等腰直角三角形AO'B，连接OO'，交⊙O于A'，作BB'∥AA'，交⊙O于B'，则A'B'是AB的反射弦，对称轴是OO'的中垂线l，然后根据垂直平分线上点到线段两端距离相等，求得S=136时的值，从而确定S的范围；
（3）根据（2）的方法找到MN所在的圆心O3，当M点在圆上运动一周时，如图，取OO3的中点A1，OT的中点S，即OO3的中点A1在以S为圆心，半径为2的圆上运动，进而即可求得反射轴l与y轴交点的纵坐标y的取值范围．
【解题过程】
（1）解：∵E'F'是EF关于直线CC'的对称的弦，
∴EF是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，
∵C'E'是CD关于直线x=1的对称的弦，
∴线段CD是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，
∵GH=5，⊙O的直径C'E'=2，EF>C'E'，
∴线段GH不是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，
故答案是：CD、EF；
（2）①如图2，
AB关于直线l的对称弦是A'B'，
直线l与y轴交点M(0,12)，
故答案为：(0,12)；
②如图3，
以AB为斜边作等腰直角三角形AO'B，连接OO'，交⊙O于A'，作BB'∥AA'，交⊙O于B'，
则A'B'是AB的反射弦，对称轴是OO'的中垂线l，
∵A(22S，2+22S)，B(1+22S，1+22S)，
∴O'(22S，1+22S)，
设l交y轴于C(0,a)，
由CO=CO'得，(22S)2+(1+22S−a)2=a2，
当a=136时，S1=−22（舍去），S2=523，
∴0≤S≤523；
（3）如图，根据（2）的方法找到MN所在的圆心O3，
设T(2,0)，
则TM=13，
∵MN=2，△O3MN是等腰直角三角形，
∴O3L=22=ML，
∴TL=TM2−ML2=13−12=522，
∴TO3=22，
当点在圆上运动一周时，如图，取OO3的中点A1，OT的中点S，
∴SA1是△OO3T的中位线，
∴SA1=12O3T=2，SA1∥TO3，
即OO3的中点A1．在以S为圆心，半径为2的圆上运动，
∴若MN是⊙O的以直线l为对称轴的反射线段，
则l为⊙S的切线．
设⊙S与y轴交于点C，D，
∵OS=12OT=1，SC=SA1=SD=2，
∴OC=1，OD=1，
∴反射轴l与y轴交点的纵坐标y的取值范围为y>1或y<−1．
18．（2022·北京房山·统考一模）对于平面内的点P和图形M，给出如下定义：以点P为圆心，r为半径作圆，若⊙P与图形M有交点，且半径r存在最大值与最小值，则将半径r的最大值与最小值的差称为点P视角下图形M的“宽度dM”．
（1）如图1.点A(4,3)，B(0,3)．
①在点O视角下，则线段AB的“宽度dAB”为_________；
②若⊙B半径为1.5，在点A视角下，⊙B的“宽度d⊙B”为_________；
（2）如图2，⊙O半径为2，点P为直线y=−x+1上一点．求点P视角下⊙O“宽度d⊙O”的取值范围；
（3）已知点C(m,0),CK=1，直线y=33x+3与x轴，y轴分别交于点D，E．
若随着点C位置的变化，使得在所有点K的视角下，线段DE的“宽度”均满足0【思路点拨】
（1）①根据题意易得当线段AB与以点O为圆心的圆相切时半径最小，经过点B时半径最大，由此问题可得解；②由题意可得当以点A为圆心的圆与⊙B外切时半径最小，内切时半径最大，由此问题可得解；
（2）设直线y=−x+1与⊙O的交点分别为M和N，与x轴、y轴交于点A、B，由题意易得点A1,0,B0,1，即OA=1，OB=1，则可分当点P在点M上方、点N下方时和当点P在线段MN上时，然后进行分类求解即可；
（3）由直线y=33x+3可得OD=33,OE=3，则DE=6，∠EDO=30°，由Cm,0,CK=1可知点K在以点C为圆心，半径为1的圆上，进而可分当⊙C经过点D时和当⊙C与直线DE相切于点K时，然后求解即可．
【解题过程】
解：（1）①由题意得：当以点O为圆心的圆与线段AB相切于点B时，半径为最小，经过点A时半径最大，连接OA，如图所示：
∵A4,3，B0,3，
∴OB=3，OA=4−02+3−02=5，
∴在点O视角下，则线段AB的“宽度dAB”为5−3=2，
故答案为2；
②由题意得：以点A为圆心的圆与⊙B外切时半径最小，内切时半径最大，如图所示：
∵⊙B半径为1.5，
∴半径最大为1.5+4=5.5，半径最小为4−1.5=2.5，
∴在点A视角下，⊙B的“宽度d⊙B”为5.5-2.5=3，
故答案为3；
（2）设直线y=−x+1与⊙O的交点分别为M和N，与x轴、y轴交于点A、B，如图所示：
当点P在点M上方时，则以点P为圆心的圆与⊙O内切时半径最大，外切时半径最小，如图，设⊙P的半径最小为r，由圆与圆的位置关系可得半径最大时为r+4，
∴在点P视角下⊙O“宽度d⊙O”为r+4−r=4，
同理可得当点P在点N下方时，与点P在点M外时相同；
当点P在线段MN上时，则根据点到直线垂线段最短可得当点P在AB的中点时，此时在点P视角下⊙O“宽度d⊙O”取最小，即：以点P为圆心的圆与⊙O内切时半径最大，外切时半径最小，如图所示：
∴由直线y=−x+1可得点A1,0,B0,1，即OA=1，OB=1，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AB=2，
∵点P是AB的中点，
∴OP=22，
∴⊙P的半径最小为2−22，半径最大为2+22，
∴在点P视角下⊙O“宽度d⊙O”为2+22−2−22=2，
综上所述：在点P视角下⊙O“宽度d⊙O”的取值范围为2≤d⊙O≤4；
（3）由题意可得如图所示：
由直线y=33x+3可得当y=0时，则0=33x+3，解得x=−33，当x=0时，则有y=3，
∴D−33,0,E0,3，
∴OD=33,OE=3，
∴DE=6，
∴∠EDO=30°，
∵Cm,0,CK=1，
∴点K在以点C为圆心，半径为1的圆上，
∴由在所有点K的视角下，线段DE的“宽度”均满足0当⊙C经过点D时，如图所示：
∴DC=1，
∴OC=33−1，
∴m=−33+1，
∴当点K与点D重合时，以点K为圆心的圆与线段DE有交点时，半径最小为0，最大为6，所以在点K的视角下，线段DE的“宽度”为dDE=6，而点K在⊙C的其他地方时，根据三角形三边关系可知始终满足题意，
∴m>−33+1；
当⊙C与直线DE相切于点K时，如图所示：
∵CK=1，∠EDO=30°，
∴∠CDK=30°，
∴CD=2CK=2，
∴OC=33+2，即m=−33−2，
此时在点K的视角下，线段DE的“宽度”为dDE=6，故不符合题意，
∴m<−33−2，
综上所述：当随着点C位置的变化，使得在所有点K的视角下，线段DE的“宽度”均满足0−33+1．
19．（2022秋·北京·九年级校考期中）对于平面直角坐标系xOy中的点C及图形W，有如下定义：若图形W上存在A、B两点，使△ABC为等腰直角三角形，且∠ABC=90°，我们则称点C为图形W的“关联点”．
（1）已知点O(0,0)，M(4,0)，在点C1(0,4)，C2(2,1)，C3(3,−4)中，线段OM的“关联点”是________；
（2）直线y=x+b分别交x轴、y轴于P、Q两点，若点C(−2,1)为线段PQ的“关联点”，求b的取值范围；
（3）已知直线y=−x+m(m>0)分别交x轴、y轴于E、F两点，若线段EF上的所有点都是半径为1的⊙O的“关联点”，直接写出m的取值范围．
【思路点拨】
（1）分别过点C1(0,4)，C2(2,1)，C3(3,−4)向线段OM作垂线，分别以垂足为圆心，以垂线段为半径画弧，弧与线段OM有交点，即可判断为线段OM的“关联点”．
（2）分点C(−2,1)在直线y=x+b上和不在直线上两种情况求解即可．
（3）当以AD为直径，构造等腰直角三角形ABE，此时为m的最大值，当直线与圆相切时，m有最小值计算即可．
【解题过程】
（1）如图，分别过点C1(0,4)，C2(2,1)，C3(3,−4)向线段OM作垂线，
分别以垂足为圆心，以垂线段为半径画弧，
C1(0,4)所在圆与线段OM交于点M，
所以C1(0,4)为线段OM的“关联点”；
C2(2,1)所在圆与线段OM交于OM上的两个点，
所以C2(2,1)为线段OM的“关联点”；
C3(3,−4)所在圆与线段OM没有交点，
所以C3(3,−4)不是线段OM的“关联点”；
所以C1，C2是线段OM的“关联点”，
故答案为：C1，C2．
（2）当直线y=x+b经过点C(−2,1)时，P、Q，C三点共线，此时构不成三角形，解得b=3，此时PO=QO，
所以∠OQP=∠OPQ=45°，
故b值不能符合题意，
所以b≠3；
以过点C作CB⊥PO，交x轴与点D，以点D为圆心，以CD为半径作圆，交靠近原点的x轴于点B，另一交点为P，则CD=DB=DP=1，
所以∠PCB=90°，
过点B作BA∥PQ，交y轴与点A，则∠QPO=∠ABO=45°，
所以CD=DB=OB=OA=1，
所以b=1，
所以1≤b＜3；
当b＞3时，作射线BC，
在点C的外侧射线上任取一点B'，
过点B'作PQ∥P'Q'，
则CB'⊥P'Q'，
以B'为圆心，以CB'为半径画弧，交直线于A'，
则△A'B'C是等腰之间三角形，符合题意，
综上所述，1≤b＜3或b＞3．
（3）当直线与⊙O切于点C时，如图，∠ACB=45°,∠ABC=90°，
符合题意，此时∠FCB=45°，
所以FC=OC=1，
所以OF=12+12=2，
故m=2；
以AD为直径，构造等腰直角三角形ABE，此时为m的最大值，根据题意得：OE是线段AD的垂直平分线，则∠DEO=∠AEO=45°2．
因为∠FEO=45°，
所以∠DEM=45°2，
所以DE平分∠FEO，
过点D作DM⊥EF，垂足为M，
则DM=DO=1,∠MFD=∠FDM=45°，
所以DM=DO=FM=1，
所以DF=12+12=2，
所以OF=DF+DO=2+1，
所以2≤m≤2+1．
20．（2023·北京·九年级专题练习）在平面直角坐标系xOy中，给定图形W和点P，若图形W上存在两个点M，N满足PM=3PN且∠MPN=90°，则称点P是图形W的关联点．已知点A−23,0，B0,2．
（1）在点P1−3,−1，P2−3,3，P3−23,−2中，______是线段AB的关联点；
（2）⊙T是以点Tt,0为圆心，r为半径的圆．
①当t=0时，若线段AB上任一点均为⊙O的关联点，求r的取值范围；
②记线段AB与线段AO组成折线G，若存在t≥4，使折线G的关联点都是⊙T的关联点，直接写出r的最小值．
【思路点拨】
（1）根据关联点的定义，结合勾股定理进行判断即可；
（2）①根据题意推得三角形PMN为含30度角的直角三角形，根据瓜豆原理可得求得点O到点P的最大距离为3+12r，最小距离为3−12r，推得⊙O的所有关联点在以O为圆心，3+12r和3−12r为半径的两个圆构成的圆环中，结合图形求得半径r的取值范围；
②结合①中的结论，画出满足条件的关联点的范围，进行求解即可．
【解题过程】
（1）解：∵∠MPN=90°，
∴△MPN为直角三角形，故满足MN2=PM2+PN2，
根据勾股定理可得：AB2=232+22=12+4=16
P1A=32+12=2，P1B=32+32=23，
P1A2+P1B2=32+12+32+32=4+12=16；
P2A=32+32=23，P2B=32+12=2，
P2A2+P2B2=32+32+32+12=12+4=16；
P3A=2， P3B=232+42=27，
P3A2+P3B2=22+232+42=4+12+16=32；
∵P1B=3P1A，且P1A2+P1B2=AB2；故P1−3,−1是线段AB的关联点；
∵P2A=3P2B，且P2A2+P2B2=AB2；故P2−3,3是线段AB的关联点；
∵P3A=7P3B，且P3A2+P3B2≠AB2；
∵∠BAO=30°，P3A⊥OA，
∴∠P3AB=90°+30°=120°，
∴对于线段AB上的任意两点M、N，当P3M=3P3N时，∠P3NM>90°，如图，
则∠MP3N必是锐角，不可能是直角，

故P3−23,−2不是线段AB的关联点；
故答案为：P1，P2．
（2）①由（1）可得：∵∠MPN=90°，
∴△MPN为直角三角形，
故MN2=PM2+PN2=4PN2，即MN=2PN，
即三角形PMN为含30度角的直角三角形；如图：

则点P是：以MN为斜边且含30度角的直角三角形的直角顶点．
在圆O上取点M，N，则对于任意位置的M和N，符合的关联点有2个，如图：

以点P为例，当点M在半径为r的⊙O上运动时，点N为圆上一定点，且MN=2PN，∠PNM=60°，则点M的运动轨迹为圆，故点P的轨迹也为圆，令点P的轨迹为圆R，如图：

当M，O，N三点共线，P，R，N三点共线时，∠PNM=60°，故OR=32r，
RN=12r，则点O到点P的最大距离为3+12r，最小距离为3−12r；
当点N也在⊙O上运动时，⊙R也随之运动，则⊙R扫过的区域为3+12r和3−12r为半径围成的圆环，即⊙O的所有关联点在以O为圆心，3+12r和3−12r为半径的两个圆构成的圆环中，
故当线段AB与半径为3+12r交于点A时，r最小，如图：

则3+12r=23，解得：r=6−23；
当线段AB与半径为3−12r的圆相切时，r最大，过点O作OH⊥AB，如图：

则S△OAB=12×OA×OB=12×OH×AB，
即12×23×2=12×OH×4，解得：OH=3，
则3−12r=3，解得：r=3+3；
∴6−23≤r≤3+3．
②当关联点在线段AB上时，满足条件的关联点所在范围如图阴影部分：

当关联点在线段AO上时，满足条件的关联点所在范围如图阴影部分：

当关联点在不同线段上时，满足条件的关联点在点O和点B上的范围如图阴影部分：

综上：所有区域叠加一起为：

由①可知，满足⊙T的所有关联点所在范围为圆环，故若使得圆环能够完整“包住”关联点，圆环中外圆的必须经过点G；，
∵∠GBA=30°，∠G=90°，∠OBA=60°，∠O=90°，
∴四边形AOBG为矩形，∴G−23,2，
则TG=4+232+22，
即3+12r=4+232+22，解得：r=42（负值舍去）；
综上，r的最小值为42．