北师大版2024-2025学年九年级数学上册专题2.6一元二次方程的七大解法专项训练(60题)专题特训（学生版+教师版）

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专题2.6 一元二次方程的七大解法专项训练（60题）【北师大版】【解法1 直接开平方法解一元二次方程】1．（23-24九年级·广东东莞·阶段练习）解方程：4x2−25=0．2．（23-24九年级·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程：(1)x2−9=0(2)3x2−54=0．3．（23-24九年级·上海·假期作业）解方程：(1)3x2−27=0(2)(x−5)2−36=0(3)12(x−2)2=6(4)y+4y−4−9=04．（23-24九年级·全国·课后作业）求x的值：4x−12=16．5．（23-24九年级·浙江·专题练习）求下列方程中x的值：(1)x2−1009=0；(2)x−12=49．6．（23-24九年级·上海松江·期中）解关于的x方程：ax2=2a≠07．（23-24九年级·上海青浦·期末）解关于x的方程：m−22x2−4=0m≥2．【解法2 配方法解一元二次方程】8．（23-24九年级·上海青浦·期中）用配方法解方程：x2−22x−4=09．（23-24九年级·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程：(1)x2+4x=2；(2)x2−3x−74=0；(3)4x2−8x=−3；(4)4x2+4x+10=1−8x10．（23-24九年级·全国·假期作业）用配方法解下列方程：(1)x2+4x+4=0；(2)2x2−3x+2=0．11．（23-24九年级·全国·专题练习）用配方法解方程x2−4x−5=0．12．（23-24九年级·上海宝山·阶段练习）用配方法解方程：2x2+4x+1=0．13．（23-24九年级·广东佛山·阶段练习）用配方法解方程：x2−14x+21=014．（23-24九年级·全国·假期作业）用配方法解下列方程：(1)x2−x−6=0；(2)3y2+1=23y．15．（23-24九年级·全国·课后作业）用配方法解方程：(1)(2x−1)2=4x+9；(2)5y2+(2y−3)2=14．【解法3 因式分解法解一元二次方程】16．（23-24九年级·江苏苏州·阶段练习）解方程：(1)x2−7x+10=0．(2)x−32=2x−617．（23-24九年级·全国·单元测试）解方程：(1)(x−3)2x+1=x−32．(2)(x+1)(x−2)+2(2−x)=0(3)3x(x−1)=2−2x18．（23-24九年级·山东滨州·期末）解方程：(1)x2−6x+5=0；(2)y+12=2y−12．19．（23-24九年级·内蒙古鄂尔多斯·期末）解方程：(1)x2−4x−5=0；(2)3x(x−1)=2(x−1)．20．（23-24九年级·山东泰安·期末）解方程：(1)5x2−2=3x(2)3x+32=xx+321．（23-24九年级·浙江宁波·期末）解方程：(1)2x2−3x=0；(2)3x2−5x−2=0．22．（23-24九年级·浙江金华·期末）解方程：(1)2x2−x=0；(2)5x2+2x−3=0．23．（23-24九年级·浙江杭州·期中）解方程：(1)x2−2x=15.(2)x−1x+5=−2x+5；【解法4 公式法解一元二次方程】24．（23-24九年级·全国·单元测试）用公式法解下列方程：(1)x2−x−12=0；(2)2x2+5x−3=0；(3)2x2−7x+7=0；(4)x2−23x−1=0．25．（23-24九年级·广西梧州·期末）用公式法解方程：x2−x−3=0．26．（23-24九年级·广西南宁·阶段练习）（用公式法）解一元二次方程：2x2−6x−3=0．27．（23-24九年级·安徽滁州·期末）解方程：x(3x−5)=9−7x．28．（23-24九年级·黑龙江哈尔滨·期末）解方程：2x2−x+2=3x+1．29．（23-24九年级·全国·假期作业）用公式法解下列方程：(1)x2−x−12=0；(2)2x2+5x−3=0；(3)2x2−7x+7=0．30．（23-24·广东深圳·模拟预测）解方程：2x2+4x−11=0．31．（23-24九年级·吉林长春·期中）解方程：x2−23x−1=0．32．（23-24九年级·山东威海·期中）用公式法解方程：x−23x−5=1．33．（23-24九年级·山东淄博·期中）公式法解方程：3x2−9x+2=0．【解法5 换元法解一元二次方程】34．（23-24九年级·全国·单元测试）解方程：x2+1x2−2x+1x−1=035．（23-24九年级·安徽·专题练习）y−32+3y−3+2=0．36．（23-24九年级·广东汕头·期末）若实数x，y满足(x2+y2)(x2+y2−2)=3，求x2+y2的值．37．（23-24九年级·北京朝阳·期中）解方程：x2−2x−6x2−2x=1．38．（23-24九年级·广东深圳·阶段练习）解方程：2x−52−22x−5−3=0．39．（23-24九年级·上海浦东新·阶段练习）已知x2+22−8x2+1−1=0，求x2+2的值．40．（23-24九年级·全国·课后作业）解方程x2−52−16=0．41．（23-24九年级·全国·单元测试）已知a2+b2a2+b2+2−15=0，求a2+b2的值．42．（23-24九年级·全国·专题练习）解下列方程：(1)2(x2﹣7x)2﹣21(x2﹣7x)+10＝0；(2)2x2+3x2﹣42x2+3x﹣5=0．【解法6 适当方法解一元二次方程】43．（23-24九年级·甘肃天水·阶段练习）运用适当的方法解方程(1)x−32=25；(2)x2−x−1=0；(3)x2−6x+8=0；(4)x2−x2−5x2−x+6=044．（23-24九年级·北京东城·期末）选择适当方法解下列方程：(1)x2−5x+1=0；(2)x2x+1=2x+1．45．（23-24九年级·黑龙江鸡西·期末）用适当方法解方程(1)3x(x−1)=2(x−1)(2)x2+10x+16=0(3)x2−2x−14=0(4)x2+25x+10=046．（23-24九年级·广东深圳·期中）用适当方法解下列方程（1）3（x+2）2＝x（2+x）；（2）2x2+3x﹣2＝0．47．（23-24九年级·山东德州·期末）用适当方法解下列方程（1）3（x﹣2）＝5x（x﹣2）（2）x2+x﹣1＝048．（23-24九年级·山东聊城·期末）用适当的方法解下列方程：(1)2x2+5x−7=0；(2)2x2−4x+1=0；(3)3x(x−1)=2x−249．（23-24九年级·新疆乌鲁木齐·期末）用适当的方法解下列方程(1)x+52=6x+5；(2)x2−8x=5−4x．50．（23-24九年级·海南省直辖县级单位·期末）选用适当的方法解方程．(1)x2−4=0；(2)3x2−6x−4=0．51．（23-24九年级·天津宁河·阶段练习）用适当的方法解方程(1) x−12=36            (2) x2+8x+7=0(3) x2+5=25x          (4) x−42=5−2x2【解法7 指定方法解一元二次方程】52．（23-24九年级·全国·专题练习）用指定方法解下列一元二次方程．(1)x2−36=0 (直接开平方法)(2)x2−4x=2 (配方法)(3)2x2−5x+1=0 (公式法)(4)x+12+8x+1+16=0 (因式分解法)53．（23-24九年级·江苏连云港·阶段练习）按照指定方法解下列方程：(1)2x−12=9（用直接开平方法）(2)2x2−9x+8=0（用配方法）(3)x2−2x−4=0（用求根公式法）(4)7x5x+2=65x+2（用因式分解法）54．（23-24九年级·山东泰安·期中）按照指定方法解下列方程：(1)3x2−4x+1=0（配方法）；(2)2x2−22x+1=0（公式法）；(3)3xx−2=2x−4．55．（23-24九年级·广西钦州·期中）用指定方法解下列方程：(1)x2−x−34=0（配方法）；(2)(x−3)2=2(x−3)（因式分解法）；(3)x2−4x−1=0（公式法）．56．（23-24九年级·广东深圳·阶段练习）按指定方法解方程：(1)x2−4x−2=0(配方法)；(2)2y2−3y−1=0(公式法)(3)3x(x−1)=2−2x (适当方法)；(4)2x2−x−1=0 (配方法)57．（23-24九年级·山东泰安·期末）按照指定方法解下列方程：（1）x(x−23)+3=0．（自选方法）（2）3x2−6x−2=0．（配方法）（3）x2−9=2x+6（因式分解法）58．（23-24九年级·广西钦州·期末）用指定方法解下列方程：（1）x2+4x−2=0（配方法）；（2）(x−2)2=3(x−2)（因式分解法）；（3）2x2−4x−1=0（公式法）．59．（23-24九年级·河北邯郸·阶段练习）请用指定方法解下列一元二次方程：（1）4x2+x−3=0（公式法）（2）x2−6x−16=0（配方法）（3）(x+1)(x+2)=2x+4（因式分解法）60．（23-24九年级·安徽滁州·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程．（1）x2﹣36＝0（直接开平方法）          （2）x2﹣4x＝2（配方法）（3）2x2﹣5x+1＝0（公式法）           （4）（x+1）2+8（x+1）+16＝0（因式分解法）专题2.6 一元二次方程的七大解法专项训练（60题）【北师大版】【解法1 直接开平方法解一元二次方程】1．（23-24九年级·广东东莞·阶段练习）解方程：4x2−25=0．【答案】x=±52【分析】本题考查了解一元二次方程，直接用开平方法求解即可，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．【详解】解：4x2−25=0，∴4x2=25，∴x2=254，∴x=±52．2．（23-24九年级·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程：(1)x2−9=0(2)3x2−54=0．【答案】(1)x1=3,x2=−3(2)x1=32,x2=−32【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用直接开平方法求解方程是解题的关键；（1）根据直接开平方法可进行求解方程；（2）根据直接开平方法可进行求解方程【详解】（1）解：移项，得x2=9，根据平方根的意义，得x=±3，即x1=3,x2=−3．（2）解：移项，得3x2=54，两边同除以3，得x2=18，根据平方根的意义，得x=±32，即x1=32,x2=−32．3．（23-24九年级·上海·假期作业）解方程：(1)3x2−27=0(2)(x−5)2−36=0(3)12(x−2)2=6(4)y+4y−4−9=0【答案】(1)x1=3,x2=−3(2)x1=11,x2=−1(3)x1=23+2,x2=−23+2(4)y1=5,y2=−5【分析】本题考查了利用直接开方法解一元二次方程．（1）先移项，再两边同除以3，然后利用直接开方法解方程即可得；（2）先移项，再利用直接开方法解方程即可得；（3）先两边同乘以2，再利用直接开方法解方程即可得；（4）先利用平方差公式去括号，再移项合并同类项，然后利用直接开方法解方程即可得．【详解】（1）解：3x2−27=0，3x2=27，x2=9，∴x1=3,x2=−3；（2）(x−5)2−36=0，(x−5)2=36，x−5=6或x−5=−6，∴x1=11,x2=−1；（3）12(x−2)2=6，(x−2)2=12，x−2=23或x−2=−23，x=23+2或x=−23+2，即：x1=23+2,x2=−23+2；（4）(y+4)(y−4)−9=0，y2−16−9=0，y2=25，y=±5，即y1=5,y2=−5．4．（23-24九年级·全国·课后作业）求x的值：4x−12=16．【答案】x=3或x=−1【分析】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，解题的关键是熟练掌握平方根的定义，方程两边同时除以4，再利用平方根的定义即可求解；【详解】解：∵4(x−1)2=16∴(x−1)2=4∴x−1=2或x−1=−2，解得x=3或x=−1．5．（23-24九年级·浙江·专题练习）求下列方程中x的值：(1)x2−1009=0；(2)x−12=49．【答案】(1)x1=103,x2=−103(2)x1=8，x2=−6【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．（1）先移项，再开平方即可得到答案；（2）直接开平方即可得到答案．【详解】（1）解：∵x2−1009=0，∴x2=1009，则x1=103,x2=−103；（2）解：∵x−12=49，x−1=7或x−1=−7，解得x1=8，x2=−6．6．（23-24九年级·上海松江·期中）解关于的x方程：ax2=2a≠0【答案】x=±2a2a>0【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用直接开平方的方法解方程即可．【详解】解：∵ax2=2a≠0，∴x2=2a，∴x=±2a2a>0．7．（23-24九年级·上海青浦·期末）解关于x的方程：m−22x2−4=0m≥2．【答案】当m=2时，原方程无解，当m>2时，x=2m−2或x=−2m−2【分析】本题考查了解一元二次方程，由题意得出x2=4m−22，再分情况：当m=2时，当m>2时，分别求解即可得出答案．【详解】解：∵m−22x2−4=0，∴m−22x2=4，∴x2=4m−22，∵m≥2，∴当m=2时，原方程无解，当m>2时，x=2m−2或x=−2m−2．【解法2 配方法解一元二次方程】8．（23-24九年级·上海青浦·期中）用配方法解方程：x2−22x−4=0【答案】x1=2+6，x2=2−6【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成x+m2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．移项，然后两边都加上一次项系数的一半的平方，再根据完全平方公式整理，然后求解即可．【详解】解：移项得，x2−22x=4，配方得，x2−22x+2=4+2，即x−22=6，x−2=±6，x1=2+6，x2=2−6．∴方程的解为x1=2+6，x2=2−6．9．（23-24九年级·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程：(1)x2+4x=2；(2)x2−3x−74=0；(3)4x2−8x=−3；(4)4x2+4x+10=1−8x【答案】(1)x1=−2+6，x2=−2−6(2)x1=−12，x2=72(3)x1=12，x2=32(4)x1=x2=−32【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键：（1）利用配方法解一元二次方程即可；（2）利用配方法解一元二次方程即可；（3）利用配方法解一元二次方程即可；（4）利用配方法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：x2+4x=2，x+22=6，x1=−2+6，x2=−2−6；（2）解：x2−3x−74=0，x−322=74+94=4，x1=−12，x2=72；（3）解：4x2−8x=−3，2x−22=−3+4=1，x1=12，x2=32；（4）解：4x2+4x+10=1−8x，4x2+12x+9=0，2x+32=0，x1=x2=−32．10．（23-24九年级·全国·假期作业）用配方法解下列方程：(1)x2+4x+4=0；(2)2x2−3x+2=0．【答案】(1)x1=x2=−2(2)原方程无实数根【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握配方法解方程是解题的关键；（1）由题意易得x2+4x=−4，然后进行配方即可求解；（2）由题意易得2x2−3x=−2，则有x2−32x=−1，然后进行配方即可求解【详解】（1）解：移项，得x2+4x=−4，配方，得x2+4x+22=−4+22，即(x+2)2=0，∴x1=x2=−2．（2）解：移项，得2x2−3x=−2．二次项系数化为1，得x2−32x=−1．配方，得x2−32x+−342=−1+−342，即x−342=−716．因为任何实数的平方都不会是负数，所以原方程无实数根．11．（23-24九年级·全国·专题练习）用配方法解方程x2−4x−5=0．【答案】x1=5，x2=−1【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法解方程是关键．运用配方法求解即可．【详解】解：方程移项得：x2−4x=5，配方得：x2−4x+4=9，即x−22=9，开方得：x−2=3或x−2=−3，解得：x1=5,x2=−1．12．（23-24九年级·上海宝山·阶段练习）用配方法解方程：2x2+4x+1=0．【答案】x1=−2+22，x2=−2−22【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，将常数项移到方程的右边，将二次项系数化为1，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得解．【详解】解：2x2+4x+1=0，原方程化为x2+2x=−12，配方得x2+2x+1=1−12，即(x+1)2=12，开方得x+1=±22，x=−1±22=−2±22，∴x1=−2+22，x2=−2−22．13．（23-24九年级·广东佛山·阶段练习）用配方法解方程：x2−14x+21=0【答案】x1=7+27，x2=7−27．【分析】移常数项，加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方式，再开方求解．【详解】解：x2−14x+21=0，移项得x2−14x=−21，配方得x2−14x+49=−21+49，即x−72=28，∴x−7=27，∴x1=7+27，x2=7−27．【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的解法是解题的关键．14．（23-24九年级·全国·假期作业）用配方法解下列方程：(1)x2−x−6=0；(2)3y2+1=23y．【答案】(1)x1=3，x2=−2；(2)y1=y2=33．【详解】解：（1）移项，得x2−x=6．配方，得x2−x+122=6+122，即x−122=254．直接开平方，得x−12=52或x−12=−52，解得x1=3，x2=−2．（2）移项，得3y2−23y+1=0．二次项系数化为1，得y2−233y+13=0，即y−332=0．直接开平方，得y−33=0，解得y1=y2=33．15．（23-24九年级·全国·课后作业）用配方法解方程：(1)(2x−1)2=4x+9；(2)5y2+(2y−3)2=14．【答案】(1)x1=1+3,x2=1−3(2)y1=53,y2=−13【分析】（1）根据完全平方公式，化为(x+a)2=b(b≥0)形式，开方化为一次方程求解；（2）根据完全平方公式，化为(x+a)2=b(b≥0)形式，开方化为一次方程求解．【详解】（1）解：(2x−1)2=4x+9，x2−2x−2=0，x2−2x+1=3，(x−1)2=3，∴x−1=3或x−1=−3．∴x1=1+3,x2=1−3．（2）解：5y2+(2y−3)2=14，9y2−12y−5=0，y2−43y+49=59+49，∴(y−23)2=1．∴y−23=1或y−23=−1．∴y1=53,y2=−13．【点睛】本题考查配方法求解一元二次方程，理解完全平方公式是解题的关键．【解法3 因式分解法解一元二次方程】16．（23-24九年级·江苏苏州·阶段练习）解方程：(1)x2−7x+10=0．(2)x−32=2x−6【答案】(1)x1=5，x2=2(2)x1=3，x2=5【分析】本题考查了一元二次方程的解法，学会用适当的方法解一元二次方程是解题的关键．（1）利用十字相乘法进行因式分解即可求解；十字相乘法是把二次三项式ax2+bx+c(a≠0)形式的式子，分解因式为px+qmx+n的方法．其中p、q、m、n是常数，且pm=a，qn=c，pn+qm=b．通过寻找合适的数对来实现因式分解．（2）先移项，再利用因式分解法求解即可．【详解】（1）解：因式分解，得x−5x−2=0，则有x−5=0或x−2=0，解得x1=5，x2=2．（2）解：x−32=2x−6x−32=2x−3x−32−2x−3=0则x−3x−5=0，∴ x−3=0或x−5=0，解得：x1=3，x2=5．17．（23-24九年级·全国·单元测试）解方程：(1)(x−3)2x+1=x−32．(2)(x+1)(x−2)+2(2−x)=0(3)3x(x−1)=2−2x【答案】(1)x=3或x=−4(2)x=2或x=1(3)x=1或x=−23【分析】本题考查解一元二次方程，（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可；（3）利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：(x−3)2x+1=x−32，移项得，(x−3)2x+1−x−32=0，因式分解得，x−32x+1−x+3=0，即x−3x+4=0，∴x−3=0或x+4=0，∴x=3或x=−4．（2）解：(x+1)(x−2)+2(2−x)=0，因式分解得，x−2x+1−2=0，即x−2x−1=0，∴x−2=0或x−1=0，∴x=2或x=1．（3）解：3x(x−1)=2−2x，移项得，3xx−1+2x−1=0，因式分解得，x−13x+2=0，∴x−1=0或3x+2=0，∴x=1或x=−23．18．（23-24九年级·山东滨州·期末）解方程：(1)x2−6x+5=0；(2)y+12=2y−12．【答案】(1)x1=5，x2=1(2)y1=0，y2=2【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二方程的常用方法和步骤．（1）运用因式分解法解该一元二次方程即可；（2）运用因式分解法解该一元二次方程即可．【详解】（1）解：x2−6x+5=0，∴x−5x−1=0，∴x1=5，x2=1；（2）解：y+12=2y−12，∴y+12−2y−12=0，∴y+1+2y−1y+1−2y+1=0，∴3y2−y=0，∴y1=0，y2=2．19．（23-24九年级·内蒙古鄂尔多斯·期末）解方程：(1)x2−4x−5=0；(2)3x(x−1)=2(x−1)．【答案】(1)x1=−1,x2=5(2)x1=1,x2=23【分析】本题考查解一元二次方程．掌握解一元二次方程的常用方法是解题关键．（1）根据因式分解法解方程即可；（2）整理后根据因式分解法解方程即可；【详解】（1）解：x2−4x−5=0，因式分解得(x+1)(x−5)=0，∴x+1=0或x−5=0，解得x1=−1,x2=5．（2）解：原方程可变形为：3x(x−1)−2(x−1)=0，因式分解得(x−1)(3x−2)=0，∴x−1=0或3x−2=0，解得x1=1,x2=23．20．（23-24九年级·山东泰安·期末）解方程：(1)5x2−2=3x(2)3x+32=xx+3【答案】(1)x1=1，x2=−25(2)x1=−3，x2=−92【分析】本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．（1）先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为x−1=0或5x+2=0，然后解一次方程即可；（2）先移项得到3x+32−xx+3=0，再利用因式分解法把方程转化为x+3=0或2x+9=0，然后解一次方程即可．【详解】（1）5x2−2=3x，5x2−3x−2=0，(x−1)(5x+2)=0，x−1=0或5x+2=0，所以x1=1，x2=−25；（2）3x+32=xx+3，3x+32−xx+3=0，(x+3)3(x+3)−x=0，(x+3)(2x+9)=0，x+3=0或2x+9=0，所以x1=−3，x2=−92；21．（23-24九年级·浙江宁波·期末）解方程：(1)2x2−3x=0；(2)3x2−5x−2=0．【答案】(1)x1=0，x2=32(2)x1=−13，x2=2【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：∵2x2−3x=0，∴x2x−3=0，∴x=0或2x−3=0，解得：x1=0，x2=32；（2）解：∵3x2−5x−2=0，∴3x+1x−2=0，∴3x+1=0或x−2=0，解得：x1=−13，x2=2．22．（23-24九年级·浙江金华·期末）解方程：(1)2x2−x=0；(2)5x2+2x−3=0．【答案】(1)x1=0，x2=12；(2)x1=35，x2=−1．【分析】（1）利用因式分解法解答即可求解；（2）利用因式分解法解答即可求解；本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．【详解】（1）解：∵2x2−x=0，∴x2x−1=0，∴x=0或2x−1=0，∴x1=0，x2=12；（2）解：∵5x2+2x−3=0，∴5x−3x+1=0，∴5x−3=0或x+1=0，∴x1=35，x2=−1．23．（23-24九年级·浙江杭州·期中）解方程：(1)x2−2x=15.(2)x−1x+5=−2x+5；【答案】(1)x=5或x=−3(2)x=−1或x=−5【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是运用因式分解法来解答.（1）先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，即可求出结果.（2）先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，即可求出结果.【详解】（1）解：x²−2x=15,(x−5)(x+3)=0,即:x−5=0或x+3=0,∴x=5或x=−3；（2）解：(x−1)(x+5)=−2(x+5),(x−1)(x+5)+2(x+5)=0,(x−1+2)(x+5)=0,即: x+1=0或x+5=0,∴x=−1或x=−5．【解法4 公式法解一元二次方程】24．（23-24九年级·全国·单元测试）用公式法解下列方程：(1)x2−x−12=0；(2)2x2+5x−3=0；(3)2x2−7x+7=0；(4)x2−23x−1=0．【答案】(1)x1=4,x2=−3(2)x1=12，x2=−3(3)方程无解(4)x1=3+2，x2=3−2【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法求解方程是解题的关键．（1）由题意易得a=1,b=−1,c=−12，然后根据公式法可进行求解；（2）由题意易得a=2,b=5,c=−3，然后根据公式法可进行求解；（3）由题意易得a=2,b=−7,c=7，然后根据公式法可进行求解；（4）由题意易得a=1,b=−23,c=−1，然后根据公式法可进行求解．【详解】（1）解：∵x2−x−12=0∴a=1,b=−1,c=−12，∴△=b2−4ac=1+4×1×12=49>0，∴x=−b±b2−4ac2a=1±492=1±72，∴x1=4，x2=−3．（2）解：∵2x2+5x−3=0∴a=2,b=5,c=−3，∴Δ=b2−4ac=25+4×2×3=49>0，∴x=−b±b2−4ac2a=−5±494=−5±74，∴x1=12，x2=−3．（3）解：∵2x2−7x+7=0∴a=2,b=−7,c=7，∴Δ=b2−4ac=49−4×2×7=−70，x=−(−1)±(−1)2−4×1×(−3)2×1，∴x=1±132，∴x1=1+132，x2=1−132．26．（23-24九年级·广西南宁·阶段练习）（用公式法）解一元二次方程：2x2−6x−3=0．【答案】x1=3+152,x2=3−152【分析】此题考查了解一元二次方程，根据公式法解方程，正确掌握一元二次方程的解法是解题的关键【详解】解：∵a=2,b=−6,c=−3∴Δ=b2−4ac=−62−4×2×−3=60，∴x=6±2152×2=3±152，∴x1=3+152,x2=3−15227．（23-24九年级·安徽滁州·期末）解方程：x(3x−5)=9−7x．【答案】x1=−1+273，x2=−1−273【分析】本题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握公式法解一元二次方程，是解题的关键．原方程化为3x2+2x−9=0，得根的判别式Δ=112，得到x=−1±273，即得x1=−1+273，x2=−1−273．【详解】解：方程化为3x2+2x−9=0，a=3，b=2，c=−9．Δ=b2−4ac=22−4×3×(−9)=112>0，∴方程有两个不等的实数根，∴x=−b±b2−4ac2a=−2±1122×3=−1±273，即x1=−1+273，x2=−1−273．28．（23-24九年级·黑龙江哈尔滨·期末）解方程：2x2−x+2=3x+1．【答案】x1=2+22，x2=2−22【分析】本题考查解一元二次方程，先将所给一元二次方程化成一般形式，再利用公式法求解．【详解】解：2x2−x+2=3x+1，2x2−4x+1=0，a=2，b=−4，c=1，Δ=b2−4ac=−42−4×2×1=8>0．方程有两个不等的实数根，x=−b±b2−4ac2a=−−4±82×2=4±224=2±22，即x1=2+22，x2=2−22．29．（23-24九年级·全国·假期作业）用公式法解下列方程：(1)x2−x−12=0；(2)2x2+5x−3=0；(3)2x2−7x+7=0．【答案】(1)x1=4,x2=−3(2)x1=12，x2=−3(3)方程无解【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法求解方程是解题的关键；（1）由题意易得a=1,b=−1,c=−12，然后根据公式法可进行求解；（2）由题意易得a=2,b=5,c=−3，然后根据公式法可进行求解；（3）由题意易得a=2,b=−7,c=7，然后根据公式法可进行求解．【详解】（1）解：x2−x−12=0∴a=1,b=−1,c=−12，∴Δ=b2−4ac=1+4×1×12=49>0，∴x=−b±b2−4ac2a=1±492=1±72，∴x1=4，x2=−3；（2）解：2x2+5x−3=0∴a=2,b=5,c=−3，∴Δ=b2−4ac=25+4×2×3=49>0，∴x=−b±b2−4ac2a=−5±494=−5±74，∴x1=12，x2=−3；（3）解：2x2−7x+7=0∴a=2,b=−7,c=7，∴Δ=b2−4ac=49−4×2×7=−70)，则原等式可化为：x(x+2)−15=0，解得：x1=3,x2=−5，∵x>0，∴x=3，即a2+b2=3．a2+b2的值为3．【点睛】本题考查了换元法、一元二次方程的解法，注意a2+b2为非负数是本题的关键．42．（23-24九年级·全国·专题练习）解下列方程：(1)2(x2﹣7x)2﹣21(x2﹣7x)+10＝0；(2)2x2+3x2﹣42x2+3x﹣5=0．【答案】(1)x1＝7+512，x2＝7−512，x3＝7+892，x4＝7−892(2)x1＝﹣2.5，x2＝1，x3＝﹣0.5，x4＝﹣1【分析】（1）利用换元法，先设x2﹣7x＝a，然后根据解一元二次方程的方法，可以得到a的值，然后即可得到该方程的解；（2）利用换元法，先设2x2+3x＝a，然后根据解一元二次方程的方法，可以得到a的值，然后即可得到该方程的解【详解】（1）解：2x2−7x2−21x2﹣7x+10＝0设x2−7x=a，则2a2−21a+10=02a−1a−10=0∴2a−1=0或a−10=0，解得，a1=0.5，a2=10， ∴x2−7x=0.5或x2−7x=10，∴2x2−14x−1=0或x2−7x−10=0，解得，x1＝7+512，x2＝7−512，x3＝7+892，x4＝7−892；（2）解：2x2+3x2﹣42x2+3x﹣5=0设2x2+3x＝a，则a2−4a−5＝0a−5a+1＝0，∴a−5=0或a+1=0，解得，a1=5，a2=﹣1，∴2x2+3x＝5或2x2+3x＝﹣1，∴2x2+3x−5=0或2x2+3x+1=0，解得，x1=−2.5，x2=1，x3=−0.5，x4=−1【点睛】本题考查换元法在一元二次方程的求解中的应用，掌握该方法是解题关键．【解法6 适当方法解一元二次方程】43．（23-24九年级·甘肃天水·阶段练习）运用适当的方法解方程(1)x−32=25；(2)x2−x−1=0；(3)x2−6x+8=0；(4)x2−x2−5x2−x+6=0【答案】(1)x1=8，x2=−2(2)x1=1+52，x2=1−52(3)x1=4，x2=2(4)x1=−1，x2=2，x3=1+132，x4=1−132【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可；（3）利用配方法解方程即可；（4）利用换元法解方程即可；【详解】（1）解：x−32=25x−3=5或x−3=−5，解得：x1=8，x2=−2；（2）解：x2−x−1=0a=1，b=−1，c=−1，b2−4ac=(−1)2−4×1×(−1)=5>0，∴方程有两个不相等的实数根，∴x=−b±b2−4ac2a=−(−1)±52×1=1±52，解得：x1=1+52，x2=1−52；（3）x2−6x+8=0x2−6x=−8x2−6x+9=−8+9(x−3)2=1x−3=1或x−3=−1，解得：x1=4，x2=2；（4）x2−x2−5x2−x+6=0解：设y=x2−x，则原方程为：y2−5y+6=0，(y−2)(y−3)=0,解得y1=2，y2=3，当y=2时，x2−x=2，解得：x1=−1，x2=2；当y=3时，x2−x=3，解得：x3=1+132，x4=1−132；∴x1=−1，x2=2，x3=1+132，x4=1−132【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．44．（23-24九年级·北京东城·期末）选择适当方法解下列方程：(1)x2−5x+1=0；(2)x2x+1=2x+1．【答案】(1)x1=5+212，x2=5−212(2)x1=1，x2=−12【分析】本题考查了公式法，因式分解法解一元二次方程．熟练掌握公式法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键．（1）利用公式法解一元二次方程即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：x2−5x+1=0，Δ=−52−4×1×1=21，∴x=−−5±212=5±212，解得，x1=5+212，x2=5−212；（2）解：x2x+1=2x+1，x−12x+1=0，∴x−1=0，2x+1=0，解得，x1=1，x2=−12．45．（23-24九年级·黑龙江鸡西·期末）用适当方法解方程(1)3x(x−1)=2(x−1)(2)x2+10x+16=0(3)x2−2x−14=0(4)x2+25x+10=0【答案】(1)x1=1，x2=23(2)x1=−2，x2=−8(3)x1=2+32，x2=2−32(4)无解【分析】（1）先移项，再运用因式分解法求解即可；（2）运用因式分解法求解即可；（3）用公式法求解；（4）计算Δ=b2-4ac=252−4×1×10=−200，∴x=−b±b2−4ac2a=6±846，∴x1=3+213,x2=3−213．51．（23-24九年级·天津宁河·阶段练习）用适当的方法解方程(1) x−12=36            (2) x2+8x+7=0(3) x2+5=25x          (4) x−42=5−2x2【答案】（1）x1=7,x2=−5 ；（2）x1=−7,x2=−1；（3）x1=x2=5 ；（4）x1=3,x2=1【详解】试题分析：根据一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，因式分解法，公式法直接求解即可.试题解析：（1）x−12=36x-1=±6x1=7,x2=−5 ；（2）x2+8x+7=0（x+7）（x+1）=0x1=−7,x2=−1；（3）x2+5=25x移项得x2−25x+5=0(x−5)2=0 x1=x2=5 ；（4）x−42=5−2x2移项得x−42−5−2x2=0（x-4+5-2x）（x-4-5+2x）=0解得x1=3,x2=1【解法7 指定方法解一元二次方程】52．（23-24九年级·全国·专题练习）用指定方法解下列一元二次方程．(1)x2−36=0 (直接开平方法)(2)x2−4x=2 (配方法)(3)2x2−5x+1=0 (公式法)(4)x+12+8x+1+16=0 (因式分解法)【答案】(1)x1=6，x2=−6(2)x1=2+6，x2=2−6(3)x1=5+174,x2=5−174(4)x1=x2=−5【分析】本题考查了解一元二次方程，根据要求结合方程的特点灵活运用相关解法是解题的关键．（1）将常数项移到右侧，利用直接开平方法求解即可；（2）方程两边同时加上4，左边配成完全平方式，然后两边开平方即可得；（3）确定出a、b、c的值，然后按照公式法的步骤进行求解即可；（4）方程左边利用完全平方公式进行分解，继而进行求解即可得．【详解】（1）x2−36=0，x2=36，x=±6，∴x1=6，x2=−6；（2）x2−4x=2，x2−4x+4=2+4，x−22=6，x−2=± 6，∴x1=2+6，x2=2−6；（3）2x2−5x+1=0，a=2，b=−5，c=1，b2−4ac=−52−4×2×1=17>0，∴x=−b±b2−4ac2a=−−5±172×2=5±174，即x1=5+174,x2=5−174；（4）x+12+8x+1+16=0，x+1+42=0，x+52=0，∴x1=x2=−5．53．（23-24九年级·江苏连云港·阶段练习）按照指定方法解下列方程：(1)2x−12=9（用直接开平方法）(2)2x2−9x+8=0（用配方法）(3)x2−2x−4=0（用求根公式法）(4)7x5x+2=65x+2（用因式分解法）【答案】(1)x1=2,x2=−1(2)x1=9+174,x2=9−174(3)x1=1+5,x2=1−5(4)x1=−25,x2=67【分析】（1）开平方得到2x−1=±3，即可求出方程的解；（2）把原方程配方成x−942=1716，再利用开平方法解方程即可；（3）写出a=1，b=−2，c=−4，求出Δ=−22+16=20，代入x=−b±b2−4ac2a即可得到方程的解；（4）移项后因式分解得到5x+27x−6=0，则5x+2=0或7x−6=0，即可得到方程的解．【详解】（1）解：2x−12=9开平方得，2x−1=±3，∴2x−1=3或2x−1=−3，解得x1=2,x2=−1；（2）2x2−9x+8=0解：原方程整理得2x2−9x=−8．二次项系数化1，得：x2−92x=−4，配方，得：x2−92x+942=−4+942，即x−942=1716，两边开平方，得x−94=±174，∴x1=9+174,x2=9−174．（3）x2−2x−4=0∵a=1，b=−2，c=−4，∴Δ=−22+16=20，∴x=−b±b2−4ac2a=2±202=1±5，∴x1=1+5,x2=1−5；（4）7x5x+2=65x+2移项得，7x5x+2−65x+2=0，因式分解得，5x+27x−6=0，∴5x+2=0或7x−6=0，解得x1=−25,x2=67【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种方法是解题的关键．54．（23-24九年级·山东泰安·期中）按照指定方法解下列方程：(1)3x2−4x+1=0（配方法）；(2)2x2−22x+1=0（公式法）；(3)3xx−2=2x−4．【答案】(1)x1=1，x2=13；(2)x1=x2=22(3)x1=2，x2=23【分析】（1）利用配方法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可；（3）利用分解因式法解方程即可．【详解】（1）解：3x2−4x+1=0，方程变形得：x2−43x=−13，配方得：x2−43x+49=−13+49，即x−232=19，开方得：x−23=±13，解得：x1=1，x2=13；（2）解：2x2−22x+1=0，a=2，b=−22，c=1，∵Δ=b24ac=−222−4×2×1=0，∴x=−b±b2−4ac2a=224=22，解得：x1=x2=22；（3）解：3xx−2=2x−4整理得：3xx−2−2x−2=0，分解因式得：x−23x−2=0，∴x−2=0或3x−2=0，解得：x1=2，x2=23．【点睛】本题考查的是解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．55．（23-24九年级·广西钦州·期中）用指定方法解下列方程：(1)x2−x−34=0（配方法）；(2)(x−3)2=2(x−3)（因式分解法）；(3)x2−4x−1=0（公式法）．【答案】(1)x1=32，x2=−12(2)x1=3，x2=5(3)x1=2+5，x2=2−5【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可；（3）利用公式法求解即可．【详解】（1）原方程可化为x2−x=34，等式两边加14，得x2−x+14=1，由完全平方公式得，(x−12)2=1，∴x−12=1或x−12=−1，所以原方程的解为x1=32，x2=−12．（2）移项得，(x−3)2−2(x−3)=0，提取公因式，得(x−3)(x−3−2)=0，则x−3=0或x−3−2=0，解得x1=3，x2=5．（3）x2−4x−1=0，∵Δ=b2−4ac=(−4)2−4×1×(−1)=20＞0，由求根公式得x=4±202=2±5，所以原方程的解为x1=2+5，x2=2−5．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握配方法，因式分解法和公式法求根是解题的关键．56．（23-24九年级·广东深圳·阶段练习）按指定方法解方程：(1)x2−4x−2=0(配方法)；(2)2y2−3y−1=0(公式法)(3)3x(x−1)=2−2x (适当方法)；(4)2x2−x−1=0 (配方法)【答案】(1)x1=2+6，x2=2−6；(2)y1=3+174，y1=3−174；(3)x1=1， x2=−23；(4)x1=1,x2=−12【分析】（1）先把常数项移到方程的右边，再对左边进行配方，再方程的左右两边同时加上4，左边是完全平方式，右边等于6，可以解答；（2）根据方程的系数特点，可先确定各个项的系数，然后求出Δ的值，最后套用求根公式解得；（3）根据因式分解法解一元二次方程；（4）根据配方法解一元二次方程，即可求解．【详解】（1）解：x2−4x−2=0，移项得，x2−4x=2，配方，得x2−4x+4=2+4，即x−22=6，所以x−2=±6，解得x1=2+6，x2=2−6.（2）2y2−3y−1=0，a=2，b=−3，c=−1，Δ=b2−4ac=−32−4×2×−1=17，y=3±172×2，所以y1=3+174，y2=3−174.（3）解：∵3x(x−1)=2−2x，∴3x(x−1)+2(x−1)=0，则(x−1)(3x+2)=0，∴x−1=0或3x+2=0，解得x1=1，x2=− 23．（4）∵2x2−x−1=0，∴x2−12x=12，则x2−12x+116=12+116，即x−142=916∴x−14=±34 ，即 x1=1,x2=−12．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟悉配方法，公式法，因式分解法是解题的关键．57．（23-24九年级·山东泰安·期末）按照指定方法解下列方程：（1）x(x−23)+3=0．（自选方法）（2）3x2−6x−2=0．（配方法）（3）x2−9=2x+6（因式分解法）【答案】（1）x1=x2=3 ；（2）x1=1+153，x2=1−153；（3）x1=−3,x2=5．【分析】（1）原方程整理成一元二次方程的一般形式，用因式分解法即可；（2）先把二次项系数化为1，即两边都除以3，然后配方即可；（3）方程两边分别分解因式，再把左边移项后，提取公因式即可．【详解】（1）原方程整理得：x2−23x+3=0 即(x−3)2=0 ∴x1=x2=3（2）方程两边同除以3，得：x2−2x−23=0 配方，得：(x−1)2=53 根据平方根的定义，得：x−1=153或x−1=−153解得：x1=1+153，x2=1−153（3）两边分解因式得：(x+3)(x-3)=2(x+3)即：(x+3)(x-3)－2(x+3)＝0提取公因式得：(x+3)(x-5)=0∴x+3=0或x-5=0∴x1=−3,x2=5【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的解法较多，有直接开平方法，配方法，公式法及因式分解法等方法，要根据方程的特点灵活选取适当的方法，提高解方程的速度．58．（23-24九年级·广西钦州·期末）用指定方法解下列方程：（1）x2+4x−2=0（配方法）；（2）(x−2)2=3(x−2)（因式分解法）；（3）2x2−4x−1=0（公式法）．【答案】（1）x1=−2+6, x2=−2−6；（2）x1=2, x2=5；（3）x1=1+62, x2=1−62．【分析】（1）等式两边同时加6，利用完全平方公式进行配方即可求解；（2）先移项，再提取公因式x−2，即可求解；（3）利用公式法x=−b±b2−4ac2a即可求解．【详解】（1）等式两边加6，得x2+4x+4=6 由完全平方公式得，(x+2)2=6 ∴x+2=6或x+2=−6所以原方程的解为x1=−2+6, x2=−2−6；（2）移项得，(x−2)2−3(x−2)=0 提取公因式，得(x−2)(x−5)=0解得x1=2, x2=5 所以原方程的解为x1=2, x2=5；（3）Δ=42+4×2×1=24>0 由求根公式得x=4±262×2 即x=1±62 所以原方程的解为x1=1+62, x2=1−62．【点睛】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的求解方法是解题的关键．59．（23-24九年级·河北邯郸·阶段练习）请用指定方法解下列一元二次方程：（1）4x2+x−3=0（公式法）（2）x2−6x−16=0（配方法）（3）(x+1)(x+2)=2x+4（因式分解法）【答案】（1）x1=34，x2=−1；（2）x1=8，x2=−2；（3）x1=−2，x2=1【分析】（1）由公式法进行解一元二次方程，即可得到答案；（2）由配方法进行解一元二次方程，即可得到答案；（3）由因式分解法解一元二次方程，即可得到答案．【详解】解：（1）4x2+x−3=0，∴Δ=1−4×4×(−3)=49>0，∴x=−1±78，∴x1=34，x2=−1．（2）方程变形得：x2−6x=16，配方得：x2−6x+9=25，即(x−3)2=25，开方得：x−3=±5，解得：x1=8，x2=−2；（3）(x+1)(x+2)=2x+4(x+1)(x+2)−2(x+2)=0(x+2)(x−1)=0解得：x1=−2，x2=1．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法进行解题．60．（23-24九年级·安徽滁州·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程．（1）x2﹣36＝0（直接开平方法）          （2）x2﹣4x＝2（配方法）（3）2x2﹣5x+1＝0（公式法）           （4）（x+1）2+8（x+1）+16＝0（因式分解法）【答案】（1）x1=6，x2=-6；（2）x1=2+6，x2=2-6；（3）x1=5+174,x2=5−174；（4）x1=x2=-5．【分析】（1）将常数项移到右侧，利用直接开平方法求解即可；（2）方程两边同时加上4，左边配成完全平方式，然后两边开平方即可得；（3）确定出a、b、c的值，然后按照公式法的步骤进行求解即可；（4）方程左边利用完全平方公式进行分解，继而进行求解即可得．【详解】（1）x2﹣36＝0，x2=36，x=±6，∴x1=6，x2=-6；（2）x2﹣4x＝2，x2﹣4x+4＝2+4，（x-2）2=6，x-2=±6，∴x1=2+6，x2=2-6；（3）2x2﹣5x+1＝0，a=2，b=-5，c=1，b2-4ac=（-5）2-4×2×1=17>0，∴x=−b±b2−4ac2a=−−5±172×2=5±174，x1=5+174,x2=5−174；（4）（x+1）2+8（x+1）+16＝0，[（x+1）+4]2=0，（x+5）2=0，∴x1=x2=-5．【点睛】本题考查了解一元二次方程，根据要求结合方程的特点灵活运用相关解法是解题的关键．