2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第02讲函数的单调性与最大(小)值(知识+真题+8类高频考点)(精讲)(学生版+解析)

这是一份2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第02讲函数的单调性与最大(小)值(知识+真题+8类高频考点)(精讲)(学生版+解析)，共37页。试卷主要包含了函数的单调性，函数的最值，常用高频结论等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc3377" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc3377 \h 1
\l "_Tc19661" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc19661 \h 3
\l "_Tc3277" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc3277 \h 3
\l "_Tc13633" 高频考点一：函数的单调性 PAGEREF _Tc13633 \h 3
\l "_Tc5053" 角度1：求函数的单调区间 PAGEREF _Tc5053 \h 3
\l "_Tc32047" 角度2：根据函数的单调性求参数 PAGEREF _Tc32047 \h 4
\l "_Tc19669" 角度3：复合函数的单调性 PAGEREF _Tc19669 \h 4
\l "_Tc10723" 角度4：根据函数单调性解不等式 PAGEREF _Tc10723 \h 4
\l "_Tc7918" 高频考点二：函数的最大（小）值 PAGEREF _Tc7918 \h 5
\l "_Tc2717" 角度1：利用函数单调性求最值 PAGEREF _Tc2717 \h 5
\l "_Tc22734" 角度2：根据函数最值求参数 PAGEREF _Tc22734 \h 6
\l "_Tc9584" 角度3：不等式恒成立问题 PAGEREF _Tc9584 \h 6
\l "_Tc6424" 角度4：不等式有解问题 PAGEREF _Tc6424 \h 7
\l "_Tc29670" 第四部分：典型易错题型 PAGEREF _Tc29670 \h 9
\l "_Tc15064" 备注：单调区间容易忽视定义域 PAGEREF _Tc15064 \h 9
\l "_Tc13789" 备注：分段函数单调性问题容易忽视分段点大小比较 PAGEREF _Tc13789 \h 9
\l "_Tc4977" 备注：利用单调性解不等式容易忽略函数定义域 PAGEREF _Tc4977 \h 9
\l "_Tc5180" 第五部分：新定义题（解答题） PAGEREF _Tc5180 \h 10
第一部分：基础知识
1、函数的单调性
（1）单调性的定义
一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，；
①当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数
②当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数
（2）单调性简图：

（3）单调区间（注意先求定义域）
若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间．
（4）复合函数的单调性（同调增；异调减）
对于函数和，如果当时，，且在区间上和在区间上同时具有单调性，则复合函数在区间上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．
2、函数的最值
（1）设函数的定义域为，如果存在实数满足
①对于任意的，都有；
②存在，使得
则为最大值
（2）设函数的定义域为，如果存在实数满足
①对于任意的，都有；
②存在，使得
则为最小值
3、常用高频结论
（1）设，.
①若有或，则在闭区间上是增函数；
②若有或，则在闭区间上是减函数.此为函数单调性定义的等价形式.
（2）函数相加或相减后单调性：
设，两个函数，在区间上的单调性如下表，则在上的单调性遵循（增+增=增；减+减=减）
（3）对钩函数单调性：（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减．
（4）常见对钩函数：（），的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减．
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·北京·统考高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·（新课标Ⅰ卷））设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数的单调性
角度1：求函数的单调区间
典型例题
例题1．（2024上·湖南娄底·高一校考期末）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2024上·四川宜宾·高一校考期末）函数的单调递减区间是 ．
角度2：根据函数的单调性求参数
典型例题
例题1．（2024上·河北沧州·高一统考期末）已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2024上·广东深圳·高一校考期末）函数在上单调递增，则k的取值范围为 ．
角度3：复合函数的单调性
典型例题
例题1．（2024·全国·高一假期作业）已知函数，则单调递增区间为 ．
例题2．（2024·全国·高一假期作业）函数的单调递减区间是 .
角度4：根据函数单调性解不等式
典型例题
例题1．（2024上·福建莆田·高一校联考期末）已知偶函数在区间上是增函数，则满足的取值范围是 .
例题2．（2024上·海南海口·高一海南中学校考期末）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．
(1)求在R上的解析式；
(2)判断的单调性，并解不等式．
练透核心考点
1．（2024上·浙江温州·高一统考期末）已知函数在定义域上是减函数，则的值可以是（ ）
A．3B．2C．1D．
2．（2024上·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期末）设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024上·山东青岛·高一统考期末）定义在上的函数，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．和
C．D．和
5．（2024·江苏·高一假期作业）函数的单增区间为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024下·全国·高一开学考试）若函数在内满足：对于任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为 ．
高频考点二：函数的最大（小）值
角度1：利用函数单调性求最值
典型例题
例题1．（2024下·高二课前预习）函数在上的最大值和最小值分别是（ ）
A．12，B．5，C．5，D．12，
例题2．（2024上·江苏镇江·高一统考期末）函数的定义域为，则值域为（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2024上·河南许昌·高一统考期末）已知函数．
(1)判断函数奇偶性，并用定义法证明；
(2)写出函数的单调区间，并用定义法证明某一个区间的单调性；
(3)求函数在上的最大值和最小值．
角度2：根据函数最值求参数
典型例题
例题1．（2024·江苏·高一假期作业）已知函数有最小值，则实数a的取值范围是 .
角度4：不等式有解问题
典型例题
例题1．（2023上·辽宁·高一校联考阶段练习）若“，”为真命题，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2023上·湖北武汉·高一武汉市第四中学校考阶段练习）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 .
例题3．（2023上·江苏连云港·高三江苏省海州高级中学校考阶段练习）已知函数.
(1)当时，求的最大值和最小值；
(2)若，使成立，求实数的取值范围.
练透核心考点
1．（2024下·湖北·高一湖北省汉川市第一高级中学校联考开学考试）下列选项中是“，”成立的一个必要不充分条件的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·全国·高一专题练习）函数，的最大值是（ ）
A．B．C．1D．2
3．（2024·全国·高三专题练习）已知函数在区间上的最大值为，则实数的值为 ．
4．（2024上·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）已知函数.
(1)若是奇函数，求实数的值；
(2)若，求在上的值域.
5．（2024·全国·高一假期作业）已知
(1)根据单调性的定义证明函数在区间上是减函数
(2)若函数（）的最大值与最小值之差为1，求实数的值
6．（2024上·河南商丘·高一睢县回族高级中学校联考期末）已知函数.
(1)设函数，实数满足，求；
(2)若在时恒成立，求的取值范围.
7．（2023上·江苏南通·高一统考期中）已知函数.
(1)试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明；
(2)若存在，使成立，求实数的范围.
8．（2023下·河北邢台·高二校联考阶段练习）已知函数，．
(1)求函数在上的值域；
(2)若，，使得，求实数的取值范围．
第四部分：典型易错题型
备注：单调区间容易忽视定义域
1．（2023上·陕西西安·高一校考阶段练习）函数的单调增区间是 ．
2．（2023下·福建三明·高一永安市第九中学校考阶段练习）函数的单调递减区间是 .
备注：分段函数单调性问题容易忽视分段点大小比较
1．（2023上·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考开学考试）已知是上的减函数，则实数的取值范围是 ．
2．（2023上·广东深圳·高一校考期末）若，满足对任意，都有成立，则的取值范围是 .
备注：利用单调性解不等式容易忽略函数定义域
1．（2023上·重庆·高一重庆市辅仁中学校校考期中）定义在上的奇函数为减函数，且，则实数的取值范围是 ．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数是减函数，则满足的x的取值范围是 ．
第五部分：新定义题（解答题）
1．（2024上·福建泉州·高一统考期末）给定函数与，若为减函数且值域为（为常数），则称对于具有“确界保持性”.
(1)证明：函数对于不具有“确界保持性”；
(2)判断函数对于是否具有“确界保持性”；
(3)若函数对于具有“确界保持性”，求实数的值.增
增
增
减
减
减
增
减
增
减
增
减
第02讲 函数的单调性与最大（小）值
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc26944" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc26944 \h 1
\l "_Tc24269" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc24269 \h 3
\l "_Tc30590" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc30590 \h 4
\l "_Tc6545" 高频考点一：函数的单调性 PAGEREF _Tc6545 \h 4
\l "_Tc9810" 角度1：求函数的单调区间 PAGEREF _Tc9810 \h 4
\l "_Tc16592" 角度2：根据函数的单调性求参数 PAGEREF _Tc16592 \h 5
\l "_Tc8711" 角度3：复合函数的单调性 PAGEREF _Tc8711 \h 6
\l "_Tc21376" 角度4：根据函数单调性解不等式 PAGEREF _Tc21376 \h 7
\l "_Tc18982" 高频考点二：函数的最大（小）值 PAGEREF _Tc18982 \h 10
\l "_Tc26035" 角度1：利用函数单调性求最值 PAGEREF _Tc26035 \h 10
\l "_Tc29312" 角度2：根据函数最值求参数 PAGEREF _Tc29312 \h 12
\l "_Tc21485" 角度3：不等式恒成立问题 PAGEREF _Tc21485 \h 14
\l "_Tc26009" 角度4：不等式有解问题 PAGEREF _Tc26009 \h 15
\l "_Tc26222" 第四部分：典型易错题型 PAGEREF _Tc26222 \h 23
\l "_Tc31572" 备注：单调区间容易忽视定义域 PAGEREF _Tc31572 \h 23
\l "_Tc2983" 备注：分段函数单调性问题容易忽视分段点大小比较 PAGEREF _Tc2983 \h 24
\l "_Tc28172" 备注：利用单调性解不等式容易忽略函数定义域 PAGEREF _Tc28172 \h 24
\l "_Tc19309" 第五部分：新定义题（解答题） PAGEREF _Tc19309 \h 25
第一部分：基础知识
1、函数的单调性
（1）单调性的定义
一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，；
①当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数
②当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数
（2）单调性简图：

（3）单调区间（注意先求定义域）
若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间．
（4）复合函数的单调性（同调增；异调减）
对于函数和，如果当时，，且在区间上和在区间上同时具有单调性，则复合函数在区间上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．
2、函数的最值
（1）设函数的定义域为，如果存在实数满足
①对于任意的，都有；
②存在，使得
则为最大值
（2）设函数的定义域为，如果存在实数满足
①对于任意的，都有；
②存在，使得
则为最小值
3、常用高频结论
（1）设，.
①若有或，则在闭区间上是增函数；
②若有或，则在闭区间上是减函数.此为函数单调性定义的等价形式.
（2）函数相加或相减后单调性：
设，两个函数，在区间上的单调性如下表，则在上的单调性遵循（增+增=增；减+减=减）
（3）对钩函数单调性：（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减．
（4）常见对钩函数：（），的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减．
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·北京·统考高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.
【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故A错误；
对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故B错误；
对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递增，故C正确；
对于D，因为，，
显然在上不单调，D错误.
故选：C.
2．（2023·全国·（新课标Ⅰ卷））设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数的单调性
角度1：求函数的单调区间
典型例题
例题1．（2024上·湖南娄底·高一校考期末）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由对数函数单调性、二次函数单调性以及复合函数单调性列出不等式组即可求解.
【详解】由题意，令，
解得，即函数的单调递增区间是.
故选：D.
例题2．（2024上·四川宜宾·高一校考期末）函数的单调递减区间是 ．
【答案】
【分析】根据题意，由条件可得在单调递减，在单调递增，再由复合函数的单调性即可得到结果.
【详解】设，由可得，或，
则函数，由在单调递减，在单调递增，
而在单调递增，由复合函数的单调性可知，
函数的单调递减区间是.
故答案为：
角度2：根据函数的单调性求参数
典型例题
例题1．（2024上·河北沧州·高一统考期末）已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用分段函数的单调性列出不等式组即可求参数的取值范围.
【详解】因为函数在R上单调递增．所以，解得，
即实数a的取值范围是.
故选：A．
例题2．（2024上·广东深圳·高一校考期末）函数在上单调递增，则k的取值范围为 ．
【答案】
【分析】分、和三种情况，结合单调性的性质以及对勾函数单调性分析求解.
【详解】若，则在上单调递增，
所以函数在上单调递增，符合题意；
若，则函数在上单调递增，符合题意；
若，则在上单调递减，在上单调递增，
则，解得；
综上所述：k的取值范围为.
故答案为：.
角度3：复合函数的单调性
典型例题
例题1．（2024·全国·高一假期作业）已知函数，则单调递增区间为 ．
【答案】/
【分析】根据二次函数以及指数函数的性质，结合复合函数的单调性法则即可求解.
【详解】由于在单调递减，在单调递增，
而函数为上的单调递增函数，
所以的单调递增区间为，
故答案为：
例题2．（2024·全国·高一假期作业）函数的单调递减区间是 .
【答案】和
【分析】对函数化简后，作出函数的图象，根据图象可求得结果.
【详解】当或时，，对称轴为，
当时，，对称轴为，
作出的图象如图所示，
由图可知单调递减区间为，
故答案为：和

角度4：根据函数单调性解不等式
典型例题
例题1．（2024上·福建莆田·高一校联考期末）已知偶函数在区间上是增函数，则满足的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性与单调性将函数不等式等价转化为，解得即可.
【详解】因为偶函数在区间上是增函数，
所以在区间上单调递减，
不等式等价于，等价于，
即，解得，即满足的取值范围是.
故答案为：
例题2．（2024上·海南海口·高一海南中学校考期末）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．
(1)求在R上的解析式；
(2)判断的单调性，并解不等式．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由题意根据奇函数的定义以及当时，，可以求出当时的表达式，从而即可进一步求解.
（2）首先根据时，单调递增，从而得到在上是单调增函数，再结合奇函数性质即可将表达式等价转换，解一元二次不等式即可得解.
【详解】（1）设，则，当时，，
因为，所以，即，
又，所以，
所以；
（2）时，单调递增，
又因为函数是定义在R上的奇函数，
所以在上是单调增函数，
不等式可化为，
所以，即，解得或.
所以不等式的解集为或.
练透核心考点
1．（2024上·浙江温州·高一统考期末）已知函数在定义域上是减函数，则的值可以是（ ）
A．3B．2C．1D．
【答案】D
【分析】由题意只需，由此对比选项即可得解.
【详解】由题意当时，单调递减，当时，单调递增，
若函数在定义域上是减函数，只需，
解得，对比选项可知的值可以是.
故选：D.
2．（2024上·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期末）设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用指数函数及复合函数的单调性计算即可.
【详解】易知，显然在上单调递增，
在上单调递减，
因为在区间上单调递增，结合复合函数的单调性可知，且，
所以.
故选：A
3．（2024上·山东青岛·高一统考期末）定义在上的函数，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用函数的奇偶性和单调性解不等式.
【详解】定义在上的函数，函数为偶函数且在上单调递增，
若，则有，即，解得.
所以的取值范围为.
故选：D
4．（2024·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．和
C．D．和
【答案】B
【分析】将绝对值函数转化成分段函数，由二次函数的性质即可求
【详解】，
则由二次函数的性质知，当时，的单调递减区间为；
当，的单调递减区间为，
故的单调递减区间是和.
故选：B
5．（2024·江苏·高一假期作业）函数的单增区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】得出分段函数解析式，即可得解.
【详解】.
因为，，
所以的增区间是．
故选：D
6．（2024下·全国·高一开学考试）若函数在内满足：对于任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先得到函数在R上单调递增，再根据分段函数单调递增需满足每一段上单调递增，且在分段处，左端点的函数值小于等于右端点的函数值，得到不等式，求出答案.
【详解】由题意得在R上单调递增，
由题意得，解得.
故答案为：
高频考点二：函数的最大（小）值
角度1：利用函数单调性求最值
典型例题
例题1．（2024下·高二课前预习）函数在上的最大值和最小值分别是（ ）
A．12，B．5，C．5，D．12，
【答案】C
【分析】将函数求导，得到导函数零点，在函数定义域上分析讨论函数的单调性，再考虑区间的端点值，即得函数的最值.
【详解】由求导得：，
令可解得：或，因，故，
由可解得：，由可解得：，
故函数在区间上单调递增，在上单调递减，
故当时，函数；
又，故当时，函数.
即函数在上的最大值和最小值分别是.
故选:C．
例题2．（2024上·江苏镇江·高一统考期末）函数的定义域为，则值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意先判断函数单调性，结合单调性求最值和值域.
【详解】因为函数的定义域为，
且在内单调递增，可知在内单调递增，
可知在内的最小值为，最大值为，
所以值域为.
故选：A.
例题3．（2024上·河南许昌·高一统考期末）已知函数．
(1)判断函数奇偶性，并用定义法证明；
(2)写出函数的单调区间，并用定义法证明某一个区间的单调性；
(3)求函数在上的最大值和最小值．
【答案】(1)奇函数，证明见解析；
(2)单调递增区间为和，单调递减区间为和，证明见解析；
(3)最大值为10，最小值为6.
【分析】（1）利用函数奇偶性的定义计算即可；
（2）利用定义法作差计算函数的单调性即可；
（3）利用函数的单调性计算最值即可.
【详解】（1）函数为奇函数．
由函数可知其定义域为，关于原点对称，
设，有．
所以函数为奇函数；
（2）函数的单调递增区间为和，
函数的单调递减区间为和．
下面证明单调区间，
设，则，
若，则，此时，
若，则，此时，
即在上单调递减，在上单调递增，
由函数为奇函数，所以在上单调递减，在上单调递增，
综上：函数的单调递增区间为和，
函数的单调递减区间为和．
（3）由上可知在区间上单调递减，在区间上单调递增，
且．
则函数在上的最大值为10，最小值为6．
角度2：根据函数最值求参数
典型例题
例题1．（2024·江苏·高一假期作业）已知函数有最小值，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】化简函数，去绝对值后，根据函数有最小值得出函数的变化趋势，即可求出实数a的取值范围.
【详解】解：由题意，
在中，
∵函数有最小值，
∴函数应在上单调递减，在上单调递增或常函数，
∴，解得：，
∴有最小值时，实数a的取值范围是.
故答案为：.
例题2．（2024上·吉林通化·高三校考阶段练习）已知函数在区间上有最小值4，则实数k＝ ．
【答案】4
【分析】由函数在上有最小值可知，k＞0，再由基本不等式即可求得k的值．
【详解】解：依题意，，则，当且仅当时，等号成立
则，解得．
故答案为：4．
【点睛】本题考查已知函数的最值求参数的值，考查分析能力及计算能力，属于基础题．
例题3．（2023上·江苏镇江·高一江苏省镇江第一中学校考阶段练习）若函数 在 的最大值为2，则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据必要性，最值的定义以及二次函数图象对称轴位置分类讨论即可解出．
【详解】设，，，
因为函数在 的最大值为2，，
所以，解得：，
当时，函数在上先递减再递增，
而，
所以，，且，即函数在 的最大值为2，符合题意；
当时，函数在上递减，所以，
而，所以函数在 的最大值为2，符合题意，
综上，．
故答案为：
角度3：不等式恒成立问题
典型例题
例题1．（多选）（2023上·江苏淮安·高一校考阶段练习）已知关于的不等式对恒成立，则实数的可取值是（ ）
A．-2B．0C．3D．7
【答案】BCD
【分析】分与两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出的取值范围，得到答案.
【详解】当时，恒成立，满足要求，
当时，需满足，解得，
故实数的取值范围是，故A错误，BCD正确.
故选：BCD
例题2．（2023上·江苏扬州·高一江苏省邗江中学校考阶段练习）已知函数.
(1)若，且，求函数的值域；
(2)若，都有，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）配方后得到函数的单调性，从而求出函数的最值，得到值域；
（2）转化为在上恒成立，数形结合得到不等式组，求出的取值范围.
【详解】（1）时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得最小值，最小值为，
又，故最大值为8，故值域为；
（2）在上恒成立，
故只需，解得或，
故的取值范围是.
例题3．（2023上·广东潮州·高一饶平县第二中学校考期中）已知幂函数在上单调递减.
(1)求的解析式；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由幂函数的概念与性质直接列式求解;
（2）分离参数，利用基本不等式求最值即可求解.
【详解】（1）因为幂函数在上单调递减，
则，解得，故
（2）由（1）可知，对任意的恒成立，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，，因此，实数的取值范围是.
角度4：不等式有解问题
典型例题
例题1．（2023上·辽宁·高一校联考阶段练习）若“，”为真命题，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】令，从而根据题意可得或，进而求解即可．
【详解】原不等式可化为，
令，是关于的一次函数，
因为“，”为真命题，
所以或，
即或，解得或,
所以的取值范围为．
故选：B．
例题2．（2023上·湖北武汉·高一武汉市第四中学校考阶段练习）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】参变分离，得到在上有解，由基本不等式求出，从而得到实数的取值范围.
【详解】变形为，
故在上有解，
因为，所以，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
故答案为：
例题3．（2023上·江苏连云港·高三江苏省海州高级中学校考阶段练习）已知函数.
(1)当时，求的最大值和最小值；
(2)若，使成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)最大值为170，最小值为
(2)
【分析】（1）换元后得到，，求出最值；
（2）转化为，只需，根据对勾函数的单调性得到函数最值，得到，求出答案.
【详解】（1）令，
故，
当时，取得最小值，最小值为，
又，，
故的最大值为170，最小值为；
（2），即，
令，故在上有解，
，只需，
其中在上单调递减，在上单调递增，
又当时，，当时，，
故，解得，
故实数的取值范围为.
练透核心考点
1．（2024下·湖北·高一湖北省汉川市第一高级中学校联考开学考试）下列选项中是“，”成立的一个必要不充分条件的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】变形得到，根据函数单调性得到，故，由于是的真子集，故A正确，其他选项不合要求.
【详解】，，
即，，
∴，其中在上单调递减，
在上单调递增，
其中时，，当时，，
故，即，
由于是的真子集，故“”的必要不充分条件为“”，
其他选项均不合要求.
故选：A
2．（2024·全国·高一专题练习）函数，的最大值是（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】先分离常数，再利用函数单调性求解最值即可.
【详解】，
而的图象由函数图象向左平移1个单位再向上平移2个单位得到，
所以在上单调递增，
所以当时，函数，有最大值为.
故选：B
3．（2024·全国·高三专题练习）已知函数在区间上的最大值为，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】将函数化为，,，讨论，和时函数的单调性，运用单调性可得最大值，解方程即可得到所求值．
【详解】解：函数，即，,，
当时，不成立；
当，即时，在,递减，可得为最大值，
即，解得，成立；
当，即时，在,递增，可得为最大值，
即，解得，不成立；
综上可得．
故答案为：.
4．（2024上·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）已知函数.
(1)若是奇函数，求实数的值；
(2)若，求在上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据奇函数的定义即可求解；
（2）结合函数的单调性即可求解.
【详解】（1）由题意，
，
，
；
（2），
，
，
令，，
令，，
设，
，
，
在上单调递减，
，即，
同理可证在上单调递增，
，即，
综上，在上的值域.
5．（2024·全国·高一假期作业）已知
(1)根据单调性的定义证明函数在区间上是减函数
(2)若函数（）的最大值与最小值之差为1，求实数的值
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）且，利用作差法证明即可；
（2）由（1）求出函数的最值，再根据题意即可得解.
【详解】（1）且，
则，
因为，所以，
又因为，所以，
因此，
所以在是减函数；
（2）由（1）可知，是减函数，
所以时，取得最大值为，
时，取得最小值为，
因为最大值与最小值之差为1，
所以，解得.
6．（2024上·河南商丘·高一睢县回族高级中学校联考期末）已知函数.
(1)设函数，实数满足，求；
(2)若在时恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)0
(2)
【分析】（1）根据函数的奇偶性进行求解；
（2）分类讨论，分别求出在上的最小值，从而得出结论，注意利用勾形函数的性质得出单调性．
【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称，
且，
则是上的奇函数，从而，
因为，所以，得，
所以.
（2）若，则在上单调递增，
因为在时恒成立，所以，解得，所以.
若，由可得，当且仅当，即时等号成立，
则在上单调递减，在上单调递增.
若，则，解得，与矛盾；
若，则，解得，所以.
综上所述，的取值范围是.
7．（2023上·江苏南通·高一统考期中）已知函数.
(1)试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明；
(2)若存在，使成立，求实数的范围.
【答案】(1)在区间上单调递增，证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用单调性定义，令，作差法判断符号，即可得结果；
（2）问题化为成立，即可求参数范围.
【详解】（1）在区间上单调递增.
证明如下：设，则
因为，所以，，，即
所以，故在区间上单调递增.
（2）由（1）可知在上单调递增，
所以，当时，取得最小值，即
又存在，使成立，
所以只需成立，即，解得.
故实数的范围为.
8．（2023下·河北邢台·高二校联考阶段练习）已知函数，．
(1)求函数在上的值域；
(2)若，，使得，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用导数可求得单调性，结合单调性可确定最值，由此可得值域；
（2）将问题转化为，结合一次函数性质即可构造不等式求得结果.
【详解】（1），当时，；
在上单调递减，，；
在上的值域为.
（2），，使得，；
当时，；
由（1）知：当时，，，解得：，
即实数的取值范围为.
第四部分：典型易错题型
备注：单调区间容易忽视定义域
1．（2023上·陕西西安·高一校考阶段练习）函数的单调增区间是 ．
【答案】
【分析】求出函数的定义域，利用复合函数“同增异减”的性质即可求得其单调增区间.
【详解】由题意可知，解得，即函数定义域为，
易知函数由复合而成，
且在单调递减，在单调递增，在上单调递减；
利用复合函数单调性可得的单调增区间是
故答案为：.
2．（2023下·福建三明·高一永安市第九中学校考阶段练习）函数的单调递减区间是 .
【答案】
【分析】根据复合函数的单调性原则即可由的单调性进行求解.
【详解】令，解得，
则的定义域为，
记，由于的对称轴为，
故其在上单调递减，而在定义域内单调递增，
由复合函数单调性的原则可知：在单调递减，
故答案为：.
备注：分段函数单调性问题容易忽视分段点大小比较
1．（2023上·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考开学考试）已知是上的减函数，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意，结合分段函数的单调性的判定法，以及一次函数与对数函数的性质，列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数 在上为单调递减函数，
则满足 ，解得，所以实数的取值范围为.
故答案为：.
2．（2023上·广东深圳·高一校考期末）若，满足对任意，都有成立，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据函数在上是增函数，则每一段都是增函数，且左侧的函数值不大于右侧的函数值求解.
【详解】函数的定义域为，
第五部分：新定义题（解答题）
1．（2024上·福建泉州·高一统考期末）给定函数与，若为减函数且值域为（为常数），则称对于具有“确界保持性”.
(1)证明：函数对于不具有“确界保持性”；
(2)判断函数对于是否具有“确界保持性”；
(3)若函数对于具有“确界保持性”，求实数的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)具有
(3)3
【分析】（1）令，以特殊值说明函数不满足值域为，即可证明结论；
（2）根据对于具有“确界保持性”的定义，说明满足定义中的条件，即可得出结论；
（3）根据的结构特点，先确定时，函数符合题意，再分别说明和时，函数值域不符合题意，即可确定答案.
【详解】（1）证明：令，
因为，不满足函数值域为，
故函数 对于不具有“确界保持性”；
（2）函数对于具有“确界保持性”；
理由如下：
令，
在上单调递减，且当时，，
故函数对于具有“确界保持性”；
（3）令，
根据“确界保持性”定义可知在上单调递减，
故，即的值域为；
由于
，
可以看到，若当，即时，
则可化简为，且在上均单调递减，
故先证明符合题意；
当时，，
先证明在上单调递减，
设，
则
当时，，
故，，
，
则，
即，
故，即，
所以在上单调递减；
故，
又因为，
当x趋向于无限大时，均无限接近于0，且大于0，
即，且无限接近于0，
故的值域为，
故函数对于具有“确界保持性”，
当时，，
取，则，不满足函数值域为，
此时，不符合题意，舍去；
当时，，，
则，
取，则，不满足函数值域为，
此时，不符合题意，舍去；
综上，当时，函数对于具有“确界保持性”.
【点睛】难点点睛：本题考查了函数新定义问题，解答时要理解“确界保持性”.的含义，依据定义去解答，难点在于（3）中根据函数对于具有“确界保持性”，求解参数的值，解答时要根据函数的结构特点，确定a的值，说明其符合题意，然后分类说明其它情况不符合题意，即可解决问题.
增
增
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