2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第04讲幂函数与二次函数(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)

这是一份2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第04讲幂函数与二次函数(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·湖南岳阳·校联考模拟预测）探究幂函数当时的性质，若该函数在定义域内为奇函数，且在上单调递增，则（ ）
A．2B．3C．D．-1
2．（2024上·广东茂名·高一统考期末）下列函数中，在上为减函数的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024上·四川广安·高一统考期末）已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024上·云南大理·高二统考期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023上·山西太原·高一太原市外国语学校校联考阶段练习）函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023上·广东深圳·高一校考期中）二次函数在上的最大值为（ ）
A．-1B．0C．3D．4
14．（2024上·云南昭通·高一昭通市第一中学校联考期末）已知一次函数满足，.
(1)求这个函数的解析式；
(2)若函数，恒成立，求m的取值范围.
15．（2024上·安徽安庆·高一统考期末）已知幂函数是定义在R上的偶函数．
(1)求函数的解析式；
(2)当时，求函数的最值，并求对应的自变量的值．
B能力提升
1．（2024上·湖南娄底·高一校考期末）已知函数．
(1)用定义法证明：函数在是单调递增函数；
(2)若，求函数的最小值．
2．（2024下·山东滨州·高一山东省北镇中学校考开学考试）已知幂函数的图象过点
(1)解不等式：；
(2)设，若存在实数，使得成立，求实数的取值范围．
3．（2024上·湖北·高一校联考期末）已知幂函数()为偶函数，且在上单调递减．
(1)求和的值；
(2)求满足的实数的取值范围．
C综合素养
4．（2022上·四川·高一四川外国语大学附属外国语学校校考期中）设函数的定义域为，如果存在，使得在上的值域也为，则称为“A佳”函数.已知幂函数在上是单调增函数.
(1)求函数的解析式:
(2) 是否为“A佳”函数.若是，请指出所在区间；若不是，请说明理由.
(3)若函数，且是“A佳”函数，试求出实数的取值范围.
5．（2024上·安徽合肥·高一合肥一中校考期末）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“倒戈函数”.
(1)已知函数，试判断是否为“倒戈函数”，并说明理由；
(2)若为定义在上的“倒戈函数”，求函数在的最小值.
第04讲 幂函数与二次函数 (分层精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·湖南岳阳·校联考模拟预测）探究幂函数当时的性质，若该函数在定义域内为奇函数，且在上单调递增，则（ ）
A．2B．3C．D．-1
【答案】B
【分析】根据幂函数的性质即可得解.
【详解】由题意可得且为奇数，
所以.
故选：B.
2．（2024上·广东茂名·高一统考期末）下列函数中，在上为减函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据幂指对函数的增减性的判定即可得出答案．
【详解】，因为，所以在上为增函数，故A错误；
在上为减函数，所以在上为增函数，故B错误；
，所以在上为减函数，故C正确；
，所以在上为增函数，故D错误；
故选：C．
3．（2024上·四川广安·高一统考期末）已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】待定系数法求出解析式，从而选出答案.
【详解】设幂函数解析式为，将代入得，
即，故，解得，
所以，C选项为其图象.
故选：C
4．（2024上·云南大理·高二统考期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用二次函数的单调性求实数的取值范围.
【详解】二次函数的图象开口向上，对称轴方程为，
由函数在区间上单调递减，则有，
所以实数的取值范围是.
故选：B.
5．（2023上·山西太原·高一太原市外国语学校校联考阶段练习）函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出定义域，进而根号下配方求出值域.
【详解】令得，，故定义域为，
.
故选：A
6．（2023上·广东深圳·高一校考期中）二次函数在上的最大值为（ ）
A．-1B．0C．3D．4
【答案】C
【分析】利用二次函数的单调性求最大值.
【详解】因为函数是开口向上的抛物线，且对称轴为：，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，
所以函数在上的最大值为：.
故选：C
7．（2022上·全国·高一校联考阶段练习）已知幂函数上单调递增，则（ ）
A．0B．2C．或D．或2
【答案】A
【分析】根据幂函数定义以及其单调性，结合解析式，即可求得参数值.
【详解】因为幂函数上单调递增，
所以且，解得.
故选：A
8．（2024上·天津和平·高一统考期末）设函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定函数，利用指数函数、二次函数单调性，结合得便函数单调性求出的单调递增区间，再借助集合的包含关系求解即得.
【详解】函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在R上单调递减，因此函数的递增区间是，递减区间是，
依题意，，则，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：A
二、多选题
9．（2024上·辽宁丹东·高一统考期末）如图所示，现有一个直角三角形材料，，想要截得矩形CDEF，点E在边AB上，记矩形CDEF的面积为S，的面积为T.已知，设，，则（ ）
A．B．
C．当S取最大值时，D．当S取最大值时，
【答案】BC
【分析】由，利用对应边成比例，表示出的关系式判断选项A；由的关系式，把表示为关于的函数，验证选项B；由二次函数的性质，求S取最大值时的值，计算验证选项C；通过三角形形状验证判断选项D．
【详解】，为矩形，则，，，
可得，有，，得，A选项错误；
由，得，，B选项正确；
由二次函数的性质可知，时，单调递增；时，单调递减，
则当时，S取最大值，此时，C选项正确；
当S取最大值时，，此时分别为的中点，
，所以与不垂直，D选项错误．
故选：BC
10．（2024上·浙江嘉兴·高一统考期末）已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．B．的图象经过点
C．在上单调递增D．不等式的解集为
【答案】ABC
【分析】根据题意，代入法确定函数解析式，从而依次判断.
【详解】由幂函数的图象经过点，
则，得，所以幂函数，所以A正确；
又，即的图象经过点，B正确；
且在上单调递增，C正确；
不等式，即，解得，D错误.
故选：ABC.
三、填空题
11．（2022上·全国·高一校联考期中）若，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】利用幂函数的单调性解不等式.
【详解】由在上单调递增，故，解得.
故答案为：
12．（2023上·广东潮州·高一饶平县第二中学校考期中）已知函数，的值域是，则实数 .
【答案】或
【分析】分，与三种情况，结合函数单调性得到方程，求出答案.
【详解】若，此时，
其在上单调递增，
故，解得，满足要求，
若，此时，
其在上单调递减，
故，解得，满足要求，
若，此时的最小值为0，当时，等号成立，
此时不满足值域是.
故答案为：或
四、解答题
13．（2024上·福建宁德·高一统考期末）已知.
(1)若，求的值；
(2)求关于的不等式的解集.
【答案】(1)
(2)详见解析.
【分析】（1）根据函数的对称性求参数的值；
（2）分解因式，对的值进行分类讨论即可求解.
【详解】（1）由得函数对称轴为：，
由.
（2）由.
当时，可得：;
当时，可得：；
当时，可得：
综上，当时，原不等式的解集为：；
当时，原不等式的解集为：
当时，原不等式的解集为：
14．（2024上·云南昭通·高一昭通市第一中学校联考期末）已知一次函数满足，.
(1)求这个函数的解析式；
(2)若函数，恒成立，求m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法即可得解；
（2）利用配方法求得，从而利用恒成立问题的解法即可得解.
【详解】（1）依题意，设，
由条件得，解得，
故.
（2）由（1）知，
则，所以，
因为恒成立，则，
所以.
15．（2024上·安徽安庆·高一统考期末）已知幂函数是定义在R上的偶函数．
(1)求函数的解析式；
(2)当时，求函数的最值，并求对应的自变量的值．
【答案】(1)
(2)当时，函数的最小值为；当时，函数的最大值为7
【分析】（1）由幂函数的定义和函数的奇偶性，求出的值，得函数解析式；
（2）求出函数的解析式，由定义域结合解析式，利用配方法求最值.
【详解】（1）根据题意可得，即，
所以，解得，
又函数是定义在R上的偶函数，
所以，即函数的解析式为．
（2）由（1）可知
因，所以，
所以当，即，函数的最小值为；
当时，，函数的最大值为7．
B能力提升
1．（2024上·湖南娄底·高一校考期末）已知函数．
(1)用定义法证明：函数在是单调递增函数；
(2)若，求函数的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）用单调性的定义直接证明即可；
（2）通过换元法将原问题等级转换为二次函数动轴定区间的最小值问题，对对称轴的位置分类讨论即可求解.
【详解】（1）不妨设，所以，
因为，所以，即，
所以函数在是单调递增函数.
（2）若，则，
所以
，
，
若，则单调递减，
所以此时，
若，则，
若，则单调递增，
所以此时，
综上所述，.
【点睛】方法点睛：利用函数单调性的定义证明函数的单调性，首先要在函数定义域的给定区间内，任取两个数，且，然后通过计算的符号，如果，则在给定区间内单调递增；如果，则在给定区间内单调递减.
2．（2024下·山东滨州·高一山东省北镇中学校考开学考试）已知幂函数的图象过点
(1)解不等式：；
(2)设，若存在实数，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据图象所过点求出幂函数解析式，再由二次不等式求解即可；
（2）分离参数后由题意转化为求二次函数的最小值即可得解.
【详解】（1）因为幂函数的图象过点，
所以，解得
所以，
由，
所以，
整理得，即
解得或
故不等式的解集为
（2）由（1）可知，，则，
由得，，
即，
令，根据题意，存在实数，，
则 ，由于，
所以当时，取最小值，故，
所以的取值范围为.
3．（2024上·湖北·高一校联考期末）已知幂函数()为偶函数，且在上单调递减．
(1)求和的值；
(2)求满足的实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数以及奇偶性等知识求得.
（2）根据函数的单调性以及对分类讨论来求得的取值范围.
【详解】（1）由函数为幂函数，
则，解得；
【详解】（1）因为幂函数在上是单调增函数，
所以，解得，
所以函数的解析式为．
（2）由（1）知，，函数的定义域为，
又，所以函数的值域为，
若存在，使得在上的值域为，
故函数为“A佳”函数.
因为在上单调递增，所以函数在上单调递增，
有，解得或，或，而，
故“A佳”函数的区间为；
（3），，则在上单调递减，
因为是“A佳”函数，所以，
令，，则，，
所以，有，即，
因为，所以，所以，得，
所以，代入，
得，
因为，所以，得，
令，，
所以，又该函数在上单调递减，
所以，
所以实数的取值范围是.
【点睛】关于函数新定义问题，一般需要理解定义的内容，根据定义直接处理比较简单问题，加深对新定义的理解，本题中，需要根据是“A佳”函数，及函数的单调性转化为，换元后求出的关系，利用函数值域求解.
5．（2024上·安徽合肥·高一合肥一中校考期末）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“倒戈函数”.
(1)已知函数，试判断是否为“倒戈函数”，并说明理由；
(2)若为定义在上的“倒戈函数”，求函数在的最小值.
【答案】(1)为“倒戈函数”；理由见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）直接解方程，方程有解即得；
（2）由方程在上有解，令换元后转化为关于t的二次方程在上有解，可结合二次函数的性质或二次方程根的分布知识可得，然后通过分类讨论求函数的最小值.
【详解】（1）为“倒戈函数”.
等价于方程有解，
即有解，显然为方程的解，
所以为“倒戈函数”；
（2）若为定义在上的“倒戈函数”，
则在上有解，即在上有解.
令，当且仅当时，即时，取等号，
则，
从而关于的方程在上有解，
令，
①当时，在上有解，
由，即，解得；
②当时，在上有解等价于
，此不等式组无解.
则所求实数的取值范围是.
令，因为，所以，
则，
令，对称轴为，
当时，在单调递增，
所以时，取得最小值，，
即时
当时，时，取得最小值，，
即时，即时，.
综上，当时，；
当时，.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的新定义问题，解题关键是能够充分理解“倒戈函数”的定义，将问题转化为方程有解的问题来进行求解.