2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第06讲利用导数研究函数的零点(方程的根)(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)

这是一份2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第06讲利用导数研究函数的零点(方程的根)(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)，共19页。试卷主要包含了多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

9．（22-23高二下·甘肃定西·阶段练习）若函数有三个零点，则实数a的可能取值是（ ）
A．－10B．－9C．2D．3
10．（2024高二下·全国·专题练习）已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．恰有一个极大值
C．当时，无实数解
D．当时，有三个实数解
三、填空题
11．（2023·四川遂宁·模拟预测）已知 且，方程有且仅有两个不等根，则的取值范围为
12．（2024高三·全国·专题练习）函数在上的零点个数为
四、解答题
13．（23-24高三上·河南·期末）已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，研究函数在上的单调性和零点个数．
14．（22-23高二下·浙江杭州·期中）已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)方程恰有两个不同的实根，求的取值范围.
B能力提升
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数有三个零点，其中，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知函数关于的方程有且仅有4个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）已知函数.若，且，则的取值范围是 .
4．（23-24高三下·上海·开学考试）已知定义在上的函数，且，则函数的零点个数为 ．
5．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知函数，，若关于的方程有6个解，则的取值范围为 .
C综合素养
1．（23-24高三下·上海浦东新·阶段练习）设函数的定义域为开区间，若存在，使得在处的切线与的图像只有唯一的公共点，则称为“函数”，切线为一条“切线”．
(1)判断是否是函数的一条“切线”，并说明理由；
(2)设，求证：存在无穷多条“切线”；
(3)设，求证：对任意实数和正数都是“函数”
第06讲 利用导数研究函数的零点（方程的根）(分层精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）
A夯实基础
1．（17-18高二·黑龙江牡丹江·课时练习）若，则方程在上根的个数为( )
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】利用的导数讨论单调性,结合零点的唯一性定理可求解.
【详解】设，则，
因为，所以，
所以当时，，则在上为减函数，
又，
所以在(0，2)上恰有1个根，
即方程在上根的个数为1，
故选:B.
2．（2024·四川凉山·二模）若，，则函数的零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】
求导，研究函数单调性，极值，画图，根据图象得零点个数.
【详解】,
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又，，，，
则的草图如下：
由图象可得函数的零点个数为.
故选：C.
3．（2023·陕西西安·模拟预测）方程有两个不等的实数解，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】变形为有两个不等的实数解，构造，求导，得到单调性和极值情况，又当时，恒成立，当时，恒成立，从而得到答案.
【详解】由题意得有两个不等的实数解，
令，定义域为R，
，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故在时取得极小值，也是最小值，
故，
又当时，恒成立，当时，恒成立，
故要想有两个不等的实数解，则.
故选：C
4．（23-24高三上·河南郑州·阶段练习）已知函数，若关于x的方程有且只有一个实根，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，问题可转化为与只有1个交点，求导得到其单调性，画出其函数图象，数形结合求出答案.
【详解】令，
则可转化为与只有1个交点，
当时，，故恒成立，
故在上单调递增，
当时，，故恒成立，
故在上单调递增，又，
画出的图象如下：

要想与只有1个交点，只需，
故实数a的取值范围是.
故选：A
5．（22-23高三上·江苏南京·阶段练习）已知函数若方程有三个不同的解，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
将原题转化为与有三个不同的交点，结合图象分析相应的临界位置求解，并利用导数处理切线问题.
【详解】
∵，则
∴原题转化为与有三个不同的交点
表示为斜率为1，纵截距为a的直线，如图可知：
满足条件的直线以过点的直线，与相切的直线为临界位置
若过点，则，即
若与相切，则，可得
即切点坐标为，则
∴a的取值范围是
故选：B.
6．（2024·云南·模拟预测）已知函数，若在有实数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
首先分析题意，由于，设出进一步分析，则，分析单调性解出实数的取值范围.
【详解】根据题意，，所以，令，
则函数在上存在零点等价于与的图象有交点.
，
令，则，故在上单调递增，
因为，，所以存在唯一的，使得，
即，即，，
所以当时单调递减，当
时，单调递增，所以，
又时，，故，所以，
故选：C.
7．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）函数，若函数有3个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
利用导数研究函数的图象，然后作出函数的图象，结合图形可解.
【详解】令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
所以，当时，取得极小值，
再结合二次函数图象，作出的图象如下图：
因为函数有3个零点，
所以函数的图象与直线有3个交点，
由图可知，，即的取值范围为.
故选：C
8．（2024·广西·模拟预测）若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将函数零点问题转化成两函数图像交点，再利用导数与函数单调性间的关系，得出，根据图像即可解决问题.
【详解】因为，令，即，则，
所以函数在上有两个不同的零点等价于曲线和在上有两个不同的交点，
设，，则，令，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，，当时，，且时，，
其图像如图所示，

故的取值范围为.
故选：C.
二、多选题
9．（22-23高二下·甘肃定西·阶段练习）若函数有三个零点，则实数a的可能取值是（ ）
A．－10B．－9C．2D．3
【答案】BCD
【分析】根据已知，把函数零点转化为方程根的问题，再分离参数，利用导数研究函数图象，结合图行进行求解.
【详解】函数有三个零点，等价于有3个根，
即函数与函数有3个交点，令，
则，由有：或，由有：，
所以在，上单调递增，在上单调递减；
又，，所以的大致图象为：

所以，解得，故A错误.
故选：BCD.
10．（2024高二下·全国·专题练习）已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．恰有一个极大值
C．当时，无实数解
D．当时，有三个实数解
【答案】BCD
【分析】分类讨论去掉绝对值符号后求导数确定单调性、极值判断AB，利用极值判断方程的实根个数判断C，利用数形结合思想判断D．
【详解】对于A，当时，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减．当时，，在上单调递增，A错误；
对于B，由以上讨论知是的极大值点，B正确；
对于C，当时，，当时，，所以当时，无实数解，C正确；
对于D，当时，，由以上讨论知当时，．而，作出的大致图象如图所示．如图可知，有三个实数解，所以有三个实数解，D正确．
故选：BCD．
三、填空题
11．（2023·四川遂宁·模拟预测）已知 且，方程有且仅有两个不等根，则的取值范围为
【答案】
【分析】由对数的运算性质可得，令，则，利用导数求出，结合方程根的个数与函数图象交点的个数之间的关系即可求解.
【详解】由，得.
令，则，
设函数，得.令，得.
在上单调递增；在上单调递减，
所以，，又当时，恒成立，
所以方程有且仅有两个不等根，
即曲线图象与直线有两个交点的充分必要条件是，
所以的取值范围是.
故答案为：.
12．（2024高三·全国·专题练习）函数在上的零点个数为
【答案】2
【分析】
令，并将其转化为，再根据与的图象的交点情况解决问题.
【详解】令，可得，因为，则，也即，
，整理可得；
令，则，
故当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
又当时，，时，，
，且当趋近于正无穷时，趋近于；
在同一坐标系中，作出与的函数图象如下所示：
数形结合可知，与的函数图象在有个交点，
故在有两个零点.
故答案为：.
四、解答题
13．（23-24高三上·河南·期末）已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，研究函数在上的单调性和零点个数．
【答案】(1)
(2)在上单调递增；1
【分析】（1）当时，求出，，从而可求出切线方程.
（2）当时，利用导数求出在上单调递增．又，从而可求解.
【详解】（1）当时，，
则，则，，
所以曲线在点处的切线方程为．
（2）当时，，则，
当时，，，，则，
故在上单调递增．
又因为，所以在上的零点个数为．
14．（22-23高二下·浙江杭州·期中）已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)方程恰有两个不同的实根，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根据切点和斜率求得切线方程.
（2）利用导数求得的单调区间和极值，由此求得的取值范围.
【详解】（1）依题意，，
，
所以，又，所以切线方程为.
（2）
因为，
所以：
当时，，所以单调递增；
当时，，所以单调递减.
所以在处取得极大值也即是最大值，
对于函数，
，，当时，；当时，.
所以的取值范围是.
B能力提升
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数有三个零点，其中，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据解析式得，由，得，设，则，从而可得，求解导函数，分类讨论与两种情况下函数的单调性，从而可得答案.
【详解】定义域为，显然，
若是零点，则，
，
所以也是零点，函数有三个零点，
不妨设，则，
所以，，
当时，结合定义域和判别式易知恒成立，
即函数在上单调递增，不符合题意；
当时，设的两根分别为，
易知，所以函数在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，，，
，当，，
所以由零点存在定理易知有三个零点，满足题意.
综上，的取值范围是.
【点睛】求解本题的关键是根据函数解析式得若是零点，也是零点，从而得，所以求的取值范围即求的取值范围，然后求解导函数，利用导数分类讨论函数的单调性即可.
2．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知函数关于的方程有且仅有4个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作出函数图像，转化为交点问题求解即可.
【详解】当时，，
当时，当时，，
所以在单调递减，在单调递增.
当时，，
当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，.
画出函数的图象，如下图所示，
可得函数最小值为有四个不同的实数根，
数形结合可知的取值范围是，
故选：A.
3．（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）已知函数.若，且，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用导数画出的大致图象，在根据图象以及解析式得到的关系及的范围即可求解.
【详解】当时，，，
所以在上单调递减，且，
当时，，，
所以在上单调递增，且，
所以的图象大致如图所示：

由，得，即，令得，结合图象可知，所以.
故答案为：
4．（23-24高三下·上海·开学考试）已知定义在上的函数，且，则函数的零点个数为 ．
【答案】643
【分析】
首先分区间写出函数的解析式，判断函数的周期，再利用数形结合，求函数的零点个数.
【详解】当时，无解，故没有零点，
当时，，
当时，，则，
由图象可得，
且方程的三个解分别为，不妨设，
则有，即，
又
所以在上单调递减，在上单调递增，
且，
又因为，所以，
所以有，即，
令，所以，
所以在上单调递增，
又，所以的解集为，
综上，的取值范围为。
故答案为：
【点睛】方法点睛：本题考查复合函数零点个数问题，此类题目一般做法为：
（1）先根据解析式画出两个函数图象；
（2）令复合函数内函数为；
（3）结合函数图象及零点个数，分析外函数根的个数以及自变量对应的取值范围；
（4）再确定内函数根个数及对应参数取值范围；
（5）解出参数范围即可。
C综合素养
1．（23-24高三下·上海浦东新·阶段练习）设函数的定义域为开区间，若存在，使得在处的切线与的图像只有唯一的公共点，则称为“函数”，切线为一条“切线”．
(1)判断是否是函数的一条“切线”，并说明理由；
(2)设，求证：存在无穷多条“切线”；
(3)设，求证：对任意实数和正数都是“函数”
【答案】(1)是，理由见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）记，设切点为，利用导数的几何意义求出，再证明直线与的图象只有唯一的公共点，将与函数联立，得，记，利用导数说明函数的单调性，即可得到方程的解．
（2）将点处的切线的方程与联立得，记，利用导数说明函数存在唯一零点，即可得证；
（3）类似第（2）问的思路得到在上有且仅有一解，则或，再分、两种情况说明即可.
【详解】（1）记，则，设切点为，
由切线方程为知，则，解得．
所以切点为，下面证明直线与的图象只有唯一的公共点，
将与函数联立，得．
记，则，
当时，当时，
故在上单调递增，在上单调递减，，
故函数只有一个零点，故是一条“切线”；
（2）因为，所以，
则点处的切线方程为，
将点处的切线的方程与联立得，
记，
则直线为“切线”函数有且仅有一个零点（此时，一个对应一条“切线”），显然是的零点，
故只要没其它零点，此时，
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
故此时为唯一的极小值点（也是最小值点），而，
故无其他零点，故直线为“切线”，因为的任意性，
故函数存在无穷多条“切线”，
（3）因为，则，
设点在函数的图象上，
则点的切线为，与联立得：
，
由题意得直线为“切线”，故方程在上有且仅有一解，
则或，
若，则是方程的唯一解（此时有无数条“切线”，切点横坐标为上的任意值）．
若，则（此时只有一条“切线”，切点的横坐标为）
或（此时有无数条“切线”，切点横坐标为上的任意值），
综上，，即证．
【点睛】关键点睛：对于新定义问题的关键是理解定义，将问题转化为方程有唯一解问题.