北师大版（2024）八年级上册1 函数测试题

这是一份北师大版（2024）八年级上册1 函数测试题，共31页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc30499" 【题型1 根据一次函数的性质求参数】 PAGEREF _Tc30499 \h 1
\l "_Tc30392" 【题型2 根据一次函数性质确定参数取值范围】 PAGEREF _Tc30392 \h 1
\l "_Tc17830" 【题型3 确定一次函数经过的象限】 PAGEREF _Tc17830 \h 2
\l "_Tc7495" 【题型4 根据一次函数的性质比较大小】 PAGEREF _Tc7495 \h 2
\l "_Tc215" 【题型5 根据一次函数的性质判断结论正误】 PAGEREF _Tc215 \h 3
\l "_Tc12227" 【题型6 一次函数的平移】 PAGEREF _Tc12227 \h 4
\l "_Tc2907" 【题型7 确定一次函数解析式】 PAGEREF _Tc2907 \h 4
\l "_Tc8170" 【题型8 一次函数中的新定义问题】 PAGEREF _Tc8170 \h 5
\l "_Tc2789" 【题型9 一次函数的规律探究】 PAGEREF _Tc2789 \h 5
【题型1 根据一次函数的性质求参数】
【例1】（2023秋·广东梅州·八年级统考期末）一次函数y=kx−1的图象经过点M，且y的值随x增大而增大，则点M的坐标可能是（ ）
A．−2,5B．1,−5C．2,5D．1,−1
【变式1-1】（2023秋·安徽蚌埠·八年级统考阶段练习）已知一次函数y=kx+b的图象经过Ax1,y1，Bx2,y2两点，且当x2=3+x1时，y2=y1−1，则k的值为（ ）
A．−3B．3C．−13D．13
【变式1-2】（2023春·河北石家庄·八年级统考期中）已知点A1,3,Bn,3，若直线y=2x与线段AB有公共点，则n的值不可能是（ ）
A．54B．2C．3D．4
【变式1-3】（2023秋·北京通州·八年级潞河中学校考开学考试）已知一次函数y=ax+6a≠0的图象与x轴，y轴分别交于点A，点B，若OB=2OA，则a的值是_______．
【题型2 根据一次函数性质确定参数取值范围】
【例2】（2023春·陕西延安·八年级统考期末）若一次函数y=kx+1k≠0在−3≤x≤2的范围内y的最大值比最小值大5，则下列说法正确的是（ ）
A．k的值为1或−1B．y的值随x的增大而增大
C．该函数图象经过第一、二、三象限D．在−3≤x≤2的范围内，y的最大值为3
【变式2-1】（2023春·北京·八年级北京市顺义区仁和中学校考期中）函数y＝（k﹣1）x，y随x增大而减小，则k的范围是（ ）
A．k＜0B．k＞1C．k≤1D．k＜1
【变式2-2】（2023春·八年级课时练习）若一次函数y=kx+5在−1≤x≤4范围内有最大值17，则k= ．
【变式2-3】（2023秋·陕西西安·八年级校考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过二、三、四象限，且还经过点0,m，2,n，p,1和3,−2，则下列判断正确的是( )
A．m【题型3 确定一次函数经过的象限】
【例3】（2023春·新疆喀什·八年级统考期末）直线y=kx+b的图象如图所示，则直线(b,k)可能的取值是( )

A．(−1,−1)B．(−1,0)C．(0,−1)D．(1,1)
【变式3-1】（2023秋·河南周口·八年级校考期中）已知直线ykxb经过第一、三、四象限，那么直线ybxk一定不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【变式3-2】（2023春·山东泰安·八年级统考期中）已知一次函数y=kx−m的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则下列结论正确的是（ ）
k<0，m>0B．k<0，m<0C．k>0，m>0D．k>0，m<0
【变式3-3】（2023春·广东广州·八年级校考期中）已知一次函数y=kx+bk≠0,b≠0的图象不经过第四象限，则点Pk,b在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【题型4 根据一次函数的性质比较大小】
【例4】（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）已知x1,y1，x2,y2，x3,y3为直线y=−2x+3上的三个点，x1A．y1y2>0B．y1y2<0C．y2y3>0D．y2y3<0
【变式4-1】（2023春·安徽芜湖·八年级校联考期末）直线y=3x+b上有三个点−2.3，y1，−1.3，y2，2.7，y3，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1>y2>y3B．y2y1>y3
【变式4-2】（2023春·福建厦门·八年级统考期末）已知直线y=ax+b（其中a，b是常数，ab<0），点Am2，n2，Bm2−a，n2+b，Pa，y1，Qb，y2都在这条直线上，则下列一定正确的是（ ）
A．y1>y2B．y10D．y1>0
【变式4-3】（2023春·重庆开州·八年级统考期末）已知一次函数y=−2x+1的图象经过Ax1,−1，Bx2,1，则x1 x2（填“＞”“＜”或“＝”）．
【题型5 根据一次函数的性质判断结论正误】
【例5】（2023春·四川宜宾·八年级统考期末）一次函数y=k−1x−b的图象如图所示，则下列正确的是（ ）

A．k>1，b>0B．k<1，b>0C．k>1，b<0D．k<1，b<0
【变式5-1】（2023秋·四川成都·八年级统考期末）关于一次函数y=−2x+3，下列结论正确的是（ ）
A．图象不经过第二象限
B．图象与x轴的交点是0,3
C．将一次函数y=−2x+3的图象向上平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为y=−2x+6
D．点x1,y1和x2,y2在一次函数y=−2x+3的图象上，若x1【变式5-2】（2023春·贵州黔南·八年级统考期末）对于函数y=12x−4，下列结论正确的是（ ）
A．y的值随x值的增大而减小B．它的图象经过第一、二、三象限
C．当x>13时，y>0 D．它的图象必经过点−4,0
【变式5-3】（2023春·山东聊城·八年级统考期末）已知A（x1，y1），B（x2，y2） 为直线y=2x−3上不相同的两个点，以下判断正确的是（ ）
A．x1−x2y1−y2＞0B．x1−x2y1−y2<0
C．x1−x2y1−y2≥0D．x1−x2y1−y2≤0
【题型6 一次函数的平移】
【例6】（2023秋·陕西西安·八年级交大附中分校校考期中）将一次函数y=2x+4图像平移后恰好经过坐标原点．下列关于平移方法错误的是（ ）
A．一次函数图像向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．一次函数图像向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
C．一次函数图像向右平移2个单位长度
D．一次函数图像向下平移4个单位长度
【变式6-1】（2023春·河北邯郸·八年级校考期末）一次函数y=2x+1向下平移2个单位长度，得到新的一次函数表达式是 ；一次函数y=2x+1经过平移过程 (填向上或向下平移几个单位长度)得到一个正比例函数．
【变式6-2】（2023春·山西晋城·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，若将直线y=−x+m向下平移3个单位长度后，恰好经过原点，则m的值为（ ）
A．−5B．5C．−3D．3
【变式6-3】（2023春·上海长宁·八年级校考期中）若将直线y=2x+3平移，使其经过点1,−1，则平移后所得的直线表达式为 ．
【题型7 确定一次函数解析式】
【例7】（2023春·青海果洛·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，点A0,2，B4,0，点N为线段AB的中点，则经过点N的正比例函数解析式为 ．
【变式7-1】（2015·北京·统考一模）已知某函数图象经过点（-1，1），且当x>0时，y随x的增大而增大．请你写出一个满足条件的函数解析式：y＝ ．
【变式7-2】（2023春·辽宁盘锦·八年级校考期中）直线y=kx+b平行于直线y=−2x，且与y轴交于点0，3，则此函数的解析式y= ．
【变式7-3】（2023秋·安徽·八年级期末）八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，设直线l和八个正方形的最上面交点为A，则直线l的解析式是 .
【题型8 一次函数中的新定义问题】
【例8】（2023春·湖北十堰·八年级统考期末）定义新运算：m⊗n=−mn+n，则对于函数y=x⊗2，下列说法正确的是（ ）
A．该函数图像经过点−2,−4B．该函数不经过第四象限
C．当0【变式8-1】（2023春·八年级单元测试）一次函数y=ax−a+3 (a≠0)中，当x=1时，可以消去a，求出y=3．结合一次函数图象可知，无论a取何值，一次函数y=ax−a+3的图象一定过定点(1,3)，则定义像这样的一次函数图象为“点旋转直线”．若一次函数y=(a−3)x+a+3(a≠3)的图象为“点旋转直线”，那么它的图象一定经过点（ ）
A．（1，3）B．（－1，6）C．（1，－6）D．（－1，3）
【变式8-2】（2023春·安徽马鞍山·八年级校考期末）新定义：函数图象上任意一点Px,y，y−x称为该点的“坐标差”，函数图像上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”，一次函数y=2x+3（−2≤x≤1）的“特征值”是 ．
【变式8-3】（2023春·广西北海·八年级统考期末）定义：在函数中，我们把关于x的一次函数y=mx+n与y=nx+m称为一组对称函数，如y=−2x+3与y=3x−2是一组对称函数． 则y=−6x+4的对称函数与y轴交点坐标 ．
【题型9 一次函数的规律探究】
【例9】（2023春·山东德州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A11,1在直线y=x图象上，过A1点作y轴平行线，交直线y=−x于点B1，以线段A1B1为边在右侧作正方形A1B1C1D1，C1D1所在的直线交y=x的图象于点A2，交y=−x的图象于点B2，再以线段A2B2为边在右侧作正方形A2B2C2D2⋯依此类推，按照图中反映的规律，第2020个正方形的边长是 ．
【变式9-2】（2023春·广东梅州·八年级校考期中）如图，过点A1（1，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B1；点A2与点O关于直线A1B1对称；过点A2（2，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B2；点A3与点O关于直线A2B2对称；过点A3（4，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B3；…，按此规律作下去，则B100的坐标为 ．
【变式9-3】（2023春·北京西城·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A1(2,2)在直线y=x上，过点A1作A1B1∥y轴，交直线y=12x于点B1，以A1为直角顶点，A1B1为直角边，在A1B1的右侧作等腰直角三角形A1B1C1；再过点C1作A2B2∥y轴，分别交直线y=x和y=12x于A2，B2两点，以A2为直角顶点，A2B2为直角边，在A2B2的右侧作等腰直角三角形A2B2C2，…，按此规律进行下去，点C1的横坐标为 ，点C2的横坐标为 ，点Cn的横坐标为 ．（用含n的式子表示，n为正整数）
专题4.8 一次函数章末九大题型总结（培优篇）
【北师大版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc30499" 【题型1 根据一次函数的性质求参数】 PAGEREF _Tc30499 \h 1
\l "_Tc30392" 【题型2 根据一次函数性质确定参数取值范围】 PAGEREF _Tc30392 \h 3
\l "_Tc17830" 【题型3 确定一次函数经过的象限】 PAGEREF _Tc17830 \h 6
\l "_Tc7495" 【题型4 根据一次函数的性质比较大小】 PAGEREF _Tc7495 \h 7
\l "_Tc215" 【题型5 根据一次函数的性质判断结论正误】 PAGEREF _Tc215 \h 10
\l "_Tc12227" 【题型6 一次函数的平移】 PAGEREF _Tc12227 \h 12
\l "_Tc2907" 【题型7 确定一次函数解析式】 PAGEREF _Tc2907 \h 13
\l "_Tc8170" 【题型8 一次函数中的新定义问题】 PAGEREF _Tc8170 \h 16
\l "_Tc2789" 【题型9 一次函数的规律探究】 PAGEREF _Tc2789 \h 18
【题型1 根据一次函数的性质求参数】
【例1】（2023秋·广东梅州·八年级统考期末）一次函数y=kx−1的图象经过点M，且y的值随x增大而增大，则点M的坐标可能是（ ）
A．−2,5B．1,−5C．2,5D．1,−1
【答案】C
【分析】根据题意可得k>0，且k≠0，将各选项的点的坐标分别代入一次函数y=kx−1中，求出k的值即可判断．
【详解】解：∵在一次函数y=kx−1中，y的值随x增大而增大，
∴k>0，且k≠0，
A．将−2,5代入y=kx−1中，得5=−2k−1，
解得：k=−3<0，故A选项不符合题意；
B．将1,−5代入y=kx−1中，得−5=k−1，
解得：k=−4<0，故B选项不符合题意；
C．将2,5代入y=kx−1中，得5=2k−1，
解得：k=3>0，故C选项符合题意；
D．将1,−1代入y=kx−1中，得−1=k−1，
解得：k=0，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，熟知一次函数的性质是解题关键．
【变式1-1】（2023秋·安徽蚌埠·八年级统考阶段练习）已知一次函数y=kx+b的图象经过Ax1,y1，Bx2,y2两点，且当x2=3+x1时，y2=y1−1，则k的值为（ ）
A．−3B．3C．−13D．13
【答案】C
【分析】分别把点Ax1,y1，Bx2,y2代入一次函数y=kx+b，根据x2=3+x1，y2=y1−1时，即可得出结论．
【详解】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过Ax1,y1，Bx2,y2两点，
∴ y1=kx1+b，y2=kx2+b，
∴ y1−y2=kx1−kx2，
∵x2=3+x1，y2=y1−1，
∴ x1−x2=−3，y1−y2=1，
∴−3k=1，
即k=−13．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数图象上点的坐标满足其解析式是解题关键．
【变式1-2】（2023春·河北石家庄·八年级统考期中）已知点A1,3,Bn,3，若直线y=2x与线段AB有公共点，则n的值不可能是（ ）
A．54B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】代入y=3求出与之对应的x的值，结合直线y=2x与线段AB有公共点，即可得出n的取值范围，再对照四个选项即可得出结论．
【详解】解：当y=3时，有2x=3，
解得：x=32，
∵直线y=2x与线段AB有公共点，
∴n≥32，
故选A．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，利用一次函数图象上点的坐标特征结合直线y=2x与线段AB有公共点，找出n的取值范围是解题关键．
【变式1-3】（2023秋·北京通州·八年级潞河中学校考开学考试）已知一次函数y=ax+6a≠0的图象与x轴，y轴分别交于点A，点B，若OB=2OA，则a的值是_______．
【答案】2或−2
【分析】由一次函数y=ax+6a≠0，可求与y轴分交点B的坐标为0，6，进而知道OB=6，又OB=2OA，可求OA=3，因此A有两种情况即：A3，0或−3，0代入可求a得值．
【详解】解：因为一次函数y=ax+6a≠0的图象与x轴，y轴分别交于点A，点B，
所以当x=0时，则y=6，
∴B的坐标为0，6，
∴OB=6，
∵OB=2OA，
∴OA=3，
∴A3，0或−3，0
当A3，0时，3a+6=0，即：a=−2；
当A−3，0时，−3a+6=0，即：a=2．
故答案为：2或−2．
【点睛】考查一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标的求法以及一次函数图象上点的坐标特征和分类讨论思想方法的应用，令y=0，求出x的值，即求出与x轴的交点坐标，令x=0，求出y的值，即求出图象与y轴的交点坐标．
【题型2 根据一次函数性质确定参数取值范围】
【例2】（2023春·陕西延安·八年级统考期末）若一次函数y=kx+1k≠0在−3≤x≤2的范围内y的最大值比最小值大5，则下列说法正确的是（ ）
A．k的值为1或−1B．y的值随x的增大而增大
C．该函数图象经过第一、二、三象限D．在−3≤x≤2的范围内，y的最大值为3
【答案】A
【分析】根据一次函数的性质，分k>0，k<0分别求得最大值与最小值，根据−3≤x≤2在的范围内y的最大值比最小值大5，求得k的值，继而逐项分析判断即可求解．
【详解】解：根据题意，当k>0时，
则当x=2时，取得最大值y=2k+1，
当x=−3时，取得最小值y=−3k+1，
∴2k+1−−3k+1=5，
解得k=1，
根据题意，当k<0时，
则当x=2时，取得最小值y=2k+1，
当x=−3时，取得最大值y=−3k+1，
∴−3k+1−2k+1=5，
解得k=−1，
∴k的值为1或−1，故A选项正确，B选项不正确，
当k=1时，一次函数为y=x+1经过第一、二、三象限，
当k=−1时，一次函数为y=−x+1经过第一、二、四象限，
故C选项不正确，
当k=1时，一次函数为y=x+1，在−3≤x≤2的范围内，y的最大值为3
当k=−1时，一次函数为y=−x+1在−3≤x≤2的范围内，y的最大值为4
故D选项不正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，分类讨论求解出k的值是解题的关键．
【变式2-1】（2023春·北京·八年级北京市顺义区仁和中学校考期中）函数y＝（k﹣1）x，y随x增大而减小，则k的范围是（ ）
A．k＜0B．k＞1C．k≤1D．k＜1
【答案】D
【分析】由函数y＝（k﹣1）x，y随x增大而减小，可得k−1<0,再解不等式即可得到答案．
【详解】解：函数y＝（k﹣1）x，y随x增大而减小，
∴k−1<0,
解得：k<1.
故选D
【点睛】本题考查的是正比例函数的图象与性质，掌握“正比例函数的增减性”是解本题的关键．
【变式2-2】（2023春·八年级课时练习）若一次函数y=kx+5在−1≤x≤4范围内有最大值17，则k= ．
【答案】3或－12
【分析】分两种情况：①当x=−1时，y有最大值17， ②当x=4时，y有最大值17，分别代入解析式，求解即可．
【详解】分两种情况讨论：
①当x=−1时，y有最大值17，则17=−k+5
解得k=−12
②当x=4时，y有最大值17，则17=4k+5
解得k=3
∴在−1≤x≤4范围内，y有最大值17，k的值为-12或3
故答案为：3或－12
【点睛】本题考查了一次函数的性质与一元一次方程，能够分类讨论是解题的关键．
【变式2-3】（2023秋·陕西西安·八年级校考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过二、三、四象限，且还经过点0,m，2,n，p,1和3,−2，则下列判断正确的是( )
A．m【答案】D
【分析】设直线l的解析式为y=kx+bk≠0，根据直线l过点(0，m)，(2，n)，p,1和(3，−2)，得出k的表达式，再根据经过二、三、四象限判断出k的符号，由此即可得出结论．
【详解】解：如图，设直线l的解析式为y=kx+bk≠0，
∵直线l经过二、三、四象限，
∴k<0，b<0，y随x的增大而减小，
A选项，∵0<2，y随x的增大而减小，∴m>n,故该选项不符合题意；
B选项，∵0<3，y随x的增大而减小，∴m>−2，故该选项不符合题意；
C选项，∵2<3，y随x的增大而减小，∴n>−2，故该选项不符合题意；
D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象与系数的关系，依照题意画出图形，利用数形结合找出m，n的取值范围是解题的关键．
【题型3 确定一次函数经过的象限】
【例3】（2023春·新疆喀什·八年级统考期末）直线y=kx+b的图象如图所示，则直线(b,k)可能的取值是( )

A．(−1,−1)B．(−1,0)C．(0,−1)D．(1,1)
【答案】A
【分析】根据之间经过的象限得出k<0,b<0，进而即可求解．
【详解】解：∵直线经过第二、三、四象限，
∴k<0,b<0
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
【变式3-1】（2023秋·河南周口·八年级校考期中）已知直线ykxb经过第一、三、四象限，那么直线ybxk一定不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】根据直线y=kx+b经过第一，三，四象限，可以判断k、b的正负，根据一次函数图象的性质，从而可以判断直线y=bx+k经过哪几个象限，不经过哪个象限．
【详解】解：∵直线y=kx+b经过第一，三，四象限，
∴k>0，b<0，
∴直线y=bx+k经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的性质，明确题意，熟练掌握并灵活运用一次函数的性质是解题的关键．
【变式3-2】（2023春·山东泰安·八年级统考期中）已知一次函数y=kx−m的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则下列结论正确的是（ ）
A．k<0，m>0B．k<0，m<0C．k>0，m>0D．k>0，m<0
【答案】A
【分析】利用一次函数的性质判断即可．
【详解】解：∵一次函数y=kx−m的图象与y轴的负半轴相交，
∴−m<0，
∴m>0，
∵函数值y随自变量x的增大而减小，
∴k<0，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质找出k<0、−m<0是解题的关键．
【变式3-3】（2023春·广东广州·八年级校考期中）已知一次函数y=kx+bk≠0,b≠0的图象不经过第四象限，则点Pk,b在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】根据一次函数不经过第四象限得出k>0，b>0，再根据第一象限内坐标特征判断即可．
【详解】解：∵y=kx+bk≠0,b≠0的图象不经过第四象限，
∴k>0，b>0，
∴Pk,b在第一象限，
故选A．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，象限内点的坐标特征，解题的关键是根据一次函数经过的象限得出系数的符号．
【题型4 根据一次函数的性质比较大小】
【例4】（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）已知x1,y1，x2,y2，x3,y3为直线y=−2x+3上的三个点，x1A．y1y2>0B．y1y2<0C．y2y3>0D．y2y3<0
【答案】A
【分析】根据一次函数的性质判断即可．
【详解】解：∵直线y=−2x+3，
∴y随x的增大而减小，当y=0时，x=1.5，
∵x1,y1，x2,y2，x3,y3为直线y=−2x+3上的三个点，且x1∴x2<0，x3>0，
∴x1∴y1，y2同时为正，01.5时，y3为负，
∴y1y2>0，y2y3>0或y2y3<0，故选项A符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
【变式4-1】（2023春·安徽芜湖·八年级校联考期末）直线y=3x+b上有三个点−2.3，y1，−1.3，y2，2.7，y3，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1>y2>y3B．y2y1>y3
【答案】C
【分析】由解析式y=3x+b可得y随x增大而增大，根据三个点的横坐标大小可判断函数值的大小关系．
【详解】解：∵y=3x+b，
∴y随x增大而增大，
∵−2.3<−1.3<2.7，
∴y1故选：C．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，牢记“k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
【变式4-2】（2023春·福建厦门·八年级统考期末）已知直线y=ax+b（其中a，b是常数，ab<0），点Am2，n2，Bm2−a，n2+b，Pa，y1，Qb，y2都在这条直线上，则下列一定正确的是（ ）
A．y1>y2B．y10D．y1>0
【答案】A
【分析】由ab<0可知a<0，b>0或a>0，b<0，然后分情况讨论，根据点A，B的坐标得出a>0，b<0时符合题意，再根据一次函数的增减性得出答案．
【详解】解：∵ab<0，
∴a<0，b>0或a>0，b<0，
①当a<0，b>0时，y随x增大而减小，
∵点Am2，n2，Bm2−a，n2+b在这条直线上，且m2−a>m2，n2+b>n2，
∴y随x增大而增大，与题意矛盾，此情况舍去；
②当a>0，b<0时，y随x减小而减小，
∵点Am2，n2，Bm2−a，n2+b在这条直线上，且m2−a∴符合题意，
∴a>0，b<0，
∴a>0>b，
又∵点Pa，y1，Qb，y2在这条直线上，
∴y1>y2，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，熟知一次函数y=ax+b中，当a>0时，y随x增大而增大；当a<0时，y随x增大而减小是解题的关键．
【变式4-3】（2023春·重庆开州·八年级统考期末）已知一次函数y=−2x+1的图象经过Ax1,−1，Bx2,1，则x1 x2（填“＞”“＜”或“＝”）．
【答案】＞
【分析】根据一次函数的解析式y=−2x+1得出y随x的增大而减小，即可得出答案．
【详解】解：y=−2x+1，
∵k=−2<0，
∴y随x的增大而减小，
∵−1<1，
∴x1>x2，
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征的应用，能理解一次函数的性质是解此题的关键．
【题型5 根据一次函数的性质判断结论正误】
【例5】（2023春·四川宜宾·八年级统考期末）一次函数y=k−1x−b的图象如图所示，则下列正确的是（ ）

A．k>1，b>0B．k<1，b>0C．k>1，b<0D．k<1，b<0
【答案】B
【分析】根据一次函数的性质即可解决问题．
【详解】解：∵直线过二、三、四象限
∴k−1<0，−b<0
∴k<1，b>0
故选：B
【点睛】本题考查一次函数与系数的关系，解题的关键是熟练掌握基本知识，记住k<0，图象从左到右下降，k>0图象从左到右上升，b>0交y轴于正半轴，b=0经过原点，b<0经过y轴的负半轴．
【变式5-1】（2023秋·四川成都·八年级统考期末）关于一次函数y=−2x+3，下列结论正确的是（ ）
A．图象不经过第二象限
B．图象与x轴的交点是0,3
C．将一次函数y=−2x+3的图象向上平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为y=−2x+6
D．点x1,y1和x2,y2在一次函数y=−2x+3的图象上，若x1【答案】C
【分析】根据一次函数的图象与性质，逐项判断即可作答．
【详解】A．−2<0，3>0，一次函数图象经过第一、二、四象限，故本项原说法错误；
B．图象与y轴的交点是0,3，故本项原说法错误；
C．将一次函数y=−2x+3的图象向上平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为y=−2x+6，故本项说法正确；
D.点x1,y1和x2,y2在一次函数y=−2x+3的图象上，若x1y2，故本项原说法错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质，是解答本题的关键．
【变式5-2】（2023春·贵州黔南·八年级统考期末）对于函数y=12x−4，下列结论正确的是（ ）
A．y的值随x值的增大而减小B．它的图象经过第一、二、三象限
C．当x>13时，y>0 D．它的图象必经过点−4,0
【答案】C
【分析】根据一次函数的图象和性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、因为12>0，所以y的值随x值的增大而增大，故本选项错误，不符合题意；
B、因为12>0，−4<0，所以它的图象经过第一、三、四象限，故本选项错误，不符合题意；
C、当x=13时，y=12×13−4=0，且y的值随x值的增大而增大，所以当x>13时，y>0，故本选项正确，符合题意；
D、当x=−4时，y=12×−4−4=−52≠0，故本选项错误，不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
【变式5-3】（2023春·山东聊城·八年级统考期末）已知A（x1，y1），B（x2，y2） 为直线y=2x−3上不相同的两个点，以下判断正确的是（ ）
A．x1−x2y1−y2＞0B．x1−x2y1−y2<0
C．x1−x2y1−y2≥0D．x1−x2y1−y2≤0
【答案】A
【分析】将两个点代入直线方程整理判断即可．
【详解】解：将A、B两点坐标分别代入直线方程，得y1=2x1−3，y2=2x2−3，则y1−y2=2x1−x2．
x1−x2y1−y2=2x1−x22≥0．
∵A、B两点不相同，
∴x1−x2≠0，
∴x1−x2y1−y2>0．
故选：A．
【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标，比较简单，分别代入计算整理即可．
【题型6 一次函数的平移】
【例6】（2023秋·陕西西安·八年级交大附中分校校考期中）将一次函数y=2x+4图像平移后恰好经过坐标原点．下列关于平移方法错误的是（ ）
A．一次函数图像向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．一次函数图像向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
C．一次函数图像向右平移2个单位长度
D．一次函数图像向下平移4个单位长度
【答案】A
【分析】根据“左移加右移减，上移加下移减”逐一判断即可．
【详解】A、一次函数图像向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度后的解析式为y=2(x+2)+4+2=2x+10，此时函数图象不过原点，不符合题意；
B、一次函数图像向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后解析式为：y=2(x−1)+4−2=2x，此时函数图象过原点，符合题意；
C、一次函数图像向右平移2个单位长度后解析式为：y=2(x−2)+4=2x，此时函数图象过原点，符合题意；
D、一次函数图像向下平移4个单位长度后解析式为：y=2x+4−4=2x，此时函数图象过原点，符合题意．
故错误的是A；
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，掌握函数图象平移的规律是解题的关键．
【变式6-1】（2023春·河北邯郸·八年级校考期末）一次函数y=2x+1向下平移2个单位长度，得到新的一次函数表达式是 ；一次函数y=2x+1经过平移过程 (填向上或向下平移几个单位长度)得到一个正比例函数．
【答案】 y=2x−1 向下平移一个单位
【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，以及正比例函数的定义，即可求解．
【详解】解：一次函数y=2x+1向下平移2个单位长度，得到新的一次函数表达式是y=2x−1；
一次函数y=2x+1经过向下平移一个单位得到正比例函数y=2x，
故答案为：y=2x−1；向下平移一个单位．
【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，正比例函数的定义，熟练掌握一次函数的平移规律是解题的关键．
【变式6-2】（2023春·山西晋城·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，若将直线y=−x+m向下平移3个单位长度后，恰好经过原点，则m的值为（ ）
A．−5B．5C．−3D．3
【答案】D
【分析】根据一次函数y=−x+m的图象向下平移k不变，可得平移后的函数解析式为：y=−x+m−3，把点0,0代入即可求得m．
【详解】解：∵若将一次函数y=−x+m的图象向下平移3个单位长度，
∴平移后的函数解析式为：y=−x+m−3，
∵函数解y=−x+m−3的图象经过点0,0，
∴m−3=0， 解得：m=3，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，掌握一次函数y=kx+bk≠0的图象平移后k不变是解决问题的关键，
【变式6-3】（2023春·上海长宁·八年级校考期中）若将直线y=2x+3平移，使其经过点1,−1，则平移后所得的直线表达式为 ．
【答案】y=2x−3
【分析】根据平移不改变k的值可设平移后直线的解析式为y=2x+b，然后将点1,−1代入即可得出直线的函数解析式．
【详解】解：设平移后直线的解析式为y=2x+b．
把1,−1代入直线解析式得−1=2×1+b，
解得 b=−3．
所以平移后直线的解析式为y=2x−3．
故答案为：y=2x−3．
【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换及待定系数法求函数的解析式，掌握直线y=kx+bk≠0平移时k的值不变是解题的关键．
【题型7 确定一次函数解析式】
【例7】（2023春·青海果洛·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，点A0,2，B4,0，点N为线段AB的中点，则经过点N的正比例函数解析式为 ．
【答案】y=12x
【分析】先求出N2,1，设正比例函数解析式为y=kx，将N2,1代入得出：1=2k，解得：k=12，即可得出答案．
【详解】解：∵点A0,2，B4,0，点N为线段AB的中点，
∴N0+42,2+02，即N2,1，
设正比例函数解析式为y=kx，
将N2,1代入得出：1=2k，
解得：k=12，
∴经过点N的正比例函数解析式为y=12x
故答案为：y=12x．
【点睛】本题考查正比例函数的解析式，求出N2,1是解题的关键．
【变式7-1】（2015·北京·统考一模）已知某函数图象经过点（-1，1），且当x>0时，y随x的增大而增大．请你写出一个满足条件的函数解析式：y＝ ．
【答案】（答案不唯一）．
【详解】试题分析：∵当x＞0时，y随x的增大而增大，∴设该一次函数的解析式为y=kx+b（k＞0），把点（﹣1，1）代入即可得到−k+b=1，设k=1，则b=2，故该函数的解析式可以为：（答案不唯一）．故答案为（答案不唯一）．
考点：1．一次函数的性质；2．开放型．
【变式7-2】（2023春·辽宁盘锦·八年级校考期中）直线y=kx+b平行于直线y=−2x，且与y轴交于点0，3，则此函数的解析式y= ．
【答案】−2x+3
【分析】根据互相平行的直线的解析式的一次项系数的值相等确定出k，根据与y轴交于点0，3求出b，即可得解．
【详解】解：∵直线y=kx+b平行于直线y=−2x，
∴k=−2，
∵与y轴交于点0，3，
∴b=3，
∴此函数的解析式为y=−2x+3．
故答案为：−2x+3．
【点睛】此题考查两条直线相交或平行问题，解题关键在于确定k的值．
【变式7-3】（2023秋·安徽·八年级期末）八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，设直线l和八个正方形的最上面交点为A，则直线l的解析式是 .
【答案】y=910x
【分析】如图，利用正方形的性质得到B(0,3)，由于直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则SΔAOB=5，然后根据三角形面积公式计算出AB的长，从而可得A点坐标．再由待定系数法求出直线l的解析式.
【详解】解：如图，
∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴SΔAOB=4+1=5，
而OB=3，
∴ 12AB·3=5，
∴AB=103，
∴A点坐标为(103，3)．
设直线l的解析式为y=kx，
∴103k=3，解得k=910，
∴直线l的解析式为y=910x
故答案为y=910x．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质和待定系数法求函数解析式．由割补法得SΔAOB=5求分割点A的位置是解题关键.
【题型8 一次函数中的新定义问题】
【例8】（2023春·湖北十堰·八年级统考期末）定义新运算：m⊗n=−mn+n，则对于函数y=x⊗2，下列说法正确的是（ ）
A．该函数图像经过点−2,−4B．该函数不经过第四象限
C．当0【答案】D
【分析】根据新运算“⊗”的运算方法，得出y与x的函数关系式，再根据函数关系式逐一判断即可．
【详解】解：∵m⊗n=−mn+n，
∴y=x⊗2=−2x+2．
A．当x=−2时，y=6，所以该函数图像不经过点−2,−4，故本选项不符合题意；
B．该函数图象经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意；
C．当0D．∵k=−2<0，∴y随x增大而减小，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了函数的图象以及一次函数，读懂题目信息，理解新运算的运算方法是解题的关键．
【变式8-1】（2023春·八年级单元测试）一次函数y=ax−a+3 (a≠0)中，当x=1时，可以消去a，求出y=3．结合一次函数图象可知，无论a取何值，一次函数y=ax−a+3的图象一定过定点(1,3)，则定义像这样的一次函数图象为“点旋转直线”．若一次函数y=(a−3)x+a+3(a≠3)的图象为“点旋转直线”，那么它的图象一定经过点（ ）
A．（1，3）B．（－1，6）C．（1，－6）D．（－1，3）
【答案】B
【分析】把一次函数y=(a−3)x+a+3 整理为y=a(x+1)−3x+3，再令x+1=0，求出y的值即可．
【详解】解：一次函数y=（a−3）x+a+3整理得
y=a（x+1）−3x+3，
∴令x+1=0，则x=−1，
∴y=6，
∴它的图象一定经过点(−1,6)．
故选：B．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
【变式8-2】（2023春·安徽马鞍山·八年级校考期末）新定义：函数图象上任意一点Px,y，y−x称为该点的“坐标差”，函数图像上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”，一次函数y=2x+3（−2≤x≤1）的“特征值”是 ．
【答案】4
【分析】由题意知，一次函数y=2x+3−2≤x≤4的“特征值”为y−x=x+3，当x=1时，y−x最大，代入求解即可．
【详解】解：由题意知，一次函数y=2x+3−2≤x≤1的“特征值”为y−x=2x+3−x=x+3，
当x=1时，y−x=4，
∴一次函数y=2x+3−2≤x≤1的“特征值”为4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了新定义，一次函数．解题的关键在于理解题意并正确的运算．
【变式8-3】（2023春·广西北海·八年级统考期末）定义：在函数中，我们把关于x的一次函数y=mx+n与y=nx+m称为一组对称函数，如y=−2x+3与y=3x−2是一组对称函数． 则y=−6x+4的对称函数与y轴交点坐标 ．
【答案】0，−6
【分析】先根据题意求出y=−6x+4的对称函数的解析式，进而求出其与y轴交点坐标即可．
【详解】解：由题意得y=−6x+4的对称函数为y=4x−6，
在y=4x−6中，当x=0时，y=4x−6=−6，
∴y=−6x+4的对称函数与y轴交点坐标0，−6，
故答案为：0，−6．
【点睛】本题主要考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，正确理解题意得到y=−6x+4的对称函数的解析式是解题的关键．
【题型9 一次函数的规律探究】
【例9】（2023春·山东德州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A11,1在直线y=x图象上，过A1点作y轴平行线，交直线y=−x于点B1，以线段A1B1为边在右侧作正方形A1B1C1D1，C1D1所在的直线交y=x的图象于点A2，交y=−x的图象于点B2，再以线段A2B2为边在右侧作正方形A2B2C2D2⋯依此类推，按照图中反映的规律，第2020个正方形的边长是 ．
【答案】2×32019
【分析】通过计算可得第一个正方形的边长为2，第二个正方形的边长为6，……，通过探究规律，利用规律解决问题即可．
【详解】解：由题意，A1(1,1)，B1(1,−1)，
∴A1B1=2，
∴第一个正方形的边长为2，
∴A1D1=2，
∴A2(3,3)，B2(3,−3)，
∴A2B2=2×3=6，
∴第二个正方形的边长为6，
∴A2D2=6，
∴A3(9,9)，B3(9,−9)，即：A3(32，32)， B3(32，−32)，
∴A3B3=2×32=18，
∴第三个正方形的边长为18，
∴A4(27,27)，B4(27,−27)，即：A4(33，33)， B4(33，−33)，
∴A4B4=2×33=54
…，
可得An(3n−1，3n−1)，Bn(3n−1，−3n−1)，AnBn=2×3n−1
第2020个正方形的边长为2×32019．
故答案为： 2×32019．
【点睛】本题考查一次函数图像上的点的特征，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
【变式9-1】（2023春·山东泰安·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…都是等腰直角三角形，其直角顶点P1(3，3)，P2，P3，…均在直线 y=−13x+4上．设△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…的面积分别为 S1，S2，S3，…，依据图形所反映的规律，S2020= ．
【答案】924038
【分析】分别过点P1,P2,P3作x轴的垂线段，先根据等腰直角三角形的性质求得前三个等腰直角三角形的底边和底边上的高，继而求得三角形的面积，得出面积的规律即可得出答案．
【详解】解：如图，分别过点P1,P2,P3 作x轴的垂线段，垂足分别为点C、D、E，
∵P1（3，3），且△P1OA1是等腰直角三角形，
∴OC=CA1=P1C=3，
设A1D=a，则P2D=a，
∴OD=6+a，
∴点P2坐标为（6+a，a），
将点P2坐标代入y=−13x+4得到：−13(6+a)+4=a，
解得：a=32 ，
∴A1A2=2a=3，P2D= 32 ，
同理求得P3E=34，A2A3=32，
∴S1=12×6×3=9，S2=12×3×32=94，S3=12×32×34=916，
∴Sn=94n−1，
因此S2020=942020−1=942019=924038；
故答案为：924038；
【点睛】本题考查规律型：点的坐标、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．
【变式9-2】（2023春·广东梅州·八年级校考期中）如图，过点A1（1，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B1；点A2与点O关于直线A1B1对称；过点A2（2，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B2；点A3与点O关于直线A2B2对称；过点A3（4，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B3；…，按此规律作下去，则B100的坐标为 ．
【答案】（299，2100）
【分析】先根据题意求出A2点的坐标，再根据A2点的坐标求出B2的坐标，以此类推总结规律便可求出点B100的坐标．
【详解】解：∵点A1坐标为（1，0），
∴OA1＝1，
过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，可知B1点的坐标为（1，2），
∵点A2与点O关于直线A1B1对称，
∴OA1＝A1B2＝1，
∴OA2＝1+1＝2，
∴点A2的坐标为（2，0），B2的坐标为（2，4），
∵点A3与点O关于直线A2B2对称．故点A3的坐标为（4，0），B3的坐标为（4，8），
依此类推便可求出点An的坐标为（2n−1，0），点Bn的坐标为（2n−1，2n），
∴点B100的坐标为（299，2100）．
故答案为：（299，2100）．
【点睛】此题考查一次函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，解题关键在于掌握一次函数图象上点的坐标满足其解析式．
【变式9-3】（2023春·北京西城·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A1(2,2)在直线y=x上，过点A1作A1B1∥y轴，交直线y=12x于点B1，以A1为直角顶点，A1B1为直角边，在A1B1的右侧作等腰直角三角形A1B1C1；再过点C1作A2B2∥y轴，分别交直线y=x和y=12x于A2，B2两点，以A2为直角顶点，A2B2为直角边，在A2B2的右侧作等腰直角三角形A2B2C2，…，按此规律进行下去，点C1的横坐标为 ，点C2的横坐标为 ，点Cn的横坐标为 ．（用含n的式子表示，n为正整数）
【答案】 3 92 2×32n
【分析】先根据点A1的坐标以及A1B1∥y轴，得到A1B1的长以及点C1的横坐标，再根据A2的坐标以及A2B2∥y轴，得到A2B2的长以及点C2的横坐标为，最后根据变换规律，求得AnBn的长，进而得出点∁n的横坐标．
【详解】解：∵点A1（2，2），A1B1∥y轴交直线y=12x于点B1，
∴B1（2，1）
∴A1B1＝2﹣1＝1，即A1C1＝1，
∵A1C1＝A1B1＝1，
∴点C1的横坐标为3＝2×（32），
∴A2（3，3），
又∵A2B2∥y轴，交直线y=12x于点B2，
∴B2（3，32），
∴A2B2＝3−32=32，
∴A2C2=32，
∴点C2的横坐标为，92=2×（32）2；
以此类推，
A3B3=94，即A3C3=94，
∴点C3的横坐标为274=2×（32）3，
A4B4=278，即A4C4=278；
点C4的横坐标为818=2×（32）4…
∴AnBn＝（32）n﹣1，即An∁n＝（32）n﹣1．
∴点∁n的横坐标为2×（32）n，
故答案为：3，92，2×（32）n．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是通过计算找出变换规律．