北师大版2024-2025学年八年级数学上册专题4.3一次函数的图象与性质(二)【八大题型】专题特训(原卷版+解析)

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专题4.3 一次函数的图象与性质（二）【八大题型】【北师大版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc22203" 【题型1 一次函数的平移问题】  PAGEREF _Toc22203 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc13729" 【题型2 一次函数与坐标轴的交点问题】  PAGEREF _Toc13729 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc6867" 【题型3 应用一次函数解决有关最值问题】  PAGEREF _Toc6867 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc10045" 【题型4 一次函数中的对称性问题】  PAGEREF _Toc10045 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc18666" 【题型5 根据两直线的平行关系求解析式】  PAGEREF _Toc18666 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc24149" 【题型6 根据两直线的交点位置求解】  PAGEREF _Toc24149 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc302" 【题型7 一次函数的图象与几何图形的综合】  PAGEREF _Toc302 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc14341" 【题型8 一次函数的有关的规律探究问题】  PAGEREF _Toc14341 \h 8【题型1 一次函数的平移问题】【例1】（2023春·安徽马鞍山·八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）将直线y=kx+b向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到直线y=2x，则（   ）A．k=2，b=−8 B．k=−2，b=2 C．k=1，b=−4 D．k=2，b=4【变式1-1】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）一次函数y=x−6的图象是由一次函数y=x+3的图象（　　）得到的A．向上平移9个单位长度 B．向左平移9个单位长度C．向右平移9个单位长度 D．向下平移9个单位长度【变式1-2】（2023春·山西临汾·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，将直线y=2x+b沿y轴向上平移3个单位后恰好经过原点，则b的值为 ．【变式1-3】（2023春·福建泉州·八年级统考期末）已知函数y2的图象是由一次函数y1的图象平移得到，它们的部分自变量的值与对应的函数值如表所示，则m的值是（    ）A．−3 B．−2 C．−1 D．1【题型2 一次函数与坐标轴的交点问题】【例2】（2023春·河南南阳·八年级统考期末）如图，直线y=kx−2k+3（k为常数，k<0）与x，y轴分别交于点A，B，则2OA+3OB的值是（    ）A．−1 B．1 C．0 D．无法确定【变式2-1】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）一条直线经过点A0,2，与x轴交于点B，且△AOB的面积为4，则直线AB的解析式为 ．  【变式2-2】（2023春·山东德州·八年级统考期末）如图，直线l1：y=−x−b分别与x，y轴交于A6,0、B两点，过点B的直线l2交x轴的负半轴于点C，且OB:OC=3:1，直线BC的函数解析式为 ．  【变式2-3】（2023春·辽宁营口·八年级统考期末）如图，直线y=23x+2与x轴、y轴分别相交于点A，B，点Q的坐标为m−4,12m，点Q在△ABO的内部（不包括△ABO的边），且m为整数，则满足条件的m所有值的和为 ．  【题型3 应用一次函数解决有关最值问题】【例3】（2023春·湖北黄冈·八年级统考期末）已知A0,2，B3,5，点P为x轴上任意一点，当PA+PB取最小值时，点P坐标为 ．【变式3-1】（2023春·八年级课时练习）如图，已知点A（1，1）、B（3，2），且P为x轴上一动点，则使△ABP的周长为最小值时P点坐标为 ． 【变式3-2】（2023·江苏·模拟预测）对某一个函数给出如下定义：若存在正数M，函数值y都满足y≤M，则称这个函数是有界函数．其中，M的最小值称为这个函数的边界值．若函数y=2x+1（a≤x≤b，且a≠b）中，y的最大值是2，边界值小于3，则a应满足的条件是 ．【变式3-3】（2023春·辽宁阜新·八年级阜新实验中学校考期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC为格点三角形(顶点是网格线的交点的三角形)，点B的坐标是(−2,0)．(1)点A的坐标是 　 　，点C的坐标是 　 　；(2)请作出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′ (点A与点A′对应，点B与点B′对应，点C与点C′对应)：(3)y轴上存在点P，使得PA+PC的值最小，则点P的坐标是 　 　．【题型4 一次函数中的对称性问题】【例4】（2023春·山东德州·八年级统考期末）一次函数y=kx−5和y=2x+b（k、b为常数）的图象关于y轴对称，则k，b的值分别为（    ）A．k=2,b=5 B．k=−2,b=5 C．k=2,b=−5 D．k=−2,b=−5【变式4-1】（2023春·山东威海·八年级统考期末）关于一次函数y=2x﹣1，y=﹣2x+1的图象，下列说法正确的是（ ）A．关于直线y=﹣x对称 B．关于x轴对称 C．关于y轴对称 D．关于直线y=x对称【变式4-2】（2023春·八年级单元测试）在平面直角坐标系中，直线l1与l2关于直线y=1对称，若直线l1的表达式为y=−2x+3，则直线l2与y轴的交点坐标为（    ）A．(0,12) B．(0,23) C．(0,0) D．(0,−1)【变式4-3】（2023春·陕西商洛·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，直线y=−3x+b与直线y=kx−1关于直线x=2对称，则k，b的值分别为（    ）A．k=−3，b=11 B．k=3，b=11 C．k=13，b=1 D．k=−13，b=1【知识点 两条直线的位置关系探究】直线（）与（）的位置关系：（1）两直线平行且 （2）两直线相交（3）两直线重合且 （4）两直线垂直【题型5 根据两直线的平行关系求解析式】【例5】（2023春·湖北·八年级校考阶段练习）P(m，n)为坐标平面内一点，且|m|≤1，|n|≤1，过P点作直线PQ与y=−2x平行，交y轴Q(0，b)．当P点在区域内运动时，求b=2m+n的最大值为（    ）A．3 B．2 C．1 D．4【变式5-1】（2023春·陕西西安·八年级统考期末）已知某一次函数的图像与直线y=−3x+1平行，且经过点A1,2，则这个一次函数的解析式为 ．【变式5-2】（2023春·上海浦东新·八年级校考期末）如图，点M的坐标为3,2，点P从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴向上移动，同时过点P的直线l也随之上下平移，且直线l与直线y=−x平行，如果点M关于直线l的对称点落在坐标轴上，如果点P的移动时间为t秒，那么t的值为   【变式5-3】（2023春·广西北海·八年级统考期中）在平面直角坐标系中有两点A(−1,2)，B(2,3)，如果函数y=kx−1的图象与线段AB的延长线相交（交点不包括点B），则实数k的取值范围是 ．【题型6 根据两直线的交点位置求解】【例6】（2014·陕西·八年级专题练习）若一次函数 y＝ax＋b 的图象与一次函数 y＝mx＋n 的图象相交，且交点在 x 轴上， 则 a、b、m、n 满足的关系式是 ．【变式6-1】（2023·贵州贵阳·统考一模）在同一平面直角坐标系中，两个一次函数y=k1x+5k1>0与y=k2x+7k2<0的图象相交，则其交点一定在（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式6-2】（2023春·浙江杭州·八年级统考期末）平面直角坐标系中，已知直线l1经过原点与点P（m，2m），直线l2：y＝mx+2m﹣3（m≠0）．(1)求证：点（﹣2，﹣3）在直线l2上；(2)当m＝2时，请判断直线l1与l2是否相交？【变式6-3】（2023春·北京朝阳·八年级统考期末）一次函数的图象经过点（-1，0）和（0，2）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）若直线y=nx与该一次函数的图象相交，且交点在第三象限，直接写出n的取值范围．【题型7 一次函数的图象与几何图形的综合】【例7】（2023春·湖北十堰·八年级统考期中）如图1，在平面直角坐标系中，点A(a，0)，B(4，b)满足关系式(a＋3)2＋b−7＝0，AB交y轴于点C，(1)①a= ，b= ，三角形AOB的面积= ；②求点C的坐标；(2)点P在y轴上，且三角形PAB的面积为21，求点P的坐标；(3)如图2，若(2)中点P在y轴的正半轴上，过点P在AP左侧作∠APQ=∠PAB，PQ交x轴于点Q，过点Q作QR∥PB，交BA的延长线于点R，求点R的坐标．【变式7-1】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A1，2，B5，2．若一次函数y=kx−2k≠0的图象经过C点，且与x，y轴分别交于M，N，求△OMN的面积．  【变式7-2】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，平面直角坐标系中，C(0,5)、D(a,5)，A、B在x轴上，连接AC、CD、BC，点E在BC上，连接DE,∠CAB=∠D．(1)请直接写出AB与CD的位置关系；(2)请应用（1）中结论求证：∠ACB=∠CED；(3)连接AE，若点A−52,0,E(2,1)，请直接写出三角形ACE的面积．【变式7-3】（2023春·吉林长春·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−34x+m 分别与 x 轴、y 轴交于点 B、A，其中B点坐标为（12，0）．直线y=38x与直线AB相交于点C．(1)求点A的坐标．(2)求△BOC的面积．(3)点D为直线 AB 上的一个动点，过点D作 x 轴的垂线，与直线 OC 交于点 E，设点D 的横坐标为t，线段DE的长度为d．①求d与t 的函数解析式(写出自变量的取值范围)．②当动点D在线段 AC 上运动，以DE为边在DE的左侧作正方形DEPQ，若以点H（12，t）、G（1，t）为端点的线段与正方形DEPQ的边只有一个交点时，请直接写出t的 取值范围 ．【题型8 一次函数的有关的规律探究问题】【例8】（2023春·湖南永州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x和y=−x的图象分别为直线l1，l2，过点1,0作x轴的垂线交l1于点A1，过A1点作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A2023的坐标为（    ）  A．−21011,−21012 B．−10112,10112C．−21011,21011 D．−21011,−21011【变式8-1】（2023春·江西宜春·八年级统考期末）直线y=kx+k（k为正整数）与坐标轴所围成的直角三角形的面积为Sk，当k分别为1，2，3，……，2022，2023时，则S1+S2+S3+⋅⋅⋅+S2022+S2023=（　　）A．1023132 B．1027176 C．1027684 D．1023638【变式8-2】（2023春·四川凉山·八年级统考期末）如图，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，……，△AnBnAn+1都是等腰直角三角形．其中点A1，A2，……，An在x轴上，点B1，B2，……，Bn在直线y=x上．已知OA1=1，则OA2023的长是（    ）  A．22021 B．22022 C．22023 D．22024【变式8-3】（2023春·山东济南·八年级统考期中）如图，直线l1：y=x+1与直线l2：y=12x+12相交于点P﹣1，0．直线l1与y轴交于点A，一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B1处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A1处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B2处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1的点A2处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…，照此规律运动，动点C依次经过点B1，A1，B2，A2，B3，A3，…，B2022，A2022，…，则当动点C到达A2022处时，运动的总路径的长为（　　）A．22022-1 B．22022-2 C．22021+1 D．22023-2专题4.3 一次函数的图象与性质（二）【八大题型】【北师大版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc22203" 【题型1 一次函数的平移问题】  PAGEREF _Toc22203 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc13729" 【题型2 一次函数与坐标轴的交点问题】  PAGEREF _Toc13729 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc6867" 【题型3 应用一次函数解决有关最值问题】  PAGEREF _Toc6867 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc10045" 【题型4 一次函数中的对称性问题】  PAGEREF _Toc10045 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc18666" 【题型5 根据两直线的平行关系求解析式】  PAGEREF _Toc18666 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc24149" 【题型6 根据两直线的交点位置求解】  PAGEREF _Toc24149 \h 18 HYPERLINK \l "_Toc302" 【题型7 一次函数的图象与几何图形的综合】  PAGEREF _Toc302 \h 21 HYPERLINK \l "_Toc14341" 【题型8 一次函数的有关的规律探究问题】  PAGEREF _Toc14341 \h 27【题型1 一次函数的平移问题】【例1】（2023春·安徽马鞍山·八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）将直线y=kx+b向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到直线y=2x，则（   ）A．k=2，b=−8 B．k=−2，b=2 C．k=1，b=−4 D．k=2，b=4【答案】A【分析】根据直线y=kx+b向左平移2个单位，变为y=k+2x+b，再向上平移4个单位，变为y=kx+2+b+4，然后结合得到直线y=2x，即可解出k和b的值．【详解】解：直线y=kx+b向左平移2个单位，变为y=k+2x+b，再向上平移4个单位，变为y=kx+2+b+4，∵得到直线y=2x，∴k=2，2k+b+4=0，∴k=2，b=−8，故选：A．【点睛】本题考查了一次函数图像平移变换，熟练掌握图象左加右减，上加下减的变换规律是解答本题的关键．【变式1-1】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）一次函数y=x−6的图象是由一次函数y=x+3的图象（　　）得到的A．向上平移9个单位长度 B．向左平移9个单位长度C．向右平移9个单位长度 D．向下平移9个单位长度【答案】D【分析】据“左加右减，上加下减”的平移规律即可求解．【详解】解：一次函数y=x−6的图象可以由一次函数y=x+3的图象向下平移9个单位得到，故选：D．【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．【变式1-2】（2023春·山西临汾·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，将直线y=2x+b沿y轴向上平移3个单位后恰好经过原点，则b的值为 ．【答案】−3【分析】根据平移规律得到平移后的直线为y=2x+b+3，然后把0，0代入解得即可．【详解】解：将直线y=2x+b沿x轴向上平移3个单位后得到y=2x+b+3， ∵经过原点， ∴0=b+3，解得b=−3， 故答案为：−3．【点睛】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，正确把握变换规律是解题关键．【变式1-3】（2023春·福建泉州·八年级统考期末）已知函数y2的图象是由一次函数y1的图象平移得到，它们的部分自变量的值与对应的函数值如表所示，则m的值是（    ）A．−3 B．−2 C．−1 D．1【答案】A【分析】根据两直线平行，则一次项系数相同可设设函数y1的解析式为y=kx+a，函数y2的解析式为y=kx+b，把0，−1代入y=kx+a得：a=−1，把2，−1代入y=kx+b得：2k+b=−1，进而得到函数y1的解析式为y=kx−1，函数y2的解析式为y=kx−1−2k，把m，5代入y=kx−1得：mk−1=5，把m，9代入y=kx−1−2k得：mk−1−2k=9，由此求出k=−2，进而求出m=−3．【详解】解：设函数y1的解析式为y=kx+a，函数y2的解析式为y=kx+b，把0，−1代入y=kx+a得：a=−1，∴函数y1的解析式为y=kx−1，把2，−1代入y=kx+b得：2k+b=−1，∴b=−1−2k，∴函数y2的解析式为y=kx−1−2k，把m，5代入y=kx−1得：mk−1=5，把m，9代入y=kx−1−2k得：mk−1−2k=9，∴5−2k=9，解得k=−2，∴−2m−1=5，解得m=−3，故选A．【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象的平移问题，熟知两直线平行，一次项系数相同是解题的关键．【题型2 一次函数与坐标轴的交点问题】【例2】（2023春·河南南阳·八年级统考期末）如图，直线y=kx−2k+3（k为常数，k<0）与x，y轴分别交于点A，B，则2OA+3OB的值是（    ）A．−1 B．1 C．0 D．无法确定【答案】B【分析】根据一次函数图像与x，y轴分别交于点A，B，可用含k的式子分别表示出OA,OB的值，代入2OA+3OB化简即可．【详解】解：y=kx−2k+3，∴当y=0时，x=2k−3k，当x=0时，y=3−2k，∴OA=−3k+2=2k−3k，OB=3−2k，∴2OA+3OB=22k−3k+33−2k=2k2k−3−32k−3=2k−32k−3=1，故选：B．【点睛】本题主要考查一次函数图像的性质，掌握以上知识是解题的关键．【变式2-1】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）一条直线经过点A0,2，与x轴交于点B，且△AOB的面积为4，则直线AB的解析式为 ．  【答案】y=±12x+2【分析】设直线AB的解析式为y=kx+b，将A点代入解析式，求出b的值，再根据△AOB的面积为4，求出OB=4,根据点B在原点左侧和右侧两种情况求解出解析式即可．【详解】解：设直线AB的解析式为y=kx+b，∵直线经过点A0,2，即OA=2，∴b=2，∵S△AOB=12×OA×OB=4，∴12×2×OB=4，∴OB=4，∴当点B在原点右侧时，B4,0，∴当点B在原点左侧时，B−4,0，当直线经过B4,0时，0=4k+2，解得k=−12，∴解析式为y=−12x+2，当直线经过B−4,0时，0=−4k+2，解得k=12，∴解析式为y=12x+2，故答案为：y=±12x+2．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数关系式，根据面积求出OB的长，B点在原点左右两种情况进行计算是解答本题的关键．【变式2-2】（2023春·山东德州·八年级统考期末）如图，直线l1：y=−x−b分别与x，y轴交于A6,0、B两点，过点B的直线l2交x轴的负半轴于点C，且OB:OC=3:1，直线BC的函数解析式为 ．  【答案】y=3x+6【分析】根据点A在直线l1：y=−x−b，求出b的值，继而求出点B的坐标，再根据OB:OC=3:1，求出点C的坐标，设直线BC的函数解析式：y=kx+bk≠0，把B，C两点代入y=kx+bk≠0，解出k，b，即可．【详解】∵点A6,0在直线l1：y=−x−b，∴−6−b=0，解得：b=−6，∴直线l1：y=−x+6，当x=0时，y=6，∴B0,6，OB=6；∵OB:OC=3:1，∴OC=2，∵点C在x轴的负半轴，∴C−2,0，∴设直线BC的函数解析式：y=kx+bk≠0，∴b=60=−2x+b，解得：k=3b=6，∴直线BC的函数解析式为：y=3x+6，故答案为：y=3x+6．【点睛】本题考查一次函数的知识，解题的关键是掌握一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求解一次函数的解析式．【变式2-3】（2023春·辽宁营口·八年级统考期末）如图，直线y=23x+2与x轴、y轴分别相交于点A，B，点Q的坐标为m−4,12m，点Q在△ABO的内部（不包括△ABO的边），且m为整数，则满足条件的m所有值的和为 ．  【答案】5【分析】首先根据直线AB的解析式求出A，B两点的坐标，由Q在△ABO的内部(不包括△ABO的边)，得出 Q点的横坐标大于A点的横坐标小于0，纵坐标大于0小于B点的纵坐标，列出不等式，求出m的取值范围，从而求出m的整数值与和．【详解】∵直线y=23x+2与x轴、y轴分别相交于点A，B，∴A−3,0，B0,2，∵点Q在△ABO的内部 (不包括△ABO的边)，∴−30可知函数y=2x+1(a≤x≤b,a≠b)的y随x的增大而增大，再根据函数增减性可知当x=a时函数值为边界值，然后由边界值小于3列关于a的不等式求解即可．【详解】解：∵2>0∴函数y=2x+1(a≤x≤b,a≠b)的y随x的增大而增大∴当x=a时，函数y=2x+1的函数值为边界值，∵边界值小于3∴−3<2a+1<2，解得：−20与y=k2x+7k2<0的图象相交，则其交点一定在（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】两个函数的图象各经过一个定点，再根据k1>0,k2<0画出大致图象，由此即可得．【详解】解：一次函数y=k1x+5经过定点0,5，一次函数y=k2x+7经过定点0,7，结合k1>0,k2<0画出两个函数的大致图象如下：则它们的交点一定在第一象限，故选：A．【点睛】本题考查了一次函数的图象，正确画出两个函数的大致图象是解题关键．【变式6-2】（2023春·浙江杭州·八年级统考期末）平面直角坐标系中，已知直线l1经过原点与点P（m，2m），直线l2：y＝mx+2m﹣3（m≠0）．(1)求证：点（﹣2，﹣3）在直线l2上；(2)当m＝2时，请判断直线l1与l2是否相交？【答案】(1)见解析(2)直线l1与l2不相交【分析】（1）将所给点代入直线l2中，看等式是否成立，再判断该点是否在直线上；（2）求出l1解析式与l2比较，发现系数相同，故不可能相交．【详解】（1）把x＝﹣2代入y＝mx+2m﹣3得，y＝﹣2m+2m﹣3＝﹣3，∴点（﹣2，﹣3）在直线l2上；（2）∵直线l1经过原点与点P（m，2m），∴直线l1为y＝2x，当m＝2时，则直线l2：y＝2x+1，∵x的系数相同，∴直线l1与l2不相交．【点睛】本题考查平面直角坐标系中的直线解析式求法、点是否在直线上的判断、两直线是否相交，掌握这些是解题关键．【变式6-3】（2023春·北京朝阳·八年级统考期末）一次函数的图象经过点（-1，0）和（0，2）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）若直线y=nx与该一次函数的图象相交，且交点在第三象限，直接写出n的取值范围．【答案】（1）y=2x+2；（2）00，综上，n的取值范围是0