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北师大版2024-2025学年八年级数学上册专题7.9平行线的证明章末拔尖卷专题特训(原卷版+解析)
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第7章 平行线的证明章末拔尖卷【北师大版】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2023上·辽宁锦州·八年级统考期末）下列命题为假命题的是（ ）A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等，两条直线平行B．三角形的三个内角中至少有一个内角不大于60°C．两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补D．三角形的一个外角等于它的两个内角的和2．（3分）（2023下·山东临沂·八年级统考期末）乐乐观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题:如图，已知AB//CD,∠BAE=92°，∠DCE=115°,则∠E的度数是（ ）A．20° B．23° C．25° D．28°3．（3分）（2023·重庆渝中·统考二模）如图，将ΔABC沿DE、EF翻折，使其顶点A、B均落在点O处，若∠CDO+∠CFO=72∘，则∠C的度数为（ ）A．36∘ B．54∘ C．64∘ D．72∘4．（3分）（2023上·天津东丽·八年级校联考期中）如图，已知∠ABC=110°，AE平分∠BAD，CE平分∠DCB，CE的延长线交AB于点F，设∠AEF=α，∠ADC=β，则下列关系正确的是（ ） A．β=110°+2a B．β=220°−2aC．β=110°+a D．β=250°−2a5．（3分）（2023下·江苏苏州·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D，∠ABD的角平分线BF所在直线与射线AE相交于点G，若∠ABC=3∠C，且∠G=18°，则∠DFB的度数为（ ）A．40° B．44° C．50° D．54°6．（3分）（2023下·江苏苏州·八年级校联考期中）如图，直线AB//CD，点E在CD上，点O、点F在AB上，∠EOF的角平分线OG交CD于点G，过点F作FH⊥OE于点H，已知∠OGD=148°，则∠OFH的度数为（ ） A．26º B．32º C．36º D．42º7．（3分）（2023·浙江·八年级自主招生）甲、乙、丙、丁四个人参加一个比赛，有两个人获奖．在比赛结果揭晓之前，四个人做了如下猜测：甲：两名获奖者在乙、丙、丁中． 乙：我没有获奖，丙获奖了．丙：甲、乙两个人中有且只有一个人获奖． 丁：乙说得对．已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，则两名获奖者为（ ）．A．甲 丁 B．乙 丙 C．乙 丁 D．以上都不正确8．（3分）（2023下·湖北武汉·八年级统考期末）如图，已知AB∥CD，∠B=110°，EF平分∠BEC，EG⊥EF，则∠DEG等于（ ）A．70° B．35° C．55° D．110°9．（3分）（2023上·山东济南·八年级统考期末）如商，在△ABC中，∠A＝α,∠ABC与∠ACD的平分钱交十点A1，得∠A1,∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2，……∠A6BC与∠A6CD的平分线相交于点A7，得∠A7，则∠A7＝( )A．α14 B．α32 C．α64 D．α12810．（3分）（2023·河北沧州·校考模拟预测）一副三角尺如图1摆放，将含45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕定点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图2，当∠BAD=15°时，BC∥DE，关于符合题意的∠BAD0°<∠BAD<180°的其他可能度数，甲说是45°和60°，乙说是105°和135°，则（ ） A．甲的说法正确 B．乙的说法正确C．甲、乙的说法合在一起才正确 D．甲、乙的说法合在一起也不正确二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2023下·江苏苏州·八年级统考期末）如图，已知AB∥CD，∠EAF=23∠BAF,∠ECF=23∠DCF，记∠AEC=m∠AFC，则m的值为 ． 12．（3分）（2023下·河南漯河·八年级校考期中）如图，已知BC∥DE，BF平分∠ABC，DC平分∠ADE，则下列结论中：①∠ACB=∠E；②∠FBD+∠CDE=180°；③∠BFD=∠BCD；④∠ABF=∠BCD．正确的有 （填序号）13．（3分）（2023下·山东青岛·八年级统考期末）如图，AD平分∠BDF,∠3=∠4，若∠1=50°,∠2=130°，则∠CBD= °．14．（3分）（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级阶段练习）如图，AB∥CD, AC∥BD, CE平分∠ACD，交BD于点E，点F在CD的延长线上，且∠BEF=∠CEF，若∠DEF=∠EDF，则∠A的度数为 °. 15．（3分）（2023下·江苏盐城·八年级统考期末）如图，∠ACP=∠PCD，∠ABP=∠PBD，且∠A=80°，∠D=120°，则∠P的度数为 °． 16．（3分）（2023下·福建厦门·八年级统考期末）如图，MN∥PQ，点C，B分别在直线MN，PQ上，点A在直线MN，PQ之间，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，∠GCA+∠FAC=180°，∠CAB=60°，则∠AFB的度数为 ． 三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2023上·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）在△ABC中，∠A:∠B:∠C=2:3:4．(1)求∠A、∠B、∠C；(2)确定△ABC的形状．（属于什么类型的三角形）18．（6分）（2023上·安徽合肥·八年级统考期中）在△ABC中，AE平分∠BAC，∠C>∠B. (1)如图1，若AD⊥BC于点D，∠ABC=40°，∠ACB=60°，求∠EAD的度数.(2)如图2在线段AE上任取一点P（不与A，E重合），过点P作PD⊥BC于点D，若∠B=α，∠C=β，试求出∠EPD的度数．（用含有α、β的代数式表示即可）19．（8分）（2023上·福建龙岩·八年级统考期中）一副三角板如图1摆放，∠C=∠DFE=90°，∠B=30°，∠E=45°，点F在BC上，点A在DF上，且AF平分∠CAB，现将三角板DFE绕点F以每秒5°的速度顺时针旋转（当点D落在射线FB上时停止旋转），设旋转时间为t秒． (1)当t=______秒时，DE∥AB；当t=______秒时，DE⊥AB；(2)在旋转过程中，DF与AB的交点记为P，如图2，若△AFP有两个内角相等，求t的值．20．（8分）（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市萧红中学校考期中）已知，过∠ECF内一点A作AD∥EC交CF于点D，作AB∥CF交CE于点B．(1)如图1，求证：∠ABE=∠ADF；(2)如图2，射线BM，射线DN分别平分∠ABE和∠ADF，求证：BM∥DN；(3)如图3，在（2）的条件下，点G，Q在线段DF上，连接AG，AQ，AC，AQ与DN交于点H，反向延长AQ交BM于点P，如果∠GAC=∠GCA，AQ平分∠GAD，∠QAC=50∘，求∠MPA+∠PQF的度数．21．（8分）（2023上·安徽合肥·八年级合肥市第四十二中学校考期中）已知：在△ABC中，BO平分∠ABC，BO、CO相交于点O，(1)如图①，若CO⊥BC，∠BOC=50°，∠ACB=42°，求∠A的大小．(2)如图②，若CO平分∠ACB，且∠BOC=3∠A，求∠A的大小．(3)如图③，若CO在△ABC的外角∠ACM内，且∠ACO:∠OCM=1:3，∠BOC=45∠A，试探究：∠A与∠ABC的数量关系．22．（8分）（2023上·安徽安庆·八年级统考期中）在△ABC中，∠C>∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于点D．(1)如图1，若点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°，求∠EFD的度数；(2)如图2，若点F在线段AE上（不与点A重合），求证：∠EFD=12∠C−∠B；(3)如图3，若点F在△ABC外部，探究此时∠EFD，∠C，∠B之间的数量关系，并说明理由．23．（8分）（2023上·福建莆田·八年级校考期中）我们定义：在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的3倍，那么这样的三角形我们称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为105°，40°，35°的三角形是“和谐三角形”概念理解：如图1，∠MON=60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O，B重合） (1)∠ABO的度数为______，△AOB______（填“是”或“不是”）“和谐三角形”；(2)若∠ACB=80°，求证：△AOC是“和谐三角形”．(3)应用拓展：在图2中画出：点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B．若△BCD是“和谐三角形”，求∠B的度数． 第7章 平行线的证明章末拔尖卷【北师大版】参考答案与试题解析选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2023上·辽宁锦州·八年级统考期末）下列命题为假命题的是（ ）A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等，两条直线平行B．三角形的三个内角中至少有一个内角不大于60°C．两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补D．三角形的一个外角等于它的两个内角的和【答案】D【分析】利用平行线的判定、三角形的内角及三角形的外角的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、两条直线被第三条直线所截，内错角相等，两条直线平行是真命题；B、三角形的三个内角中至少有一个内角不大于60°，是真命题；C、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，是真命题；D、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，原选项是假命题；故选：D．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够了解平行线的判定、三角形的内角及三角形的外角的性质．2．（3分）（2023下·山东临沂·八年级统考期末）乐乐观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题:如图，已知AB//CD,∠BAE=92°，∠DCE=115°,则∠E的度数是（ ）A．20° B．23° C．25° D．28°【答案】B【分析】延长DC交AE于F，依据AB∥CD，∠BAE=92°，可得∠CFE=92°，再根据三角形外角性质，即可得到∠E=∠DCE-∠CFE．【详解】如图，延长DC交AE于F，∵AB∥CD，∠BAE=92°，∴∠CFE=92°，又∵∠DCE=115°，∴∠E=∠DCE-∠CFE=115°-92°=23°，故选B．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．3．（3分）（2023·重庆渝中·统考二模）如图，将ΔABC沿DE、EF翻折，使其顶点A、B均落在点O处，若∠CDO+∠CFO=72∘，则∠C的度数为（ ）A．36∘ B．54∘ C．64∘ D．72∘【答案】B【分析】由折叠的性质可得∠A=∠DOE，∠B=∠EOF，可得∠DOF=∠A+∠B，由三角形内角和定理可得∠A+∠B=180°−∠C，利用三角形外角定理得出∠DOF=∠C+∠CDO+∠CFO，建立方程，即可求∠C的度数．【详解】解：延长FO交AC于点M，∵将ΔABC沿DE，EF翻折，顶点A，B均落在点O处，∴∠A=∠DOE，∠B=∠EOF，∴∠DOF=∠A+∠B，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A+∠B=180°−∠C ，由三角形外角定理可知：∠DOF=∠MDO+∠DMO，∠DMO=∠C+∠CFM，∴∠DOF=∠C+∠CDO+∠CFO即：∠DOF=∠C+∠CDO+∠CFO=180°−∠C，∴∠C+72°=180°−∠C ，∴∠C=54°，故选：B．【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，外角定理，熟练运用三角形内角和定理是本题的关键．4．（3分）（2023上·天津东丽·八年级校联考期中）如图，已知∠ABC=110°，AE平分∠BAD，CE平分∠DCB，CE的延长线交AB于点F，设∠AEF=α，∠ADC=β，则下列关系正确的是（ ） A．β=110°+2a B．β=220°−2aC．β=110°+a D．β=250°−2a【答案】D【分析】延长AD交BC于点G，设∠BAD的度数为2x，∠DCB的度数为2y，通过角平分线的定义和三角形外角的性质得到x+y=β−110°2之间的关系，在根据三角形内角和得到∠B+∠BFC+∠BCF=180°，将x+y=β−110°2代入，即可解答．【详解】解：如图，延长AD交BC于点G， 设∠BAD的度数为2x，∠DCB的度数为2y，∵AE平分∠BAD，CE平分∠DCB，∴∠EAF=12∠BAD=x,∠FCB=12∠DCB=y，∵∠ADC=β，∴∠DGC=∠ADC−∠DCG=β−2y，∴∠BGD=180°−∠DGC=180°−β+2y，在△BAG中，∠B+∠BAG+∠BGA=110°+2x+180°−β+2y=180°，∴x+y=β−110°2，∵∠AEF=α，∴∠CFB=∠FAE+∠AEF=x+α，在△BFC中，∠BFC+∠FBC+∠B=x+α+y+110°=180°，将x+y=β−110°2代入可得α+β−110°2+110°=180°，整理得β=250°−2a，故选：D．【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，考虑延长AD得到三角形，进行角度的转换，用α,β表示同一个三角形中的内角得到等量关系是解题的关键．5．（3分）（2023下·江苏苏州·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D，∠ABD的角平分线BF所在直线与射线AE相交于点G，若∠ABC=3∠C，且∠G=18°，则∠DFB的度数为（ ）A．40° B．44° C．50° D．54°【答案】D【分析】由题意推出∠CAE=∠BAE，∠ABF=∠DBF，设∠CAE=∠BAE=x，设∠C=y，∠ABC=3y，用含x和y的代数式表示∠ABF和∠DBF即可解决．【详解】解：如图：∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABD，∴∠CAE=∠BAE，∠1=∠2，设∠CAE=∠BAE=x，∠C=y，∠ABC=3y，由外角的性质得：∠1=∠BAE+∠G=x+18°，∠2=12∠ABD=122x+y＝x+12y，∴x+18=x+12y，解得：y=36°，∴∠1=∠2=12180°−∠ABC=12×180°−108°=36°，∵AD⊥DC，∴∠D=90°，∴∠DFB=90°−∠2=54°．故选：D．【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．6．（3分）（2023下·江苏苏州·八年级校联考期中）如图，直线AB//CD，点E在CD上，点O、点F在AB上，∠EOF的角平分线OG交CD于点G，过点F作FH⊥OE于点H，已知∠OGD=148°，则∠OFH的度数为（ ） A．26º B．32º C．36º D．42º【答案】A【分析】依据∠OGD=148°，可得∠EGO=32°，根据AB∥CD，可得∠EGO =∠GOF，根据GO平分∠EOF，可得∠GOE =∠GOF，等量代换可得：∠EGO=∠GOE=∠GOF=32°，根据FH⊥OE，可得：∠OFH=90°-32°-32°=26°【详解】解：∵ ∠OGD=148°,∴∠EGO=32°∵AB∥CD，∴∠EGO =∠GOF,∵∠EOF的角平分线OG交CD于点G,∴∠GOE =∠GOF,∵∠EGO=32°∠EGO =∠GOF∠GOE =∠GOF,∴∠GOE=∠GOF=32°,∵FH⊥OE,∴∠OFH=90°-32°-32°=26°故选A.【点睛】本题考查的是平行线的性质及角平分线的定义的综合运用，易构造等腰三角形，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．7．（3分）（2023·浙江·八年级自主招生）甲、乙、丙、丁四个人参加一个比赛，有两个人获奖．在比赛结果揭晓之前，四个人做了如下猜测：甲：两名获奖者在乙、丙、丁中． 乙：我没有获奖，丙获奖了．丙：甲、乙两个人中有且只有一个人获奖． 丁：乙说得对．已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，则两名获奖者为（ ）．A．甲 丁 B．乙 丙 C．乙 丁 D．以上都不正确【答案】C【分析】本题主要抓住乙、丁的预测是一样的这一特点，则乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符．先假设乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，可推出矛盾，故乙、丁的预测不成立，则甲、丙的预测成立，再分析可得出获奖的是乙和丁．【详解】解：由题意，可知：∵乙、丁的预测是一样的，∴乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符．①假设乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，根据乙、丁的预测，丙获奖，甲、丁中必有一人获奖；这与丙的预测不成立相矛盾．故乙、丁的预测不成立，②乙、丁的预测不成立，则甲、丙的预测成立，∵甲、丙的预测成立，∴丁必获奖．∵乙、丁的预测不成立，甲的预测成立，∴丙不获奖，乙获奖．从而获奖的是乙和丁．故选：C．【点睛】本题主要考查合情推理能力，主要抓住共同点及矛盾点去探索结果．本题属中档题．8．（3分）（2023下·湖北武汉·八年级统考期末）如图，已知AB∥CD，∠B=110°，EF平分∠BEC，EG⊥EF，则∠DEG等于（ ）A．70° B．35° C．55° D．110°【答案】C【分析】由AB∥CD，∠B=100°，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠BEC的度数，又由EF平分∠BEC，即可求得∠FEC的度数，然后由EG⊥EF，根据平角的定义，即可求得∠DEG的度数．【详解】解：∵AB∥CD，∴∠B+∠BEC=180°，∵∠B=110°，∴∠BEC=70°，∵EF平分∠BEC，∴∠CEF=12∠BEC=35°，∵EG⊥EF，∴∠GEF=90°，∵∠GEF+∠CEF+∠DEG=180°，∴∠DEG=180°-90°-35°=55°．故选：C．【点睛】此题考查了平行线的性质，垂直的定义，以及平角的定义，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补定理的应用．9．（3分）（2023上·山东济南·八年级统考期末）如商，在△ABC中，∠A＝α,∠ABC与∠ACD的平分钱交十点A1，得∠A1,∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2，……∠A6BC与∠A6CD的平分线相交于点A7，得∠A7，则∠A7＝( )A．α14 B．α32 C．α64 D．α128【答案】D【分析】根据题意先利用外角等于不相邻的两个内角之和，以及角平分线的性质求 ∠A1=12a，再依此类推得， ∠A2=122a，...∠A7=127a， 找出规律，从而求∠A7的值．【详解】解：根据题意得∠ACD=∠A＋∠ABC．∵∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，∴∠A1=180°−12∠ACD−∠ACB−12∠ABC= 180°−12(∠ABC+∠A)−(180°−∠A−∠ABC)−12∠ABC =12∠A， 同理可得 ∠A2=12∠A1=122∠A...,∴ ∠A7=127α=α128.故选D．【点睛】本题为找规律题，主要考查三角形的外角性质及三角形的内角和定理，同时考查了角平分线的定义．解答的关键是沟通外角和内角的关系．10．（3分）（2023·河北沧州·校考模拟预测）一副三角尺如图1摆放，将含45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕定点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图2，当∠BAD=15°时，BC∥DE，关于符合题意的∠BAD0°<∠BAD<180°的其他可能度数，甲说是45°和60°，乙说是105°和135°，则（ ） A．甲的说法正确 B．乙的说法正确C．甲、乙的说法合在一起才正确 D．甲、乙的说法合在一起也不正确【答案】C【分析】根据平行线的判定定理，随着∠BAD增大，存在5种情况至少有一组边互相平行．【详解】 （1）如图，∠BAD=15°，∠BAE=45°−15°=30°∴∠BFA=180°−30°−60°=90°∴∠BFA=∠E∴DE∥BC（2）如图，∠BAD=45° ∴∠DAC=45°+90°=135°∴∠D+∠DAC=180°∴DE∥AC（3）如图，∠DAB=60°而∠B=60°∴∠DAB=∠B∴BC∥AD （4）如图，∠BAD=105°∴∠BAE=105°−45°=60°∴∠BAE=∠B∴BC∥AE （5）如图，∠BAD=135°∴∠BAE=135°−45°=90°∴∠BAE=∠E∴AB∥DE 故选C．【点睛】本题主要考查平行线的判定定理，动态问题中分类讨论的思想；结合角度的变化推出相关角的数量关系是解题的关键。二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2023下·江苏苏州·八年级统考期末）如图，已知AB∥CD，∠EAF=23∠BAF,∠ECF=23∠DCF，记∠AEC=m∠AFC，则m的值为 ． 【答案】53【分析】过点F作FG∥AB，则GF∥CD，依据平行线的性质可证明∠AFG=∠BAF、∠GFC=∠FCD，同理可证明∠AEC=∠BAE+∠DCE，然后结合已知条件可得到问题的答案．【详解】解：如图所示：过点F作FG∥AB．∵FG∥AB，∴∠AFG=∠BAF．∵FG∥AB，CD∥AB，∴GF∥CD，∴∠GFC=∠FCD．∴∠AFC=∠BAF+∠DCF．同理：∠AEC=∠BAE+∠DCE．∴∠AEC=23∠BAF+∠BAF+23∠DCF+∠DCF=53∠BAF+∠DCF∵∠AEC=m∠AFC，∴m=53．故答案为：53． 【点睛】本题主要考查的是平行线的判定和性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．12．（3分）（2023下·河南漯河·八年级校考期中）如图，已知BC∥DE，BF平分∠ABC，DC平分∠ADE，则下列结论中：①∠ACB=∠E；②∠FBD+∠CDE=180°；③∠BFD=∠BCD；④∠ABF=∠BCD．正确的有 （填序号）【答案】①②④【分析】由平行线的性质可得出∠ACB=∠E，直接判断①正确；根据角平分线的定义结合平行线的性质可得出∠ABF=∠CBF=∠ADC=∠EDC，可证BF∥DC，得出∠FBD+∠CDE=180°，从而证明∠FBD+∠CDE=180°，②正确；由BF∥DC，得出∠CBF=∠BCD，进而得出∠ABF=∠BCD，判断④正确；由BC∥DE可得出∠BCD=∠CDE，得出∠BCD=∠BDC．再根据BF∥DC，得出∠BFD=∠CDF．由∠BDC>∠CDF，即可判断∠BCD>∠BFD，判断③错误．【详解】∵BC∥DE，∴∠ACB=∠E，故①正确；∵BC∥DE，∴∠ABC=∠ADE，∵BF平分∠ABC，DC平分∠ADE，∴∠ABF=∠CBF=∠ADC=∠EDC，∴BF∥DC，∴∠FBD+∠ADC=180°，∴∠FBD+∠CDE=180°，故②正确；∵BF∥DC，∴∠CBF=∠BCD，∴∠ABF=∠BCD，故④正确；∵BC∥DE，∴∠BCD=∠CDE，∴∠BCD=∠BDC．∵BF∥DC，∴∠BFD=∠CDF．∵∠BDC>∠CDF，∴∠BCD>∠BFD，故③错误．综上可知正确的有①②④．故答案为：①②④．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义．利用数形结合的思想是解题关键．13．（3分）（2023下·山东青岛·八年级统考期末）如图，AD平分∠BDF,∠3=∠4，若∠1=50°,∠2=130°，则∠CBD= °．【答案】65【分析】利用平行线的判定定理和性质定理，等量代换可得∠CBD=∠EBC，可得结果．【详解】∵∠1=50°，∴∠DBE=180°-∠1=180°-50°=130°，∵∠2=130°，∴∠DBE=∠2，∴AE∥CF， ∴∠4=∠ADF，∵∠3=∠4，∴∠EBC=∠4，∴AD∥BC，∵AD平分∠BDF，∴∠ADB=∠ADF，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∴∠4=∠CBD，∴∠CBD=∠EBC=12∠DBE=12×130°=65°．故答案为：65．【点睛】本题主要考查了平行线的判定定理和性质定理，角平分线的定义等，熟练掌握定理是解答此题的关键．14．（3分）（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级阶段练习）如图，AB∥CD, AC∥BD, CE平分∠ACD，交BD于点E，点F在CD的延长线上，且∠BEF=∠CEF，若∠DEF=∠EDF，则∠A的度数为 °. 【答案】108【详解】分析：根据平行线的性质，得到∠A+∠B=180°，∠B=∠BDF，∠A+∠ACD=180°，然后根据角平分线的性质，得到∠ACE=∠ECD=∠CED，然后根据题意和三角形的外角的性质，四边形的内角和求解.详解：∵CE平分∠ACD∴∠ACE=∠DCE∵AB∥CD，AC∥BD,∴∠A+∠B=180°，∠B=∠BDF，∠ACD+∠A=180°，∠ACE=∠CED∵∠EDF=∠DEF =∠ECD+∠CED∴∠CEF=∠FEB=∠CED+∠DEF设∠B=x，则∠A=180°-x，∠ACE=∠ECD=∠CED=12x，∴∠EDF=x，∠BEF=32x∴∠CEB=360°-2×∠BEF=360°-3x∴∠A+∠B+∠BEC+∠ACE=180°-x+x+360°-3x+12x=360°解得x=72°∴∠A=180°-72°=108°.故答案为108. 点睛：此题主要考查了平行线的性质和三角形的外角的综合应用，关键是利用平行线的性质和三角形的外角确定角之间的关系，有一定的难度.15．（3分）（2023下·江苏盐城·八年级统考期末）如图，∠ACP=∠PCD，∠ABP=∠PBD，且∠A=80°，∠D=120°，则∠P的度数为 °． 【答案】100【分析】设∠ACP=∠PCD=x，∠ABP=∠PBD=y，根据三角形内角和公式可求得∠AEC=100°−2x，∠DEB=60°−2y，推得x=20+y，根据三角形内角和公式可求得∠P=120°−x+y，将x=20+y代入即可求解．【详解】解：设∠ACP=∠PCD=x，∠ABP=∠PBD=y，如图： ∵∠A=80°，∠D=120°，在△ACE中，∠AEC=180°−∠ACE−∠A=180°−80°−2x=100°−2x，在△DBE中，∠DEB=180°−∠DBE−∠D=180°−120°−2y=60°−2y，又∵∠AEC=∠DEB，∴100°−2x=60°−2y，故x=20+y，在△DBF中，∠DFB=180°−∠DBF−∠D=180°−120°−y=60°−y，在△DBF中，∠PFC=∠DFB=60°−y，∠P=180°−∠PCE−∠DFB=180°−x−60°−y=120°−x+y，将x=20+y代入可得∠P=120°−20=100°；故答案为：100．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．16．（3分）（2023下·福建厦门·八年级统考期末）如图，MN∥PQ，点C，B分别在直线MN，PQ上，点A在直线MN，PQ之间，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，∠GCA+∠FAC=180°，∠CAB=60°，则∠AFB的度数为 ． 【答案】60°【分析】过点A作AH∥MN，根据平行线性质推出∠CAB=∠MCA+∠ABP，AF∥CG，所以∠FAB=120°−∠GCA，由BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，∠CAB=180°−2∠GCA+2∠ABF=60°，进而得到∠GCA−∠ABF=60°，再由三角形内角和即可求出∠AFB的度数．【详解】解：如图，过点A作AH∥MN， ∵MN∥PQ，∴MN∥AH∥PQ，∴∠MCA=∠CAH，∠HAB=∠ABP，∴∠CAB=∠CAH+∠HAB=∠MCA+∠ABP，∵∠GCA+∠FAC=180°，∴∠GCA+∠CAB+∠FAB=180°，AF∥CG，∵∠CAB=60°，∴∠FAB=120°−∠GCA，∵BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，∴∠ACN=2∠GCA，∠ABP=2∠ABF，∵∠MCA=180°−∠ACN，∴∠CAB=180°−2∠GCA+2∠ABF=60°，∴∠GCA−∠ABF=60°，∵∠AFB+∠ABF+∠FAB=180°，∴∠AFB=180°−∠FAB−∠FBA=180°−120°−∠GCA=180°−120°+∠GCA−∠ABF=120°．故答案为：120°．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，三角形的内角和，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2023上·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）在△ABC中，∠A:∠B:∠C=2:3:4．(1)求∠A、∠B、∠C；(2)确定△ABC的形状．（属于什么类型的三角形）【答案】(1)∠A=40°，∠B=60°，∠C=80°(2)△ABC是锐角三角形【分析】本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．（1）根据各角之间的关系，结合三角形内角和定理，即可求出∠A、∠B、∠C的度数；（2）由40°<60°<80°<90°，可得出∠A、∠B、∠C均为锐角，进而可得出△ABC是锐角三角形．【详解】（1）解：在△ABC中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，∴ ∠A=22+3+4×180°=40°，∠B=32+3+4×180°=60°，∠C=42+3+4×180°=80°；（2）∵ 40°<60°<80°<90°，∴ ∠A、∠B、∠C均为锐角，∴ △ABC是锐角三角形．18．（6分）（2023上·安徽合肥·八年级统考期中）在△ABC中，AE平分∠BAC，∠C>∠B. (1)如图1，若AD⊥BC于点D，∠ABC=40°，∠ACB=60°，求∠EAD的度数.(2)如图2在线段AE上任取一点P（不与A，E重合），过点P作PD⊥BC于点D，若∠B=α，∠C=β，试求出∠EPD的度数．（用含有α、β的代数式表示即可）【答案】(1)10°；(2)12(β−α)．【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、垂线以及平行线的性质．（1）在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠BAC的度数，结合角平分线的定义，可求出∠CAE的度数，由AD⊥BC，可得出∠ADC=90°，结合三角形内角和定理，可求出∠CAD的度数，再将其代入∠EAD=∠CAE−∠CAD中，即可求出∠EAD的度数；（2）过点A作AM⊥BC于点M，则AM∥PD，在△ABC中，利用三角形内角和定理，可用含α、β的代数式表示出∠BAC的度数，结合角平分线的定义，可用含α、β的代数式表示出∠CAE的度数，由AM⊥BC，∠AMC=90°，结合三角形内角和定理，可用含β的代数式表示出∠CAM的度数，将其代入∠EAM=∠CAE−∠CAM中，即可用含α、β的代数式表示出∠EAM的度数，再由AM∥PD，利用“两直线平行，同位角相等”，即可用含有α、β的代数式表示出∠EPD的度数．【详解】（1）在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=60°，∴∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB=180°−40°−60°=80°，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=12∠BAC=12×80°=40°．∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=180°−∠ADC−∠ACD=180°−90°−60°=30°，∴∠EAD=∠CAE−∠CAD=40°−30°=10°；（2）如图，过点A作AM⊥BC于点M，则AM∥PD． 在△ABC中，∠B=α、∠C=β，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−α−β，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=12∠BAC=12180°−α−β=90°−12α−12β．∵AM⊥BC，∴∠AMC=90°，∴∠CAM=180°−∠AMC−∠C=180°−90°−β=90°−β，∴∠EAM=∠CAE−∠CAM=90°−12α−12β−90°−β=12β−α，又∵AM∥PD，∴∠EPD=∠EAM=12β−α．19．（8分）（2023上·福建龙岩·八年级统考期中）一副三角板如图1摆放，∠C=∠DFE=90°，∠B=30°，∠E=45°，点F在BC上，点A在DF上，且AF平分∠CAB，现将三角板DFE绕点F以每秒5°的速度顺时针旋转（当点D落在射线FB上时停止旋转），设旋转时间为t秒． (1)当t=______秒时，DE∥AB；当t=______秒时，DE⊥AB；(2)在旋转过程中，DF与AB的交点记为P，如图2，若△AFP有两个内角相等，求t的值．【答案】(1)3；21(2)当t为6或15或24时，△AFP有两个内角相等【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，熟知三角形内角和为180度，三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键．（1）由平行线的性质得到∠EDF=∠BPF=45°，由三角形内角和定理得到∠BAC=60°，由角平分线的定义得到∠BAF=30°，则由三角形外角的性质可得∠PFA=∠BPF−∠BAF=15°，据此可得答案；根据三角形内角和定理和对顶角相等得到∠APF=∠DPB=45°，再求出∠AFP的度数即可得到答案；（2）分∠PAF=∠PFA，∠PFA=∠APF，∠PAF=∠APF，三种情况讨论求解即可．【详解】（1）解：如图（1），当DE∥AB时，∠EDF=∠BPF=45°，∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=180°−∠C−∠B=60°，∵AF平分∠BAC，∴∠BAF=12∠BAC=30°，又∵∠BPF为△APF的一个外角，∴∠PFA=∠BPF−∠BAF=45°−30°=15°，∴t=15°5°=3； 如图（2），当DE⊥AB时，∴∠DPB=180°−90°−45°=45°，∴∠APF=∠DPB=45°，∵∠BAF=30°，∴∠AFP=180°−∠APF−∠BAF=180°−45°−30°=105°，∴t=105°5°=21．故答案为：3；21． （2）解：①如图（3），当∠PAF=∠PFA时，∵∠PAF=30°，∴∠PFA=30°，∴t=6； ②如图（4），当∠PFA=∠APF时，∵∠PAF=30°，∠PAF+∠PFA+∠APF=180°，∴∠AFP=12180°−30°=75°，∴t=15； ③如图（5），当∠PAF=∠APF时，∠AFP=180°−∠PAF−∠APF=180°−30°−30°=120°，∴t=24，综上所述：当t为6或15或24时，△AFP有两个内角相等． 20．（8分）（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市萧红中学校考期中）已知，过∠ECF内一点A作AD∥EC交CF于点D，作AB∥CF交CE于点B．(1)如图1，求证：∠ABE=∠ADF；(2)如图2，射线BM，射线DN分别平分∠ABE和∠ADF，求证：BM∥DN；(3)如图3，在（2）的条件下，点G，Q在线段DF上，连接AG，AQ，AC，AQ与DN交于点H，反向延长AQ交BM于点P，如果∠GAC=∠GCA，AQ平分∠GAD，∠QAC=50∘，求∠MPA+∠PQF的度数．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)230°【分析】本题主要考查平行的性质、角平分线性质和三角形内角和定理知识，（1）根据两直线平行，内错角相等即可证明．（2）过点A作AG平分∠BAD，利用角平分线性质和内错角相等，证明两直线平行即可．（3）由题意知∠GAQ=∠QAD，并设∠GAQ=∠QAD=x，有∠DAC=50°−x，∠GCA=∠GAC=50°+x，根据平行得∠BAC=∠GCA=50°+x，有∠BAD=100°，则∠BAQ=100°+x，∠BAP=80°−x，过点P作PH∥AB，过点Q作QI∥AC，∠BAD=100°，∠ABM=50°，通过角度代换则有∠MPA=130°−x，∠PQF=100°+x即可求得答案．【详解】（1）解：证明：∵AB∥CF，∴∠BAD=∠ADF，∵AD∥EC，∴∠BAD=∠ABE，∴∠ABE=∠ADF．（2）证明：过点A作AG平分∠BAD，如图2所示：则∠DAG=∠BAG=12∠BAD，∵射线BM，射线DN分别平分∠ABE和∠ADF，∴∠ABM=12ABE，∠ADN=12∠ADF，∵∠ABE=∠ADF=∠BAD，∴∠ABM=DAG=∠BAG=∠ADN，∴BM∥AG, DN∥AG，即BM∥DN．（3）∵AQ平分∠GAD，∴∠GAQ=∠QAD，设∠GAQ=∠QAD=x，则∠DAC=50°−x，∠GCA=∠GAC=50°+x．∵AB∥CF，∴∠BAC=∠GCA=50°+x，∴∠BAD=∠DAC+∠ACD=50°+x+50°−x=100°，即∠BAQ=100°+x，∵∠BAP+∠BAQ=180°，∴∠BAP=180°−∠BAQ=80°−x，过点P作PH∥AB，过点Q作QI∥AC，如图3所示：∵AD∥EC，∴∠BAD=∠ABE=100°，∠ABM=12∠ABE=50°，∴∠MPH=∠ABM=50°，∠HPA=∠PAB=80°−x，∠IQA=∠QAC=50°，∠FQI=∠FCA=50°+x，∴∠MPA=∠MPH+∠HPA=50°+80°−x=130°−x，∠PQF=∠IQA+∠FQI=50°+50°+x=100°+x，∴∠MPA+∠PQF=130°−x+100°+x=230°21．（8分）（2023上·安徽合肥·八年级合肥市第四十二中学校考期中）已知：在△ABC中，BO平分∠ABC，BO、CO相交于点O，(1)如图①，若CO⊥BC，∠BOC=50°，∠ACB=42°，求∠A的大小．(2)如图②，若CO平分∠ACB，且∠BOC=3∠A，求∠A的大小．(3)如图③，若CO在△ABC的外角∠ACM内，且∠ACO:∠OCM=1:3，∠BOC=45∠A，试探究：∠A与∠ABC的数量关系．【答案】(1)∠A=58°(2)∠A=36°(3)∠A=5∠ABC【分析】本题考查角平分线的定义，三角形的内角和定理和外角的性质：（1）根据直角三角形的两锐角互余求出∠OBC的度数，然后根据角平分线的定义得到∠ABC的度数，然后利用三角形的内角和定理解题即可；（2）先利用角平分线的定义得到∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，然后利用三角形的内角和定理得到∠BOC=90°+12∠A，再根据∠BOC=3∠A解题即可；（3）利用三角形的外角和角平分线的定义用∠A与∠ABC表示∠ACB、∠ACO、∠BOC、∠OBC，然后根据三角形的内角和定理推到即可．【详解】（1）解：∵CO⊥BC，∴∠BCO=90°，∵∠BOC=50°，∴∠OBC=180°−∠BCO−∠BOC=180°−90°−50°=40°，又∵BO平分∠ABC，∴∠ABC=2∠OBC=2×40°=80°，∴∠A=180°−∠ABC−∠ACB=180°−80°−42°=58°；（2）解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°−∠A，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=12∠ABC+∠ACB=12180°−∠A=90°−12∠A，∴∠BOC=180°−∠OBC+∠OCB=180°−90°−12∠A=90°+12∠A，又∵∠BOC=3∠A，∴90°+12∠A=3∠A，解得：∠A=36°；（3）解：∵∠ACM是△ABC的外角，∴∠ACM=∠A+∠ABC，又∵∠ACO:∠OCM=1:3，∴∠ACO=14∠ACM=14∠A+∠ABC，∵BO平分∠ABC，∴∠OBC=12∠ABC，又∵∠ACB=180°−∠A−∠ABC，∠BOC=45∠A，∴∠ACB+∠ACO+∠BOC+∠OBC=180°，即180°−∠A−∠ABC+14∠A+∠ABC+45∠A+12∠ABC=180°，解得：∠A=5∠ABC．22．（8分）（2023上·安徽安庆·八年级统考期中）在△ABC中，∠C>∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于点D．(1)如图1，若点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°，求∠EFD的度数；(2)如图2，若点F在线段AE上（不与点A重合），求证：∠EFD=12∠C−∠B；(3)如图3，若点F在△ABC外部，探究此时∠EFD，∠C，∠B之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)∠EFD=10°(2)证明见解析(3)∠EFD=12(∠C−∠B)，理由见解析【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，综合利用角平分线的性质和三角形内角和定理是解答此题的关键．（1）由三角形内角和定理可得∠BAC=100°，∠CAD=40°，由角平分线的性质易得∠EAC的度数，可得∠EFD；（2）由角平分线的性质和三角形的内角和得出∠BAE=90°−12∠C+∠B，外角的性质得出∠AEC=90°+12(∠B−∠C)，在△EFD中，由三角形内角和定理可得∠EFD；（3）由AE平分∠BAC，可得∠BAE=12180°−∠B−∠C．由∠DEF为△ABE的外角可得∠DEF=∠B+∠BAE=90°+12(∠B−∠C)．得出∠EFD=90°−90°+12(∠B−∠C)，最后可得结论．【详解】（1）解：∵∠C=50°，∠B=30°，∴∠BAC=180°−50°−30°=100°．∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=12∠BAC=50°，∴∠AEC=180°−∠CAE−∠C=80°．∵FD⊥BC，∴∠ADE=90°，∴∠EFD=90°−∠AEC=90°−80°=10°．（2）证明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=12∠BAC=12180°−∠B−∠C=90°−12(∠C+∠B)．∵∠AEC为△ABE的外角，∴∠AEC=∠B+∠BAE=∠B+90°−12∠C+∠B=90°+12∠B−∠C．∵FD⊥BC，∴∠FDE=90°，∴∠EFD=90°−∠AEC=90°−90°+12∠B−∠C，即∠EFD=12∠C−∠B．（3）解：∠EFD=12∠C−∠B．理由：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=12∠BAC=12180°−∠B−∠C．∵∠DEF为△ABE的外角，∴∠DEF=∠B+∠BAE=∠B+12180°−∠B−∠C=90°+12(∠B−∠C)．∵FD⊥BC，∴∠FDE=90°，∴∠EFD=90°−∠DEF=90°−90°+12(∠B−∠C)，即∠EFD=12(∠C−∠B)．23．（8分）（2023上·福建莆田·八年级校考期中）我们定义：在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的3倍，那么这样的三角形我们称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为105°，40°，35°的三角形是“和谐三角形”概念理解：如图1，∠MON=60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O，B重合） (1)∠ABO的度数为______，△AOB______（填“是”或“不是”）“和谐三角形”；(2)若∠ACB=80°，求证：△AOC是“和谐三角形”．(3)应用拓展：在图2中画出：点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B．若△BCD是“和谐三角形”，求∠B的度数．【答案】(1)30°；是(2)证明见解析(3)∠B=36°或∠B=540°7【分析】（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数，根据“和谐三角形”的概念判断；（2）利用三角形外角的性质求出∠OAC的度数，再根据“和谐三角形”的概念证明即可；（3）根据比较的性质得到∠EFC=∠ADC，根据平行线的性质得到∠DEF=∠ADE，推出DE∥BC，得到∠CDE=∠BCD，根据角平分线的定义得到∠ADE=∠CDE，求得∠B=∠BCD，根据“和谐三角形”的定义求解即可．【详解】（1）解：∵AB⊥OM，∴∠OAB=90°，∵∠MON=60°，∴∠ABO=90°−∠MON=30°，∵∠OAB=3∠ABO，∴△AOB为“和谐三角形”，故答案为：30°；是；（2）证明：∵∠MON=60°，∠ACB=80°，∠ACB=∠OAC+∠MON，∴∠OAC=80°−60°=20°，∵∠AOB=60°=3×20°=3∠OAC，∴△AOC是“和谐三角形”；（3）解：如图所示，即为所求； ∵∠EFC+∠BDC=180°，∠ADC+∠BDC=180°，∴∠EFC=∠ADC，∴AD∥EF，∴∠DEF=∠ADE，∵∠DEF=∠B，∴∠B=∠ADE，∴DE∥BC，∴∠CDE=∠BCD，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，∴∠B=∠BCD，∵△BCD是“和谐三角形”，∴∠BDC=3∠B或∠B=3∠BDC，∵∠BDC+∠BCD+∠B=180°，∴∠B=36°或∠B=540°7．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质与判定，角平分线的定义，“和谐三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
第7章 平行线的证明章末拔尖卷【北师大版】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2023上·辽宁锦州·八年级统考期末）下列命题为假命题的是（ ）A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等，两条直线平行B．三角形的三个内角中至少有一个内角不大于60°C．两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补D．三角形的一个外角等于它的两个内角的和2．（3分）（2023下·山东临沂·八年级统考期末）乐乐观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题:如图，已知AB//CD,∠BAE=92°，∠DCE=115°,则∠E的度数是（ ）A．20° B．23° C．25° D．28°3．（3分）（2023·重庆渝中·统考二模）如图，将ΔABC沿DE、EF翻折，使其顶点A、B均落在点O处，若∠CDO+∠CFO=72∘，则∠C的度数为（ ）A．36∘ B．54∘ C．64∘ D．72∘4．（3分）（2023上·天津东丽·八年级校联考期中）如图，已知∠ABC=110°，AE平分∠BAD，CE平分∠DCB，CE的延长线交AB于点F，设∠AEF=α，∠ADC=β，则下列关系正确的是（ ） A．β=110°+2a B．β=220°−2aC．β=110°+a D．β=250°−2a5．（3分）（2023下·江苏苏州·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D，∠ABD的角平分线BF所在直线与射线AE相交于点G，若∠ABC=3∠C，且∠G=18°，则∠DFB的度数为（ ）A．40° B．44° C．50° D．54°6．（3分）（2023下·江苏苏州·八年级校联考期中）如图，直线AB//CD，点E在CD上，点O、点F在AB上，∠EOF的角平分线OG交CD于点G，过点F作FH⊥OE于点H，已知∠OGD=148°，则∠OFH的度数为（ ） A．26º B．32º C．36º D．42º7．（3分）（2023·浙江·八年级自主招生）甲、乙、丙、丁四个人参加一个比赛，有两个人获奖．在比赛结果揭晓之前，四个人做了如下猜测：甲：两名获奖者在乙、丙、丁中． 乙：我没有获奖，丙获奖了．丙：甲、乙两个人中有且只有一个人获奖． 丁：乙说得对．已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，则两名获奖者为（ ）．A．甲 丁 B．乙 丙 C．乙 丁 D．以上都不正确8．（3分）（2023下·湖北武汉·八年级统考期末）如图，已知AB∥CD，∠B=110°，EF平分∠BEC，EG⊥EF，则∠DEG等于（ ）A．70° B．35° C．55° D．110°9．（3分）（2023上·山东济南·八年级统考期末）如商，在△ABC中，∠A＝α,∠ABC与∠ACD的平分钱交十点A1，得∠A1,∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2，……∠A6BC与∠A6CD的平分线相交于点A7，得∠A7，则∠A7＝( )A．α14 B．α32 C．α64 D．α12810．（3分）（2023·河北沧州·校考模拟预测）一副三角尺如图1摆放，将含45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕定点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图2，当∠BAD=15°时，BC∥DE，关于符合题意的∠BAD0°<∠BAD<180°的其他可能度数，甲说是45°和60°，乙说是105°和135°，则（ ） A．甲的说法正确 B．乙的说法正确C．甲、乙的说法合在一起才正确 D．甲、乙的说法合在一起也不正确二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2023下·江苏苏州·八年级统考期末）如图，已知AB∥CD，∠EAF=23∠BAF,∠ECF=23∠DCF，记∠AEC=m∠AFC，则m的值为 ． 12．（3分）（2023下·河南漯河·八年级校考期中）如图，已知BC∥DE，BF平分∠ABC，DC平分∠ADE，则下列结论中：①∠ACB=∠E；②∠FBD+∠CDE=180°；③∠BFD=∠BCD；④∠ABF=∠BCD．正确的有 （填序号）13．（3分）（2023下·山东青岛·八年级统考期末）如图，AD平分∠BDF,∠3=∠4，若∠1=50°,∠2=130°，则∠CBD= °．14．（3分）（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级阶段练习）如图，AB∥CD, AC∥BD, CE平分∠ACD，交BD于点E，点F在CD的延长线上，且∠BEF=∠CEF，若∠DEF=∠EDF，则∠A的度数为 °. 15．（3分）（2023下·江苏盐城·八年级统考期末）如图，∠ACP=∠PCD，∠ABP=∠PBD，且∠A=80°，∠D=120°，则∠P的度数为 °． 16．（3分）（2023下·福建厦门·八年级统考期末）如图，MN∥PQ，点C，B分别在直线MN，PQ上，点A在直线MN，PQ之间，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，∠GCA+∠FAC=180°，∠CAB=60°，则∠AFB的度数为 ． 三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2023上·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）在△ABC中，∠A:∠B:∠C=2:3:4．(1)求∠A、∠B、∠C；(2)确定△ABC的形状．（属于什么类型的三角形）18．（6分）（2023上·安徽合肥·八年级统考期中）在△ABC中，AE平分∠BAC，∠C>∠B. (1)如图1，若AD⊥BC于点D，∠ABC=40°，∠ACB=60°，求∠EAD的度数.(2)如图2在线段AE上任取一点P（不与A，E重合），过点P作PD⊥BC于点D，若∠B=α，∠C=β，试求出∠EPD的度数．（用含有α、β的代数式表示即可）19．（8分）（2023上·福建龙岩·八年级统考期中）一副三角板如图1摆放，∠C=∠DFE=90°，∠B=30°，∠E=45°，点F在BC上，点A在DF上，且AF平分∠CAB，现将三角板DFE绕点F以每秒5°的速度顺时针旋转（当点D落在射线FB上时停止旋转），设旋转时间为t秒． (1)当t=______秒时，DE∥AB；当t=______秒时，DE⊥AB；(2)在旋转过程中，DF与AB的交点记为P，如图2，若△AFP有两个内角相等，求t的值．20．（8分）（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市萧红中学校考期中）已知，过∠ECF内一点A作AD∥EC交CF于点D，作AB∥CF交CE于点B．(1)如图1，求证：∠ABE=∠ADF；(2)如图2，射线BM，射线DN分别平分∠ABE和∠ADF，求证：BM∥DN；(3)如图3，在（2）的条件下，点G，Q在线段DF上，连接AG，AQ，AC，AQ与DN交于点H，反向延长AQ交BM于点P，如果∠GAC=∠GCA，AQ平分∠GAD，∠QAC=50∘，求∠MPA+∠PQF的度数．21．（8分）（2023上·安徽合肥·八年级合肥市第四十二中学校考期中）已知：在△ABC中，BO平分∠ABC，BO、CO相交于点O，(1)如图①，若CO⊥BC，∠BOC=50°，∠ACB=42°，求∠A的大小．(2)如图②，若CO平分∠ACB，且∠BOC=3∠A，求∠A的大小．(3)如图③，若CO在△ABC的外角∠ACM内，且∠ACO:∠OCM=1:3，∠BOC=45∠A，试探究：∠A与∠ABC的数量关系．22．（8分）（2023上·安徽安庆·八年级统考期中）在△ABC中，∠C>∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于点D．(1)如图1，若点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°，求∠EFD的度数；(2)如图2，若点F在线段AE上（不与点A重合），求证：∠EFD=12∠C−∠B；(3)如图3，若点F在△ABC外部，探究此时∠EFD，∠C，∠B之间的数量关系，并说明理由．23．（8分）（2023上·福建莆田·八年级校考期中）我们定义：在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的3倍，那么这样的三角形我们称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为105°，40°，35°的三角形是“和谐三角形”概念理解：如图1，∠MON=60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O，B重合） (1)∠ABO的度数为______，△AOB______（填“是”或“不是”）“和谐三角形”；(2)若∠ACB=80°，求证：△AOC是“和谐三角形”．(3)应用拓展：在图2中画出：点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B．若△BCD是“和谐三角形”，求∠B的度数． 第7章 平行线的证明章末拔尖卷【北师大版】参考答案与试题解析选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2023上·辽宁锦州·八年级统考期末）下列命题为假命题的是（ ）A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等，两条直线平行B．三角形的三个内角中至少有一个内角不大于60°C．两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补D．三角形的一个外角等于它的两个内角的和【答案】D【分析】利用平行线的判定、三角形的内角及三角形的外角的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、两条直线被第三条直线所截，内错角相等，两条直线平行是真命题；B、三角形的三个内角中至少有一个内角不大于60°，是真命题；C、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，是真命题；D、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，原选项是假命题；故选：D．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够了解平行线的判定、三角形的内角及三角形的外角的性质．2．（3分）（2023下·山东临沂·八年级统考期末）乐乐观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题:如图，已知AB//CD,∠BAE=92°，∠DCE=115°,则∠E的度数是（ ）A．20° B．23° C．25° D．28°【答案】B【分析】延长DC交AE于F，依据AB∥CD，∠BAE=92°，可得∠CFE=92°，再根据三角形外角性质，即可得到∠E=∠DCE-∠CFE．【详解】如图，延长DC交AE于F，∵AB∥CD，∠BAE=92°，∴∠CFE=92°，又∵∠DCE=115°，∴∠E=∠DCE-∠CFE=115°-92°=23°，故选B．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．3．（3分）（2023·重庆渝中·统考二模）如图，将ΔABC沿DE、EF翻折，使其顶点A、B均落在点O处，若∠CDO+∠CFO=72∘，则∠C的度数为（ ）A．36∘ B．54∘ C．64∘ D．72∘【答案】B【分析】由折叠的性质可得∠A=∠DOE，∠B=∠EOF，可得∠DOF=∠A+∠B，由三角形内角和定理可得∠A+∠B=180°−∠C，利用三角形外角定理得出∠DOF=∠C+∠CDO+∠CFO，建立方程，即可求∠C的度数．【详解】解：延长FO交AC于点M，∵将ΔABC沿DE，EF翻折，顶点A，B均落在点O处，∴∠A=∠DOE，∠B=∠EOF，∴∠DOF=∠A+∠B，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A+∠B=180°−∠C ，由三角形外角定理可知：∠DOF=∠MDO+∠DMO，∠DMO=∠C+∠CFM，∴∠DOF=∠C+∠CDO+∠CFO即：∠DOF=∠C+∠CDO+∠CFO=180°−∠C，∴∠C+72°=180°−∠C ，∴∠C=54°，故选：B．【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，外角定理，熟练运用三角形内角和定理是本题的关键．4．（3分）（2023上·天津东丽·八年级校联考期中）如图，已知∠ABC=110°，AE平分∠BAD，CE平分∠DCB，CE的延长线交AB于点F，设∠AEF=α，∠ADC=β，则下列关系正确的是（ ） A．β=110°+2a B．β=220°−2aC．β=110°+a D．β=250°−2a【答案】D【分析】延长AD交BC于点G，设∠BAD的度数为2x，∠DCB的度数为2y，通过角平分线的定义和三角形外角的性质得到x+y=β−110°2之间的关系，在根据三角形内角和得到∠B+∠BFC+∠BCF=180°，将x+y=β−110°2代入，即可解答．【详解】解：如图，延长AD交BC于点G， 设∠BAD的度数为2x，∠DCB的度数为2y，∵AE平分∠BAD，CE平分∠DCB，∴∠EAF=12∠BAD=x,∠FCB=12∠DCB=y，∵∠ADC=β，∴∠DGC=∠ADC−∠DCG=β−2y，∴∠BGD=180°−∠DGC=180°−β+2y，在△BAG中，∠B+∠BAG+∠BGA=110°+2x+180°−β+2y=180°，∴x+y=β−110°2，∵∠AEF=α，∴∠CFB=∠FAE+∠AEF=x+α，在△BFC中，∠BFC+∠FBC+∠B=x+α+y+110°=180°，将x+y=β−110°2代入可得α+β−110°2+110°=180°，整理得β=250°−2a，故选：D．【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，考虑延长AD得到三角形，进行角度的转换，用α,β表示同一个三角形中的内角得到等量关系是解题的关键．5．（3分）（2023下·江苏苏州·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D，∠ABD的角平分线BF所在直线与射线AE相交于点G，若∠ABC=3∠C，且∠G=18°，则∠DFB的度数为（ ）A．40° B．44° C．50° D．54°【答案】D【分析】由题意推出∠CAE=∠BAE，∠ABF=∠DBF，设∠CAE=∠BAE=x，设∠C=y，∠ABC=3y，用含x和y的代数式表示∠ABF和∠DBF即可解决．【详解】解：如图：∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABD，∴∠CAE=∠BAE，∠1=∠2，设∠CAE=∠BAE=x，∠C=y，∠ABC=3y，由外角的性质得：∠1=∠BAE+∠G=x+18°，∠2=12∠ABD=122x+y＝x+12y，∴x+18=x+12y，解得：y=36°，∴∠1=∠2=12180°−∠ABC=12×180°−108°=36°，∵AD⊥DC，∴∠D=90°，∴∠DFB=90°−∠2=54°．故选：D．【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．6．（3分）（2023下·江苏苏州·八年级校联考期中）如图，直线AB//CD，点E在CD上，点O、点F在AB上，∠EOF的角平分线OG交CD于点G，过点F作FH⊥OE于点H，已知∠OGD=148°，则∠OFH的度数为（ ） A．26º B．32º C．36º D．42º【答案】A【分析】依据∠OGD=148°，可得∠EGO=32°，根据AB∥CD，可得∠EGO =∠GOF，根据GO平分∠EOF，可得∠GOE =∠GOF，等量代换可得：∠EGO=∠GOE=∠GOF=32°，根据FH⊥OE，可得：∠OFH=90°-32°-32°=26°【详解】解：∵ ∠OGD=148°,∴∠EGO=32°∵AB∥CD，∴∠EGO =∠GOF,∵∠EOF的角平分线OG交CD于点G,∴∠GOE =∠GOF,∵∠EGO=32°∠EGO =∠GOF∠GOE =∠GOF,∴∠GOE=∠GOF=32°,∵FH⊥OE,∴∠OFH=90°-32°-32°=26°故选A.【点睛】本题考查的是平行线的性质及角平分线的定义的综合运用，易构造等腰三角形，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．7．（3分）（2023·浙江·八年级自主招生）甲、乙、丙、丁四个人参加一个比赛，有两个人获奖．在比赛结果揭晓之前，四个人做了如下猜测：甲：两名获奖者在乙、丙、丁中． 乙：我没有获奖，丙获奖了．丙：甲、乙两个人中有且只有一个人获奖． 丁：乙说得对．已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，则两名获奖者为（ ）．A．甲 丁 B．乙 丙 C．乙 丁 D．以上都不正确【答案】C【分析】本题主要抓住乙、丁的预测是一样的这一特点，则乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符．先假设乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，可推出矛盾，故乙、丁的预测不成立，则甲、丙的预测成立，再分析可得出获奖的是乙和丁．【详解】解：由题意，可知：∵乙、丁的预测是一样的，∴乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符．①假设乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，根据乙、丁的预测，丙获奖，甲、丁中必有一人获奖；这与丙的预测不成立相矛盾．故乙、丁的预测不成立，②乙、丁的预测不成立，则甲、丙的预测成立，∵甲、丙的预测成立，∴丁必获奖．∵乙、丁的预测不成立，甲的预测成立，∴丙不获奖，乙获奖．从而获奖的是乙和丁．故选：C．【点睛】本题主要考查合情推理能力，主要抓住共同点及矛盾点去探索结果．本题属中档题．8．（3分）（2023下·湖北武汉·八年级统考期末）如图，已知AB∥CD，∠B=110°，EF平分∠BEC，EG⊥EF，则∠DEG等于（ ）A．70° B．35° C．55° D．110°【答案】C【分析】由AB∥CD，∠B=100°，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠BEC的度数，又由EF平分∠BEC，即可求得∠FEC的度数，然后由EG⊥EF，根据平角的定义，即可求得∠DEG的度数．【详解】解：∵AB∥CD，∴∠B+∠BEC=180°，∵∠B=110°，∴∠BEC=70°，∵EF平分∠BEC，∴∠CEF=12∠BEC=35°，∵EG⊥EF，∴∠GEF=90°，∵∠GEF+∠CEF+∠DEG=180°，∴∠DEG=180°-90°-35°=55°．故选：C．【点睛】此题考查了平行线的性质，垂直的定义，以及平角的定义，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补定理的应用．9．（3分）（2023上·山东济南·八年级统考期末）如商，在△ABC中，∠A＝α,∠ABC与∠ACD的平分钱交十点A1，得∠A1,∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2，……∠A6BC与∠A6CD的平分线相交于点A7，得∠A7，则∠A7＝( )A．α14 B．α32 C．α64 D．α128【答案】D【分析】根据题意先利用外角等于不相邻的两个内角之和，以及角平分线的性质求 ∠A1=12a，再依此类推得， ∠A2=122a，...∠A7=127a， 找出规律，从而求∠A7的值．【详解】解：根据题意得∠ACD=∠A＋∠ABC．∵∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，∴∠A1=180°−12∠ACD−∠ACB−12∠ABC= 180°−12(∠ABC+∠A)−(180°−∠A−∠ABC)−12∠ABC =12∠A， 同理可得 ∠A2=12∠A1=122∠A...,∴ ∠A7=127α=α128.故选D．【点睛】本题为找规律题，主要考查三角形的外角性质及三角形的内角和定理，同时考查了角平分线的定义．解答的关键是沟通外角和内角的关系．10．（3分）（2023·河北沧州·校考模拟预测）一副三角尺如图1摆放，将含45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕定点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图2，当∠BAD=15°时，BC∥DE，关于符合题意的∠BAD0°<∠BAD<180°的其他可能度数，甲说是45°和60°，乙说是105°和135°，则（ ） A．甲的说法正确 B．乙的说法正确C．甲、乙的说法合在一起才正确 D．甲、乙的说法合在一起也不正确【答案】C【分析】根据平行线的判定定理，随着∠BAD增大，存在5种情况至少有一组边互相平行．【详解】 （1）如图，∠BAD=15°，∠BAE=45°−15°=30°∴∠BFA=180°−30°−60°=90°∴∠BFA=∠E∴DE∥BC（2）如图，∠BAD=45° ∴∠DAC=45°+90°=135°∴∠D+∠DAC=180°∴DE∥AC（3）如图，∠DAB=60°而∠B=60°∴∠DAB=∠B∴BC∥AD （4）如图，∠BAD=105°∴∠BAE=105°−45°=60°∴∠BAE=∠B∴BC∥AE （5）如图，∠BAD=135°∴∠BAE=135°−45°=90°∴∠BAE=∠E∴AB∥DE 故选C．【点睛】本题主要考查平行线的判定定理，动态问题中分类讨论的思想；结合角度的变化推出相关角的数量关系是解题的关键。二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2023下·江苏苏州·八年级统考期末）如图，已知AB∥CD，∠EAF=23∠BAF,∠ECF=23∠DCF，记∠AEC=m∠AFC，则m的值为 ． 【答案】53【分析】过点F作FG∥AB，则GF∥CD，依据平行线的性质可证明∠AFG=∠BAF、∠GFC=∠FCD，同理可证明∠AEC=∠BAE+∠DCE，然后结合已知条件可得到问题的答案．【详解】解：如图所示：过点F作FG∥AB．∵FG∥AB，∴∠AFG=∠BAF．∵FG∥AB，CD∥AB，∴GF∥CD，∴∠GFC=∠FCD．∴∠AFC=∠BAF+∠DCF．同理：∠AEC=∠BAE+∠DCE．∴∠AEC=23∠BAF+∠BAF+23∠DCF+∠DCF=53∠BAF+∠DCF∵∠AEC=m∠AFC，∴m=53．故答案为：53． 【点睛】本题主要考查的是平行线的判定和性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．12．（3分）（2023下·河南漯河·八年级校考期中）如图，已知BC∥DE，BF平分∠ABC，DC平分∠ADE，则下列结论中：①∠ACB=∠E；②∠FBD+∠CDE=180°；③∠BFD=∠BCD；④∠ABF=∠BCD．正确的有 （填序号）【答案】①②④【分析】由平行线的性质可得出∠ACB=∠E，直接判断①正确；根据角平分线的定义结合平行线的性质可得出∠ABF=∠CBF=∠ADC=∠EDC，可证BF∥DC，得出∠FBD+∠CDE=180°，从而证明∠FBD+∠CDE=180°，②正确；由BF∥DC，得出∠CBF=∠BCD，进而得出∠ABF=∠BCD，判断④正确；由BC∥DE可得出∠BCD=∠CDE，得出∠BCD=∠BDC．再根据BF∥DC，得出∠BFD=∠CDF．由∠BDC>∠CDF，即可判断∠BCD>∠BFD，判断③错误．【详解】∵BC∥DE，∴∠ACB=∠E，故①正确；∵BC∥DE，∴∠ABC=∠ADE，∵BF平分∠ABC，DC平分∠ADE，∴∠ABF=∠CBF=∠ADC=∠EDC，∴BF∥DC，∴∠FBD+∠ADC=180°，∴∠FBD+∠CDE=180°，故②正确；∵BF∥DC，∴∠CBF=∠BCD，∴∠ABF=∠BCD，故④正确；∵BC∥DE，∴∠BCD=∠CDE，∴∠BCD=∠BDC．∵BF∥DC，∴∠BFD=∠CDF．∵∠BDC>∠CDF，∴∠BCD>∠BFD，故③错误．综上可知正确的有①②④．故答案为：①②④．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义．利用数形结合的思想是解题关键．13．（3分）（2023下·山东青岛·八年级统考期末）如图，AD平分∠BDF,∠3=∠4，若∠1=50°,∠2=130°，则∠CBD= °．【答案】65【分析】利用平行线的判定定理和性质定理，等量代换可得∠CBD=∠EBC，可得结果．【详解】∵∠1=50°，∴∠DBE=180°-∠1=180°-50°=130°，∵∠2=130°，∴∠DBE=∠2，∴AE∥CF， ∴∠4=∠ADF，∵∠3=∠4，∴∠EBC=∠4，∴AD∥BC，∵AD平分∠BDF，∴∠ADB=∠ADF，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∴∠4=∠CBD，∴∠CBD=∠EBC=12∠DBE=12×130°=65°．故答案为：65．【点睛】本题主要考查了平行线的判定定理和性质定理，角平分线的定义等，熟练掌握定理是解答此题的关键．14．（3分）（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级阶段练习）如图，AB∥CD, AC∥BD, CE平分∠ACD，交BD于点E，点F在CD的延长线上，且∠BEF=∠CEF，若∠DEF=∠EDF，则∠A的度数为 °. 【答案】108【详解】分析：根据平行线的性质，得到∠A+∠B=180°，∠B=∠BDF，∠A+∠ACD=180°，然后根据角平分线的性质，得到∠ACE=∠ECD=∠CED，然后根据题意和三角形的外角的性质，四边形的内角和求解.详解：∵CE平分∠ACD∴∠ACE=∠DCE∵AB∥CD，AC∥BD,∴∠A+∠B=180°，∠B=∠BDF，∠ACD+∠A=180°，∠ACE=∠CED∵∠EDF=∠DEF =∠ECD+∠CED∴∠CEF=∠FEB=∠CED+∠DEF设∠B=x，则∠A=180°-x，∠ACE=∠ECD=∠CED=12x，∴∠EDF=x，∠BEF=32x∴∠CEB=360°-2×∠BEF=360°-3x∴∠A+∠B+∠BEC+∠ACE=180°-x+x+360°-3x+12x=360°解得x=72°∴∠A=180°-72°=108°.故答案为108. 点睛：此题主要考查了平行线的性质和三角形的外角的综合应用，关键是利用平行线的性质和三角形的外角确定角之间的关系，有一定的难度.15．（3分）（2023下·江苏盐城·八年级统考期末）如图，∠ACP=∠PCD，∠ABP=∠PBD，且∠A=80°，∠D=120°，则∠P的度数为 °． 【答案】100【分析】设∠ACP=∠PCD=x，∠ABP=∠PBD=y，根据三角形内角和公式可求得∠AEC=100°−2x，∠DEB=60°−2y，推得x=20+y，根据三角形内角和公式可求得∠P=120°−x+y，将x=20+y代入即可求解．【详解】解：设∠ACP=∠PCD=x，∠ABP=∠PBD=y，如图： ∵∠A=80°，∠D=120°，在△ACE中，∠AEC=180°−∠ACE−∠A=180°−80°−2x=100°−2x，在△DBE中，∠DEB=180°−∠DBE−∠D=180°−120°−2y=60°−2y，又∵∠AEC=∠DEB，∴100°−2x=60°−2y，故x=20+y，在△DBF中，∠DFB=180°−∠DBF−∠D=180°−120°−y=60°−y，在△DBF中，∠PFC=∠DFB=60°−y，∠P=180°−∠PCE−∠DFB=180°−x−60°−y=120°−x+y，将x=20+y代入可得∠P=120°−20=100°；故答案为：100．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．16．（3分）（2023下·福建厦门·八年级统考期末）如图，MN∥PQ，点C，B分别在直线MN，PQ上，点A在直线MN，PQ之间，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，∠GCA+∠FAC=180°，∠CAB=60°，则∠AFB的度数为 ． 【答案】60°【分析】过点A作AH∥MN，根据平行线性质推出∠CAB=∠MCA+∠ABP，AF∥CG，所以∠FAB=120°−∠GCA，由BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，∠CAB=180°−2∠GCA+2∠ABF=60°，进而得到∠GCA−∠ABF=60°，再由三角形内角和即可求出∠AFB的度数．【详解】解：如图，过点A作AH∥MN， ∵MN∥PQ，∴MN∥AH∥PQ，∴∠MCA=∠CAH，∠HAB=∠ABP，∴∠CAB=∠CAH+∠HAB=∠MCA+∠ABP，∵∠GCA+∠FAC=180°，∴∠GCA+∠CAB+∠FAB=180°，AF∥CG，∵∠CAB=60°，∴∠FAB=120°−∠GCA，∵BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，∴∠ACN=2∠GCA，∠ABP=2∠ABF，∵∠MCA=180°−∠ACN，∴∠CAB=180°−2∠GCA+2∠ABF=60°，∴∠GCA−∠ABF=60°，∵∠AFB+∠ABF+∠FAB=180°，∴∠AFB=180°−∠FAB−∠FBA=180°−120°−∠GCA=180°−120°+∠GCA−∠ABF=120°．故答案为：120°．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，三角形的内角和，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2023上·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）在△ABC中，∠A:∠B:∠C=2:3:4．(1)求∠A、∠B、∠C；(2)确定△ABC的形状．（属于什么类型的三角形）【答案】(1)∠A=40°，∠B=60°，∠C=80°(2)△ABC是锐角三角形【分析】本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．（1）根据各角之间的关系，结合三角形内角和定理，即可求出∠A、∠B、∠C的度数；（2）由40°<60°<80°<90°，可得出∠A、∠B、∠C均为锐角，进而可得出△ABC是锐角三角形．【详解】（1）解：在△ABC中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，∴ ∠A=22+3+4×180°=40°，∠B=32+3+4×180°=60°，∠C=42+3+4×180°=80°；（2）∵ 40°<60°<80°<90°，∴ ∠A、∠B、∠C均为锐角，∴ △ABC是锐角三角形．18．（6分）（2023上·安徽合肥·八年级统考期中）在△ABC中，AE平分∠BAC，∠C>∠B. (1)如图1，若AD⊥BC于点D，∠ABC=40°，∠ACB=60°，求∠EAD的度数.(2)如图2在线段AE上任取一点P（不与A，E重合），过点P作PD⊥BC于点D，若∠B=α，∠C=β，试求出∠EPD的度数．（用含有α、β的代数式表示即可）【答案】(1)10°；(2)12(β−α)．【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、垂线以及平行线的性质．（1）在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠BAC的度数，结合角平分线的定义，可求出∠CAE的度数，由AD⊥BC，可得出∠ADC=90°，结合三角形内角和定理，可求出∠CAD的度数，再将其代入∠EAD=∠CAE−∠CAD中，即可求出∠EAD的度数；（2）过点A作AM⊥BC于点M，则AM∥PD，在△ABC中，利用三角形内角和定理，可用含α、β的代数式表示出∠BAC的度数，结合角平分线的定义，可用含α、β的代数式表示出∠CAE的度数，由AM⊥BC，∠AMC=90°，结合三角形内角和定理，可用含β的代数式表示出∠CAM的度数，将其代入∠EAM=∠CAE−∠CAM中，即可用含α、β的代数式表示出∠EAM的度数，再由AM∥PD，利用“两直线平行，同位角相等”，即可用含有α、β的代数式表示出∠EPD的度数．【详解】（1）在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=60°，∴∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB=180°−40°−60°=80°，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=12∠BAC=12×80°=40°．∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=180°−∠ADC−∠ACD=180°−90°−60°=30°，∴∠EAD=∠CAE−∠CAD=40°−30°=10°；（2）如图，过点A作AM⊥BC于点M，则AM∥PD． 在△ABC中，∠B=α、∠C=β，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−α−β，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=12∠BAC=12180°−α−β=90°−12α−12β．∵AM⊥BC，∴∠AMC=90°，∴∠CAM=180°−∠AMC−∠C=180°−90°−β=90°−β，∴∠EAM=∠CAE−∠CAM=90°−12α−12β−90°−β=12β−α，又∵AM∥PD，∴∠EPD=∠EAM=12β−α．19．（8分）（2023上·福建龙岩·八年级统考期中）一副三角板如图1摆放，∠C=∠DFE=90°，∠B=30°，∠E=45°，点F在BC上，点A在DF上，且AF平分∠CAB，现将三角板DFE绕点F以每秒5°的速度顺时针旋转（当点D落在射线FB上时停止旋转），设旋转时间为t秒． (1)当t=______秒时，DE∥AB；当t=______秒时，DE⊥AB；(2)在旋转过程中，DF与AB的交点记为P，如图2，若△AFP有两个内角相等，求t的值．【答案】(1)3；21(2)当t为6或15或24时，△AFP有两个内角相等【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，熟知三角形内角和为180度，三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键．（1）由平行线的性质得到∠EDF=∠BPF=45°，由三角形内角和定理得到∠BAC=60°，由角平分线的定义得到∠BAF=30°，则由三角形外角的性质可得∠PFA=∠BPF−∠BAF=15°，据此可得答案；根据三角形内角和定理和对顶角相等得到∠APF=∠DPB=45°，再求出∠AFP的度数即可得到答案；（2）分∠PAF=∠PFA，∠PFA=∠APF，∠PAF=∠APF，三种情况讨论求解即可．【详解】（1）解：如图（1），当DE∥AB时，∠EDF=∠BPF=45°，∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=180°−∠C−∠B=60°，∵AF平分∠BAC，∴∠BAF=12∠BAC=30°，又∵∠BPF为△APF的一个外角，∴∠PFA=∠BPF−∠BAF=45°−30°=15°，∴t=15°5°=3； 如图（2），当DE⊥AB时，∴∠DPB=180°−90°−45°=45°，∴∠APF=∠DPB=45°，∵∠BAF=30°，∴∠AFP=180°−∠APF−∠BAF=180°−45°−30°=105°，∴t=105°5°=21．故答案为：3；21． （2）解：①如图（3），当∠PAF=∠PFA时，∵∠PAF=30°，∴∠PFA=30°，∴t=6； ②如图（4），当∠PFA=∠APF时，∵∠PAF=30°，∠PAF+∠PFA+∠APF=180°，∴∠AFP=12180°−30°=75°，∴t=15； ③如图（5），当∠PAF=∠APF时，∠AFP=180°−∠PAF−∠APF=180°−30°−30°=120°，∴t=24，综上所述：当t为6或15或24时，△AFP有两个内角相等． 20．（8分）（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市萧红中学校考期中）已知，过∠ECF内一点A作AD∥EC交CF于点D，作AB∥CF交CE于点B．(1)如图1，求证：∠ABE=∠ADF；(2)如图2，射线BM，射线DN分别平分∠ABE和∠ADF，求证：BM∥DN；(3)如图3，在（2）的条件下，点G，Q在线段DF上，连接AG，AQ，AC，AQ与DN交于点H，反向延长AQ交BM于点P，如果∠GAC=∠GCA，AQ平分∠GAD，∠QAC=50∘，求∠MPA+∠PQF的度数．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)230°【分析】本题主要考查平行的性质、角平分线性质和三角形内角和定理知识，（1）根据两直线平行，内错角相等即可证明．（2）过点A作AG平分∠BAD，利用角平分线性质和内错角相等，证明两直线平行即可．（3）由题意知∠GAQ=∠QAD，并设∠GAQ=∠QAD=x，有∠DAC=50°−x，∠GCA=∠GAC=50°+x，根据平行得∠BAC=∠GCA=50°+x，有∠BAD=100°，则∠BAQ=100°+x，∠BAP=80°−x，过点P作PH∥AB，过点Q作QI∥AC，∠BAD=100°，∠ABM=50°，通过角度代换则有∠MPA=130°−x，∠PQF=100°+x即可求得答案．【详解】（1）解：证明：∵AB∥CF，∴∠BAD=∠ADF，∵AD∥EC，∴∠BAD=∠ABE，∴∠ABE=∠ADF．（2）证明：过点A作AG平分∠BAD，如图2所示：则∠DAG=∠BAG=12∠BAD，∵射线BM，射线DN分别平分∠ABE和∠ADF，∴∠ABM=12ABE，∠ADN=12∠ADF，∵∠ABE=∠ADF=∠BAD，∴∠ABM=DAG=∠BAG=∠ADN，∴BM∥AG, DN∥AG，即BM∥DN．（3）∵AQ平分∠GAD，∴∠GAQ=∠QAD，设∠GAQ=∠QAD=x，则∠DAC=50°−x，∠GCA=∠GAC=50°+x．∵AB∥CF，∴∠BAC=∠GCA=50°+x，∴∠BAD=∠DAC+∠ACD=50°+x+50°−x=100°，即∠BAQ=100°+x，∵∠BAP+∠BAQ=180°，∴∠BAP=180°−∠BAQ=80°−x，过点P作PH∥AB，过点Q作QI∥AC，如图3所示：∵AD∥EC，∴∠BAD=∠ABE=100°，∠ABM=12∠ABE=50°，∴∠MPH=∠ABM=50°，∠HPA=∠PAB=80°−x，∠IQA=∠QAC=50°，∠FQI=∠FCA=50°+x，∴∠MPA=∠MPH+∠HPA=50°+80°−x=130°−x，∠PQF=∠IQA+∠FQI=50°+50°+x=100°+x，∴∠MPA+∠PQF=130°−x+100°+x=230°21．（8分）（2023上·安徽合肥·八年级合肥市第四十二中学校考期中）已知：在△ABC中，BO平分∠ABC，BO、CO相交于点O，(1)如图①，若CO⊥BC，∠BOC=50°，∠ACB=42°，求∠A的大小．(2)如图②，若CO平分∠ACB，且∠BOC=3∠A，求∠A的大小．(3)如图③，若CO在△ABC的外角∠ACM内，且∠ACO:∠OCM=1:3，∠BOC=45∠A，试探究：∠A与∠ABC的数量关系．【答案】(1)∠A=58°(2)∠A=36°(3)∠A=5∠ABC【分析】本题考查角平分线的定义，三角形的内角和定理和外角的性质：（1）根据直角三角形的两锐角互余求出∠OBC的度数，然后根据角平分线的定义得到∠ABC的度数，然后利用三角形的内角和定理解题即可；（2）先利用角平分线的定义得到∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，然后利用三角形的内角和定理得到∠BOC=90°+12∠A，再根据∠BOC=3∠A解题即可；（3）利用三角形的外角和角平分线的定义用∠A与∠ABC表示∠ACB、∠ACO、∠BOC、∠OBC，然后根据三角形的内角和定理推到即可．【详解】（1）解：∵CO⊥BC，∴∠BCO=90°，∵∠BOC=50°，∴∠OBC=180°−∠BCO−∠BOC=180°−90°−50°=40°，又∵BO平分∠ABC，∴∠ABC=2∠OBC=2×40°=80°，∴∠A=180°−∠ABC−∠ACB=180°−80°−42°=58°；（2）解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°−∠A，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=12∠ABC+∠ACB=12180°−∠A=90°−12∠A，∴∠BOC=180°−∠OBC+∠OCB=180°−90°−12∠A=90°+12∠A，又∵∠BOC=3∠A，∴90°+12∠A=3∠A，解得：∠A=36°；（3）解：∵∠ACM是△ABC的外角，∴∠ACM=∠A+∠ABC，又∵∠ACO:∠OCM=1:3，∴∠ACO=14∠ACM=14∠A+∠ABC，∵BO平分∠ABC，∴∠OBC=12∠ABC，又∵∠ACB=180°−∠A−∠ABC，∠BOC=45∠A，∴∠ACB+∠ACO+∠BOC+∠OBC=180°，即180°−∠A−∠ABC+14∠A+∠ABC+45∠A+12∠ABC=180°，解得：∠A=5∠ABC．22．（8分）（2023上·安徽安庆·八年级统考期中）在△ABC中，∠C>∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于点D．(1)如图1，若点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°，求∠EFD的度数；(2)如图2，若点F在线段AE上（不与点A重合），求证：∠EFD=12∠C−∠B；(3)如图3，若点F在△ABC外部，探究此时∠EFD，∠C，∠B之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)∠EFD=10°(2)证明见解析(3)∠EFD=12(∠C−∠B)，理由见解析【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，综合利用角平分线的性质和三角形内角和定理是解答此题的关键．（1）由三角形内角和定理可得∠BAC=100°，∠CAD=40°，由角平分线的性质易得∠EAC的度数，可得∠EFD；（2）由角平分线的性质和三角形的内角和得出∠BAE=90°−12∠C+∠B，外角的性质得出∠AEC=90°+12(∠B−∠C)，在△EFD中，由三角形内角和定理可得∠EFD；（3）由AE平分∠BAC，可得∠BAE=12180°−∠B−∠C．由∠DEF为△ABE的外角可得∠DEF=∠B+∠BAE=90°+12(∠B−∠C)．得出∠EFD=90°−90°+12(∠B−∠C)，最后可得结论．【详解】（1）解：∵∠C=50°，∠B=30°，∴∠BAC=180°−50°−30°=100°．∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=12∠BAC=50°，∴∠AEC=180°−∠CAE−∠C=80°．∵FD⊥BC，∴∠ADE=90°，∴∠EFD=90°−∠AEC=90°−80°=10°．（2）证明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=12∠BAC=12180°−∠B−∠C=90°−12(∠C+∠B)．∵∠AEC为△ABE的外角，∴∠AEC=∠B+∠BAE=∠B+90°−12∠C+∠B=90°+12∠B−∠C．∵FD⊥BC，∴∠FDE=90°，∴∠EFD=90°−∠AEC=90°−90°+12∠B−∠C，即∠EFD=12∠C−∠B．（3）解：∠EFD=12∠C−∠B．理由：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=12∠BAC=12180°−∠B−∠C．∵∠DEF为△ABE的外角，∴∠DEF=∠B+∠BAE=∠B+12180°−∠B−∠C=90°+12(∠B−∠C)．∵FD⊥BC，∴∠FDE=90°，∴∠EFD=90°−∠DEF=90°−90°+12(∠B−∠C)，即∠EFD=12(∠C−∠B)．23．（8分）（2023上·福建莆田·八年级校考期中）我们定义：在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的3倍，那么这样的三角形我们称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为105°，40°，35°的三角形是“和谐三角形”概念理解：如图1，∠MON=60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O，B重合） (1)∠ABO的度数为______，△AOB______（填“是”或“不是”）“和谐三角形”；(2)若∠ACB=80°，求证：△AOC是“和谐三角形”．(3)应用拓展：在图2中画出：点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B．若△BCD是“和谐三角形”，求∠B的度数．【答案】(1)30°；是(2)证明见解析(3)∠B=36°或∠B=540°7【分析】（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数，根据“和谐三角形”的概念判断；（2）利用三角形外角的性质求出∠OAC的度数，再根据“和谐三角形”的概念证明即可；（3）根据比较的性质得到∠EFC=∠ADC，根据平行线的性质得到∠DEF=∠ADE，推出DE∥BC，得到∠CDE=∠BCD，根据角平分线的定义得到∠ADE=∠CDE，求得∠B=∠BCD，根据“和谐三角形”的定义求解即可．【详解】（1）解：∵AB⊥OM，∴∠OAB=90°，∵∠MON=60°，∴∠ABO=90°−∠MON=30°，∵∠OAB=3∠ABO，∴△AOB为“和谐三角形”，故答案为：30°；是；（2）证明：∵∠MON=60°，∠ACB=80°，∠ACB=∠OAC+∠MON，∴∠OAC=80°−60°=20°，∵∠AOB=60°=3×20°=3∠OAC，∴△AOC是“和谐三角形”；（3）解：如图所示，即为所求； ∵∠EFC+∠BDC=180°，∠ADC+∠BDC=180°，∴∠EFC=∠ADC，∴AD∥EF，∴∠DEF=∠ADE，∵∠DEF=∠B，∴∠B=∠ADE，∴DE∥BC，∴∠CDE=∠BCD，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，∴∠B=∠BCD，∵△BCD是“和谐三角形”，∴∠BDC=3∠B或∠B=3∠BDC，∵∠BDC+∠BCD+∠B=180°，∴∠B=36°或∠B=540°7．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质与判定，角平分线的定义，“和谐三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
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