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    人教版2024-2025学年八年级数学专题12.4全等三角形的判定(五大题型)(压轴题专项讲练)专题特训(学生版+解析)

    人教版2024-2025学年八年级数学专题12.4全等三角形的判定(五大题型)(压轴题专项讲练)专题特训(学生版+解析)第1页
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    人教版(2024)八年级上册12.1 全等三角形巩固练习

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    这是一份人教版(2024)八年级上册12.1 全等三角形巩固练习,共31页。
    1.(23-24八年级上·陕西延安·期末)如图,AB=CD,BF=CE,AE=DF.求证:△ABE≌△DCF.
    2.(23-24八年级上·广西桂林·期末)如图,AB=DC,AC=DB,AC与BD相交于点O.

    (1)求证:△ABC≌△DCB;
    (2)若∠ACB=40°,求∠DOC的度数.
    3.(23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中)如图,已知B,E,C,F在同一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.AC与DE交于点G,
    (1)求证△ABC≌△DEF;
    (2)若∠B=50°,∠ACB=60°,求∠EGC的度数.
    4.(23-24八年级上·广东肇庆·阶段练习)如图,已知△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,试猜想:
    (1)∠BAD与∠CAD的大小关系;
    (2)AD与BC的位置关系.并证明你的结论.
    5.(23-24八年级上·吉林·阶段练习)如图,点A、B、C、D在同一条直线上,AB=CD,AE=DF,CE=BF.
    (1)求证:△AEC≌△DFB;
    (2)求证:AE∥DF;
    (3)若C是边BD的中点,且AC=2,将△AEC向右平移,点A的对应点A'与点D重合,则平移的距离为________.
    【题型二:“SAS”】
    6.(23-24八年级上·河南三门峡·阶段练习)如图,AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE,求证:△ABC≌△ADE.
    7.(22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期中)如图,点B,E,C,F在同一直线上,AB∥DE,AB=DE,BE=CF.求证:
    (1)△ABC≌△DEF;
    (2)AC∥DF.
    8.(23-24八年级上·重庆江津·期末)如图,C为线段BE上一点,AB∥DC,AB=EC,BC=CD.
    (1)求证:△ABC≌△ECD;
    (2)若∠B=35°,∠D=25°,求∠ACD的度数.
    9.(23-24八年级上·四川泸州·阶段练习)如图:已知AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.
    (1)求证:△ABD≌△ACE;
    (2)若∠1=30°,∠2=40°,求∠3的度数.
    10.(24-25八年级上·广西南宁·开学考试)如图,在△ABC中,D为AB上一点,E为AC中点,连接DE并延长至点F,使得EF=ED,连CF.
    (1)求证:CF∥AB
    (2)若∠A=70°,∠F=35°,BE⊥AC,求∠BED的度数.
    【题型三:“ASA”】
    11.(23-24九年级下·云南玉溪·阶段练习)已知:如图,AB∥ED,EF∥BC,点F、点C在AD上,AF=DC.求证:△ABC≌△DEF.

    12.(2024·陕西西安·模拟预测)如图,在△ABC中,AB>AC,点D在边AB上,且BD=CA,过点D作DE∥AC交BC于点F,连接BE,且∠DFB=∠ABE,求证:△ABC≌△DEB.
    13.(2024八年级上·全国·专题练习)如图, ∠A=∠B,AE=BE,点D在AC边上,∠1=∠2.求证:△AEC≌△BED
    14.(23-24八年级上·湖北武汉·期末)如图,△ABC中,AD是BC边上的中线,E,F为直线AD上的点,连接BE,CF,且BE∥CF.
    (1)求证:△BDE≌△CDF;
    (2)若AE=13,AF=7,试求DE的长.
    15.(23-24七年级下·广东河源·期末)如图,AD=AE,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E.
    (1)求证:△ABE≌△ACD;
    (2)若AC=12,CD=8,BC=10,求BC边上的高的长度.
    【题型四:“AAS”】
    16.(23-24八年级上·福建厦门·期中)如图,点E,C在线段BF上,∠A=∠D,AB∥DE,BC=EF.求证:△ABC≌△DEF.
    17.(23-24八年级下·广西柳州·开学考试)如图,已知A,F,E,C在同一直线上,AB∥CD,∠1=∠2,AF=CE.
    求证:△ABE≌△CDF.
    18.(2024·四川达州·模拟预测)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,BE⊥AF于点E,AD=BE,求证△BEA≌△ADF.
    19.(23-24八年级下·广西南宁·开学考试)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠1=∠2,AB=EC.
    (1)求证:△ABD≌△ECB;
    (2)若∠1=20°,∠ADB=25°,求∠DEC的度数.
    20.(23-24八年级下·福建三明·期中)如图,在△ABC中,∠B=80°,将AB沿射线BC的方向平移至A'B',连接AA',设A'B'与AC的交点为O.
    (1)若B'为BC的中点,求证:△AOA'≌△COB';
    (2)若AC平分∠BAA',求∠C的度数.
    【题型五:“HL”】
    21.(23-24八年级下·河南郑州·阶段练习)如图,AB=CD,AF=CE,BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F,求证:Rt△ABE≌Rt△CDF.
    22.(23-24八年级上·广西贺州·期末)如图,已知∠A=∠D=90°,E、F在线段BC上,DE与AF交于点O,且AF=DE,BE=CF.求证:Rt△ABF≌Rt△DCE
    23.(23-24八年级上·云南曲靖·期中)如图,在△ABC和△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,AB=A'B',AD与A'D'分别为BC,B'C'边上的中线,且CD=C'D',求证:△ABC≌△A'B'C'.
    24.(23-24八年级上·广西南宁·期中)已知,如图,点A、E、F、B在同一条直线上,CA⊥AB,DB⊥AB,AE=FB,CF=DE

    (1)求证:△CAF≌△DBE;
    (2)若∠AFC=25°,求∠D的度数
    25.(23-24八年级下·全国·假期作业)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,BC=5,线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动,当AP的长为何值时,△ABC与△PQA全等?
    专题12.4 全等三角形的判定(五大题型)
    【题型一:“SSS”】
    1.(23-24八年级上·陕西延安·期末)如图,AB=CD,BF=CE,AE=DF.求证:△ABE≌△DCF.
    【思路点拨】
    本题主要考查三角形全等的证明.由BF=CE可得BE=CF,从而通过“SSS”即可证明△ABE≌△DCF.
    【解题过程】
    解:∵BF=CE,
    ∴BF−EF=CE−EF,即BE=CF.
    在△ABE和△DCF中,
    AB=DCAE=DFBE=CF,
    ∴ △ABE≌△DCFSSS.
    2.(23-24八年级上·广西桂林·期末)如图,AB=DC,AC=DB,AC与BD相交于点O.

    (1)求证:△ABC≌△DCB;
    (2)若∠ACB=40°,求∠DOC的度数.
    【思路点拨】
    本题考查了判定两个三角形全等,三角形外角的定义:
    (1)根据三个边长对应相等可得到两个三角形全等;
    (2)根据两个三角形全等得到对应角相等,再根据三角形外角的定义可求得结果;
    找到角度之间的关系是解题的关键.
    【解题过程】
    (1)证明:在△ABC和△DCB中,
    AB=DCAC=DBBC=CB,
    ∴△ABC≌△DCB (SSS);
    (2)解:由(1)可得△ABC≌△DCB,
    ∴∠ACB=DBC=40°,
    ∵∠DOC是△BOC的一个外角,
    ∴∠DOC=∠ACB+∠DBC=40°+40°=80°,
    ∴∠DOC的度数为80°.
    3.(23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中)如图,已知B,E,C,F在同一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.AC与DE交于点G,
    (1)求证△ABC≌△DEF;
    (2)若∠B=50°,∠ACB=60°,求∠EGC的度数.
    【思路点拨】
    (1)由BE=CF,可得BC=EF,利用SSS即可证明△ABC≌△DEF;
    (2)如图,由(1)知,△ABC≌△DEF,则∠B=∠DEF,得到AB∥DE,进而推导出∠EGC=∠A,由三角形内角和定理可得∠A=180°−∠B−∠ACB=70°,即可求解;
    本题考查了全等三角形的判定与性质,平行线的判定与性质,三角形内角和定理.掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.
    【解题过程】
    (1)证明:∵BE=CF,
    ∴BE+EC=CF+EC,
    即BC=EF,
    在△ABC和△DEF中,
    ∵AB=DEBC=EFAC=DF,
    ∴△ABC≌△DEFSSS;
    (2)解:如图,
    由(1)知,△ABC≌△DEF,
    ∴∠B=∠DEF,
    ∴AB∥DE,
    ∴∠EGC=∠A,
    ∵∠B=50°,∠ACB=60°,
    ∴∠A=180°−∠B−∠ACB=70°,
    ∴∠EGC=70°.
    4.(23-24八年级上·广东肇庆·阶段练习)如图,已知△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,试猜想:
    (1)∠BAD与∠CAD的大小关系;
    (2)AD与BC的位置关系.并证明你的结论.
    【思路点拨】
    (1)本题考查三角形中线的性质和三角形全等的判定与性质,灵活利用三角形全等判定,即可解题.
    (2)本题考查利用三角形全等的性质,再结合邻补角互补即可证明该题.
    【解题过程】
    (1)解:∠BAD=∠CAD,理由如下:
    ∵AD是BC边上的中线,
    ∴BD=CD,
    在△ABD与△ACD中,
    AB=ACAD=ADBD=CD
    ∴△ABD≌△ACDSSS,
    ∴∠BAD=∠CAD.
    (2)AD⊥BC,理由如下:
    证明:∵△ABD≌△ACD(已证),
    ∴∠ADB=∠ADC,
    ∵∠ADB+∠ADC=180°,
    ∴∠ADB=90°,
    ∴AD⊥BC.
    5.(23-24八年级上·吉林·阶段练习)如图,点A、B、C、D在同一条直线上,AB=CD,AE=DF,CE=BF.
    (1)求证:△AEC≌△DFB;
    (2)求证:AE∥DF;
    (3)若C是边BD的中点,且AC=2,将△AEC向右平移,点A的对应点A'与点D重合,则平移的距离为________.
    【思路点拨】
    本题考查了三角形全等的判定和性质,平行线的判定,平移,熟练掌握三角形的判定是解题的关键.
    (1)根据AB=CD得到AB+BC=CD+BC即AC=BD证明即可.
    (2)根据△AEC≌△DFB得到∠A=∠D,证明即可.
    (3)根据△AEC≌△DFB得到BD=AC=2,结合C是边BD的中点,得到BC=CD=12BD=1,平移距离AD=AC+CD=2+1=3,计算即可.
    【解题过程】
    (1)证明:∵AB=CD,
    ∴AB+BC=CD+BC,
    ∴AC=BD,
    又∵AE=DF,CE=BF,
    AE=DFCE=BFAC=BD,
    ∴△AEC≌△DFBSSS.
    (2)∵△AEC≌△DFB,
    ∴∠A=∠D,
    ∴AE∥DF.
    (3)∵△AEC≌△DFB,AC=2,
    ∴BD=AC=2,
    ∵C是边BD的中点,
    ∴BC=CD=12BD=1,
    ∴平移距离AD=AC+CD=2+1=3,
    故答案为:3.
    【题型二:“SAS”】
    6.(23-24八年级上·河南三门峡·阶段练习)如图,AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE,求证:△ABC≌△ADE.
    【思路点拨】
    本题主要考查了全等三角形的判定,熟练掌握全等三角形的判定即可得解,根据∠BAD=∠CAE,得∠BAC=∠DAE,利用全等三角形的判定即可得证.
    【解题过程】
    证明:∵∠BAD=∠CAE,
    ∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD,即∠BAC=∠DAE,
    在△ABC和△ADC中,
    AB=AD∠BAC=∠DAEAC=AE,
    ∴△ABC≌△ADESAS
    7.(22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期中)如图,点B,E,C,F在同一直线上,AB∥DE,AB=DE,BE=CF.求证:
    (1)△ABC≌△DEF;
    (2)AC∥DF.
    【思路点拨】
    本题主要考查全等三角形的性质与判定,熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键.
    (1)由题意易得BC=EF,然后根据“SAS”可判定全等;
    (2)根据全等三角形的性质可进行求证.
    【解题过程】
    (1)证明:∵BE=CF,
    ∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF,
    ∵AB∥DE,
    ∴∠B=∠DEF,
    在△ABC和△DEF中,
    AB=DE∠B=∠DEFBC=EF,
    ∴△ABC≌△DEFSAS;
    (2)证明:∵△ABC≌△DEF,
    ∴∠ACB=∠DFE,
    ∴AC∥DF.
    8.(23-24八年级上·重庆江津·期末)如图,C为线段BE上一点,AB∥DC,AB=EC,BC=CD.
    (1)求证:△ABC≌△ECD;
    (2)若∠B=35°,∠D=25°,求∠ACD的度数.
    【思路点拨】
    本题考查了平行线的性质,全等三角形的判定与性质.熟练掌握平行线的性质,全等三角形的判定与性质是解题的关键.
    (1)由AB∥DC,可得∠B=∠DCE.证明△ABC≌△ECDSAS即可;
    (2)由△ABC≌△ECD,可得∠DCE=∠B=35°,∠ACB=∠D=25°,根据∠ACD=180°−∠DCE−∠ACB,计算求解即可.
    【解题过程】
    (1)证明:∵AB∥DC,
    ∴∠B=∠DCE.
    在△ABC和△ECD中,
    ∵AB=EC∠B=∠DCEBC=CD,
    ∴△ABC≌△ECDSAS;
    (2)解:由(1)得△ABC≌△ECD,
    又∵∠B=35°,∠D=25°
    ∴∠DCE=∠B=35°,∠ACB=∠D=25°,
    ∴∠ACD=180°−∠DCE−∠ACB=120°,
    ∴∠ACD的度数为120°.
    9.(23-24八年级上·四川泸州·阶段练习)如图:已知AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.
    (1)求证:△ABD≌△ACE;
    (2)若∠1=30°,∠2=40°,求∠3的度数.
    【思路点拨】
    本题考查了全等三角形的判定与性质,三角形外角的性质,解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定,
    (1)根据SAS证明三角形全等即可;
    (2)由两三角形全等,可得∠ABD=∠2,∠BAD=∠1,再由三角形的外角性质即可解答.
    【解题过程】
    (1)证明:∵∠BAC=∠DAE,
    又∵∠BAC=∠BAD+∠CAD,∠DAE=∠EAC+∠CAD,
    ∴∠BAD=∠EAC,
    在△ABD和△ACE中,
    AB=AC∠BAD=∠EACAD=AE
    ∴△ABD≌△ACE(SAS);
    (2)解:∵△ABD≌△ACE
    ∴∠ABD=∠2,∠BAD=∠1,
    又∵∠3=∠ABD+∠BAD,
    ∴∠3=∠1+∠2=30°+40°=70°.
    10.(24-25八年级上·广西南宁·开学考试)如图,在△ABC中,D为AB上一点,E为AC中点,连接DE并延长至点F,使得EF=ED,连CF.
    (1)求证:CF∥AB
    (2)若∠A=70°,∠F=35°,BE⊥AC,求∠BED的度数.
    【思路点拨】
    (1)求出△AED≌△CEF,根据全等三角形的性质得出∠A=∠ACF,根据平行线的判定得出即可;
    (2)根据(1)求出∠A=∠ACF,根据三角形内角和定理求出即可.
    本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点,能综合运用定理进行推理是解此题的关键.
    【解题过程】
    (1)证明:∵E为AC中点,
    ∴AE=CE,
    在△AED和△CEF中,
    AE=CE∠AED=∠CEFDE=EF,
    ∴△AED≌△CEF(SAS),
    ∴∠A=∠ACF,
    ∴CF∥AB;
    (2)解:∵∠A=∠ACF=70°,∠F=35°,
    ∴∠AED=∠CEF=180°−70°−35°=75°,
    ∵BE⊥AC,
    ∴∠AEB=90°,
    ∴∠BED=90°−75°=15°.
    【题型三:“ASA”】
    11.(23-24九年级下·云南玉溪·阶段练习)已知:如图,AB∥ED,EF∥BC,点F、点C在AD上,AF=DC.求证:△ABC≌△DEF.

    【思路点拨】
    本题考查全等三角形的判定,根据平行线的性质得到∠A=∠D,∠EFD=∠ACB,再证明AC=DF,由“ASA”可证△ABC≌△DEF.
    【解题过程】
    证明:∵AB∥DE,EF∥BC,
    ∴∠A=∠D,∠EFD=∠ACB,
    ∵AF=CD,
    ∴AF+CF=CD+CF,即AC=DF,
    在△ABC和△DEF中,
    ∠ACB=∠EFDAC=DF∠A=∠D,
    ∴△ABC≌△DEFASA.
    12.(2024·陕西西安·模拟预测)如图,在△ABC中,AB>AC,点D在边AB上,且BD=CA,过点D作DE∥AC交BC于点F,连接BE,且∠DFB=∠ABE,求证:△ABC≌△DEB.
    【思路点拨】
    本题考查全等三角形的判定,关键是由平行线的性质推出∠A=∠BDE,∠C=∠DBE,掌握全等三角形的判定方法“ASA”是解题的关键.
    由平行线的性质推出∠A=∠BDE,∠C=∠BFD,而∠DFB=∠ABE,得到∠C=∠DBE,由ASA推出△ABC≌△DEB.
    【解题过程】
    证明:∵DE∥AC,
    ∴∠A=∠BDE,∠C=∠BFD,
    ∵∠DFB=∠ABE,
    ∴∠C=∠DBE,
    在△ABC和△DEB中,
    ∠C=∠DBEAC=BD∠A=∠BDE,
    ∴△ABC≌△DEB(ASA).
    13.(2024八年级上·全国·专题练习)如图, ∠A=∠B,AE=BE,点D在AC边上,∠1=∠2.求证:△AEC≌△BED
    【思路点拨】
    先证明∠BEO=∠2,则可得∠AEC=∠BED,然后根据ASA即可证明△AEC≌△BED.
    本题考查了全等三角形的判定,熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
    【解题过程】
    证明:如图,设AE和BD相交于点O,
    则∠AOD=∠BOE.
    在△AOD和△BOE中,
    ∠A=∠B,
    ∴∠BEO=∠2.
    又∵∠1=∠2,
    ∴∠1=∠BEO,
    ∴∠AEC=∠BED.
    在△AEC和△BED中,
    ∠A=∠BAE=BE∠AEC=∠BED,
    ∴△AEC≌△BED(ASA).
    14.(23-24八年级上·湖北武汉·期末)如图,△ABC中,AD是BC边上的中线,E,F为直线AD上的点,连接BE,CF,且BE∥CF.
    (1)求证:△BDE≌△CDF;
    (2)若AE=13,AF=7,试求DE的长.
    【思路点拨】
    本题考查了全等三角形的判定和性质;
    (1)利用中点性质可得BD=CD,由平行线性质可得∠DBE=∠DCF,再由对顶角相等可得∠BDE=∠CDF,即可证得结论;
    (2)由题意可得EF=AE−AF=6,再由全等三角形性质可得DE=DF,即可求得答案.
    【解题过程】
    (1)∵AD是BC边上的中线,
    ∴BD=CD,
    ∵BE∥CF,
    ∴∠DBE=∠DCF,
    在△BDE和△CD中,
    ∠DBE=∠DCFBD=CD∠BDE=∠CDF,
    ∴△BDE≌△CDFASA;
    (2)∵AE=13,AF=7,
    ∴EF=AE−AF=13−7=6,
    ∵△BDE≌△CDF,
    ∴DE=DF,
    ∵DE+DF=EF=6,
    ∴DE=3.
    15.(23-24七年级下·广东河源·期末)如图,AD=AE,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E.
    (1)求证:△ABE≌△ACD;
    (2)若AC=12,CD=8,BC=10,求BC边上的高的长度.
    【思路点拨】
    本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等面积法等知识点,关键是选择恰当的判定条件判定三角形全等成为解题的关键.
    (1)利用“ASA”即可证明结论;
    (2)由全等三角形的性质得到AB=AC=12,再利用等面积法求解即.
    【解题过程】
    (1)证明:∵CD⊥AB,BE⊥AC,
    ∴∠ADC=∠AEB=90°,
    在△ABE和△ADC中,
    ∠A=∠AAD=AE∠ADC=∠AEB=90°,
    ∴△ABE≌△ACDASA.
    (2)解:∵△ABE≌△ACD,
    ∴AB=AC=12,
    设BC边上的高的长度为ℎ,
    ∵12AB⋅CD=12BC⋅ℎ
    ∴12×12×8=12×10ℎ,
    解得:ℎ=485,
    ∴BC边上的高的长度为485.
    【题型四:“AAS”】
    16.(23-24八年级上·福建厦门·期中)如图,点E,C在线段BF上,∠A=∠D,AB∥DE,BC=EF.求证:△ABC≌△DEF.
    【思路点拨】
    本题考查了平行线的性质,三角形全等的判定方法,根据平行线的性质可得∠B=∠DEF,再利用AAS即可证明△ABC≌△DEF,掌握三角形全等的判定方法是解题的关键.
    【解题过程】
    证明:∵AB∥DE,
    ∴∠B=∠DEF,
    在△ABC和△DEF中,
    ∠A=∠D∠B=∠DEFBC=EF,
    ∴△ABC≌△DEFAAS.
    17.(23-24八年级下·广西柳州·开学考试)如图,已知A,F,E,C在同一直线上,AB∥CD,∠1=∠2,AF=CE.
    求证:△ABE≌△CDF.
    【思路点拨】
    本题考查了平行线的性质,全等三角形的判定,由AB∥CD,得∠BAE=∠DCF,再根据AF+EF=CE+EF得AE=CF,最后由AAS证明全等即可,掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
    【解题过程】
    证明:∵AB∥CD,
    ∴∠BAE=∠DCF,
    ∵AF=CE,
    ∴AF+EF=CE+EF,
    ∴AE=CF
    在△ABE和△CDF中,
    ∠BAE=∠DCF∠1=∠2AE=CF,
    ∴△ABE≌△CDFAAS.
    18.(2024·四川达州·模拟预测)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,BE⊥AF于点E,AD=BE,求证△BEA≌△ADF.
    【思路点拨】
    本题主要考查全等三角形的判定以及平行线的性质,熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键.根据题意证明∠ABE=∠FAD,根据AAS即可得到答案.
    【解题过程】
    证明:∵AB∥CD,
    ∴∠DAB+∠D=180°,
    ∵∠D=90°,
    ∴∠DAB=90°,
    ∵BE⊥AF,
    ∴∠AEB=90°,
    ∴∠ABE=90°−∠BAE=∠FAD,
    在△BEA和△ADF中,
    ∠ABE=∠FAD∠AEB=∠D=90°BE=AD,
    ∴△BEA≌△ADF(AAS).
    19.(23-24八年级下·广西南宁·开学考试)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠1=∠2,AB=EC.
    (1)求证:△ABD≌△ECB;
    (2)若∠1=20°,∠ADB=25°,求∠DEC的度数.
    【思路点拨】
    (1)由AD∥BC,得∠ADB=∠CBE,再根据“AAS”可证明△ABD≌△ECB;
    (2)由AD∥BC,得∠DBC=∠ADB=25°,再根据三角形外角的性质可得出答案;
    本题考查了全等三角形的判定和性质,平行线的性质,三角形的外角性质,熟练掌握知识点的应用是解题的关键.
    【解题过程】
    (1)证明:∵AD∥BC,
    ∴∠ADB=∠CBE,
    在△ABD和△ECB中,
    ∠ADB=∠CBE∠1=∠2AB=EC,
    ∴△ABD≌△ECBAAS;
    (2)∵AD∥BC,
    ∴∠DBC=∠ADB=25°,
    ∵∠2=∠1=20°,∠DBC=25°,
    ∴∠DEC=∠DBC+∠2=25°+20°=45°.
    20.(23-24八年级下·福建三明·期中)如图,在△ABC中,∠B=80°,将AB沿射线BC的方向平移至A'B',连接AA',设A'B'与AC的交点为O.
    (1)若B'为BC的中点,求证:△AOA'≌△COB';
    (2)若AC平分∠BAA',求∠C的度数.
    【思路点拨】
    此题考查了平移的性质和全等三角形的判定,角平分线的定义,三角形的内角和定理,掌握平移性质是解答的关键.
    (1)根据平移性质得到AA'∥BB',AA'=BB',从而得到∠OAA'=∠C,再根据B'为BC的中点,得到AA'=B'C,从而证明结论;
    (2)根据AC平分∠BAA',得到∠BAC=∠OAA',从而证明∠BAC=∠C.再根据三角形内角和定理以及∠B=80°,即可求解.
    【解题过程】
    (1)证明:∵A'B'由AB沿射线BC的方向平移所得,
    ∴AA'∥BB',AA'=BB',
    ∴∠OAA'=∠C,
    ∵B'为BC的中点,
    ∴BB'=B'C,
    ∴AA'=B'C.
    在△AOA'和△COB'中,
    ∠OAA'=∠C∠AOA'=∠COB'AA'=B'C,
    ∴△AOA'≌△COB'AAS;
    (2)解:∵AC平分∠BAA',
    ∴∠BAC=∠OAA',
    又∵∠OAA'=∠C,
    ∴∠BAC=∠C.
    ∵∠BAC+∠C+∠B=180°,∠B=80°,
    ∴∠C=12×180°−80°=50°.
    【题型五:“HL”】
    21.(23-24八年级下·河南郑州·阶段练习)如图,AB=CD,AF=CE,BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F,求证:Rt△ABE≌Rt△CDF.
    【思路点拨】
    本题主要考查了用HL证明三角形全等,先由垂直得出∠AEB=∠CFD=90°,再由线段的和差关系即可得出AE=CF,则可用HL证明Rt△ABE≌Rt△CDF.
    【解题过程】
    证明:∵BE⊥AC,DF⊥AC,
    ∴∠AEB=∠CFD=90°.
    ∵AF=CE,AF=AE+EF,CE=CF+EF,
    ∴AE=CF.
    在Rt△ABE和Rt△CDF中,
    AB=CD,AE=CF,
    ∴Rt△ABE≌Rt△CDFHL.
    22.(23-24八年级上·广西贺州·期末)如图,已知∠A=∠D=90°,E、F在线段BC上,DE与AF交于点O,且AF=DE,BE=CF.求证:Rt△ABF≌Rt△DCE
    【思路点拨】
    由于△ABF与△DCE是直角三角形,根据直角三角形全等的判定的方法即可证明.此题考查了直角三角形全等的判定,解题关键是由BE=CF通过等量代换得到BF=CE.
    【解题过程】
    证明:∵BE=CF,
    ∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE,
    ∵∠A=∠D=90°,
    ∴△ABF与△DCE都为直角三角形,
    在Rt△ABF和Rt△DCE中,
    BF=CEAF=DE,
    ∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL).
    23.(23-24八年级上·云南曲靖·期中)如图,在△ABC和△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,AB=A'B',AD与A'D'分别为BC,B'C'边上的中线,且CD=C'D',求证:△ABC≌△A'B'C'.
    【思路点拨】
    本题主要考查了全等三角形的判定,三角形中线的定义,先根据三角形中线的定义证明CB=C'B',再利用HL即可证明Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.
    【解题过程】
    证明:∵AD与A'D'分别为BC,B'C'边上的中线,
    ∴CB=2CD,C'B'=2C'D',
    ∵CD=C'D',
    ∴CB=C'B',
    在Rt△ABC和Rt△△A'B'C'中,
    AB=A'B'BC=B'C',
    ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'HL.
    24.(23-24八年级上·广西南宁·期中)已知,如图,点A、E、F、B在同一条直线上,CA⊥AB,DB⊥AB,AE=FB,CF=DE

    (1)求证:△CAF≌△DBE;
    (2)若∠AFC=25°,求∠D的度数
    【思路点拨】
    本题考查全等三角形的判定和性质,三角形内角和定理:
    (1)先证AF=BE,再证△CAF≌△DBEHL即可;
    (2)根据△CAF≌△DBE可得∠BED=∠AFC=25°,再根据三角形内角和定理即可求解.
    【解题过程】
    (1)证明:∵ CA⊥AB,DB⊥AB,
    ∴ △CAF和△DBE是直角三角形,
    ∵ AE=FB,
    ∴ AE+EF=FB+EF,即AF=BE,
    在Rt△CAF和Rt△DBE中,
    AF=BECF=DE,
    ∴ △CAF≌△DBEHL;
    (2)解:∵ △CAF≌△DBE,
    ∴ ∠BED=∠AFC=25°,
    ∵ DB⊥AB,
    ∴ ∠B=90°,
    ∴ ∠D=180°−∠B−∠BED=180°−90°−25°=65°.
    25.(23-24八年级下·全国·假期作业)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,BC=5,线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动,当AP的长为何值时,△ABC与△PQA全等?
    【思路点拨】
    本题考查全等三角形的判定,分AP=BC和AP=AC两种情况,进行讨论求解即可.
    【解题过程】
    解:∵AO⊥AC,
    ∴∠PAQ=90°=∠C,
    当AP=BC=5时:
    ∵AP=BC=5,PQ=AB,
    ∴△ACB≌△QAPHL;
    当AP=AC=10时:
    ∵AP=AC=10,PQ=AB,
    ∴△ACB≌△PAQHL;
    综上:当AP的长为5或10时,△ABC和△PQA全等.

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