人教版（2024）八年级上册13.1.1 轴对称巩固练习

这是一份人教版（2024）八年级上册13.1.1 轴对称巩固练习，共38页。
正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。
逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。
典例分析

【典例1】“将军饮马问题”：如图1所示，将军每天从山脚下的A点出发，走到河旁边的C点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．
解法：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，则A'B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为线段A'B的长．
（1）根据上面的描述，在备用图中画出解决“将军饮马问题”的图形；
（2）利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是__________________；
（3）应用：①如图2，已知∠AOB=30°，其内部有一点P，OP=12，在∠AOB的两边分别有C、D两点（不同于点O），使△PCD的周长最小，请画出草图，并求出△PCD周长的最小值；
②如图3，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上的中线且BF=b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是______，此时∠CFE=______．
【思路点拨】
（1）根据轴对称的性质作出图形；
（2）根据两点之间线段最短解答；
（3）①分别作P关于OA、OB的对称点M、N，根据轴对称的性质得到△PCD，根据等边三角形的判定定理和性质定理解答；②根据等边三角形的性质可证△BAD≌△CAESAS，根据全等的性质和三线合一可得∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，所以点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），作点A关于CE的对称的M，连接FM交CE于E'，此时AE+EF的值最小，此时AE+EF=FM，所以△AEF周长的最小值是AF+AE+EF=AF+MF=12a+b，∠CFE=90°．
【解题过程】
（1）解：作图如下：
（2）利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短；
（3）①分别作P关于OA、OB的对称点M、N，
连接MN，交OA、OB于C、D，则△PCD的周长最小，
连接OM、ON，如图，
由轴对称的性质可知，OM=OP=12，ON=OP=12，CP=CM，DP=DN，
∠MON=2∠AOB=60°，
∴△MON为等边三角形，
∴MN=12，
∴△PCD的周长=PC+CD+DC=CM+CD+DN=MN=12；
②∵△ABC、△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAESAS，
∴∠ABD=∠ACE，
∵AF=CF，
∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，
∴点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），
作点A关于CE的对称的M，连接FM交CE于E'，如图，
此时AE+EF的值最小，此时AE+EF=FM，
∵CA=CM，∠ACM=60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴△ACM≌△ACB，
∴FM=FB=b，
∴△AEF周长的最小值是AF+AE+EF=AF+MF=12a+b，∠CFE=90°．
学霸必刷
1．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，BC=10，CD平分∠BCA交AB于点D，点P，Q分别是CD，AC上的动点，连接AP，PQ，则AP+PQ的最小值是（ ）
A．6B．5C．4.8D．4
2．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在锐角△ABC中，AB=15,△ABC的面积为90，BD平分∠ABC，若E、F分别是BD、BC上的动点，则CE+EF的最小值为（ ）
A．12B．15C．18D．9
3．（23-24八年级上·安徽·单元测试）如图，在锐角△ABC中，BC=4,∠ABC=30°,∠ABD=15°，点D在边AC上，点P、Q分别在线段BD、BC上运动，则PQ+PC的最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（23-24八年级上·湖北荆门·单元测试）如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=BC，BC上方有一动点P满足S△PBC=12S△ABC，则点P到B、C两点距离之和最小时，∠PBC的度数为（ ）

A．60°B．45°C．30°D．不确定
5．（23-24八年级上·福建莆田·期中）如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=142°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE．在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（ ）

A．76°B．84°C．96°D．109°
6．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，∠AOB=18°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ=α，∠PQN=β，当MP+PQ+QN最小时，则β−α= ．
7．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，已知∠AOB=30°，点P是射线OA上的一个动点，点M是射线OB上的一个定点，PQ为点P到OB边的距离，则当PM+PQ最小时，PMPQ= ．
8．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，射线l⊥线段BC，垂足为B，AD⊥BC，垂足为D，AD=4，DC=3，BD=2．点E为射线l上的一动点，当△AED的周长最小时，S△EDC= ．
9．（23-24八年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，点E在等边三角形ABC的边BC上，BE=4，射线CD⊥BC，垂足为C，P是射线CD上一动点，F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=6，则AB的长为 ．
10．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=150°，点P，Q分别在边AB，BC上，则AQ+PQ的最小值为 ．
11．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，P为边BC上方的一个动点．△PBC的面积等于△ABC的面积的12，则当PB+PC最小时，∠PCB的度数为 ．
12．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，∠AOB=45°，OC平分∠AOB，点M为OB上一定点，P为OC上的一动点，N为OB上一动点，当PM+PN最小时，则∠PMO的度数为 ．
13．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是BC边上的中线且AD=12，F是AD上的动点，E是AC边上的动点，则CF+EF的最小值为 ．
14．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，锐角△ABC中，∠A=30°，BC=72，△ABC的面积是6，D，E，F分别是三边上的动点，则△DEF周长的最小值是 ．
15．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在面积为458的锐角△ABC中，AB=52，∠C=30°，D是△ABC内部一点，E，F分别是边BC,AC上的动点，连接AD,BD,DE,DF,EF．若△ABD的面积为1，则△DEF周长的最小值为 ．
16．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，点P在∠AOB内部，点M，N分别是边OA，OB上的动点，点M，N不与点O重合．
（1）若将点P在∠AOB的内部移动位置，使OP平分∠AOB，当PN∥OA，ON=2时，PN的长等于 ；
（2）若∠AOB=60°，OP=a，随着点M，N位置的变动，当△PMN周长最小时，点O到直线MN的距离等于 ．（用含a的代数式表示）
17．（2023八年级上·全国·专题练习）将军要检阅一队士兵，要求（如图所示）；队伍长为a，沿河OB排开（从点P到点Q）；将军从马棚M出发到达队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N．问：在什么位置列队（即选择点P和Q），可以使得将军走的总路程MP+PQ+QN最短？
18．（23-24八年级上·广西桂林·期中）数学模型学习与应用：
白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．——《古从军行》唐李欣
模型学习：诗中隐含着一个有趣的数学问题，我们称之为“将军饮马”问题．关键是利用轴对称变换，把直线同侧两点的折线问题转化为直线两侧的线段问题，“将军饮马”问题的数学模型如图1所示：在直线l上存在点P，使PA+PB的值最小．
作法：作A点关于直线l的对称点A'，连接A'B，A'B与直线l的交点即为点P．此时PA+PB的值最小．
模型应用：
（1）如图2，已知△ABC为等边三角形，高AH=8cm，P为AH上一动点，D为AB的中点．
①当PD+PB的最小值时，在图中确定点P的位置（要有必要的画图痕迹，不用写画法）．
②则PD+PB的最小值为 cm．
模型变式：
（2）如图3所示，某地有块三角形空地AOB，已知∠AOB=30°，P是△AOB内一点，连接PO后测得PO=10米，现当地政府欲在三角形空地AOB中修一个三角形花坛PQR，点Q，R分别是OA，OB边上的任意一点（不与各边顶点重合），求△PQR周长的最小值．

19．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）在△ABC中，∠B=90°，D为BC延长线上一点，点E为线段AC，CD的垂直平分线的交点，连接EA，EC，ED．
（1）如图1，当∠BAC=50°时，则∠AED=______°；
（2）当∠BAC=60°时，
①如图2，连接AD，判断△AED的形状，并证明；
②如图3，直线CF与ED交于点F，满足∠CFD=∠CAE，AC=2AB．P为直线CF上一动点．当PE−PD的值最大时，请探究表示PE，PD与AB之间的数量关系并说明理由．
20．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图1，△ABC为等腰三角形，AB=AC，D是线段BC的中点，过点D作射线DE和射线DF，分别交边AB，AC于点E，F，∠AED+∠AFD=180°．
（1）∠AED与∠CFD相等吗？为什么？
（2）DE与DF相等吗？为什么？
（3）如图2，若∠A=120°，∠EDF=60°，AB=10，试求EF+EC的最小值．（在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）
专题13.4 轴对称中的最值问题
思维方法
正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。
逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。
典例分析

【典例1】“将军饮马问题”：如图1所示，将军每天从山脚下的A点出发，走到河旁边的C点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．
解法：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，则A'B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为线段A'B的长．
（1）根据上面的描述，在备用图中画出解决“将军饮马问题”的图形；
（2）利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是__________________；
（3）应用：①如图2，已知∠AOB=30°，其内部有一点P，OP=12，在∠AOB的两边分别有C、D两点（不同于点O），使△PCD的周长最小，请画出草图，并求出△PCD周长的最小值；
②如图3，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上的中线且BF=b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是______，此时∠CFE=______．
【思路点拨】
（1）根据轴对称的性质作出图形；
（2）根据两点之间线段最短解答；
（3）①分别作P关于OA、OB的对称点M、N，根据轴对称的性质得到△PCD，根据等边三角形的判定定理和性质定理解答；②根据等边三角形的性质可证△BAD≌△CAESAS，根据全等的性质和三线合一可得∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，所以点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），作点A关于CE的对称的M，连接FM交CE于E'，此时AE+EF的值最小，此时AE+EF=FM，所以△AEF周长的最小值是AF+AE+EF=AF+MF=12a+b，∠CFE=90°．
【解题过程】
（1）解：作图如下：
（2）利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短；
（3）①分别作P关于OA、OB的对称点M、N，
连接MN，交OA、OB于C、D，则△PCD的周长最小，
连接OM、ON，如图，
由轴对称的性质可知，OM=OP=12，ON=OP=12，CP=CM，DP=DN，
∠MON=2∠AOB=60°，
∴△MON为等边三角形，
∴MN=12，
∴△PCD的周长=PC+CD+DC=CM+CD+DN=MN=12；
②∵△ABC、△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAESAS，
∴∠ABD=∠ACE，
∵AF=CF，
∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，
∴点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），
作点A关于CE的对称的M，连接FM交CE于E'，如图，
此时AE+EF的值最小，此时AE+EF=FM，
∵CA=CM，∠ACM=60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴△ACM≌△ACB，
∴FM=FB=b，
∴△AEF周长的最小值是AF+AE+EF=AF+MF=12a+b，∠CFE=90°．
学霸必刷
1．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，BC=10，CD平分∠BCA交AB于点D，点P，Q分别是CD，AC上的动点，连接AP，PQ，则AP+PQ的最小值是（ ）
A．6B．5C．4.8D．4
【思路点拨】
本题考查了轴对称——最短路线问题、角平分线的性质，解此题的关键是根据轴对称的性质找出P点．如图，作点Q关于直线CD的对称点Q'，作AM⊥BC于M.由PA+PQ=PA+PQ'，推出根据垂线段最短可知，当A，P，Q'共线，且与AM重合时，PA+PQ的值最小，最小值=线段AM的长，根据三角形的面积即可求得线段AM的长．
【解题过程】
解：如图中，
作点Q关于直线CD的对称点Q'，作AM⊥BC于M，
∵PA+PQ=PA+PQ'，
∴根据垂线段最短可知，当A，P，Q'共线，且与AM重合时，PA+PQ的值最小，最小值=线段AM的长．
∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，BC=10，AC=8，
∴AM=AB⋅ACBC=6×810=4.8．
故选：C．
2．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在锐角△ABC中，AB=15,△ABC的面积为90，BD平分∠ABC，若E、F分别是BD、BC上的动点，则CE+EF的最小值为（ ）
A．12B．15C．18D．9
【思路点拨】
本题主要考查轴对称的性质等知识，熟练掌握“将军饮马”模型是解题的关键．
如图：在BA上取一点G，使BG=BF，连接CG，EG，作CH⊥AB于H，可得出CE+CF=CE+EG≥CG≥CH得到CE+EF的最小值为CH的长，再求出CH的长即可．
【解题过程】
解：如图：在BA上取一点G，使BG=BF，连接CG，EG，作CH⊥AB于H，
∵BD平分∠ABC，
∴直线BD是∠ABC的对称轴，
∴EG=EF，
∴CE+CF=CE+EG≥CG≥CH，
∴CE+EF的最小值为CH的长，
∵AB=15，△ABC的面积为90，
∴12AB⋅CH=12×15×CH=90，解得：CH=12，
∴CE+EF的最小值为：12．
故选：C．
3．（23-24八年级上·安徽·单元测试）如图，在锐角△ABC中，BC=4,∠ABC=30°,∠ABD=15°，点D在边AC上，点P、Q分别在线段BD、BC上运动，则PQ+PC的最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【思路点拨】
本题考查了轴对称-最短路径问题、角平分线的性质定理，30°的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短路径问题，作点Q关于BD的对称点M，连接CM，当CM⊥AB时．此时PQ+PC取得最小值．
【解题过程】
解：∵∠ABC=30°,∠ABD=15°，
∴BD是∠ABC的平分线，
作点Q关于BD的对称点M，连接PM、CM，
由对称的性质可知，PQ=PM,∠QBP=∠MBP=15°
∴PQ+PC=PM+PC≥CM，
∵∠QBP=∠MBP=15°,
∴∠QBP+∠MBP=30°,
∵∠ABC=30°,
∴M在AB上
由垂线段最短可知：当CM⊥AB时．CM取得最小值，
∴此时PQ+PC也取得最小值．
∵CM⊥AB，
∴∠BMC=90°，
∵∠ABC=30°
∴CM=12BC=2
∴PQ+PC的最小值为：2．
故选：B．
4．（23-24八年级上·湖北荆门·单元测试）如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=BC，BC上方有一动点P满足S△PBC=12S△ABC，则点P到B、C两点距离之和最小时，∠PBC的度数为（ ）

A．60°B．45°C．30°D．不确定
【思路点拨】
本题主要考查了轴对称变换−最短距离问题，根据三角形的面积关系得出点P在过AD的中点E且平行于BC的直线l上是解决此题的关键．
根据S△PBC=12S△ABC得出点P到BC的距离等于AD的一半，即点P在过AD的中点且平行于BC的直线l上，则此问题转化成在直线l上求作一点P，使得点P到B、C两点距离之和最小，作出点C关于直线l的对称点C'，连接BC'，然后根据条件证明BCC'是等腰直角三角形即可得出∠PBC的度数．
【解题过程】
解：∵SΔPBC=12SΔABC，
∴点P到BC的距离=12AD，
∴点P在过AD的中点E且平行于BC的直线l上，
作C点关于直线l的对称点C'，连接BC'，交直线l于点P，

则点P即为到B、C两点距离之和最小的点，
∵AD⊥BC，E为AD的中点，l∥BC，点C和点C'关于直线l对称，
∴CC'=AD=BC，CC'⊥BC，
∴三角形BCC'是等腰直角三角形，
∴∠PBC=45°．
故选：B．
5．（23-24八年级上·福建莆田·期中）如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=142°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE．在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（ ）

A．76°B．84°C．96°D．109°
【思路点拨】
本题考查了最短路线问题．延长AB至A'，使A'B=AB，延长AE至A″，使A″E=AE，则BC垂直平分AA'，DE垂直平分AA″，所以AM=A'M，A″N=AN，△ABC的周长为AM+MN+AN，要使其周长最小，即使A'M+MN+A″N最小，设∠MAA'=x，则∠AMN=2x，设∠NAA″=y，则∠ANM=2y，在△AA'A″中，利用三角形内角和定理，可以求出x+y=38°，进一步可以求出∠AMN+∠ANM的值．
【解题过程】
解：如图，延长AB至A'，使A'B=AB，

延长AE至A″，使A″E=AE，
则BC垂直平分AA'，DE垂直平分AA″，
∴AM=A'M，AN=A″N，
根据两点之间，线段最短，
当A'，M，N，A″四点在一条直线时，A'M+MN+NA″最小，
则AM+MN+AN的值最小，
即△AMN的周长最小，
∵AM=A'M，AN=A″N，
∴可设∠MAA'=∠MA'A=x，∠NAA″=∠NA″A=y，
在△AA'A″中，x+y=180°−∠BAE=180°−142°=38°，
∵∠AMN=∠MAA'+∠MA'A=2x，∠ANM=2y，
∴∠AMN+∠ANM=2x+2y=76°，
故选：C．
6．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，∠AOB=18°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ=α，∠PQN=β，当MP+PQ+QN最小时，则β−α= ．
【思路点拨】
本题考查轴对称−最短问题、三角形外角的性质．作M关于OB的对称点M'，N关于OA的对称点N'，连接M'N'交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小易知∠OPM=∠OPM'=∠NPQ，∠OQP=∠AQN'=∠AQN，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论．
【解题过程】
解：如图，作M关于OB的对称点M'，N关于OA的对称点N'，连接M'N'交OA于Q，交OB于P，当M'，N'，Q三点共线时，MP+PQ+QN最小，
∴∠OPM=∠OPM'=∠NPQ=12180°−α，∠OQP=∠AQN'=∠AQN=12180°−β，
∴∠QPN=∠OPM'=12180°−α=∠AOB+∠MQP=18°+12180°−β，
∴180°−α=36°+180°−β，
∴β−α=36°，
故答案为：36°．
7．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，已知∠AOB=30°，点P是射线OA上的一个动点，点M是射线OB上的一个定点，PQ为点P到OB边的距离，则当PM+PQ最小时，PMPQ= ．
【思路点拨】
作点M关于OA的对称点M'，连接OM',PM'，得到PM+PQ=M'P+PQ≥M'Q，进而得到当M'，P，Q三点共线时，PM+PQ最小，推出△OMM'为等边三角形，OPM'为等腰三角形，利用含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可．
【解题过程】
解：作点M关于OA的对称点M'，连接OM',PM'，则：OM=OM',PM=PM',∠MOA=∠M'OA=30°，
∴∠M'OM=60°，PM+PQ=M'P+PQ≥M'Q，
∴△OMM'为等边三角形，当M'，P，Q三点共线时，PM+PQ最小，
∴∠OM'M=60°，
∵PQ为点P到OB边的距离，
∴PQ⊥OB，
∴M'Q⊥OM，
∴∠OM'Q=30°=∠M'OP，
∴PM=PM'=OP，
∵∠AOB=30°，PQ⊥OB，
∴PM=PM'=OP=2PQ
∴PMPQ=2；
故答案为：2．
8．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，射线l⊥线段BC，垂足为B，AD⊥BC，垂足为D，AD=4，DC=3，BD=2．点E为射线l上的一动点，当△AED的周长最小时，S△EDC= ．
【思路点拨】
本题考查了轴对称的性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积公式，作点D关于l的对称点D'，连接AD'交l于点E'，连接DE'，CE'，则DE'=D'E'，BD=BD'=2，证明出△ADD'、△D'BE为等腰直角三角形，得出BD'=BE'=2，当A、E'、D'在同一直线上时，△AED的周长最小，最后由三角形面积公式计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【解题过程】
解：如图，作点D关于l的对称点D'，连接AD'交l于点E'，连接DE'，CE'，
则DE'=D'E'，BD=BD'=2，
∴DD'=BD+BD'=2+2=4=AD，
∴△ADD'是等腰直角三角形，
∴∠AD'D=45°，
∴△D'BE是等腰直角三角形，
∴BD'=BE'=2，
∵ △AED的周长=AD+AE+DE，
∴当A、E'、D'在同一直线上时，△AED的周长最小，AD+DE'+AE'=AD+D'E'+AE'=AD+AD'，
∴当△AED的周长最小时，S△EDC=12×CD×BE'=12×3×2=3，
故答案为：3．
9．（23-24八年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，点E在等边三角形ABC的边BC上，BE=4，射线CD⊥BC，垂足为C，P是射线CD上一动点，F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=6，则AB的长为 ．
【思路点拨】
本题主要考查轴对称一最短路径，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，根据题意，作点E关于CD的对称点E'，连接PE'，当点E'，P，F三点共线，E'F⊥AB时，EP+FP的值最小，由此即可求解．
【解题过程】
解：如图所示，作点E关于CD的对称点E′，连接PE'，
∴PE=PE'，CE=CE'，
∴EP+FP=PE'+PF≥E'F，
当点E'，P，F三点共线，E'F⊥AB时，EP+FP的值最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60，AB=BC=AC，
∵E'F⊥AB，
∴∠FE'B=90°−∠B=90°−60°=30°，
∴BE'=2BF，
∵BF=6，BE=4，
∴BE'=2BF=12，
∵CE=CE'，
∴12=2CE+BE=2CE+4，
解得，CE=4，
∴AB=BC=4+4=8，
故答案为：8．
10．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=150°，点P，Q分别在边AB，BC上，则AQ+PQ的最小值为 ．
【思路点拨】
作点A关于直线BC的对称点E，连接EB、AE、PE，作EF⊥AB于点F，由AB=AC=8，∠BAC=150°，求得∠ABC=∠C=15°，EB=AB=8，则∠ABE=30°，所以EF=12EB=4，由EQ+PQ≥PE，PE≥EF，且EQ=AQ，得AQ+PQ≥4，即可得出答案．
【解题过程】
解：作点A关于直线BC的对称点E，连接EB、AE、PE，作EF⊥AB于点F，
∵AB=AC=8，∠BAC=150°，
∴∠ABC=∠C=12×180°−150°=15°，
∵BC垂直平分AE，
∴EB=AB=8，
∴∠EBC=∠ABC=15°，
∴∠ABE=2∠ABC=30°，
∵∠BFE=90°，
∴EF=12EB=4，
∵EQ+PQ≥PE，PE≥EF，且EQ=AQ，
∴AQ+PQ≥EF，
即AQ+PQ≥4，
∴AQ+PQ的最小值为4．
故答案为：4．
11．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，P为边BC上方的一个动点．△PBC的面积等于△ABC的面积的12，则当PB+PC最小时，∠PCB的度数为 ．
【思路点拨】
由三角形面积关系得出P在与BC平行，且到BC的距离为12AC的直线l上，l∥BC，作点B关于直线l的对称点B'，连接B'C交l于P，则BB'⊥l，PB＝PB'，此时点P到B、C两点距离之和最小，然后证明△BB′C≌△CAB（SAS），得出∠B′CB＝∠ABC，然后由已知求出∠ABC＝70°即可．
【解题过程】
解：∵△PBC的面积等于△ABC的面积的12，∠ACB＝90°，
∴P在与BC平行，且到BC的距离为12AC的直线l上，
∴l∥BC，
作点B关于直线l的对称点B'，连接B'C交l于P，BB′交l于D，如图所示：
则BB'⊥l，PB＝PB'，此时点P到B、C两点距离之和最小，
∵BB′⊥l，l∥BC，
∴BB′⊥BC，即∠B′BC＝90°，
∵BD＝B′D＝12BB′，BD＝12AC，
∴BB′＝AC，
又∵BC＝BC，
∴△BB′C≌△CAB（SAS），
∴∠B′CB＝∠ABC，
∵∠ACB＝90°，∠A＝20°，
∴∠B′CB＝∠ABC＝70°，
即∠PCB＝70°，
故答案为：70°．
12．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，∠AOB=45°，OC平分∠AOB，点M为OB上一定点，P为OC上的一动点，N为OB上一动点，当PM+PN最小时，则∠PMO的度数为 ．
【思路点拨】
找到点M关于OC对称点M'，过点M'作M'N⊥OB于点N，交OC干点P，则此时PM+PN的值最小．
【解题过程】
解：如图，作点M关于OC对称点M'，
∵OC平分∠AOB，
∴点M'一定在OA上，
过点M'作M'N'⊥OB于点N'，交OC干点P，则此时PM+PN的值最小
∵PM=PM'，
∴此时PM+PN=PM'+PN'=M'N'，
∵点M与点M'关于OC对称，
∴OM=OM'，
∵∠AOB=45°，
∴∠PM'O=∠AOB=45°，
∴∠PMO=∠PM'O=45°，
故答案为45°．
13．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是BC边上的中线且AD=12，F是AD上的动点，E是AC边上的动点，则CF+EF的最小值为 ．
【思路点拨】
本题考查了轴对称—最短路线问题，等腰三角形的性质，垂线段最短，作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于F，连接EF，过C作CN⊥AB于N，根据三线合一定理求出BD的长和AD⊥BC，根据三角形面积公式求出CN，根据对称性求出CF+EF=CM，根据垂线段最短得出CF+EF≥12013，即可得出答案．
【解题过程】
解：作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于F，连接EF，过C作CN⊥AB于N，
，
∵AB=AC=13，BC=10，AD是BC边上的中线，
∴BD=DC=5，AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴M在AB上，
在Rt△ABD中，AD=12，
∴S△ABC=12BC×AD=12AB×CN，
∴CN=BC×ADAB=10×1213=12013，
∵E关于AD的对称点M，
∴EF=FM，
∴CF+EF=CF+FM=CM，
根据垂线段最短得出：CM≥CN，
即CF+EF≥12013，
即CF+EF的最小值是12013，
故答案为：12013．
14．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，锐角△ABC中，∠A=30°，BC=72，△ABC的面积是6，D，E，F分别是三边上的动点，则△DEF周长的最小值是 ．
【思路点拨】
根据对称性质，将△DEF周长转换为一条直线，如图所示（见详解），作点E关于AB的对称点M，作点E关于AC的对称点N，连接AM，AE，AN，三角形AMN是等边三角形，△DEF周长DE+DF+EF=MN，即MN最小就是AE的值最小，△ABC的面积是6，BC=72，由此即可求解．
【解题过程】
解：如图所示，作点E关于AB的对称点M，作点E关于AC的对称点N，连接AM，AD，AN，
∴AM=AE=AN，即AB是EM的垂直平分线，AC是EN的垂直平分线，且∠MAB=∠BAE，∠CAE=∠CAN
∵∠BAC=∠BAE+∠EAC=30°，
∴∠MAN=∠MAB+∠BAE+∠EAC+∠CAN，即∠MAN=2(∠BAE+∠EAC)=2×30°=60°，
∴三角形AMN是等边三角形，
∴AM=AN=MN=AE，
∴当点M,D,F,N在一条直线上时，△DEF周长DE+DF+EF=MN，即MN最小就是AD的值最小，
根据点到直线垂线段最短，可知当AE⊥BC时，AE最小，即△DEF周长最小，
∵△ABC的面积是6，BC=6，即S△ABC=12BC⋅AE=12×72AD=6，
∴AD=247，即△DEF周长最小247，
故答案为：247．
15．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在面积为458的锐角△ABC中，AB=52，∠C=30°，D是△ABC内部一点，E，F分别是边BC,AC上的动点，连接AD,BD,DE,DF,EF．若△ABD的面积为1，则△DEF周长的最小值为 ．
【思路点拨】
作点D关于BC的对称点N，关于AC的对称点M，连接CD,CM,CN,MN,EN,FM，易证△CMN为等边三角形，得到MN=CD，根据△DEF的周长=DE+DF+EF=FM+EN+EF≥MN，进而得到当M,E,F,N四点共线时，△DEF的周长最小，为MN的长，即为CD的长，进而得到当CD最小时，△DEF的周长最小，过点C作CP⊥AB，过点D作DQ⊥AB，根据三角形的面积公式求出CP,DQ的长，进而得到点D在平行于AB且距离等于DQ的直线HG上，进而得到当D为HG与CP的交点时，CD的长度最小，进行求解即可．
【解题过程】
解：作点D关于BC的对称点N，关于AC的对称点M，连接CD,CM,CN,MN,EN,FM，
则：CD=CN=CM,EN=DE,DF=FM,∠DCE=∠NCE,∠DCF=∠MCF，
∴∠DCE+∠NCE+∠DCF+∠MCF=2∠ACB=60°，
∴△CMN为等边三角形，
∴MN=CN=CD，
∴△DEF的周长=DE+DF+EF=FM+EN+EF≥MN，
∴当M,E,F,N四点共线时，△DEF的周长最小，为MN的长，即为CD的长，
∴当CD最小时，△DEF的周长最小，
过点C作CP⊥AB，过点D作DQ⊥AB，
∴S△ABC=12AB⋅CP=12×52CP=458，S△ABD=12AB⋅DQ=12×52DQ=1，
∴CP=92，DQ=45，
∴点D在平行于AB且距离等于45的直线HG上，
∴当D为HG与CP的交点时，CD的长度最小，
此时CD=92−45=3710，
∴△DEF周长的最小值为3710；
故答案为：3710．
16．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，点P在∠AOB内部，点M，N分别是边OA，OB上的动点，点M，N不与点O重合．
（1）若将点P在∠AOB的内部移动位置，使OP平分∠AOB，当PN∥OA，ON=2时，PN的长等于 ；
（2）若∠AOB=60°，OP=a，随着点M，N位置的变动，当△PMN周长最小时，点O到直线MN的距离等于 ．（用含a的代数式表示）
【思路点拨】
本题考查了轴对称最短线路问题、平行线性质、等腰三角形的判定和性质等知识点，作辅助线找到M，N的位置是解题的关键．
（1）如图：OP平分∠AOB，当PN∥OA，，得到∠NOP=∠NPO，根据等腰三角形的判定即可解答．
（2）如图：作P关于OA，OB的对称点C，D，连结CD，交OA，OB于M，N两点，作OE⊥CD于E．此时当△PMN周长最小时，OC=OP=OD=a,∠COD=120°，可求垂线段OE的长即可．
【解题过程】
解：（1）如图：∵OP平分∠AOB，
∴∠BOP=∠AOP，
∵PN∥OA，
∴∠AOP=∠NPO，
∴∠BOP=∠NPO，
∴ON=PN=2．
故答案为：2．
（2）如图：作P关于OA，OB的对称点C，D，连结CD，交OA，OB于M，N两点，作OE⊥CD于E．
∴NC=NP，MD=MP，
∴△PMN周长=PM+PN+MN=NC+MD+MN=CD，
假设随着点M，N位置的变动，M'，N'不在CD上时，CN'+MN+DM'＞CD，
∴△PMN周长的最小值=CD．
∵作P关于OA，OB的对称点C，D，
∴OB垂直平分PC，
∴OC=OP，∠COP=∠BOP，
同理：OP=OD，∠AOP=∠DOP，
∵∠AOB=60°，
∴∠COD=120°，
∵OC=OD=a,
∴∠OCD=∠ODC=30°，
∵OE⊥CD，
∴OE=12a，
∴点O到直线MN的距离等于12a．
故答案为：12a．
17．（2023八年级上·全国·专题练习）将军要检阅一队士兵，要求（如图所示）；队伍长为a，沿河OB排开（从点P到点Q）；将军从马棚M出发到达队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N．问：在什么位置列队（即选择点P和Q），可以使得将军走的总路程MP+PQ+QN最短？
【思路点拨】
MP+PQ+QN的值最小，其中PQ是定值a，问题转化为MP+QN最小，先作ME∥OB，使得ME=a，再作对称点，连接对称点和N即可求解．
【解题过程】
解：如图，作ME∥OB，使得ME=a，作点E关于OB的对称点F，连接FN交OB于点Q，在OQ上截取QP=a，连接MP，线路M→P→Q→N时，MP+PQ+QN的值最小，
．
18．（23-24八年级上·广西桂林·期中）数学模型学习与应用：
白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．——《古从军行》唐李欣
模型学习：诗中隐含着一个有趣的数学问题，我们称之为“将军饮马”问题．关键是利用轴对称变换，把直线同侧两点的折线问题转化为直线两侧的线段问题，“将军饮马”问题的数学模型如图1所示：在直线l上存在点P，使PA+PB的值最小．
作法：作A点关于直线l的对称点A'，连接A'B，A'B与直线l的交点即为点P．此时PA+PB的值最小．
模型应用：
（1）如图2，已知△ABC为等边三角形，高AH=8cm，P为AH上一动点，D为AB的中点．
①当PD+PB的最小值时，在图中确定点P的位置（要有必要的画图痕迹，不用写画法）．
②则PD+PB的最小值为 cm．
模型变式：
（2）如图3所示，某地有块三角形空地AOB，已知∠AOB=30°，P是△AOB内一点，连接PO后测得PO=10米，现当地政府欲在三角形空地AOB中修一个三角形花坛PQR，点Q，R分别是OA，OB边上的任意一点（不与各边顶点重合），求△PQR周长的最小值．

【思路点拨】
此题是几何变换综合题，考查轴对称的性质和最短路径问题，
（1）①根据轴对称的性质点B，C关于AH对称，进而连接CD交AH于点P即可；
②根据轴对称的性质BP=CP，进而解答即可；
（2）分别作点P关于OA，OB的对称点M，N，连接OM，ON，MN，MN交OA，OB于点Q，R，连接PR，PQ，此时ΔPQR周长的最小值等于MN，利用轴对称的性质解答即可．
解题的关键是根据轴对称的性质得出线段相等解答．
【解题过程】
（1）①如图所示点P为所求的点：

②∵B，C关于AH对称，
∴BP=PC，
∴PD+PB=CD，
∴PD+PB的最小值=CD=AH=8cm，
故答案为：8；
（2）如图所示，分别作点P关于OA，OB的对称点M，N，连接OM，ON，MN，MN交OA，OB于点Q，R，连接PR，PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN．

由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，
∴∠MON=2∠AOB=2×30°=60°，
则△MON为等边三角形，
即NM=ON=OP=10cm．
即ΔPQR周长的最小值等于10cm．
19．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）在△ABC中，∠B=90°，D为BC延长线上一点，点E为线段AC，CD的垂直平分线的交点，连接EA，EC，ED．
（1）如图1，当∠BAC=50°时，则∠AED=______°；
（2）当∠BAC=60°时，
①如图2，连接AD，判断△AED的形状，并证明；
②如图3，直线CF与ED交于点F，满足∠CFD=∠CAE，AC=2AB．P为直线CF上一动点．当PE−PD的值最大时，请探究表示PE，PD与AB之间的数量关系并说明理由．
【思路点拨】
（1）利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，四边形内角和定理解决问题即可；
（2）①证明EA=ED，∠AED=60°即可推出△AED为等边三角形；②作点D关于直线CF的对称点D'，连接CD'，DD'，ED'．当点P在ED'的延长线上时，PE−PD的值最大，此时PE−PD=ED'，再利用全等三角形的性质证明ED'=AC，可得结论．
【解题过程】
（1）解：∵点E为线段AC，CD的垂直平分线的交点，
∴EA=EC=ED，
∴∠EAC=∠ECA，∠ECD=∠EDC．
∵∠ABC=90°，∠BAC=50°，
∴∠ACB=90°−50°=40°，
∴∠ACD=180°−40°=140°，
∴∠EAC+∠ACD+∠EDC=280°，
∴∠AED=360°−280°=80°．
（2）解：①证明：∵点E为线段AC，CD的垂直平分线的交点，
∴EA=EC=ED，
∴∠EAC=∠ECA，∠ECD=∠EDC．
∵∠ABC=90°，∠BAC=60°，
∴∠ACB=90°−60°=30°，
∴∠ACD=180°−30°=150°，
∴∠EAC+∠ACD+∠EDC=300°，
∴∠AED=360°−300°=60°，
∴△AED为等边三角形；
②PE−PD=2AB．
证明：∵△ADE为等边三角形,
∴∠ADE=60°,AD=DE,
如图，作点D关于直线CF的对称点D'，连接CD'，DD'，ED'．
∴PD=PD',
∴PE−PD=PE−PD'