初中1.2.1 有理数课时作业

这是一份初中1.2.1 有理数课时作业，共43页。
【典例1】问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14，14×5=14−15．
（1）利用规律计算：11×2+12×3+13×4+14×5+⋯+12021×2022；
（2）问题拓展：求11×3+13×5+15×7+⋯+12021×2023；
（3）问题解决：求11+2+11+2+3+11+2+3+4+11+2+3+4+5+⋯+11+2+3+4+⋯+2021+2022的值．
【思路点拨】
本题主要考查了数字的变化类，有理数的混合运算，解题关键观察已知条件，找出解题的方法和技巧．
（1）把各个加数拆成两个分子是1，分母是原数分母的两个分数相减，然后相邻的两个互为相反数相加即可；
（2）把各个算式写成12乘以分母中的两个数为分母，分子是1的两个分数的差的形式，然后提取公因数12，进行简便计算即可；
（3）把各个加数的分母计算后都乘以12，再乘以2，然后把每个分数写成两个分数差的形式，再进行计算即可．
【解题过程】
（1）解：依题意，
∵11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14，14×5=14−15，
∴11×2+12×3+13×4+14×5+⋯+12021×2022
=1−12+12−13+…+12021−12022
=1−12022
=20212022；
（2）解：11×3+13×5+15×7+⋯+12021×2023
=12×1−13+12×13−15+12×15−17+…+12×12021−12023
=12×1−13+13−15+15−17+…+12021−12023
=12×1−12023
=10112023；
（3）解：∵11+2=13，13×12=12×3=12−13；
11+2+3=16，16×12=112=13×4=13−14；
11+2+3+4=110，110×12=120=14×5=14−15；
……
11+2+3+4+⋯+2021+2022=12023×1011
12023×1011×12=12022×2023=12022−12023，
所以原式=2×12×3+13×4+14×5+…+12022×2023
=2×12−13+13−14+14−15+…+12022−12023
=2×12−12023
=2×20214046
=20212023．
学霸必刷
1．（23-24七年级上·四川德阳·阶段练习）计算下列各题
（1）−12020÷13−12；
（2）−22×−12+8÷(−2)2；
（3）−512+23−34×(−12)；
（4）100÷(−2)2−(−2)÷−23+(−2)3；
（5）−22020×(−0.5)2019+−61314×7；
（6）(−3)2÷214×−232+4−(−2)2×−13×(−1)2020．
2．（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）计算
（1）−13−14×2−−32
（2）−22+5−8+24÷−3×13
（3）14−59−13+712÷−136
（4）−12−2×−32−−22+313÷−23×154
3．（23-24七年级下·重庆南岸·开学考试）计算：
（1）−22÷15×5−（−10）2−−7；
（2）−370×−14+0.25×24.5−−512×25%；
（3）999+(−999)×(−999)+999−999999；
（4）12+13+23+14+24+34+⋯+1100+2100+⋯+99100．
4．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期中）计算：275112+472120+1005130−0−14×2014142+1655556+6837172
5．（23-24七年级上·广东广州·开学考试）能简算的要简算：
（1）1516+716−14÷12；
（2）1.24+579+2329+3.76；
（3）51×68×78÷17×34×13；
（4）1112+1920+2930+4142+5556+7172．
6．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算下列各题，能简算的要简算．
（1）62.5%×29+78÷412
（2）3.8÷0.25×0.38
（3）202.3×2.5+20.23×36+2.023×390
（4）15.8−718+15−1118
（5）2005×2006−12005+2004×2006
（6）927+729÷57+59
7．（24-25七年级上·全国·假期作业）用灵活而合理的方法计算．
（1）2000÷200020002001+2003×20012002
（2）114×17.6+36÷45+2.64×12.5
（3）498×381+382382×498−116
（4）1002−992+982−972+…+22−12
8．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算题．
（1）522÷522522523+526÷5273523
（2）123+234+345+⋯+979899+98991005+814+1125+⋯+2939699+29697100
（3）56−712+920−1130+1342−1556+⋯+41420−43462
（4）23845−115÷1389+3365×269918.5−1379×185
9．（23-24七年级上·山东菏泽·开学考试）简便计算
（1）11×2+12×3+13×4+…+19×10
（2）4.44÷458+6637÷25111−41125
（3）712−0.75+920÷3.6+17×2611
（4）2015×20132014
10．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）简便计算：
（1）12+221×2+22+322×3+32+423×4+⋯+20222+202322022×2023；
（2）19+110+111+112×110+111+112+113−19+110+111+112+113×110+111+112．
11．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）下列各题要写出主要计算过程
（1）56×328+516×32
（2）42813+111619×114+5513+20319×1.25
（3）32+54+98+1716+3332+6564+129128
（4）1+2×1500+3+2×2500+5+2×3500+···+999+2×500500
（5）1+22×1+2+32+3×1+2+3+42+3+4×···×1+2+3+…+502+3+4+…+50
12．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算题：
（1）12+221×2+22+322×3+32+423×4+…+20122+201322012×2013
（2）1−56+712−920+1130−1342+1556+1772
（3）52×4+54×6+56×8+…+598×100
（4）111024+21512+41256+…+25614+51212
13．（23-24七年级上·广西南宁·开学考试）脱式简算：
（1）18×35+0.65×817−25×18+1117÷1713；
（2）4113×34+5114×45+6115×56；
（3）11+11+2+11+2+3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+11+2+3+⋅⋅⋅+100；
14．（23-24六年级上·上海杨浦·阶段练习）计算：
（1）11+12+22+12+13+23+33+23+13+⋯+12023+22023+⋯+20222023+20232023+20222023+⋯+12023
（2）11×3×5+12×4×6+13×5×7+⋯+14×6×8
15．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）观察下列算式：
3+4=7，32+42=25，33+43=①，34+44=②，
35+45=1267，36+46=4825，37+47=18571 ⋯
（1）①________，②________；
（2）求3+32+33+⋅⋅⋅+399+4+42+43+⋅⋅⋅+499的个位数字．
16．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）观察下列等式．
11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14，
将以上三个等式两边分别相加得：
11×2+12×3+13×4=1−12+12−13+13−14=1−14=34．
（1）猜想并写出：1nn+1=______．
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①11×2+12×3+13×4+⋅⋅⋅+12022×2023=______；
②11×2+12×3+13×4+⋅⋅⋅+1nn+1=______．
（3）探究并计算：
①11×3+13×5+15×7+⋅⋅⋅+12021×2023．
②11×3−12×4+13×5−14×6+15×7+⋅⋅⋅+12021×2023−12022×2024．
17．（23-24七年级上·广东东莞·阶段练习）观察下列式子：11×2=1−12；12×3=12−13；13×4=13−14
将以上三个等式两边分别相加得：
11×2+12×3+13×4=1−12+12−13+13−14=1−14=34．
（1）直接写出结果：11×2+12×3+13×4+14×5+15×6=_______；
（2）请用上述方法计算（写出具体过程）：11×3+13×5+15×7++12021×2023=______；；
（3）直接写出计算结果：11+2+11+2+3+11+2+3+4++11+2+3+...+19=_______；
（4）直接写出计算结果：11×2×3+12×3×4+13×4×+198×99×100=________；
18．（23-24七年级上·山东济南·期中）【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数(均不等0)的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，−3÷−3÷−3÷−3等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，−3÷−3÷−3÷−3记作−3④，读作“−3的圈4次方”．
一般地，把a÷a÷a÷．．．÷an个(a≠0)记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果： −3④= ．
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那有理数的除方运算也可以转化为乘方运算．
（2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
5⑤= ；(−12)⑩= ．
（3）将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式：aⓝ= ．
（4）利用（3）的结论计算：62÷(−23)④−(13)⑦÷(−3)3
19．（23-24六年级上·山东威海·期末）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推．
（1）阴影部分的面积是______；
（2）以下是甲，乙两位同学求S=12+122+123+124+125+126的方法；
甲同学的方法：利用已给正方形图形求，S=1−S阴影；
乙同学的方法：S=12+122+123+124+125+126①
2S=1+12+122+123+124+125②
②－①即可．
根据两位同学的方法，你认为S=______；
（3）12+122+123+124+⋅⋅⋅+127=______；
（4）计算：12+122+123+124+⋅⋅⋅+122024；
（5）请借助甲，乙同学的方法，分别求出14+142+143+144+⋅⋅⋅+142024的值．
20．（23-24七年级上·四川内江·期中）请阅读以下材料完成以下题目．
【阅读材料一】观察下面三个特殊的等式：
第①式：1×2=131×2×3−0×1×2
第②式：2×3=132×3×4−1×2×3
第③式：3×4=133×4×5−2×3×4
将这三个等式的两边相加，可以得到：1×2+2×3+3×4=13×3×4×5=20
读完这段材料，请你思考后回答：
（1）1×2+2×3+3×4+⋯+20×21=
（2）1×2+2×3+3×4+⋯+nn+1= （用含n的式子表示）
【阅读材料二】观察下列几个等式
第①式：12=16×1×2×3=1，
第②式：12+22=16×2×3×5=5，
第③式：12+22+32=16×3×4×7=14，
第④式：12+22+32+42=16×4×5×9=30，
请你思考后解答下列问题
（1）12+22+32+⋯+202=
（2）12+22+32+⋯+n2= （用含n的式子表示）
（3）计算：212+222+232+⋯+392+402．
【拓展应用】
直接写出下式的结果：
23312+22+32+⋯+1002−121×2+2×3+3×4+⋯+100×101=
专题2.1 有理数的混合运算
典例分析

【典例1】问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14，14×5=14−15．
（1）利用规律计算：11×2+12×3+13×4+14×5+⋯+12021×2022；
（2）问题拓展：求11×3+13×5+15×7+⋯+12021×2023；
（3）问题解决：求11+2+11+2+3+11+2+3+4+11+2+3+4+5+⋯+11+2+3+4+⋯+2021+2022的值．
【思路点拨】
本题主要考查了数字的变化类，有理数的混合运算，解题关键观察已知条件，找出解题的方法和技巧．
（1）把各个加数拆成两个分子是1，分母是原数分母的两个分数相减，然后相邻的两个互为相反数相加即可；
（2）把各个算式写成12乘以分母中的两个数为分母，分子是1的两个分数的差的形式，然后提取公因数12，进行简便计算即可；
（3）把各个加数的分母计算后都乘以12，再乘以2，然后把每个分数写成两个分数差的形式，再进行计算即可．
【解题过程】
（1）解：依题意，
∵11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14，14×5=14−15，
∴11×2+12×3+13×4+14×5+⋯+12021×2022
=1−12+12−13+…+12021−12022
=1−12022
=20212022；
（2）解：11×3+13×5+15×7+⋯+12021×2023
=12×1−13+12×13−15+12×15−17+…+12×12021−12023
=12×1−13+13−15+15−17+…+12021−12023
=12×1−12023
=10112023；
（3）解：∵11+2=13，13×12=12×3=12−13；
11+2+3=16，16×12=112=13×4=13−14；
11+2+3+4=110，110×12=120=14×5=14−15；
……
11+2+3+4+⋯+2021+2022=12023×1011
12023×1011×12=12022×2023=12022−12023，
所以原式=2×12×3+13×4+14×5+…+12022×2023
=2×12−13+13−14+14−15+…+12022−12023
=2×12−12023
=2×20214046
=20212023．
学霸必刷
1．（23-24七年级上·四川德阳·阶段练习）计算下列各题
（1）−12020÷13−12；
（2）−22×−12+8÷(−2)2；
（3）−512+23−34×(−12)；
（4）100÷(−2)2−(−2)÷−23+(−2)3；
（5）−22020×(−0.5)2019+−61314×7；
（6）(−3)2÷214×−232+4−(−2)2×−13×(−1)2020．
【思路点拨】
本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．是解答此题的关键．
（1）先运算乘方和括号内的减法，然根据有理数的除法可以解答本题；
（2）先运算乘方，然后运算乘除，最后运算加减解答本题；
（3）运用乘法分配律计算即可；
（4）先运算乘方，然后运算乘除，最后运算加减解答本题；
（5）先运算乘方，然后运算乘除，最后运算加减解答本题；
（6）先运算乘方，然后运算乘除，最后运算加减解答本题；
【解题过程】
（1）解：−12020÷13−12
=−1÷−16
=6；
（2）解：−22×−12+8÷(−2)2
=−4×−12+8÷4
=2+2
=4；
（3）−512+23−34×(−12)
=5+8−9
=4；
（4）100÷(−2)2−(−2)÷−23+(−2)3
=100÷4−(−2)×−32+(−8)
=25−3+(−8)
=14；
（5）−22020×(−0.5)2019+−61314×7
=−2×(−0.5)2019×2+−9714×7
=2−972
=−932；
（6）(−3)2÷214×−232+4−(−2)2×−13×(−1)2020
=9×49×49+4−4×−13×1
=169+4+43
=719．
2．（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）计算
（1）−13−14×2−−32
（2）−22+5−8+24÷−3×13
（3）14−59−13+712÷−136
（4）−12−2×−32−−22+313÷−23×154
【思路点拨】
本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序．
（1）先算乘方，再算乘法，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算；
（2）先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算；
（3）除法变乘法，再根据乘法分配律计算；
（4）先算乘方，再算乘法，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算．
【解题过程】
（1）解：−13−14×2−−32
=−1−14×2−9
=−1+74
=34；
（2）解：−22+5−8+24÷−3×13
=−4+3−24×13×13
=−1−83
=−113；
（3）解：14−59−13+712÷−136
=14−59−13+712×−36
=14×−36−59×−36−13×−36+712×−36
=−9+20+12−21
=2；
（4）解：−12−2×−32−−22+313÷−23×154
=−1−2×9−4+−103×32×154
=−1−18−4+1
=−22．
3．（23-24七年级下·重庆南岸·开学考试）计算：
（1）−22÷15×5−（−10）2−−7；
（2）−370×−14+0.25×24.5−−512×25%；
（3）999+(−999)×(−999)+999−999999；
（4）12+13+23+14+24+34+⋯+1100+2100+⋯+99100．
【思路点拨】
（1）先算乘方，再算乘法，后算加减，有括号先算括号里，即可解答；
（2）利用乘法分配律的逆运算进行计算，即可解答；
（3）利用乘法分配律的逆运算进行计算，即可解答；
（4）利用乘法分配律的逆运算进行计算，即可解答；
本题考查了有理数的混合运算，乘法分配律，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【解题过程】
（1）解：原式=−4×5×5−100−7
=−100−100−7
=−207；
（2）解：原式=370×14+14×2412+512×14
=370+2412+512×14
=100；
（3）解：原式=999×(1+999+1−1001)
=999×0
=0；
（4）解：原式=12+1+32+⋯+1100×(1+99)×992
=12×1+2+3+⋯+99
=12×1+99×992
=2475．
4．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期中）计算：275112+472120+1005130−0−14×2014142+1655556+6837172
【思路点拨】
利用拆项法将分数拆成整数和分数的和差形式，把整数与整数部分、分数与分数部分分别加在一起，然后把每个分数分别拆成两个分数相减的形式，通过分数的加减，相互抵消，求出结果．
【解题过程】
解：275112+472120+1005130−0−14×2014142+1655556+6837172
=275+112+472+120+1005+130−202−142+166−156+684−172
=275+472+1005−166−202−684+(112+120+130+142+156+172)
=700+(13−14+14−15+15……−19)
=700+(13−19)
=70029．
5．（23-24七年级上·广东广州·开学考试）能简算的要简算：
（1）1516+716−14÷12；
（2）1.24+579+2329+3.76；
（3）51×68×78÷17×34×13；
（4）1112+1920+2930+4142+5556+7172．
【思路点拨】
本题考查了有理数的混合运算：
（1）去括号，将除法化成乘法，再进行加法运算；
（2）利用加法交换律进行简便运算即可；
（3）将前面三个因数进行分解，再进行约分即可；
（4）通过观察可知分子分母的差为1，先写成1加减分数单位，整数分组计算，分数简算时，根据裂项公式1a×a+1=1a−1a+1先拆分，再简算．
【解题过程】
（1）解：原式=1516+716−416×2
=1516+316×2
=1516+616
=2116；
（2）解：原式=1.24+3.76+579+2329
=5+29
=34；
（3）解：原式=17×3×34×2×13×617×34×13
=3×2×6
=36；
（4）解：原式=1−112+1−120+1−130+1−142+1−156+1−172
=1−13×4+1−14×5+1−15×6+1−16×7+1−17×8+1−18×9
=6−13−14+14−15+15−16+16−17+17−18+18−19
=6−13−19
=6−29
=579．
6．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算下列各题，能简算的要简算．
（1）62.5%×29+78÷412
（2）3.8÷0.25×0.38
（3）202.3×2.5+20.23×36+2.023×390
（4）15.8−718+15−1118
（5）2005×2006−12005+2004×2006
（6）927+729÷57+59
【思路点拨】
本题考查了有理数的乘法公式运算，有理数加减混合运算，有理数乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）62.5%化为分数是58，把除法改写成乘法形式，再根据乘法分配律可进行简算；
（2）根据除法的性质，把算式改写成连除形式可进行简算；
（3）根据积不变的规律统一将其中一个因数转换为20.23，再根据乘法分配律进行简算．
（4）15.8−718+15−1118，先根据带符号搬家，将算式变为15.8+15−718−1118，然后把15化为0.2，根据减法的性质和括号的应用，将算式变为15.8+0.2−718+1118进行简算即可；
（5）仔细观察分子、分母中各数的特点，就会发现分子中2005×2006可变形为2004+1×2006=2004×2006+2006−1，同时发现2006−1=2005，这样就可以把原式转化成分子与分母相同，从而简化运算；
（6）在本题中，被除数提取公因数65，除数提取公因数5，再把17和19的和作为一个数来参与运算，会使计算简便很多．
【解题过程】
（1）62.5%×29+78÷412
=58×29+78÷92
=58×29+78×29
=29×58+78
=29×32
=13；
（2）3.8÷0.25×0.38
=3.8÷0.25÷0.38
=3.8÷0.38÷0.25
=10÷0.25
=40；
（3）202.3×2.5+20.23×36+2.023×390
=20.23×25+20.23×36+20.23×39
=20.23×25+36+39
=20.23×100
=2023；
（4）15.8−718+15−1118
＝15.8+15−718−1118
＝15.8+0.2−718−1118
=(15.8+0.2)−718+1118
=16−1
=15；
（5）2005×2006−12005+2004×2006
=2004+1×2006−12005+2004×2006
=2004×2006+2006−12005+2004×2006
=1；
（6）927+729÷57+59
=657+659÷57+59
=65×17+19÷5×17+19
=65÷5
=13．
7．（24-25七年级上·全国·假期作业）用灵活而合理的方法计算．
（1）2000÷200020002001+2003×20012002
（2）114×17.6+36÷45+2.64×12.5
（3）498×381+382382×498−116
（4）1002−992+982−972+…+22−12
【思路点拨】
本题考查了乘法公式的有理数混合运算，含乘方有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）先根据带分数化为假分数的方法，将算式变为2000÷2000×2001+20002001+2003×20012002，再将算式变为2000÷2000×2001+2000×12001+2003×20012002，根据乘法分配律，将算式变为2000÷2000×2001+12001+2003×20012002，然后计算出括号里面的加法，再将除法化为乘法，约分可得20012002+2003×20012002，然后将2003拆分为2002＋1，根据乘法分配律，将算式变为20012002+2002×20012002＋1×20012002，约分可得20012002+2001+20012002，再根据带符号搬家，得20012002+20012002+2001，然后计算出结果即可；
（2）先把带分数化为假分数，除法化为乘法，然后根据积不变性质，将算式变为54×17.6+36×54+26.4×1.25，然后将1.25化为假分数，再根据乘法分配律，将算式变为54×17.6+36+26.4进行简算即可；
（3）先把382拆分为381+1，然后根据乘法分配律，将算式变为498×381+382381×498＋1×498−116，1×498=498，加上括号，变为498×381+382381×498＋（498−116），然后计算出括号里面的减法，最后可得分子和分母都是相同的算式，约分可得结果为1；
（4）两个相邻的数的平方差等于这两个数的和，也就是n+1−n=n+12−n2（n为自然数），将算式变为100+99+98+97+96+…+1，然后首尾依次相加，将算式变为100+1×50进行简算即可．
【解题过程】
（1）解：2000÷200020002001+2003×20012002
=2000÷2000×2001+20002001+2003×20012002
=2000÷2000×2001+12001+2003×20012002
=2000×20012000×2002+2003×20012002
=20012002+2003×20012002
=20012002+2002+1×20012002
=20012002+2002×20012002＋1×20012002
=20012002+2001＋20012002
=20012002+20012002+2001
=40022002+2001
=120002002+2001
=110001001+2001
=200210001001；
（2）114×17.6+36÷45+2.64×12.5
=54×17.6+36×54+26.4×1.25
=54×17.6+36×54+26.4×54
=54×17.6+36+26.4
=54×80
=100；
（3）498×381+382382×498−116
=498×381+382381+1×498−116
=498×381+382381×498+1×498−116
=498×381+382381×498+498−116
=498×381+382381×498+498−116
=498×381+382381×498+382
=1；
（4）1002−992+982−972+…+22−12
=100+99+98+97+⋯+2+1
=100+1+99+2+98+3+…+51+50
=100+1×50
=101×50
=5050．
8．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算题．
（1）522÷522522523+526÷5273523
（2）123+234+345+⋯+979899+98991005+814+1125+⋯+2939699+29697100
（3）56−712+920−1130+1342−1556+⋯+41420−43462
（4）23845−115÷1389+3365×269918.5−1379×185
【思路点拨】
本题考查了运算与技巧：
（1）观察式子，先转化成假分数，但是不要将数的答案算出得数．这样就可以能约分的要约分；
（2）观察分子和分母，发现分子和分母经过分析和转化，可以先约分；
（3）根据式子a+ba×b=ba×b+aa×b=1a+1b将式子转化后进行计算；
（4）有小数、带分数、分数的计算，将小数转化为分数，带分数转化为假分数计算；
根据式子的特点进行运算是解题的关键．
【解题过程】
（1）解：522÷522522523+526÷5273523
＝522÷522×523+522523+526÷527×523+3523
＝522×523522×523+522+526×523527×523+3
＝522×523522×523+1+526×523526+1×523+3
＝522×523522×523+1+526×523526×523+523+3
＝523523+1+526×523526×523+526
＝523524+523523+1
＝523524+523524
＝523524×2
＝523262；
（2）解：123+234+345+⋯+979899+98991005+814+1125+⋯+2939699+29697100
＝53+114+195+⋯+979899+989910053×3+114×3+⋯+979899×3+9899100×3
＝53+114+195+⋯+979899+98991003×53+114+195+⋯+979899+9899100
＝13；
（3）解：56−712+920−1130+1342−1556+⋯+41420−43462
＝2+32×3−3+43×4+4+54×5−5+65×6+⋯+20+2120×21−21+2221×22
＝22×3+32×3−33×4+43×4+⋯+2020×21+2120×21−2121×22+2221×22
＝12+13−13−14+14+15−15−16+⋯+120+121−121−122
＝12−122
＝511；
（4）解：23845−115÷1389+3365×269918.5−1379×185
＝12845−345÷1259+19865×2699372−1249×185
＝259×9125+19865×26998518×185
＝15+45118
＝1÷118
＝18．
9．（23-24七年级上·山东菏泽·开学考试）简便计算
（1）11×2+12×3+13×4+…+19×10
（2）4.44÷458+6637÷25111−41125
（3）712−0.75+920÷3.6+17×2611
（4）2015×20132014
【思路点拨】
（1）根据1nn+1=1n−1n+1，根据分数的拆项公式进行简算即可；
（2）先将除法转化为乘法，再逆用乘法分配律进行计算即可；
（3）先计算括号里面的，再计算最后计算乘法即可；
（4）把原式转化为2014+1×20132014，再利用乘法分配律进行计算即可；
【解题过程】
（1）解：11×2+12×3+13×4+⋯+19×10
=1−12+12−13+13−14+⋯⋯+19−110
=1−110
=910
（2）4.44÷458+6637÷25111−41125
=4.44×837+6637×4.44−4.44
=4.44×837+6637−1
=4.44×1
=4.44
（3）712−0.75+920÷3.6+17×2611
=(712−1.2÷3.6+17)×2611
=(712−13+17)×2611
=(14+17)×2811
=1128×2811
=1
（4）2015×20132014
=2014+1×20132014
=2014×20132014+1×20132014
=201320132014
10．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）简便计算：
（1）12+221×2+22+322×3+32+423×4+⋯+20222+202322022×2023；
（2）19+110+111+112×110+111+112+113−19+110+111+112+113×110+111+112．
【思路点拨】
（1）利用有理数的混合运算的法则和运算律解答即可；
（2）根据先将19+110+111+112看着一个整体，利用乘法分配律把后面乘法部分展开，再逆用乘法分配律进行计算即可．
【解题过程】
（1）解：12+221×2+22+322×3+32+423×4+⋯+20222+202322022×2023
=121×2+221×2+222×3+322×3+423×4+⋯+202222022×2023+202322022×2023
=12+2+23+32+34+43+⋯+20222023+20232022
=2+12+32+23+43+34+54+⋯+20212022+20232022+20222023
=20222023+2+2+⋯+22022个2
=404420222023；
（2）解：19+110+111+112×110+111+112+113−19+110+111+112+113×110+111+112
=19+110+111+112×110+111+112+113− 19+110+111+112×110+111+112+113×110+111+112
=19+110+111+112×110+111+112+113− 19+110+111+112×110+111+112−113×110+111+112
=19+110+111+112×110+111+112+113−110−111−112−113×110+111+112
=19+110+111+112×113−113×110+111+112
=19×113
=1117．
11．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）下列各题要写出主要计算过程
（1）56×328+516×32
（2）42813+111619×114+5513+20319×1.25
（3）32+54+98+1716+3332+6564+129128
（4）1+2×1500+3+2×2500+5+2×3500+···+999+2×500500
（5）1+22×1+2+32+3×1+2+3+42+3+4×···×1+2+3+…+502+3+4+…+50
【思路点拨】
本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
（1）利用交换律以及乘法分配律进行计算即可；
（2）利用乘法分配律进行计算即可；
（3）利用有理数加法的运算法则进行计算即可；
（4）根据有理数四则混合运算的法则进行计算即可；
（5）将原式变换为2×31×4×3×42×5×4×53×6×…×49×5048×51×50×5149×52再约分计算即可．
【解题过程】
（1）解：56×328+516×32
=56×32×328+516
=56×32×328+56×32×516
=192+560
=752；
（2）解：42813+111619×114+5513+20319×1.25
=42813+111619×114+5513+20319×114
=114×42813+111619+5513+20319
=114×32+48
=54×80
=100；
（3）解：32+54+98+1716+3332+6564+129128
=1+12+1+14+1+18+…+1+1128
=7+12+14+18+…1128
=7127128；
（4）解：1+2×1500+3+2×2500+5+2×3500+···+999+2×500500
=1+3+5+7+…+999+2×1+2×2+2×3+…+2×500500
=1+999×5002+2×1+2+3+…+500500
=1000×5002+2×1+500×5002500
=500×500+500×1+500500
=1001；
（5）解：1+22×1+2+32+3×1+2+3+42+3+4×···×1+2+3+…+502+3+4+…+50
=2×31×4×3×42×5×4×53×6×…×49×5048×51×50×5149×52
=50×352
=7526．
12．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算题：
（1）12+221×2+22+322×3+32+423×4+…+20122+201322012×2013
（2）1−56+712−920+1130−1342+1556+1772
（3）52×4+54×6+56×8+…+598×100
（4）111024+21512+41256+…+25614+51212
【思路点拨】
本题考查了有理数四则混合运算，含乘方的有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）观察算式可得2+11×2+2+12×3+2+13×4+⋯+2+12012×2013，再利用a+ba×b=aa×b+ba×b=1a+1b”，即可简算；
（2）利用a+ba×b=aa×b+ba×b=1a+1b，即可简算；
（3）利用公式“1a×b=1b−a1a−1b”，可以简算；
（4）先分别计算出整数部分和分数部分的和，再相加即可，整数部分的和是1023，观察分数部分发现：12=1−12、14=12−14、18=14−18……，据此可知12+14+18+…+1512+11024，等于1−12+12−14+14−18+…+1512−11024，据此解题即可．
【解题过程】
（1）12+221×2+22+322×3+32+423×4+…+20122+201322012×2013
=2+11×2+2+12×3+2+13×4+⋯+2+12012×2013
=2×2012+11×2+12×3+13×4+⋯+12012×2013
=4024+1−12+12−13+13−14+⋯+12012−12013
=4024+1−12013
=402420122013；
（2）1−56+712−920+1130−1342+1556+1772
=1−52×3+73×4−94×5+115×6−136×7+157×8+178×9
=1−12−13+13+14−14−15+15+16−16−17+17+18+18+19
=12+18+18+19
=34+19
=3136；
（3）52×4+54×6+56×8+…+598×100
=5×1212−14+14−16+16−18+…+198−1100
=5×12×12−1100
=5×12×49100
=4940；
（4）111024+21512+41256+…+25614+51212
=1+2+4+…+256+512+12+14+18+…+1512+11024
=1023+1−12+12−14+14−18+…+1512−11024
=1023+10231024
=102310231024．
13．（23-24七年级上·广西南宁·开学考试）脱式简算：
（1）18×35+0.65×817−25×18+1117÷1713；
（2）4113×34+5114×45+6115×56；
（3）11+11+2+11+2+3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+11+2+3+⋅⋅⋅+100；
【思路点拨】
本题考查有理数的混合运算，正确使用运算律进行计算是解题的关键．
（1）运用乘法分配律进行计算即可．
（2）将带分数化为假分数后，可进行简便计算．
（3）根据所给算式的特点，将其分母转化为两个连续整数积的形式即可简便计算．
【解题过程】
（1）解∶原式=18×35−25+1320×817+1117
=185+247340
=1471340；
（2）解∶原式=1243×34+2054×45+3065×56
=31+41+51
=123；
（3）解∶原式=21×2+22×3+23×4+⋯+2100×101
=2×1−12+12−13+13−14+⋯+1100−1101
=2×1−1101
=200101．
14．（23-24六年级上·上海杨浦·阶段练习）计算：
（1）11+12+22+12+13+23+33+23+13+⋯+12023+22023+⋯+20222023+20232023+20222023+⋯+12023
（2）11×3×5+12×4×6+13×5×7+⋯+14×6×8
【思路点拨】
本题考查了分数的运算，解题的关键是：
（1）把同分母的组合在一起，然后分别计算即可；
（2）隔项分母有相同两项，因此应该先分组，将分母为奇数的一组，分母为偶数的一组，再组内进行裂项消项即可．
【解题过程】
（1）解∶ 11+12+22+12+13+23+33+23+13+⋯+12023+22023+⋯+20222023+20232023+20222023+⋯+12023
=11+12+22+12+13+23+33+23+13+⋯+12023+22023+⋯+20222023+20232023+20222023+⋯+12023
=1+2+3+⋯+2023
=1+2023×20232
=2047276；
（2）解：11×3×5+12×4×6+13×5×7+14×6×8
=14×11×3−13×5+14×12×4−14×6++14×13×5−15×7+14×14×6−16×8
=14×11×3−13×5+13×5−15×7+14×12×4−14×6+14×6−16×8 =14×11×3−15×7+14×12×4−16×8
=14×13−135+14×18−148
=14×32105+14×548
=8105+5192
=206120160．
15．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）观察下列算式：
3+4=7，32+42=25，33+43=①，34+44=②，
35+45=1267，36+46=4825，37+47=18571 ⋯
（1）①________，②________；
（2）求3+32+33+⋅⋅⋅+399+4+42+43+⋅⋅⋅+499的个位数字．
【思路点拨】
（1）根据乘方的定义计算即可求解；
（2）由题意找到个位数字的规律，求出所求算式的个位数字之和，即可求解；
本题考查了有理数的运算，根据算式的结果找到个位数字的规律是解题的关键．
【解题过程】
（1）解：① 33+43=27+64=91，
故答案为：91；
② 34+44=81+256=337，
故答案为：337；
（2）解：∵3+4=7，32+42=25，33+43=91，34+44=337，35+45=1267，36+46=4825，37+47=18571 ⋯，
∴个位数字按照7，5，1，7的规律循环，
又∵99÷4=24⋯3，
∴3+32+33+⋅⋅⋅+399+4+42+43+⋅⋅⋅+499的个位数字之和为：
7+5+1+7×24+7+5+1=493，
∴3+32+33+⋅⋅⋅+399+4+42+43+⋅⋅⋅+499为3．
16．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）观察下列等式．
11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14，
将以上三个等式两边分别相加得：
11×2+12×3+13×4=1−12+12−13+13−14=1−14=34．
（1）猜想并写出：1nn+1=______．
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①11×2+12×3+13×4+⋅⋅⋅+12022×2023=______；
②11×2+12×3+13×4+⋅⋅⋅+1nn+1=______．
（3）探究并计算：
①11×3+13×5+15×7+⋅⋅⋅+12021×2023．
②11×3−12×4+13×5−14×6+15×7+⋅⋅⋅+12021×2023−12022×2024．
【思路点拨】
此题考查了数字类规律探索以及有理数的混合运算，利用规律计算即可解决问题；解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题．
【解题过程】
（1）解：1n(n+1)=1n−1n+1，
故答案为1n−1n+1．
（2）①11×2+12×3+13×4+…+12022×2023=1−12+12−13+…+12022−12023=1−12023=20222023，
②11×2+12×3+13×4+…+1n(n+1)=1−12+12−13+…+1n−1n+1=1−1n+1=nn+1
故答案为20222023，nn+1．
（3）①11×3+13×5+15×7+…+12021×2023
=12(1−13+13−15+15−17+…+12021−12023)=12(1−12023)=10112023
②11×3−12×4+13×5−14×6+15×7+⋅⋅⋅+12021×2023−12022×2024
=(11×3+13×5+…+12021×2023)−(12×4+14×6+…+12022×2024)
=12(1−13+13−15+…+12021−12023)−12(12−14+14−16+…+12022−12024)
=12(1−12023)−12(12−12024)
=10112023−10114048
=2025×10112023×4048
17．（23-24七年级上·广东东莞·阶段练习）观察下列式子：11×2=1−12；12×3=12−13；13×4=13−14
将以上三个等式两边分别相加得：
11×2+12×3+13×4=1−12+12−13+13−14=1−14=34．
（1）直接写出结果：11×2+12×3+13×4+14×5+15×6=_______；
（2）请用上述方法计算（写出具体过程）：11×3+13×5+15×7++12021×2023=______；；
（3）直接写出计算结果：11+2+11+2+3+11+2+3+4++11+2+3+...+19=_______；
（4）直接写出计算结果：11×2×3+12×3×4+13×4×+198×99×100=________；
【思路点拨】
（1）根据有理数的规律直接求解即可得到答案；
（2）根据有理数的规律直接求解即可得到答案；
（3）根据题意得到1+2+3+...+n=n(n+1)2，再根据有理数的规律直接求解即可得到答案；
（4）根据有理数的规律直接求解即可得到答案；
【解题过程】
（1）解：由题意可得，
原式=1−12+12−13+13−14+14−15+15−16
=1−16
=56，
故答案为：56；
（2）解：由题意可得，
11×3=12(1−13)，13×5=12(13−15)，15×7=12(15−17)，
由此可得，
1(2n−1)×(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，
∴原式=12(1−13+13−15+15−17++12021−12023)
=12(1−12023)
=10112023；
（3）解：由题意得到，
1+2+3+...+n=n(n+1)2，
∴原式=12×32+13×42+14×52++119×202
=22×3+23×4+24×5++219×20
=2×(12−13+13−14+14−15++119−120)
=2×(12−120)
=2×920，
=910；
（4）解：由题意可得，
原式=12×(21×2×3+22×3×4+23×4×+298×99×100)
=12×(31×2×3−11×2×3+42×3×4−22×3×4+53×4×5−33×4×+10098×99×100−9898×99×100)
=12×(11×2−12×3+12×3−13×4+13×4−14×+198×99−199×100)
=12×(12−19900)
=49491980；
18．（23-24七年级上·山东济南·期中）【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数(均不等0)的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，−3÷−3÷−3÷−3等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，−3÷−3÷−3÷−3记作−3④，读作“−3的圈4次方”．
一般地，把a÷a÷a÷．．．÷an个(a≠0)记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果： −3④= ．
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那有理数的除方运算也可以转化为乘方运算．
（2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
5⑤= ；(−12)⑩= ．
（3）将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式：aⓝ= ．
（4）利用（3）的结论计算：62÷(−23)④−(13)⑦÷(−3)3
【思路点拨】
本题主要考查有理数的乘方运算，解题的关键是理解题中所给的新定义运算；
（1）根据题中所给新定义运算直接进行求解即可；
（2）根据题中所给运算可进行求解；
（3）由（1）（2）可求解；
（4）根据（3）中结论及有理数的运算可进行求解．
【解题过程】
解：（1）−3④=−3÷−3÷−3÷−3
=−3×−13×−13×−13
=19；
故答案为19；
（2）5⑤=5÷5÷5÷5÷5=5×15×15×15×15=153；
−12⑩=−12÷−12÷−12÷−12÷−12÷−12÷−12÷−12÷−12÷−12
=−12×−2×−2×−2×−2×−2×−2×−2×−2×−2
=−28=28；
故答案为153，28；
（3）an=a÷a÷a⋯÷an个=a×1a×1a×1a×1a⋯×1an−2个=1an−2；
故答案为1an−2；
（4）62÷−23④−13⑦÷−33
=36÷−322−35÷−33
=36×49−243÷−27
=16+9
=25．
19．（23-24六年级上·山东威海·期末）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推．
（1）阴影部分的面积是______；
（2）以下是甲，乙两位同学求S=12+122+123+124+125+126的方法；
甲同学的方法：利用已给正方形图形求，S=1−S阴影；
乙同学的方法：S=12+122+123+124+125+126①
2S=1+12+122+123+124+125②
②－①即可．
根据两位同学的方法，你认为S=______；
（3）12+122+123+124+⋅⋅⋅+127=______；
（4）计算：12+122+123+124+⋅⋅⋅+122024；
（5）请借助甲，乙同学的方法，分别求出14+142+143+144+⋅⋅⋅+142024的值．
【思路点拨】
本题考查了图形规律的探究，有理数的运算．熟练掌握图形规律的探究，有理数的运算是解题的关键．
（1）根据S阴影=1×12×12×12×12×12×12，计算求解即可；
（2）甲同学： S=1−S阴影=1−164；乙同学：②−①得，S=1−126，计算求解即可；
（3）设T=12+122+123+124+⋅⋅⋅+127，则2T=1+12+122+123+124+⋅⋅⋅+126，T=1−127，计算求解即可；
（4）同理（3）计算求解即可；
（5）甲同学：如图，将边长为1的正方形四等分，每分割一次面积为原来的14，依此类推，则图中阴影部分的面积为143=1−34−342−343，可得一般性规律为14n=1−34−342−343−−34n，整理得1−14n=314+142+143++14n，然后求解即可；乙同学：令S=14+142+143+144+⋅⋅⋅+142024，则4S=1+14+142+143+144+⋅⋅⋅+142023，3S=1−142024，计算求解即可．
【解题过程】
（1）解：由题意知，S阴影=1×12×12×12×12×12×12=164，
故答案为：164；
（2）解：甲同学： S=1−S阴影=1−164=6364；
乙同学：S=12+122+123+124+125+126①，2S=1+12+122+123+124+125②
②−①得，S=1−126=6364，
故答案为：6364；
（3）解：设T=12+122+123+124+⋅⋅⋅+127，则2T=1+12+122+123+124+⋅⋅⋅+126，
∴T=1−127=127128，
故答案为：127128；
（4）解：令S=12+122+123+124+⋅⋅⋅+122024，则2S=1+12+122+123+124+⋅⋅⋅+122023，
∴S=1−122024，
∴12+122+123+124+⋅⋅⋅+122024=1−122024；
（5）解：甲同学：如图，将边长为1的正方形四等分，每分割一次面积为原来的14，依此类推，

则图中阴影部分的面积为143=1−34−342−343，
∴可得一般性规律为：14n=1−34−342−343−−34n，整理得1−14n=314+142+143++14n，
∴14+142+143+144+⋅⋅⋅+142024=131−142024；
乙同学：令S=14+142+143+144+⋅⋅⋅+142024，则4S=1+14+142+143+144+⋅⋅⋅+142023，
∴3S=1−142024，
解得，S=131−142024，
∴14+142+143+144+⋅⋅⋅+142024的值为131−142024．
20．（23-24七年级上·四川内江·期中）请阅读以下材料完成以下题目．
【阅读材料一】观察下面三个特殊的等式：
第①式：1×2=131×2×3−0×1×2
第②式：2×3=132×3×4−1×2×3
第③式：3×4=133×4×5−2×3×4
将这三个等式的两边相加，可以得到：1×2+2×3+3×4=13×3×4×5=20
读完这段材料，请你思考后回答：
（1）1×2+2×3+3×4+⋯+20×21=
（2）1×2+2×3+3×4+⋯+nn+1= （用含n的式子表示）
【阅读材料二】观察下列几个等式
第①式：12=16×1×2×3=1，
第②式：12+22=16×2×3×5=5，
第③式：12+22+32=16×3×4×7=14，
第④式：12+22+32+42=16×4×5×9=30，
请你思考后解答下列问题
（1）12+22+32+⋯+202=
（2）12+22+32+⋯+n2= （用含n的式子表示）
（3）计算：212+222+232+⋯+392+402．
【拓展应用】
直接写出下式的结果：
23312+22+32+⋯+1002−121×2+2×3+3×4+⋯+100×101=
【思路点拨】
材料阅读一：
（1）根据题中所给的式子得出第⑳式：20×21=1320×21×22−19×20×21，代入进行计算即可得到答案；
（2）根据题中所给的式子得出第n式：n×n+1=13n×n+1×n+2−n−1×n×n+1，代入进行计算即可得到答案；
阅读材料二：
（1）根据题中所给的式子归纳即可得到答案；
（2）根据题中所给的式子归纳即可得到答案；
（3）将212+222+232+⋯+392+402变形为12+22+32+⋯+402−12+22+32+⋯+202，结合所给规律代入进行计算即可得到答案；
拓展应用：
根据材料阅读一和材料阅读二所给的规律，进行计算即可得到答案．
【解题过程】
阅读材料一：
解：（1）∵第①式：1×2=131×2×3−0×1×2
第②式：2×3=132×3×4−1×2×3
第③式：3×4=133×4×5−2×3×4，
…，
∴第⑳式：20×21=1320×21×22−19×20×21，
∴1×2+2×3+3×4+⋯+20×21
=131×2×3−0×1×2+132×3×4−1×2×3+133×4×5−2×3×4+⋯+1320×21×22−19×20×21
=13×20×21×22
=3080；
（2）∵第①式：1×2=131×2×3−0×1×2
第②式：2×3=132×3×4−1×2×3
第③式：3×4=133×4×5−2×3×4，
…，
∴第n式：n×n+1=13n×n+1×n+2−n−1×n×n+1，
∴1×2+2×3+3×4+⋯+nn+1
=131×2×3−0×1×2+132×3×4−1×2×3+133×4×5−2×3×4+⋯+13n×n+1×n+2−n−1×n×n+1
=13nn+1n+2；
阅读材料二：
解：（1）∵第①式：12=16×1×2×3=1，
第②式：12+22=16×2×3×5=5，
第③式：12+22+32=16×3×4×7=14，
第④式：12+22+32+42=16×4×5×9=30，
…，
∴ 12+22+32+⋯+202=16×20×21×41=2870，
故答案为：2870；
（2）∵第①式：12=16×1×2×3=1，
第②式：12+22=16×2×3×5=5，
第③式：12+22+32=16×3×4×7=14，
第④式：12+22+32+42=16×4×5×9=30，
…，
∴12+22+32+⋯+n2=16×n×n+1n+n+1=16nn+12n+1，
故答案为：16nn+12n+1；
（3）由题意得：
212+222+232+⋯+392+402
=12+22+32+⋯+402−12+22+32+⋯+202
=16×40×41×81−2870
=22140−2870
=19270；
拓展应用：
解：根据题意得：
23312+22+32+⋯+1002−121×2+2×3+3×4+⋯+100×101
=233×16×100×101×201−12×13×100×101×102
=233×16×100×101×201−16×100×101×102
=233×16×100×101×201−102
=233×16×100×101×99
=10100，
故答案为：10100．