河南省郑州市中牟县第一高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

这是一份河南省郑州市中牟县第一高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题，共14页。试卷主要包含了下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
命题人： 审题人：
单项选择题（8小题，每题5分，共40分）
直线：的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
题目ID：923151775928684544
2.已知向量 a⃗=1,1,0，则与 a⃗同向共线的单位向量 e⃗=（ ）
A． -22,-22,0 B． 0,1,0
C． 22,22,0 D． -1,-1,0
题目ID：923151779690979328
3.使得“直线 ax+2y-1=0与直线 (a+1)x-2ay+1=0垂直”的充分不必要条件是（ ）
A． a=1 B． a=2 C． a=3 D． a=3或 a=0
题目ID：923151784271159296
4.若圆 x2+y2-4x+8y+2m=0的半径为2，则实数 m的值为（ ）
A．-9 B．-8 C．9 D．8
题目ID：923151791556665344
5.椭圆 x216+y225=1的焦点为 F1,F2,P为椭圆上一点，若 PF1=3，则 PF2=（ ）
A． 4 B． 3 C． 5 D． 7
题目ID：923151798288519168
6.曲线 y=1+4-x2与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A． 0，512 B． 512，+∞ C． 13，34 D． 512，34
题目ID：923151801266479104
7.若圆 x2+y2-2ax+4y+a2-12=0上存在到直线 4x-3y-2=0的距离等于1的点，则实数 a的取值范围是（ ）
A． [-294,214] B． [-94,14]
C． (-∞,-94]∪[14,+∞) D． (-∞,-294]∪[214,+∞)
题目ID：923151807788621824
8.在正方体中，直线与平面所成的角为（ ）
A． B． C． D．
题目ID：909112522743746560
题目ID：909112565819252736
多项选择题（3小题，每题6分，共18分）
9.
设 a⃗， b⃗， c⃗是空间的一个基底，则下列说法不正确的是（ ）
A．则 a⃗， b⃗， c⃗两两共面，但 a⃗， b⃗， c⃗不可能共面
B．若 a⃗⊥b⃗， b⃗⊥c⃗，则 a⃗⊥c⃗
C．对空间任一向量 p⃗，总存在有序实数组 x,y,z，使 p⃗=xa⃗+yb⃗+zc⃗
D． a⃗+b⃗， b⃗+c⃗， c⃗+a⃗不一定能构成空间的一个基底
题目ID：923151869071597568
10.下列说法正确的是（ ）
A．直线 xsinα-y+1=0的倾斜角的取值范围为 0,π4∪3π4,π
B．“ c=5”是“点 2,1到直线 3x+4y+c=0距离为 3”的充要条件
C．直线 l： λx+y-3λ=0λ∈R恒过定点 3,0
D．直线 y=-2x+5与直线 2x+y+1=0平行，且与圆 x2+y2=5相切
题目ID：923151872699666432
11.
布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达・芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ）
A． CG⃗=2AB⃗+2AA1⃗
B．直线 CQ与平面 A1B1C1D1所成角的正弦值为 23
C．点 C1到直线 CQ的距离是 53
D．异面直线 CQ与 BD所成角的余弦值为 36
题目ID：909112628276629504
填空题（3小题，每题5分，共15分）
12.
点 M在椭圆 x225+y29=1上， F是椭圆的一个焦点， N为 MF的中点， ON=3，则 MF= .
题目ID：923151886196936704
13.
如图，隧道的截面是半径为 4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，假设货车的最大宽度为 am，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少 .

题目ID：923151894333890560
14.
已知直线 l1:y=x-1上有两个点 A(x1,y1)和 B(x2,y2), 且 x1,x2为一元二次方程 x2-6x+1=0的两个根, 则过点 A,B且和直线 l2:x=-1相切的圆的方程为 .
题目ID：909112641077645312
解答题（5小题，77分）
15.（13分）已知点 P1,4与直线l： x+y-1=0，圆C： x2+y2-4x+3=0
（1）一条光线从点 P 射出，经直线 l 反射后，通过点 Q3,2 ，求反射光线所在的直线方程；
（2）过 P 点作圆的切线，求切线方程．
16.（15分）已知椭圆E的两个焦点坐标分别为 -4,0,4,0，并且经过点 52,332．
（1）求E的标准方程；
（2）在E上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，垂足为D，点M满足 DM⃗=53DP⃗，当点P在E上运动时，求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状（当点P经过椭圆与x轴的交点时，规定点M与点P重合）．
题目ID：923151912977571840
17.（15分）已知圆 C1经过点 -2,0，且与圆 C2:x2+y2-4x+8y=0相切于原点 O.
（1）求圆 C1 的标准方程；
（2）若直线 l:ax+by+2a-b=0(a,b 不同时为 0 ) 与圆 C1 交于 A,B 两点，当 AB 取得最小值时， l 与圆 C2 交于 C,D 两点，求 CD 的值 .
18.（17分）如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中， DD1⊥平面ABCD， DC=2DA=4， DD1=23， DC1⊥D1B
（1）求证： DA⊥DB；
（2）求三棱锥 C-A1C1D的体积；
（3）线段 C1D1上是否存在点E，使得平面EBD与平面 ABB1A1的夹角为 π4?若存在，求 D1E的长；若不存在，请说明理由.
19.（17分）过点 Ax0,y0作斜率分别为 k1， k2的直线 l1， l2，若 k1k2=μμ≠0，则称直线 l1， l2是 KAμ定积直线或 Kx0,y0μ定积直线．
（1）已知直线 a ： y=kxk≠0 ，直线 b ： y=-13kx ，试问是否存在点 A ，使得直线 a ， b 是 KAμ 定积直线？请说明理由．
（2）在 △OPM 中， O 为坐标原点，点 P 与点 M 均在第一象限，且点 Mx0,y0 在二次函数 y=x2-3 的图象上．若直线 OP 与直线 OM 是 K0,01 定积直线，直线 OP 与直线 PM 是 KP-2 定积直线，直线 OM 与直线 PM 是 Kx0,y0-2x02 定积直线，求点 P 的坐标．
（3）已知直线 m 与 n 是 K-2,4-4 定积直线，设点 O0,0 到直线 m ， n 的距离分别为 d1 ， d2 ，求 d1d2 的取值范围．
. 2024——2025学年高二上学期第二次月考
数学参考答案
题目ID：909112522743746560
【答案】
1.D
题目ID：923151775928684544
【答案】
2.C
【解析】
2.因为向量 a→=(1,1,0)，
所以 a→=12+12+02=2，
所以与 a⃗同向共线的单位向量为： e⃗=a⃗a⃗=(22,22,0)，
故选：C.
题目ID：923151779690979328
【答案】
3.C
【解析】
3.直线 ax+2y-1=0与直线 (a+1)x-2ay+1=0垂直时， aa+1+2-2a=0，
a2-3a=0，解得 a=0或 a=3.
所以使得“直线 ax+2y-1=0与直线 (a+1)x-2ay+1=0垂直”的充分不必要条件是C选项.
故选：C
题目ID：923151784271159296
【答案】
4.D
【解析】
4.由 x2+y2-4x+8y+2m=0，得 (x-2)2+(y+4)2=20-2m，
所以 r=20-2m=2，解得 m=8.
故选：D.
题目ID：923151791556665344
【答案】
5.D
【解析】
5.椭圆 x216+y225=1的长半轴长 a=5，依题意， |PF1|+|PF2|=2a=10，而 PF1=3，
所以 PF2=7.
故选：D
题目ID：923151798288519168
【答案】
6.D
【解析】
6.解：根据题意画出图形，如图所示：
由题意可得：直线 l过 A(2,4)， B(-2,1)，
又曲线 y=1+4-x2图象为以 (0,1)为圆心，2为半径的半圆，
当直线 l与半圆相切， C为切点时，圆心到直线 l的距离 d=r，即 |3-2k|k2+1=2，
解得： k=512；
当直线 l过 B点时，直线 l的斜率为 4-12-(-2)=34，
则直线 l与半圆有两个不同的交点时，实数 k的范围为 (512,34]．
故选： D．
题目ID：923151801266479104
【答案】
7.A
【解析】
7.解:将圆的方程化为标准形式得圆 (x-a)2+(y+2)2=16,
所以圆心坐标为 (a,-2),半径为 r=4
因为圆 x2+y2-2ax+4y+a2-12=0上存在到直线 4x-3y-2=0的距离等于1的点，
所以圆心到直线的距离 d满足 d≤r+1=5,即 d=|4a+4|5≤5,解得: a∈[-294,214]
故选:A
题目ID：923151807788621824
【答案】
8.B
题目ID：923151814298177536
9.【答案】
BD
9.【解析】
对于A，显然 a⃗， b⃗， c⃗两两共面，但 a⃗， b⃗， c⃗不可能共面，否则不能构成空间的一个基底，故A正确；
对于B，由空间向量基底的定义可知，当 a⃗⊥b⃗， b⃗⊥c⃗时，所 a⃗,c⃗成角不一定为 π2，故B错误；
对于C，根据空间向量基本定理得到总存在有序实数组 (x,y,z)，使 p⃗=xa⃗+yb⃗+zc⃗，故C正确；
对于D，假设向量 a⃗+b⃗， b⃗+c⃗， c⃗+a⃗共面，
则 a⃗+b⃗=x(b⃗+c⃗)+y(c⃗+a⃗)，化简得 -(x+y)c⃗+(1-x)b⃗+(1-y)a⃗=0⃗，
因为 a⃗， b⃗， c⃗不共面，所以 1-x=01-y=0x+y=0，无解，
所以 a⃗+b⃗， b⃗+c⃗， c⃗+a⃗不共面，一定能构成空间的一个基底，故D错误．
故选：BD.
题目ID：923151869071597568
【答案】
10.ACD
【解析】
10.对于A：设直线 xsinα-y+1=0的倾斜角为 θ，
则 tanθ=sinα∈-1,1，所以 θ的取值范围是 0,π4∪3π4,π，故A正确；
对于B：由点 2,1到直线 3x+4y+c=0距离为 3，可得 3×2+4×1+c32+42=3，
解得 c=5或 c=-25，
所以“ c=5”是“点 2,1到直线 3x+4y+c=0的距离为3”的充分不必要条件，故B错误；
对于C： λx+y-3λ=0λ∈R，即 λx-3+y=0，恒过定点 3,0，故C正确；
对于D：直线 y=-2x+5即 2x+y-5=0与直线 2x+y+1=0平行，
圆 x2+y2=5的圆心为 0,0，半径为 5，
又圆心 0,0到直线 2x+y-5=0的距离为 -522+12=5，
所以 2x+y-5=0与圆 x2+y2=5相切，故D正确；
故选：ACD
题目ID：923151872699666432
11.【答案】
BC
11.【解析】
A选项，以 A为坐标原点， DA⃗,AB⃗,AA1⃗所在直线分别为 x,y,z轴，建立空间直角坐标系，
则 A0,0,0,B0,1,0,A10,0,1,G-1,-1,2,Q0,-1,2,C-1,1,0，
B10,1,1,C1-1,1,1,D-1,0,0，
CG⃗=0,-2,2,AB⃗=0,1,0,AA1⃗=0,0,1，
则 2AB⃗+2AA1⃗=0,2,0+0,0,2=0,2,2≠CG⃗，A错误；
B选项，平面 A1B1C1D1的法向量为 m⃗=0,0,1，
CQ⃗=0,-1,2--1,1,0=1,-2,2，设直线 CQ与平面 A1B1C1D1所成角的大小为 θ，
则 sinθ=csCQ⃗,m⃗=CQ⃗⋅m⃗CQ⃗⋅m⃗=1,-2,2⋅0,0,11+4+4=23，B正确；
C选项， CC1⃗=0,0,1，
点 C1到直线 CQ的距离为 d=CC1⃗2-CC1⃗⋅CQ⃗CQ⃗2=1-0,0,1⋅1,-2,21+4+42=1-232=53，C正确；
D选项， BD⃗=-1,0,0-0,1,0=-1,-1,0，
设异面直线 CQ与 BD所成角大小为 α，
则 csα=csCQ⃗,BD⃗=CQ⃗⋅BD⃗CQ⃗⋅BD⃗=1,-2,2⋅-1,-1,01+4+4×1+1+0=-1+2+032=26，D错误.

故选：BC
题目ID：923151883336425472
12.【答案】
4
12.【解析】
如图，根据椭圆的对称性，不妨设 F为左焦点， F'为右焦点，
由椭圆 x225+y29=1，得 a=5， 2a=10，
∵N是 MF的中点， O是 FF'的中点，
∴ON为 △FMF'的中位线，
∴|MF'|=2|ON|=6，
∴由椭圆的定义得 |MF|=2a-|MF'|=10-6=4．
故答案为：4．
题目ID：923151886196936704
13.【答案】
16-a2m
13.【解析】
如图，矩形 OMNP是货车截面图， OM=a，则 MN=ON2-OM2=16-a2，
故答案为： 16-a2m．

题目ID：923151894333890560
14.【答案】
（x-3）2+(y-2)2=16或 （x-11）2+(y+6)2=144
14.【解析】
l1:y=x-1 上有两个点 A(x1,y1) 和 B(x2,y2) , x1,x2 为一元二次方程 x2-6x+1=0 的两个根，故 x1+x2=6 ，那么 y1+y2=4 ，所以 AB 中点坐标为 （3，2） ，因为圆心在直线 AB 的中垂线上，故过圆心的直线为 y=-x+5 ，设圆心的坐标为 （a，5-a） ，由圆与直线 l2:x=-1 相切故 r=a+1 ，由弦长公式可得 AB=1+k2x1-x2=8 ，圆心到直线 AB 的距离为 |2a-6|2 ，因为圆的半径、半弦长、圆心到直线 AB 的距离构成直角三角形，由勾股定理可知 r2=d2+12|AB|2↔(a+1)2=2(a-3)2+16 解得：当 a=3 时， r=4 ；当 a=11 时， r=11 ，所以圆的方程为 (x-3）2+(y-2)2=16 或 （x-11）2+(y+6)2=144 ．
题目ID：923151902156263424
15.【答案】
（1） x-3y+3=0
（2） x=1或 y=-158x+478
15.【解析】
（1）设点 P关于直线 l： x+y-1=0的对称点 P1坐标为 (a,b)，
则有 b-4a-1⋅-1=-1a+12+b+42-1=0，解得 a=-3b=0，即 P1-3,0，
直线 P1Q的方程为： y-0=2-03-(-3)(x+3)，即 x-3y+3=0，
因反射光线过点 Q3,2，而反射光线所在直线过点 P1-3,0，
所以反射光线所在直线方程为 x-3y+3=0.
（2）圆C： x2+y2-4x+3=0即圆C： x-22+y2=1的圆心为 C2,0，半径为 r=1，
过 P1,4点且斜率不存在的直线为 x=1，显然 C2,0到直线 x=1的距离 d=1=r，故 x=1满足题意；
设过点 P1,4且斜率存在的直线 y=kx-1+4的直线与圆C： x-22+y2=1相切，
则 d=k+4k2+1=1，解得 k=-158，此时所求直线为 y=-158x-1+4，即 y=-158x+478；
综上所述，满足题意的切线方程为 x=1或 y=-158x+478.
题目ID：923151905369104384
16.【答案】
（1） x225+y29=1
（2）轨迹方程为 x2+y2=25，轨迹是：以 0,0为圆心，5为半径的圆．
16.【解析】
（1）设椭圆的标准方程为 x2a2+y2b2=1a>b>0，
因为椭圆E的两个焦点坐标分别为 -4,0,4,0，并且经过点 52,332
所以 2a=52+42+274+52-42+274=10，
所以 a=5， b2=a2-c2=25-16=9，
所以E的标准方程为： x225+y29=1.
（2）
设 Mx,y， Px0,y0，则 Dx0,0， DM⃗=x-x0,y， DP⃗=0,y0
因为 DM⃗=53DP⃗，所以 x-x0=0y=53y0，则 x0=xy0=35y，
又因为 x0225+y029=1，
把 x0=xy0=35y代入上式得： x2+y2=25，
所以点M的轨迹方程为 x2+y2=25，轨迹是：以 0,0为圆心，5为半径的圆．
题目ID：923151912977571840
17.【答案】
（1） (x+1)2+(y-2)2=5；
（2） CD=78.
17.【解析】
（1）解：因为圆 C1与图 C2相切，且点 -2,0在圆 C2的外部，
所以圆 C1与圆 C2外切，
则 C1,O,C2三点共线，
图 C2:x2+y2-4x+8y=0，
化为标准形式为： (x-2)2+(y+4)2=20，
所以圆心 C22,-4，
故圆心 C1在直线 y=-2x上，
设圆 C1的标准方程为 (x-t)2+(y+2t)2=r2，
又圆 C1过原点 O0,0，则 r2=5t2，
圆 C1经过点 -2,0，则 (-2-t)2+(0+2t)2=r2=5t2，解得 t=-1，
故圆 C1的标准方程为 (x+1)2+(y-2)2=5；
（2）解：由（1）可知，圆 C1的圆心坐标为 -1,2，
由直线 l:ax+by+2a-b=0，化为 ax+2+by-1=0，
所以直线 l恒过点 P-2,1，
易知点 P在圆 C1的内部，
设点 C1到直线 l的距离为 d，则 AB=2r2-d2=25-d2，
要使 AB取得最小值，则 d取得最大值，所以 PC1⊥l，
此时 kPC1=2-1-1+2=1，所以 kl=-1，
则直线 l的方程为 y-1=-x+2，即 x+y+1=0.
又圆心 C2到直线 x+y+1=0的距离 d'=2-4+12=22，
所以 CD=220-222=78.
题目ID：923151915821305856
18.【答案】
（1）证明见解析
（2）4
（3）不存在，理由见解析
18.【解析】
（1）解法一：因为 DD1⊥平面ABCD， DC,DA⊂平面ABCD，
所以 DD1⊥DA， DD1⊥DC，所以 DD1⃗⋅DA⃗=0， DD1⃗⋅DC⃗=0，
因为 DC1⊥D1B，所以 DC1⃗⋅D1B⃗=0，
又因为 DC1⃗=DC⃗+DD1⃗， D1B⃗=DB⃗-DD1⃗=DA⃗+DC⃗-DD1⃗.
所以 (DC⃗+DD1⃗)⋅(DA⃗+DC⃗-DD1⃗)=0，化简得 DA⃗⋅DC⃗=-4.
所以 DA⃗⋅DB⃗=DA⃗⋅(DA⃗+DC⃗)=DA⃗2+DA⃗⋅DC⃗=4-4=0，
所以 DA⊥DB.
解法二：在平面ABCD内过点D作AB的垂线，垂足为H，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系 D-xyz，
D0,0,0， D1(0,0,23)， C0,4,0， C10,4,23，
设 Ba,b,0a>0，则 Aa,b-4,0，
所以 D1B⃗=(a,b,-23)， DC1⃗=(0,4,23)，
由 DC1⊥D1B得 D1B⃗⋅DC1⃗=4b-12=0，所以 b=3，
又因为 DA=2，所以 a2+(b-4)2=2，解得 a=3，
所以 A3,-1,0， B(3,3,0)， DA⃗=(3,-1,0)， DB⃗=(3,3,0)，
所以 DA⃗⋅DB⃗=(3)2-3=0，
所以 DA⊥DB.
解法三：在平面ABCD中，过B作DC的垂线，垂足为G，连结 D1G交 DC1于F.
因为 DD1⊥平面ABCD， BG⊂平面ABCD，所以 DD1⊥BG，
因为 DC∩DD1=D， DC,DD1⊂平面 DCC1D1，所以 BG⊥平面 DCC1D1，
又因为 DC1⊂平面 DCC1D1，所以 BG⊥DC1，
因为 D1B⊥DC1， D1B∩BG=B， D1B,BG⊂平面 D1BG，所以 DC1⊥平面 D1BG，
因为 D1G⊂平面 D1BG，所以 DC1⊥D1G，
则 Rt△D1DG~Rt△C1D1D，所以 DGDD1=DD1D1C1=234，所以 DG=3， CG=1，
在 △GBC中， ∠BGC=90°， CG=1， BC=2，所以 BG=3，
在 △GBD中， ∠BGD=90°， DG=3,BG=3，所以 DB=23，
在 △ABD中， DB=3， DA=2， AB=4，所以 AB2=DB2+DA2，所以 ∠ADB=90°，
所以 DA⊥DB.
（2）因为 DC=2DA=4，由（1）知 ∠ADB=90°，所以 ∠ADC=120°，
过作 AH⊥CD于H，则 AH=AD⋅sin60∘=3.
因为直棱柱中平面 CC1D1D⊥平面ABCD，平面 CC1D1D∩平面 ABCD=DC，
AH⊂平面ABCD，所以 AH⊥平面 CC1D1D，
所以 VC-A1C1D=VA1-CC,D=13S△CC1D⋅AH=13⋅12×DC×CC1⋅AH =13×12×4×23×3=4.
（3）解法一：假设存在点E满足条件，
因为 DD1⊥平面ABCD， DA⊥DB，
所以以D为原点，建立空间直角坐标系 D-xyz，如图所示，
D0,0,0， A2,0,0， B0,23,0， C(-2,23,0)， D1(0,0,23)， C1(-2,23,23)，
DB⃗=(0,23,0),AA1⃗=(0,0,23),D1C1⃗=AB⃗=(-2,23,0)，
设 D1E⃗=λD1C1⃗0≤λ≤1，则 DE⃗=DD1⃗+D1E⃗=(-2λ,23λ,23)，
设平面EBD的一个法向量为 n1⃗=（x1,y1,z1），
由 n1⃗⋅DB⃗=0n1⃗⋅DE⃗=0，得 23y1=0-2λx1+23λy1+23z1=0，
令 x1=3，得 y1=0,z1=λ，所以 n1⃗=(3,0,λ).
设平面 ABB1A1的一个法向量 n2⃗=x2,y2,z2，
由 n2⃗⋅AA1⃗=0n2⃗⋅AB⃗=0，得 23z2=0-2x2+23y2=0，
令 x2=3，得 y2=1,z2=0，所以 n2⃗=(3,1,0).
所以 csn1⃗,n2⃗=n1⃗⋅n2⃗n1⃗⋅n2⃗=323+λ2，
因为平面EBD与平面D1BD的夹角为 π4，
即 323+λ2=22，解得 λ=±62，
又因为 0≤λ≤1，所以 λ=±62舍去，
所以线段 C1D1上不存在点E使得平面EBD与平面 ABB1A1的夹角为 π4.
解法二：由（1）解法二得平面 ABB1A1的一个法向量为 n1⃗=(1,0,0)，
假设存在E点满足条件，设 D1E=λD1C10≤λ≤1，则 DE=DD1+D1E=(0,4λ,23)
设平面EBD的一个法向量为 n2⃗=x2,y2,z2，
由 n2⃗⋅DE⃗=0n2⃗⋅DB⃗=0，得 4λy2+23z2=03x2+3y2=0，
令 y2=3，则 x2=-3,z2=-2λ，所以 n2⃗=(-3,3,-2λ).
所以 csn1⃗,n2⃗=n1⃗⋅n2⃗|n1⃗|⋅|n2⃗|=-312+4λ2，
因为平面EBD与平面D1BD的夹角为 π4，
即 -312+4λ2=22，解得 λ=±62.
又因为 0≤λ≤1，所以 λ=±62舍去，
所以线段 C1D1上不存在点E使得平面EBD与平面 ABB1A1的夹角为 π4.
题目ID：923151923333308416
19.【答案】
（1）存在，理由见解析
（2） 1,2
（3） 0,8
19.【解析】
（1）存在点 A0,0，使得 a， b是 KAμ定积直线，理由如下：
由题意可得 k⋅-13k=-13，
由 y=kxk≠0y=-13kx，解得 x=0y=0，
故存在点 A0,0，使得 a， b是 KAμ定积直线，且 μ=-13．
（2）设直线 OM的斜率为 λλ≠0，则直线 OP的斜率为 1λ，直线 PM的斜率为 -2λ．
依题意得 λ⋅-2λ=-2x02，得 λ2x02=1，即 λx0=1或 -1．
直线 OM的方程为 y=λx，因为点 Mx0,x02-3在直线 OM上，所以 x02-3=λx0．
因为点 M在第一象限，所以 x02-3=λx0=1，解得 x0=2或 -2（舍去）， λ=12， M2,1，
所以直线 OP的方程为 y=1λx=2x，直线 PM的方程为 y=-2λx-2+1=-x+3，
由 y=2xy=-x+3，得 x=1y=2，即点 P的坐标为 1,2．
（3）设直线 m:y-4=tx+2，直线 n:y-4=-4tx+2，其中 t≠0，
则 d1d2=2t+41+t2⋅8-4tt2+16=8t2-4t2+16t2+1=8t4-8t2+16t4+17t2+16
=81-25t2t4+17t2+16=81-25t2+17+16t2，
t2+17+16t2≥2t2⋅16t2+17=25，当且仅当 t2=16t2，即 t2=4时，等号成立，
所以 0≤81-25t2+17+16t2