江西省上饶市广丰中学2024-2025学年高二上学期9月数学检测卷

这是一份江西省上饶市广丰中学2024-2025学年高二上学期9月数学检测卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知，都是正实数，且直线与直线互相垂直，则的最小值为（ ）
A．12B．10C．8D．25
2．已知点到直线的距离为5，且直线在两坐标轴上的截距相等，则满足条件的直线共有（ ）条.
A．1B．2C．3D．4
3．若圆上总存在两点关于直线对称，则过圆C外一点向圆C所作的切线长的最小值是（ ）
A．4B．C．D．
4．已知圆与圆. 相交于两点，直线，点在直线上，点在圆上，①圆O与直线l相切; ②线段AB的长为③的最小值是2； ④从P点向圆M引切线，切线长的最小值是则说法正确的是 （ ）
A．①②④B．①③④C．②④D．①③
5．已知，分别为椭圆的左右焦点，过的一条直线与交于A，B两点，且，，则椭圆长轴长的最小值是（ ）
A．12B．C．6D．
6．已知椭圆的焦距为，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围为（ ）
A．B．C．D．
7．已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点的直线与抛物线交于两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知抛物线上的点到其焦点的距离是它到y轴距离的2倍，若抛物线E的焦点与双曲线的右焦点重合，过双曲线C左右顶点A，B作C的同一条渐近线的垂线，垂足分别为P，Q，若，则双曲线的离心率为（ ）．
A．B．2C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知点及圆及，过圆上一点作圆的两条切线，圆为的外接圆，则（ ）
A．圆半径为定值
B．当轴时，直线方程为
C．的值不可能为4
D．当点横坐标为0时，直线的方程为或
10．已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，动点在椭圆上，则下列描述正确的有（ ）
A．若的周长为6，则
B．若当时，的内切圆半径为，则
C．若存在点，使得，则
D．若的最大值为2b，则
11．已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与圆相切于点，与第二象限内的渐近线交于点，则（ ）
A．双曲线的离心率
B．若，则的渐近线方程为
C．若，则的渐近线方程为
D．若，则的渐近线方程为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若直线与直线平行，且与间的距离为，则 .
13．已知圆与圆的公共弦长为，则圆的方程为 ．
14．抛物线经过点，，F为焦点，且，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15．（13分）已知直线，试求：
(1)点关于直线l的对称点坐标.
(2)直线关于直线l对称的直线的方程.
(3)直线l关于点对称的直线方程.
16．（15分）已知以点为圆心的圆与直线相切.
(1)求圆的方程;
(2)过点的直线与圆相交与两点， 当时，求直线方程；
(3)已知实数满足圆的方程，求的最小值.
17．（17分）已知椭圆，三点中恰有两点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线交椭圆于两点，且线段的中点的横坐标为，过作新直线，
①求直线和直线的斜率之积；
②证明：新直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
18．（15分）已知双曲线的虚轴长为2，且离心率为．
(1)求的方程和焦点坐标；
(2)设的右焦点为，过的直线交于两点，若中点的横坐标为3，求．
19．（17分）给出如下的定义和定理：
定义：若直线与抛物线有且仅有一个公共点，且与的对称轴不平行，则称直线与抛物线相切，公共点称为切点．
定理：过抛物线上一点处的切线方程为．
完成下述问题：
已知抛物线，焦点为，过外一点（不在轴上），作的两条切线，切点分别为，（在轴两侧）直线分别交轴于两点，
(1)若，求线段的长度；
(2)若点在直线上，证明直线过定点，并求出该定点；
(3)若点在曲线上，求四边形的面积的范围．
参考答案
1．D
【分析】根据两条直线垂直得出,再根据基本不等式计算求解即可.
【详解】因为直线与直线互相垂直，
所以即得,
所以,
因为，都是正实数，所以.
当且仅当时，取最小值25.
故选：D.
2．C
【分析】根据直线经过原点和不经过原点，设出直线的方程，即可根据点到直线的距离求解.
【详解】当直线经过原点时，则直线方程为y=kxk≠0，
此时到直线的距离为，化简得，解得，
当直线不经过原点时，设直线方程，即，
此时到直线的距离为，解得，
故符合条件的直线有3条，
故选：C
3．D
【分析】圆心在直线上，代入得到，当与圆心的连线与直线垂直时，点到圆心的距离最小，最小值为，此时切线长最小，由勾股定理求出最短的切线长.
【详解】由题意得，圆心在直线上，
故，即，
圆心到直线的距离为，
故与圆相离，
当与圆心的连线与直线垂直时，
点到圆心的距离最小，最小值为，
此时过向圆C所作的切线长最小，
其中圆的半径为，
由勾股定理得，切线长为.
故选：D
4．B
【分析】对于①，由点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，进而判断①是否正确；对于②，将两圆方程相减，得到直线的方程，根据圆心到直线的距离公式，利用勾股定理，即可求出结果，进而判断②是否正确；对于③，利用圆心到直线的距离减半径最小，即可求出结果，进而判断③是否正确；对于④，由勾股定理，可知当最小时，切线长的最小值，结合点到直线的距离公式，即可求出结果，进而判断④是否正确.
【详解】对于①，由圆的圆心，半径为，
圆心到直线的距离，
所以圆O与直线相切，故①正确；
对于②，将两圆方程相减，可得直线的方程为，
圆心到直线的距离，
所以线段AB的长为，故②错误；
对于③，圆，即，
所以圆的圆心坐标为，半径为，
所以圆心到直线的距离为，
当时，PQ可取得最小值，此时PQ的最小值是，故③正确；
对于④，从点向圆引切线，设切点为，则，
所以当最小时，切线的长取的最小值，所以当直线时，最小，
即，所以，故④正确.
故选：B.
【点睛】方法点睛：求直线上的点到圆上的点的距离的最小值，常常数形结合，求得圆心到直线的距离的最小值减去圆的半径，可求得最小值.
5．D
【分析】利用椭圆的定义，结合勾股定理，利用基本不等式转化求解即可．
【详解】设，则，，，

由，得，则，有，
所以，
当且仅当，即时取等号．
所以椭圆长轴长的最小值是.
故选：D
6．A
【分析】根据椭圆焦点坐标以及直线过定点可得点在椭圆内部，整理不等式可得离心率.
【详解】将直线整理可得，
易知该直线恒过定点，
若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，可知点在椭圆内部；
易知椭圆上的点当其横坐标为时，纵坐标为，即可得，
整理可得，即，
解得.
故选：A
7．B
【分析】（方法一）首先求出抛物线的方程为，设直线的方程为：，与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系求出的值，再根据抛物线的定义知，，从而求出的最小值即可.
（方法二）首先求出，再利用基本不等式即可求解即可.
【详解】（方法一）

因为抛物线的焦点到准线的距离为，故，
所以抛物线的方程为，焦点坐标为F1,0，
设直线的方程为：，不妨设，
联立方程，整理得，则，
故，
又AF=x1+p2=x1+1，，
则，
当且仅当时等号成立，故的最小值为.
故选：B.
（方法二）由方法一可得，则，
因此
，
当且仅当时等号成立，
故的最小值为.
故选：B.
8．C
【分析】先由题意结合抛物线焦半径得，从而得，将其代入可求出E，进而得，再由双曲线渐近线方程和点到直线距离公式以及勾股定理得，求出结合离心率公式即可得解.
【详解】由题意可得且抛物线E上的到其焦点的距离是，它到y轴距离是，
所以，即，
将代入得，
所以，焦点为，所以，
又，双曲线渐近线方程为，
不妨假设是过A，B作C的同一条渐近线的垂线，垂足分别为P，Q，
则双曲线的对称性可知A和B到渐近线的距离相等为，
所以，
所以即，则双曲线的离心率为.

故选：C.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键1是由题意结合抛物线焦半径得，从而求得，将其代入抛物线求出E得，关键点2是由双曲线渐近线方程和点到直线距离公式以及勾股定理得即得，进而结合离心率公式得解.
9．ACD
【分析】对于A：分析可知的外接圆就是四边形的外接圆，即可得直径为；对于B：分析可知直线是弦的垂直平分线，即可得结果；对于C：假设成立，推出为圆的直径，两切线平行，得出矛盾；对于D：根据两圆方程之差即为公共弦方程列式求解即可.
【详解】对于A，由题意可知：，
可知的外接圆就是四边形的外接圆，
其直径为，半径为，故A正确；
对于B：直线是弦的垂直平分线，当轴时，直线方程为，故B错误；
对于C：当AB的值为4时，为圆的直径，两切线平行，不可能都过点，故C正确；
对于D：当点坐标为时，圆方程为，
即，
圆方程为，两方程相减得，
当点坐标为0,2时，圆方程为，
即，与圆方程相减得，故D正确.
故选：ACD.
10．ABD
【分析】利用焦点三角形的周长求得，可求判断A；利用余弦定理求得焦点三角形的面积，可得，求解可判断B；若，则以为圆心，为半径的圆与椭圆有交点，则，求解可判断C；，利用二次函数的最值可求得的范围判断D.
【详解】对于A,由椭圆，可得，
因为的周长为6，所以，解得，
因为，所以，解得，故A正确；
对于B，由，可得，
当时，由余弦定理可得
，
则，解得，
所以，
又的内切圆半径为，
所以，
所以，所以，解得（舍去）或，
所以，故B正确；
对于C，若，则以为圆心，为半径的圆与椭圆有交点，则，
所以，所以，解得，
所以存在点，使得，则，故C错误；
对于D，设，
，
又因为，因为下顶点到上顶点的距离为2b，又的最大值为2b，
故时取最大值，所以，解得，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】结论点睛：椭圆中焦点三角形的有关结论
（1）焦点三角形的周长为；
（2）当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大.
11．AC
【分析】利用可得，与渐近线斜率相比较即可构造不等式求得离心率，知A正确；根据斜率关系可知直线为双曲线的一条渐近线，利用可构造方程求得B正确；分别利用和可构造方程求得CD正误.
【详解】
对于A，，，，，
，，又与第二象限内的渐近线交于点，
，即，，，A正确；
对于B，由A知：，又，，
直线即为双曲线的一条渐近线，
，，又，
，，
，
，，
，整理可得：，
，，，
即，解得：，的渐近线方程为，B错误；
对于C，，，
，，
，整理可得：，即，
，，的渐近线方程为，C正确；
对于D，，，，
，
，，
，整理可得：，
，，，的渐近线方程为，D错误.
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线离心率、渐近线的求解问题，解题关键是能够利用余弦定理和渐近线斜率构造关于的方程，进而求得双曲线的离心率和渐近线方程.
12．15或
【分析】先由求出，接着由两条平行线的距离公式可求出，进而得解.
【详解】由题可知，所以，解得且，
所以，可表示为，
则间的距离为，解得或8，
所以或.
故答案为：15或.
13．
【分析】两圆方程相减可得公共弦方程，根据弦长结合垂径定理解得，即可得方程.
【详解】由题意可得：圆，且圆心，半径为，
因为公共弦长为，则圆心到公共弦的距离为，
圆与圆两圆方程相减可得，，
即公共弦方程为，
则圆心到公共弦的距离为，解得（正值舍去），
所以圆的方程为．
故答案为：.
14．
【分析】根据焦半径公式得，进而得，再结合的横坐标为求解即可.
【详解】∵抛物线经过点，为抛物线的焦点，且，
∴抛物线的定义，可得，解得，
∴，
∵的横坐标为，
∴，解得．
所以.
故答案为：．
15．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）设对称点为，由与直线垂直，中点在直线上列方程组求解；
（2）求出与的交点坐标，再求出直线上一点关于直线的对称点的坐标，由这两点可得直线方程；
（3）设直线关于点对称的直线方程为，由点到这两条平行线间距离相等求解．
【详解】（1）设点P的对称点为，
则，解得，
所以对称点坐标为；
（2）由，解得，即直线与的交点为，
点是直线上的一点，设它关于直线的对称点为，
则，解得，即，
，所以直线的方程为，即；
（3）设直线关于点对称的直线方程为，
由，解得（舍去）或，
所以对称直线方程为．
16．(1)
(2)x=0或
(3)
【分析】（1）由题意知到直线的距离为圆半径，由点到直线的距离公式即可求解；
（2）求得圆心到直线的距离，分斜率是否存在两种情况计算可得结论；
（3）求得圆心到的距离的最小值可得结论.
【详解】（1）（1）由题意知点到直线的距离为圆的半径，
由点到直线的距离公式可得,
所以圆的方程为.
（2）因为直线与圆相交与两点，且，
所以可得圆心到直线的距离为，
当直线的斜率不存在时，直线方程为，圆心到直到直线的距离为，符合题意，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由题意可得，解得，
所以直线的方程为，即，
综上所述：直线的方程为或.
（3）表示点到的距离的平方，
又圆心到到的距离为，
所以点到的距离的最小值为，
所以的最小值为.
17．(1)
(2)①；②证明见解析,定点的坐标为,
【分析】（1）判断点，点在椭圆上，点或在直线上，代入椭圆方程，即可求出椭圆的方程；
（2）设,，当时，设,、,，利用点差法求出直线和直线的斜率之积；由此得直线的方程，结合方程确定直线恒过定点即可得结论．
【详解】（1）由题可知，一定在椭圆上，其中一个在椭圆上，
当椭圆过点可得，
则椭圆的方程为；
当椭圆过点可得，方程组无解，
综上，椭圆的方程为；
（2）①由题可设,，当时，设,、,，显然，
联立，则，即，
因为为线段的中点，所以，
又，
所以，即直线和直线的斜率之积为；
②由①可得直线的斜率为，
又，所以直线的方程为，
即，
显然恒过定点,，
当时，直线即，此时为轴亦过点,；
综上所述，恒过定点,．
18．(1)方程为，左、右焦点坐标分别为
(2)
【分析】（1）根据双曲线虚轴长以及离心率联立方程组即可得出的方程；
（2）联立直线与双曲线方程，由韦达定理以及弦长公式计算可得.
【详解】（1）因为的离心率为，又的虚轴长为2，所以，
又，
联立解得，，
所以的方程为，左、右焦点坐标分别为．
（2）由（1）知，
根据题意易得过的直线斜率存在，
设的直线方程为，如下图所示：
联立，化简得，
所以，
因为中点横坐标为3，所以，
解得，所以，
则，
则．
19．(1)
(2)证明见解析，
(3)
【分析】（1）根据定义求得，再求出切线的方程，得到，再利用两点间的距离公式即可得解；
（2）写出两条切线方程，然后联立求得切线交点的坐标，然后利用在直线上，即可得证直线过定点，并可求出定点坐标；
（3）由（1）（2）得，然后利用求得四边形的面积，通过换元，构造函数，借助导数求出函数的值域即可得解.
【详解】（1）由题意知，直线，的斜率均不为零，其斜率都存在且异号，
设，因为，，
不妨设，则方程为，即，，，
所以线段CF的长度为.

（2）设，直线，
联立，可得.
在轴两侧，，，
所以点处的切线方程为，整理得，
同理可求得点处的切线方程为，
由，可得，
又在直线上，，直线过定点.

（3）由（2）可得在曲线上，.

由（1）可知，
，
令在单调递减，
四边形的面积的范围为
【点睛】关键点点睛：第（1）小问的关键是结合定义，求出；第（2）小问的关键是联立两切线方程，求出切线方程交点Q的坐标；第（3）小问的关键是借助（1）（2）小问的结论，将表实成只含一个参数的式子，然后构造函数，求出值域从而得解.