广东省东莞市南城阳光实验中学2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试卷

这是一份广东省东莞市南城阳光实验中学2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，四个图标中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（ ）
A．4cm，5cm，6cmB．3cm，4cm，5cmC．2cm，3cm，4cmD．1cm，2cm，3cm
3．根据下列条件能画出唯一的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，工人师傅砌门时，为使长方形门框ABCD不变形，常用木条EF将其固定，这种做法的依据是（ ）
A．两点之间线段最短B．垂线段最短
C．两点确定一条直线D．三角形具有稳定性
5．如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
6．我国的纸伞工艺十分巧妙．如图，伞不论张开还是缩拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动，为了证明这个结论，我们的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
7．中，，E在BC上，D在AE上．则下列说法：
①若E为BC中点，则有；
②若，则E为BC中点；
③若，则有；
④若，则，其中正确的有（ ）
A．①③④B．②③④C．①②③D．①②③④
8．如图，某海域中有A，B，C三个小岛．其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏东方向，且B，C到A的距离相等，则小岛C相对于小岛A的方向是（ ）
A．北偏东70°B．北偏西75°C．南偏西70°D．南偏西20°
9．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在中，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成矩形BCHG．若，则的面积是（ ）
A．15B．20C．30D．40
10．如图，在中，AD是BC边上的高，连接FG，交DA的延长线于点E，连接BG，CF．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11．正八边形的一个内角等于______度．
12．如图，，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作，垂足为点F，若，则的度数为______．
13．在中，，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，，则______．
14．如图，在的正方形网格中标出了和，则______．
15．过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（本小题8分）
如图，在中，．
（1）用尺规在边BC上求作一点D，使AD平分（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）用尺规在边AB上求作一点E，使（不写作法，保留作图痕迹）．
17．（本小题8分）
如图，在中，，D是BC边上的中点，于点E，于点F．求证：．
18．（本小题8分）
已知：如图，，求证：．
19．（本小题9分）
如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为．
（1）将向下平移四个单位长度，画出平移后的；（点A、B、C的对应点分别是点）；
（2）画出关于y轴对称的（点的对称点分别是点），并直接写出点的坐标．
20．（本小题9分）
如图，点B、E、C、F四点在一条直线上，，老师说：再添加一个条件就可以使．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加，乙说：添加；丙说：添加．
（1）甲、乙、丙三个同学说法错误的是______；
（2）请你从正确的说法中选择一种，给出你的证明．
21．（本小题9分）
如图，点E在的边AC上，且，AF平分交BE于F，交AC于点D．
（1）求证：；
（2）若，求的周长．
22．（本小题12分）
已知：如图1，B，C，E三点在一条直线上，和均为等腰直角三角形，，连接BD，AE，BD与AE的延长线交于点M．
（1）AE与BD有怎样的位置关系？并说明理由；
（2）探究：将图1中的绕点C顺时针旋转一个角度（旋转角小于90°），如图2所示．
①问：（1）中的结论还成立？若成立，请说明理由：
②连接MC，如图3所示，求证：MC平分．
23．（本小题12分）
如图，长方形ABCD中，，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边返回到点A停止，设点P运动的时间为t秒．
（1）当时，______cm；
（2）当t为何值时，连接BD，AP，的面积为长方形面积的三分之一；
（3）Q为AD边上的点，且，当t为何值时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与全等．
答案和解析
1．【答案】C
【解析】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误：
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项错误．
故选：C．
根据轴对称图形的概念解答．
本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了三角形三边关系．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
根据三角形三边关系解答即可．
【解答】
解：A、，能构成三角形，不合题意：
B、，能构成三角形，不合题意：
C、，能构成三角形，不合题意：
D、，不能构成三角形，符合题意．
故选D．
3．【答案】D
【解析】解：当．时，则线段AB、BC、CA不能构成三角形，故选项A不符合题意；
当时，可以得到点B到AC的距离为3.5，可以画出两个三角形，如图1所示，故选项B不符合题意：
当时，可以画出很多的三角形ABC，如图2所示，故选项C不符合题意；
当时，可以画出唯一的三角形ABC，故选项D符合题意；
故选：D．
根据各个选项中的条件，可以判断是否可以画出唯一，从而可以解答本题．
本题考查三角形的三边关系，根据已知条件画三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
4．【答案】D
【解析】解：常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是三角形具有稳定性．
故选：D．
根据三角形具有稳定性解答．
本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构．
5．【答案】B
【解析】解：根据尺规作图的痕迹可得，
∵DE可以理解成是平角的角平分线，
∴是的平分线，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
，
∵DE不是AB的垂直平分线，故不能证明，
综上所述：A，C，D不符合题意，B符合题意，
故选：B．
由尺规作图的痕迹可得，，AD是的平分线，根据同角的余角相等可判断A，根据角平分线的性质可判断C，证得可判定D，由于DE不是AB的垂直平分线，不能证明．
本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是根据尺规作图的痕迹可判断出，AD是的平分线．
6．【答案】A
【解析】【分析】本题考查了全等三角形的应用，理解题意确定三角形全等的条件是解题的关键．
【详解】解：根据伞的结构可知，，伞骨是公共边，
∵在和中，（已知），
，
（全等三角形对应角相等）．
即AP平分（角平分线的定义）．
故选：A．
7．【答案】D
【解析】解：∵，
∴当E为BC中点时，可得，因此，故①正确；
当时，可得，由可得，E为BC中点，故②正确；
当时，由三线合一可得，AE是BC的垂直平分线，因此，故③正确；
当时，可得，由∠可得，，故④正确．
故选：D．
根据为等腰三角形，有三线合一的性质，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
本题主要考查了等腰三角形的性质，解决问题时注意：在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
8．【答案】A
【解析】解：如图，由题意得，，
，
，
，
，
，
，
，
∴小岛C在小岛A的北偏东70°，
故选：A．
根据方向角的定义以及等腰三角形的性质进行计算即可．
本题考查方向角，理解方向角的定义，掌握平行线的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是正确解答的前提．
9．【答案】D
【解析】解：由题意，在和中，，
故，
同理，
，
，
，
故选：D．
根据图形的拼剪，求出BC以及BC边上的高即可解决问题．
本题考查图形的拼剪，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
10．【答案】D
【解析】解：∵，
，即，
又，
，
，故①正确；
，
，
又∵BC与AG所交的对顶角相等，
∴BG与FC所交角等于，即等于90°，
∴，故②正确；
过点F作于点M，过点G作交AE的延长线于点N，
，
，
，
又，
，
，
同理，
，
，
，
，
，
．
，
．
故③正确，
，
．
故④正确．
故选：D．
证得，从而推得①正确；利用及三角形内角和与对顶角，可判断②正确：证明，得出，同理，得出，，则，证明，得出．则可得出③正确，由可得出结论④正确．
本题综合考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的三线合一性质与互余、对顶角，三角形内角和等几何基础知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
11．【答案】135
【解析】解：∵正八边形的外角和为360°，
∴正八边形的每个外角的度数，
∴正八边形的每个内角．
故答案为：135．
根据n边形的外角和为360°得到正八边形的每个外角的度数，然后利用补角的定义即可得到正八边形的每个内角．
本题考查了多边形内角与外角：n边形的内角和为；n边形的外角和为360°．
12．【答案】
【解析】解：∵，
．
，
，
，
，
，
，
故答案为：25°．
由全等三角形的性质可求得，由垂直可得，进而可求解的度数．
本题主要考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质求解的度数是解题的关键．
13．【答案】70°
【解析】解：∵DE是AB的垂直平分线，
，
，又，
，又，
．
故答案为：70°．
根据线段垂直平分线的概念得到，求出，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算即可．
本题考查的是线段垂直平分线的概念和等腰三角形的性质，掌握三角形内角和等于180°、等腰三角形等边对等角是解题的关键．
14．【答案】45°
【解析】【分析】
本题考查勾股定理的逆定理及平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
根据题意，作出合适的辅助线，然后根据勾股定理的逆定理即可解答本题．
【解答】
解：如右图所示，作，连接DE，
则，
设每个小正方形的边长为a，
则
，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
故答案为45°．
15．【答案】36°或45°
【解析】解：（1）如图，中，，求的度数．
，
，
，
，
，
，
，
（2）如图，中，，求的度数．
，
，
，
，
．
故答案为：36°或45°．
首先根据题意画出符合题意的所有图形，然后利用等腰三角形求解即可求得答案．
此题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质及三角形内角和定理的综合运用，注意分类讨论思想的应用是解此题的关键．
16．【答案】解：（1）如图，AD为所求线段：
（2）如图，点E为所求点．
【解析】（1）作的角平分线交BC于点D，则AD为所求线段；
（2）如图，作AB的垂直平分线交AB于E，则点E满足条件．
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
17．【答案】证明：如图，连接AD．
因为，
所以是等腰三角形
因为点D是BC边上的中点，
所以AD平分，
因为DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F．
所以．
【解析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质的有关知识，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键。
由得到是等腰三角形，连接AD，D是BC的中点，那么AD就是等腰三角形ABC底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特性，可知道AD也是的角平分线，根据角平分线的点到角两边的距离相等，那么．
18．【答案】证明：连接AC，AD，
在与中，
，
，
，AF是公共边，
．
【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，作辅助线是解题的关键
连接AC，AD，证明，可得，再证，即可得所需结论．
19．【答案】解：（1）如图，即为所求：
（2）如图，即为所求，点的坐标为．
【解析】（1）依据向下平移四个单位长度，即可画出平移后的；
（2）依据轴对称的性质，即可得到关于y轴对称的，并得到点的坐标．
本题考查了平移，轴对称变换的运用，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
20．【答案】甲、丙
【解析】解：（1）说法正确的是：甲、丙，
故答案为：甲、丙：
（2）选择甲，证明如下：
，
，
在和中，，
．
（1）根据平行线的性质，由可得，再加上条件，只需要添加一个能得出边相等的条件即可证明两个三角形全等，添加不能证明；
（2）添加，然后再利用ASA判定即可．
本题考查三角形全等的判定以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
21．【答案】解：（1），
，
，
，
平分，
，
在和中，，
；
（2），
，
，
，
的周长．
【解析】（1）根据平行线的性质得到，等量代换得到，由角平分线的定义得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到，由线段的和差得到，根据三角形的周长公式即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，根据全等三角形的判定定理证得是解题的关键．
22．【答案】解：（1），理由：
是等腰直角三角形，
，
，
．
．
，
，
，
，
；
（2）①（1）中结论仍然成立，理由：
是等腰直角三角形，
，
，
，
．
．
，
．
，
，
，
；
（3）如图，过点C作于H，于G，
由（2）①知，，
，
∴，
，
，
∴点C在的平分线．
∴MC平分．
【解析】（1）先判断出，得出，即可得出结论：
（2）同（1）的方法，即可得出答案：
（3）过点C作于H，于G，由（2）①知，，得出，
，进而判断出，即可得出答案．
此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，判断出是解本题的关键．
23．【答案】解：（1）当时，点P走过的路程为：，
，
∴点P运动到线段BC上．
，
故答案为：2：
（2）∵矩形ABCD的面积，
∴三角形ABP的面积，
，
的高为：，
如图，
当点P在BC上时，，
，
当点P在AD上时，，
，
∴当或8s时，的面积为长方形面积的三分之一；
（3）根据题意，如图，连接CQ，则，
∴要使一个三角形与全等，则另一条直角边必须等于DQ，
①当点P运动到时，，此时，
∴点P的路程为：，
，
②当点P运动到时，，此时，
∴点P的路程为：，
，
③当点P运动到时，，此时，
∴点P的路程为：，
，
④当点P运动到时，即P与Q重合时，，此时，
∴点P的路程为：，
，
综上所述，时间的值可以是：或9.5，
故答案为：2.5或4.5或7.5或9.5．
【解析】（1）当时，点P运动到线段BC上，即可得到BP的长度；
（2）由的面积为长方形面积的三分之一，分为点P在BC上和点P在AD上两种情况讨论，即可得到答案；
（3）根据题意，要使一个三角形与全等，则点P的位置可以有四个，根据点P运动的位置，即可计算出时间．
本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，线段的动点问题，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质及动点的运动状态，从而进行分类讨论．