广东省八校2025届高三上学期9月联合检测数学试卷（含答案）

这是一份广东省八校2025届高三上学期9月联合检测数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.样本数据45，50，51，53，53，57，60的下四分位数为( )
A. 50B. 53C. 57D. 45
2.已知集合A={x|−270的解集为( )
A. (−2,2)B. (−2,0)C. (0,1)D. (1,2)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z=a−ia∈R，且6iz的虚部为3，则( )
A. a=1B. 3z=2 2
C. z+2⋅1−3i为纯虚数D. 2+iz+2在复平面内对应的点在第二象限
10.欧拉函数φnn∈N∗的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数(公约数只有1的两个正整数称为互质整数)，例如：φ3=2，φ4=2，则( )
A. φ4⋅φ6=φ8B. 当n为奇数时，φn=n−1
C. 数列φ2n为等比数列D. 数列φ2nφ3n的前n项和小于32
11.已知双曲线E:x2−y23=1的左、右焦点分别为F1、F2，过点C(1, 32)的直线l与双曲线E的左、右两支分别交于P、Q两点，O为坐标原点，下列命题正确的有( )
A. 当点C为线段PQ的中点时，直线l的斜率为 3
B. 若A(−1,0)，则∠QF2A=2∠QAF2
C. |PF1|·|PF2|>|PO|2
D. 若直线l的斜率为2 33，且B(0, 3)，则|PF1|+|QF1|=|PB|+|QB|
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.( x−ax2)5的展开式中的常数项是10，则a= ．
13.中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台(古人称方台)体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.下图(1)为俯视图，图(2)为立体切面图．E对应的是正四棱台中间位置的长方体，B,D,H,F对应四个三棱柱，A,C,I,G对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，则该正四棱台的体积为 ．
14.随机数表是人们根据需要编制出来的，由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成，表中每一个数都是用随机方法产生的，随机数的产生方法主要有抽签法、抛掷骰子法和计算机生成法．现有甲、乙、丙三位同学合作在一个正二十面体(如图)的各面写上0∼9这10个数字(相对的两个面上的数字相同)，这样就得到一个产生0∼9的随机数的骰子．依次投掷这个骰子，并逐个记下朝上一面的数字，就能按顺序排成一个随机数表，若甲、乙、丙依次投掷一次，按顺序记下三个数，三个数恰好构成等差数列的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
记▵ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2=125ac，B=π3．
(1)求sinA+sinC的值；
(2)若▵ABC的面积为512 3，求▵ABC的周长．
16.(本小题12分)
已知函数fx=exx2−ax−a，a∈R．
(1)当a>−2时，研究fx的单调性；
(2)若a≥0，当x=x1时，函数fx有极大值m；当x=x2时，fx有极小值n，求m−n的取值范围．
17.(本小题12分)
如图，四棱锥P−ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，∠BAD=60∘，AB=PC=2，M,N分别为PD,PB的中点．

(1)证明：MN⊥平面PAC；
(2)求二面角C−PB−D的正弦值．
18.(本小题12分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，点O为坐标原点，线段OA的中点恰好为F，点F到直线AB的距离为 217．
(1)求C的方程；
(2)设点E在直线x=4上，过F作EF的垂线交椭圆C于M,N两点．记▵MOE与▵NOE面积分别为S1,S2，求S1S2的值．
19.(本小题12分)
某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有n只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为12，被感染的白鼠数用随机变量X表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立
(1)若PX=5=PX=95，求数学期望EX；
(2)接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为p，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率p与参数θ00，
所以ga在0,+∞上单调递增，所以ga≥g0=4e−2，
即m−n的取值范围为4e−2,+∞．

17.(1)
连接AC,BD，如下图所示：

由PC⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，可得PC⊥BD，
又因为底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD，
显然PC∩AC=C,PC,AC⊂平面PAC，
因此BD⊥平面PAC，
又M,N分别为PD,PB的中点，所以MN⁄⁄BD；
即MN⊥平面PAC；
(2)
记AC,BD的交点为O，取AP的中点为E，连接OE，
易知OE⁄⁄PC，由(1)可得OE⊥平面ABCD；
又AC,BD⊂平面ABCD，所以OE⊥AC,OE⊥BD，
因为AC⊥BD，所以AC,BD,OE两两垂直；
以O为坐标原点，以AC,BD,OE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系；

又∠BAD=60∘，AB=PC=2，所以AC=2 3,BD=2；
则C− 3,0,0,P− 3,0,2,B0,1,0,D0,−1,0，
所以CP=0,0,2,PB= 3,1,−2,BD=0,−2,0；
设平面CPB的一个法向量为m=x1,y1,z1，
可得m⋅CP=2z1=0m⋅PB= 3x1+y1−2z1=0，解得z1=0，令x1=1，则y1=− 3；
即m=1,− 3,0为平面CPB的一个法向量，
设平面PBD的一个法向量为n=x2,y2,z2，
可得n⋅BD=−2y2=0n⋅PB= 3x2+y2−2z2=0，解得y2=0，令x2=2，则z2= 3；
即n=2,0, 3为平面PBD的一个法向量，
可得csm,n=m⋅nmn=22 7= 77，
设二面角C−PB−D为θ，可得sinθ= 1−cs2m,n= 1− 772= 427；
所以二面角C−PB−D的正弦值为 427．

18.(1)
设F(c,0)，则c= a2−b2，由线段OA中点恰好为F，得c=a2，
所以a2−b2=a24，整理得b2=34a2，
由Aa,0,B0,b得直线AB方程为bx+ay−ab=0，
所以点F到直线AB的距离为bc−ab a2+b2=ab2−ab a2+34a2=ab 7a=b 7= 217，
所以b= 3,a=2，
椭圆C的方程为x24+y23=1．
(2)
设E4,t,Mx1,y1,Nx2,y2，线段MN的中点Gx0,y0，
则x0=x1+x22,y0=y1+y22．
由(1)知F(1,0)，直线EF的斜率k1=t3，
当t≠0时，直线MN的斜率k2=−3t=y1−y2x1−x2．
因为点M,N在椭圆C上，所以x124+y123=1x224+y223=1，两式相减，
整理得x1+x2x1−x24+y1+y2y1−y23=0，
又x0=x1+x22,y0=y1+y22，
所以y0x0=t4，直线OG的斜率为kOG=t4，
因为直线OE的斜率为kOE=t4，
所以O,G,E三点共线，即直线OE过线段MN的中点G，
当t=0时，直线OE也过线段MN的中点G，
所以M,N到直线OE的距离相等，即▵OME与▵ONE等底等高．
所以S1=S2,S1S2=1．

19.(1)
由题知，随机变量X服从二项分布，X∼Bn,12，
由PX=5=PX=95，
即Cn51251−12n−5=Cnn−512n−51−125=Cn9512951−12n−95，
得n=100，所以EX=np=50；
(2)
(i)A=“X1=x1,X2=x2,⋅⋅⋅,X10=x10”，
PA
=C109p1−p93C102p21−p83C103p31−p72C104p41−p6C106p61−p4，
所以PA=C1013C1023C1032C1042p251−p75；
(ii)记gp=lnC10103C1023C1032C1042+25lnp+75ln1−p，
则g′p=25p−751−p=25−100pp1−p，
当0