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2024-2025学年江苏省南京一中高一（上）段考数学试卷（9月份）（含答案）
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这是一份2024-2025学年江苏省南京一中高一（上）段考数学试卷（9月份）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设命题p：∃x∈R，x3>x，则￢p为( )
A. ∀x∈R，x3≤xB. ∃x∈R，x3C. ∃x∈R，x3≤xD. ∀x∉R，x3>x
2.已知集合A={1,2,3,4}，B={x|x=n2,n∈A}，则A∩B=( )
A. {1,4}B. {2,3}C. {9,16}D. {1,2}
3.已知全集U，集合M，N是U的子集．且M⫋N，则下列结论中一定正确的是( )
A. B.
C. D.
4.已知a，b∈R，则“a<0，b>0且a+b<0”是“a<−bA. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.已知集合A={2a−1,a2,0}，B={1−a,a−5,9}，若A∩B={9}，则实数a的值为( )
A. 5或−3B. ±3C. 5D. −3
6.已知x>0，y>0，若2x+y=xy，则x+2y的最小值为( )
A. 9B. 3+2 2C. 4D. 2
7.设m∈N∗，m≥3，n∈N∗，n≥3，则满足{a1,a2,…,am}⊆A⫋{a1,a2,…,am,b1,b2,…,bn}的集合A的个数为( )
A. 2mB. 2m−1C. 2nD. 2n−1
8.已知命题p：∃x∈[0,3]，a=−x2+2x；命题q：∀x∈[−1,2]，x2+ax−8≤0，若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为( )
A. [−3,1]B. (−∞,2]
C. [−7,−3)∪(1,2]D. (−∞,−3)∪(1,2]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a，b，c∈R，下列命题为真命题的是( )
A. 若ba>0>c，则caC. 若c>b>a>0，则ac−a>bc−bD. 若a>b>c>0，则ab>a+cb+c
10.已知全集U={x|x<10,x∈N}，A⊆U，B⊆U，A∩(∁UB)={1,9}，(∁UA)∩(∁UB)={4,6,7}，A∩B={3}，则下列选项正确的为( )
A. 8∈BB. A的不同子集的个数为8
C. {9}⊆AD. 6∉∁U(A∪B)
11.如果我们把集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为P(A).用n(A)表示有限集A的元素个数.则下列命题中正确的是( )
A. 若A={1,2,3}，则{1}∈P(A)
B. 存在集合A，使得n[P(A)]=15
C. 若A∩B=⌀，则P(A)∩P(B)={⌀}
D. 若n(A)−n(B)=3，则n[P(A)]=8×n[P(B)]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合A={x|x>1}，B={x|−113.已知p：−2≤x≤2，q：1−m≤x≤m−1，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为______．
14.已知x>0，y>0，则8x2+y2x2+xy的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知集合A={x|mx2+x−2=0}，B={x|2x2−5x−12=0}．
(1)若A中有且仅有1个元素，求实数m的值；
(2)若A∪B=B，求实数m的取值范围．
16.(本小题12分)
已知命题p：∀x∈R，a≥−x2+2x；命题q：∃x∈(−∞,32)，a<2x+42x−3．
(1)若p为真命题，求实数a的最小值；
(2)若￢p与q恰有1个为假命题，求实数a的取值范围．
17.(本小题12分)
如图(示意)，在公路AB的一侧有一块空地，在这块空地上规划建造一个口袋公园(如图中Rt△ABC)，其中道路AC与BC为健身步道，△ABC内为绿化景观与健身设施等.由于路面材质的不同，AC段的造价为每米3万元，BC段的造价为每米2万元，△ABC内部的造价为每平方米2万元.设AC的长为x米，BC的长为y米．
(1)若建造健身步道的费用与建造△ABC内部的费用相等，则如何规划可使公园占地面积(只考虑△ABC内部)最少？
(2)若建造公园的总费用为30万元，则健身步道至少有多长？
18.(本小题12分)
已知集合A={x||x−1|≤2}，B={y|y=x+ax+7,x∈A}，C={y|y=a−1x,x∈[1,2]}．
(1)当a=−4时，求A∩B；
(2)若“x∈∁UA”是“x∈C”的必要条件，求实数a的取值范围；
(3)若∀y1∈B，∃y2∈C，使y1≥y2，求实数a的取值范围．
参考公式：若关于x的方程ax2+bx+c=0(a>0)有两根x1，x2(x119.(本小题12分)
对于给定的非空集合A，定义集合A+={x|x=|a+b|,a∈A,b∈A}，A−={x|x=|a−b|,a∈A,b∈A}，当A+∩A−=⌀时，则称A具有孪生性质．
(1)判断集合A={0,4}，B={1,5,6}是否具有孪生性质，请说明理由；
(2)设集合C={x|n≤x≤2024,x∈N}，n∈N且n≤2024，若C具有孪生性质，求n的最小值；
(3)设集合D={x1,x2,x3,x4}，x1参考答案
1.A
2.A
3.B
4.C
5.D
6.A
7.D
8.C
9.BD
10.ABC
11.ACD
12.{x|x>−1}
13.{m|m>3}
14.4
15.解：(1)若m=0，方程化为x−2=0，此时方程有且仅有一个根x=2；
若m≠0，则当且仅当方程的判别式Δ=12−4×m×(−2)=0，
即m=−18时，方程有两个相等的实根，此时集合A中有且仅有一个元素，
所以实数m的值为m=0或m=−18；
(2)B={x|2x2−5x−12=0}={−32,4}，
因为A∪B=B，所以A⊆B，
由(1)知m=0时，A={2}，不符合A⊆B，
当m≠0时，若Δ=12−4×m×(−2)<0，
解得m<−18，此时A=⌀，符合A⊆B，
若Δ=12−4×m×(−2)=0，解得m=−18，
此时方程mx2+x−2=0的根为x=4，集合A={4}，符合A⊆B，
若Δ=12−4×m×(−2)>0，由A⊆B，则可得A={−32,4}，
此时有−32+4=−1m且−32×4=−2m，无解，
综上所述：实数m的取值范围为{m|m≤−18}．
16.解：(1)因为p为真命题，
所以x2−2x+a≥0的解集为R，
所以Δ=(−2)2−4a≤0，解得a≥1，
所以实数a的最小值为1；
(2)因为x∈(−∞,32)，所以3−2x>0，3−2x+43−2x≥2 (3−2x)×43−2x=4，
当且仅当3−2x=43−2x，即x=12时取等号，
所以2x−3+42x−3≤−4，所以2x+42x−3≤−1，
因为q：∃x∈(−∞,32)，a<2x+42x−3，
所以当q为真命题时，a<−1，
由(1)可知￢p为真命题时，a<1，当￢p为真命题，q为假命题时，a<1a≥−1，
所以−1≤a<1，当￢p为假命题，q为真命题时，a≥1a<−1，
所以a∈⌀，
综上所述：￢p与q恰有1个为假命题，实数a的取值范围为[−1,1)．
17.解：(1)根据题意建造健身步道的费用为3x+2y，内部的建造费用为2×12xy(x,y>0)，
即xy=3x+2y，所以有x=2yy−3(y>3)，
而公园占地面积12xy=y2y−3=(y−3)2+6(y−3)+9y−3=(y−3)+6+9(y−3)≥6+2 (y−3)⋅9(y−3)=12，
当且仅当y=6，x=4时取得等号，
所以规划AC=4，BC=6时占地面积最少；
(2)根据题意有：3x+2y+xy=30，即(x+2)(y+3)=36，
而x+y=x+2+y+3−5≥2 (x+2)(y+3)−5=7，
当且仅当x+2=y+3，即x=4，y=3时取得等号，
所以规划AC=4，BC=3时，即步道至少为7米．
18.解：(1)由[x−1|≤2，可得−2≤x−1≤2，
即A=[−1,3]，
而a=−4时，y=x2−4x+7=(x−2)2+3，x∈[−1,3]，
由二次函数的性质知y∈[3,12]，即B=[3,12]，
所以A∩B={3}；
(2)根据反比例函数的性质知x∈[1,2]时，−1x∈[−1,−12]，
则a−1x∈[a−1,a−12]=C，
由(1)知：A=[−1,3]，由“x∈∁BA”是“x∈C”的必要条件可得C⊆∁BA，
①若x=−a2≤−1，即a≥2时，结合二次函数的性质，
当x=−1时，ymin=8−a，
当x=3时，ymin=16+3a，
即B=[8−a,16+3a]，
易知A⊆B，
所以8−a≤−116+3a≥3⇒a≥9，
若a=9，∁BA=(3,43]，显然满足C⊆∁BA，
若a>9，∁BA=[8−az−1)∪(3.16+3a]，
要满足题意则需8−a≤a−1−1>a−12⇒a∈⌀或a−1>3a−12≤16+3a⇒a>4，
所以a≥9；
②若x=−a2≥3，即a≤−6时，同上知B=[16+3a,8−a]，且A⊆B，
所以8−a≥316+3a≤−1⇒a≤−173，则a≤−6，
此时∁BA=[16+3a,−1)∪(3,8−a]，
要满足题意需−1>a−1216+3a≤a−1⇒a≤−172，或8−a≥a−123所以a≤−172；
③若−1当x=−a2时，ymin=7−a24，
当x=3时，ymin=16+3a，
即B=[7−a24,16+3a]，且A⊆B，
所以7−a24≤−116+3a≥3⇒a≥4 2，与前提矛盾，舍去；
④若1当x=−a2时，ymin=7−a24，
当x=−1时，ymin=8−a，
即B=[7−a24,8−a]，且A⊆B，
所以7−a24≤−18−a≥3⇒a≤−4 2，
即a∈[−6,−4 2]，显然a=−4 2，有∁BA=(3,8+4 2]，不符题意；
而a<−4 2时，∁BA=[7−a24,−1)∪(3.8−a]，
要满足题意需7−a24≤a−1−1>a−12⇒a≤−8，与前提矛盾舍去，
或3综上所述：a∈(−∞,−172]∪[9,+∞)；
(3)由∀y1∈B，∃y2∈C，使y1≥y2恒成立知(y1)min≥(y2)min=a−1恒成立，
由(2)知：
①a≥2时，(y1)min=8−a，则8−a≥a−1⇒2≤a≤92；
②a≤−6时，(y1)min=16+3a，则16+3a≥a−1⇒−172≤a≤−6；
③−6所以−6综上所述：a∈[−172,92]．
19.解：(1)由题意可得：A+={0,4,8}，A−={0,4}，
B+={2,6,7,10,11,12}，B−={0,1,4,5}，
而A+∩A−={0,4}≠⌀，B+∩B−=⌀，
所以A不具有孪生性质，B具有孪生性质．
(2)由题意可得：C−={0,1,2,…,2024−n}，
C+={2n,2n+1,…,n+2024,…,4048}，
因为C+∩C−=⌀，所以2024−n<2n，即n>20243，
又因为n∈N，所以n的最小值是675．
(3)证明：集合D={x1,x2,x3,x4}，x1则0，x2−x1，x3−x1，x4−x1，x3−x2，x4−x2，x4−x3都属于集合C−，
又因为0所以D−={0,x2−x1,x3−x1,x4−x1}，
又因为0所以x4−x3=所以x1+x4=x2+x3．
1.设命题p：∃x∈R，x3>x，则￢p为( )
A. ∀x∈R，x3≤xB. ∃x∈R，x3
2.已知集合A={1,2,3,4}，B={x|x=n2,n∈A}，则A∩B=( )
A. {1,4}B. {2,3}C. {9,16}D. {1,2}
3.已知全集U，集合M，N是U的子集．且M⫋N，则下列结论中一定正确的是( )
A. B.
C. D.
4.已知a，b∈R，则“a<0，b>0且a+b<0”是“a<−b
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.已知集合A={2a−1,a2,0}，B={1−a,a−5,9}，若A∩B={9}，则实数a的值为( )
A. 5或−3B. ±3C. 5D. −3
6.已知x>0，y>0，若2x+y=xy，则x+2y的最小值为( )
A. 9B. 3+2 2C. 4D. 2
7.设m∈N∗，m≥3，n∈N∗，n≥3，则满足{a1,a2,…,am}⊆A⫋{a1,a2,…,am,b1,b2,…,bn}的集合A的个数为( )
A. 2mB. 2m−1C. 2nD. 2n−1
8.已知命题p：∃x∈[0,3]，a=−x2+2x；命题q：∀x∈[−1,2]，x2+ax−8≤0，若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为( )
A. [−3,1]B. (−∞,2]
C. [−7,−3)∪(1,2]D. (−∞,−3)∪(1,2]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a，b，c∈R，下列命题为真命题的是( )
A. 若b
10.已知全集U={x|x<10,x∈N}，A⊆U，B⊆U，A∩(∁UB)={1,9}，(∁UA)∩(∁UB)={4,6,7}，A∩B={3}，则下列选项正确的为( )
A. 8∈BB. A的不同子集的个数为8
C. {9}⊆AD. 6∉∁U(A∪B)
11.如果我们把集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为P(A).用n(A)表示有限集A的元素个数.则下列命题中正确的是( )
A. 若A={1,2,3}，则{1}∈P(A)
B. 存在集合A，使得n[P(A)]=15
C. 若A∩B=⌀，则P(A)∩P(B)={⌀}
D. 若n(A)−n(B)=3，则n[P(A)]=8×n[P(B)]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合A={x|x>1}，B={x|−1
14.已知x>0，y>0，则8x2+y2x2+xy的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知集合A={x|mx2+x−2=0}，B={x|2x2−5x−12=0}．
(1)若A中有且仅有1个元素，求实数m的值；
(2)若A∪B=B，求实数m的取值范围．
16.(本小题12分)
已知命题p：∀x∈R，a≥−x2+2x；命题q：∃x∈(−∞,32)，a<2x+42x−3．
(1)若p为真命题，求实数a的最小值；
(2)若￢p与q恰有1个为假命题，求实数a的取值范围．
17.(本小题12分)
如图(示意)，在公路AB的一侧有一块空地，在这块空地上规划建造一个口袋公园(如图中Rt△ABC)，其中道路AC与BC为健身步道，△ABC内为绿化景观与健身设施等.由于路面材质的不同，AC段的造价为每米3万元，BC段的造价为每米2万元，△ABC内部的造价为每平方米2万元.设AC的长为x米，BC的长为y米．
(1)若建造健身步道的费用与建造△ABC内部的费用相等，则如何规划可使公园占地面积(只考虑△ABC内部)最少？
(2)若建造公园的总费用为30万元，则健身步道至少有多长？
18.(本小题12分)
已知集合A={x||x−1|≤2}，B={y|y=x+ax+7,x∈A}，C={y|y=a−1x,x∈[1,2]}．
(1)当a=−4时，求A∩B；
(2)若“x∈∁UA”是“x∈C”的必要条件，求实数a的取值范围；
(3)若∀y1∈B，∃y2∈C，使y1≥y2，求实数a的取值范围．
参考公式：若关于x的方程ax2+bx+c=0(a>0)有两根x1，x2(x1
对于给定的非空集合A，定义集合A+={x|x=|a+b|,a∈A,b∈A}，A−={x|x=|a−b|,a∈A,b∈A}，当A+∩A−=⌀时，则称A具有孪生性质．
(1)判断集合A={0,4}，B={1,5,6}是否具有孪生性质，请说明理由；
(2)设集合C={x|n≤x≤2024,x∈N}，n∈N且n≤2024，若C具有孪生性质，求n的最小值；
(3)设集合D={x1,x2,x3,x4}，x1
1.A
2.A
3.B
4.C
5.D
6.A
7.D
8.C
9.BD
10.ABC
11.ACD
12.{x|x>−1}
13.{m|m>3}
14.4
15.解：(1)若m=0，方程化为x−2=0，此时方程有且仅有一个根x=2；
若m≠0，则当且仅当方程的判别式Δ=12−4×m×(−2)=0，
即m=−18时，方程有两个相等的实根，此时集合A中有且仅有一个元素，
所以实数m的值为m=0或m=−18；
(2)B={x|2x2−5x−12=0}={−32,4}，
因为A∪B=B，所以A⊆B，
由(1)知m=0时，A={2}，不符合A⊆B，
当m≠0时，若Δ=12−4×m×(−2)<0，
解得m<−18，此时A=⌀，符合A⊆B，
若Δ=12−4×m×(−2)=0，解得m=−18，
此时方程mx2+x−2=0的根为x=4，集合A={4}，符合A⊆B，
若Δ=12−4×m×(−2)>0，由A⊆B，则可得A={−32,4}，
此时有−32+4=−1m且−32×4=−2m，无解，
综上所述：实数m的取值范围为{m|m≤−18}．
16.解：(1)因为p为真命题，
所以x2−2x+a≥0的解集为R，
所以Δ=(−2)2−4a≤0，解得a≥1，
所以实数a的最小值为1；
(2)因为x∈(−∞,32)，所以3−2x>0，3−2x+43−2x≥2 (3−2x)×43−2x=4，
当且仅当3−2x=43−2x，即x=12时取等号，
所以2x−3+42x−3≤−4，所以2x+42x−3≤−1，
因为q：∃x∈(−∞,32)，a<2x+42x−3，
所以当q为真命题时，a<−1，
由(1)可知￢p为真命题时，a<1，当￢p为真命题，q为假命题时，a<1a≥−1，
所以−1≤a<1，当￢p为假命题，q为真命题时，a≥1a<−1，
所以a∈⌀，
综上所述：￢p与q恰有1个为假命题，实数a的取值范围为[−1,1)．
17.解：(1)根据题意建造健身步道的费用为3x+2y，内部的建造费用为2×12xy(x,y>0)，
即xy=3x+2y，所以有x=2yy−3(y>3)，
而公园占地面积12xy=y2y−3=(y−3)2+6(y−3)+9y−3=(y−3)+6+9(y−3)≥6+2 (y−3)⋅9(y−3)=12，
当且仅当y=6，x=4时取得等号，
所以规划AC=4，BC=6时占地面积最少；
(2)根据题意有：3x+2y+xy=30，即(x+2)(y+3)=36，
而x+y=x+2+y+3−5≥2 (x+2)(y+3)−5=7，
当且仅当x+2=y+3，即x=4，y=3时取得等号，
所以规划AC=4，BC=3时，即步道至少为7米．
18.解：(1)由[x−1|≤2，可得−2≤x−1≤2，
即A=[−1,3]，
而a=−4时，y=x2−4x+7=(x−2)2+3，x∈[−1,3]，
由二次函数的性质知y∈[3,12]，即B=[3,12]，
所以A∩B={3}；
(2)根据反比例函数的性质知x∈[1,2]时，−1x∈[−1,−12]，
则a−1x∈[a−1,a−12]=C，
由(1)知：A=[−1,3]，由“x∈∁BA”是“x∈C”的必要条件可得C⊆∁BA，
①若x=−a2≤−1，即a≥2时，结合二次函数的性质，
当x=−1时，ymin=8−a，
当x=3时，ymin=16+3a，
即B=[8−a,16+3a]，
易知A⊆B，
所以8−a≤−116+3a≥3⇒a≥9，
若a=9，∁BA=(3,43]，显然满足C⊆∁BA，
若a>9，∁BA=[8−az−1)∪(3.16+3a]，
要满足题意则需8−a≤a−1−1>a−12⇒a∈⌀或a−1>3a−12≤16+3a⇒a>4，
所以a≥9；
②若x=−a2≥3，即a≤−6时，同上知B=[16+3a,8−a]，且A⊆B，
所以8−a≥316+3a≤−1⇒a≤−173，则a≤−6，
此时∁BA=[16+3a,−1)∪(3,8−a]，
要满足题意需−1>a−1216+3a≤a−1⇒a≤−172，或8−a≥a−123
③若−1
当x=3时，ymin=16+3a，
即B=[7−a24,16+3a]，且A⊆B，
所以7−a24≤−116+3a≥3⇒a≥4 2，与前提矛盾，舍去；
④若1
当x=−1时，ymin=8−a，
即B=[7−a24,8−a]，且A⊆B，
所以7−a24≤−18−a≥3⇒a≤−4 2，
即a∈[−6,−4 2]，显然a=−4 2，有∁BA=(3,8+4 2]，不符题意；
而a<−4 2时，∁BA=[7−a24,−1)∪(3.8−a]，
要满足题意需7−a24≤a−1−1>a−12⇒a≤−8，与前提矛盾舍去，
或3
(3)由∀y1∈B，∃y2∈C，使y1≥y2恒成立知(y1)min≥(y2)min=a−1恒成立，
由(2)知：
①a≥2时，(y1)min=8−a，则8−a≥a−1⇒2≤a≤92；
②a≤−6时，(y1)min=16+3a，则16+3a≥a−1⇒−172≤a≤−6；
③−6
19.解：(1)由题意可得：A+={0,4,8}，A−={0,4}，
B+={2,6,7,10,11,12}，B−={0,1,4,5}，
而A+∩A−={0,4}≠⌀，B+∩B−=⌀，
所以A不具有孪生性质，B具有孪生性质．
(2)由题意可得：C−={0,1,2,…,2024−n}，
C+={2n,2n+1,…,n+2024,…,4048}，
因为C+∩C−=⌀，所以2024−n<2n，即n>20243，
又因为n∈N，所以n的最小值是675．
(3)证明：集合D={x1,x2,x3,x4}，x1
又因为0
又因为0
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