2024-2025学年天津一百中高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年天津一百中高三（上）第一次月考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设全集U={−2,−1,0,1,2,3}，集合A={−1,2}，B={x|x2−4x+3=0}，则∁U(A⋃B)=( )
A. {1,3}B. {0,3}C. {−2,1}D. {−2,0}
2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“A=B”是“sinA=sinB”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若A=π4,a=3,b=2，则sinB=( )
A. 24B. 26C. 22D. 23
4.已知a=lg52，b=lg83，c=12，则下列判断正确的是( )
A. c5.已知向量a，b满足|a|=1，|a+2b|=2，且(b−2a)⊥b，则|b|=( )．
A. 12B. 22C. 32D. 1
6.已知2a=5，lg83=b，则4a−3b=( )
A. 25B. 5C. 259D. 53
7.已知csαcsα−sinα= 3，则tanα+π4=( )
A. 2 3+1B. 2 3−1C. 32D. 1− 3
8.设函数f(x)=2sin(ωx+φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f(5π8)=2，f(11π8)=0，且f(x)的最小正周期大于2π，则( )
A. ω=23，φ=π12B. ω=23，φ=−11π12
C. ω=13，φ=−11π24D. ω=13，φ=7π24
9.设函数f(x)=(x+a)ln(x+b)，若f(x)≥0，则a2+b2的最小值为( )．
A. 18B. 14C. 12D. 1
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知sinα=15，则cs(3π2+α)= ______．
11.函数fx=sinx− 3csx在0,π上的最大值是 ．
12.已知sin(α+π3)+sinα= 34，则sin(2α−π6)= ______．
13.已知lg(x+2y)=lgx+lgy，则xy+x+2y2y的最小值为 ．
14.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，关于函数f(x)有如下结论：
①函数y=f(x)的图象关于点(−π6,0)对称
②函数y=f(x)的图象关于直线x=−5π12对称
③函数y=f(x)在[−2π3,−π6]上单调递减
④该图象向右平移π6个单位可得y=2sin2x的图象
以上结论正确的是______．
15.在四边形ABCD中，AD//BC，AB=2 3，AD=5，∠A=30°，点E在线段CB的延长线上，且AE=BE，则BD⋅AE= ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
在▵ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b+c=2a，3csinB=4asinC.
(1)求csB的值；
(2)求sin(2B+π6)的值．
17.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin2x+2 3sinxcsx−cs2x+m的最大值为3，
(1)若f(x)的定义域为[0,π]，求f(x)的单调递增区间；
(2)若f(x02)=115，x0∈0,π2，求cs2x0+π6的值．
18.(本小题12分)
已知四棱锥ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AB/​/CD，A1A⊥平面ABCD，AD⊥AB，其中AB=AA1=2，AD=DC=1.N是B1C1的中点，M是DD1的中点．
(1)求证：D1N//平面CB1M；
(2)求平面CB1M与平面BB1CC1的夹角余弦值；
(3)求点B到平面CB1M的距离．
19.(本小题12分)
已知等比数列{an}的各项均为正数，2a5，a4，4a6成等差数列，且满足a4=4a32，等差数列{bn}的前n项和Sn，b2+b4=6，S4=10．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设dn=b2n+5b2n+1b2n+3an,n∈N∗,{dn}的前n项和Tn，求证：Tn<13；
(3)设cn=bn(n为奇数)an⋅bn(n为偶数)，求数列{cn}的前2n项和．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=x−lnx−2．
(1)求曲线y=f(x)在点1,f(1)处的切线方程；
(2)讨论函数f(x)的单调性；
(3)若对任意的x∈(1,+∞)，都有xlnx+x>k(x−1)成立，求整数k的最大值．
参考答案
1.D
2.C
3.D
4.C
5.B
6.C
7.B
8.A
9.C
10.15
11.2
12.−78
13.42+4
14.①②④
15.−1
16.解：(Ⅰ)在三角形ABC中，由正弦定理得bsinB=csinC，所以bsinC=csinB，
又由3csinB=4asinC，
得3bsinC=4asinC，即3b=4a，
又因为b+c=2a，得b=4a3，c=2a3，
由余弦定理可得csB=a2+c2−b22ac
=a2+49a2−169a22⋅a⋅23a=−14；
(Ⅱ)由(Ⅰ)得sinB= 1−cs2B= 154，
从而sin2B=2sinBcsB=− 158，
cs2B=cs2B−sin2B=−78，
故sin(2B+π6)=sin2Bcsπ6+cs2Bsinπ6
=− 158× 32−78×12=−3 5+716．
17.解：(1)将fx化简可得fx= 3sin2x−cs2x+m=2sin2x−π6+m，
因为fxmax=2+m=3，所以m=1．
此时fx=2sin2x−π6+1，
当x∈0,π时，2x−π6∈−π6,11π6
令−π6≤2x−π6≤π2.得0≤x≤π3 ，
令3π2≤2x−π6≤11π6，得5π6≤x≤π，
所以fx的单调递增区间为0,π3和5π6,π ;
(2)由(1)知fx=2sin2x−π6+1 ，
由fx02=115，得2sinx0−π6+1=115，
所以sinx0−π6=35 ，
又因为x0∈0,π2 ，所以x0−π6∈−π6,π3，
所以csx0−π6= 1−sin2x0−π6=45 ，
所以sin2x0−π6=2sinx0−π6csx0−π6=2425，
所以cs2x0+π6=cs2x0−π6+π2=−sin2x0−π6=−2425．

18.(1)证明：取CB1中点E，连接NE，ME，
由N是B1C1的中点，得NE//CC1，且NE=12CC1，
由M是DD1的中点，得D1M=12DD1=12CC1，且D1M//CC1，
则D1M//NE，D1M=NE，
所以四边形D1MEN是平行四边形，
所以D1N//ME，
又ME⊂平面CB1M，D1N⊄平面CB1M，
故D 1N//平面CB1M.
(2)解：以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，

有A(0,0,0)，B(2,0,0)，B1(2,0,2)，M(0,1,1)，C(1,1,0)，C1(1,1,2)，
则CB1=(1,−1,2)，CM=(−1,0,1)，BB1=(0,0,2)，
设平面CB1M的法向量为m=(x1,y1,z1)，
m⋅CB1=x1−y1+2z1=0m⋅CM=−x1+z1=0，则m=(1,3,1)，
设平面BB1CC1的法向量为n=(x2,y2,z2)，
n⋅CB1=x2−y2+2z2=0n⋅BB1=2z2=0，则n=(1,1,0)，
所以cs=m⋅n|m|⋅|n|=1+3 1+9+1× 1+1=2 2211，
故平面CB1M与平面BB1CC1的夹角的余弦值为2 2211．
(3)解：因为BB1=(0,0,2)，平面CB1M的法向量为m=(1,3,1)，
所以点B到平面CB1M的距离为d=|BB1⋅m||m|=2 1+9+1=2 1111．
19.(1)解：由等比数列{an}的各项均为正数，设公比为q(q>0)，
∵2a5，a4，4a6成等差数列，且满足a4=4a32，
∴2a4=2a5+4a6a4=4a32，即a1q3=a1q4+2a1q5a1q3=4(a1q2)2，解得a1=12,q=12，
∴an=12⋅(12)n−1=(12)n，
设等差数列{bn}的公差为d，
∵b2+b4=6，S4=10，∴2b1+4d=64b1+6d=10，解得b1=d=1，
则bn=1+(n−1)×1=n，即数列{bn}的通项公式为bn=n；
(2)证明：由(1)知an=(12)n，bn=n，
得dn=b2n+5b2n+1b2n+3an=2n+5(2n+1)(2n+3)⋅(12)n=2[1(2n+1)⋅2n−1(2n+3)⋅2n+1]，
则Tn=2[(13⋅2−15⋅4)+(15⋅4−17⋅8)+(17⋅8−19⋅16)+⋯+(1(2n+1)⋅2n−1(2n+3)⋅2n+1)]
=2⋅[16−1(2n+3)⋅2n+1]=13−1(2n+3)⋅2n，
∵1(2n+3)⋅2n>0，∴13−1(2n+3)⋅2n<13，故Tn<13；
(3)解：由cn=bn(n为奇数)an⋅bn(n为偶数)=n,(n为奇数)n⋅(12)n,(n为偶数)，
则数列{cn}的前2n项和Mn=(1+3+⋯+2n−1)+(2⋅14+4⋅116+⋯+2n⋅122n)，
由等差数列的前n项和可得：1+3+...+(2n−1)=(1+2n−1)n2=n2，
令Vn=2⋅14+4⋅116+⋯+2n⋅122n，①
得14Vn=2⋅116+4⋅164+⋯+2n⋅122n+2，②
①−②得：34Vn=12+18+...+122n−1−2n⋅122n+2=12(1−14n)1−14−2n⋅122n+2=23−2n+43⋅122n+1，
∴Vn=89−6n+89⋅14n=89−6n+89⋅4n，
故数列{cn}的前2n项和Mn=n2+89−6n+89⋅4n．
20.解：(1)函数 f(x)=x−lnx−2 ，求导得 f′(x)=1−1x ，则 f ′(1)=0 ，而 f(1)=−1 ，
所以曲线 y=f(x) 在点 (1,f(1)) 处的切线方程是 y=−1 ．
(2)函数 f(x)=x−lnx−2 的定义域是 (0,+∞) ， f′(x)=1−1x ，
当 x∈(0,1) 时， f ′(x)<0 ，函数 f(x) 单调递减，当 x∈(1,+∞) 时， f ′(x)>0 ，函数 f(x) 单调递增，
所以函数 f(x) 的单调递减区间是 (0,1) ，单调递增区间是 (1,+∞) ．
(3) ∀x∈(1,+∞) ， xlnx+x>k(x−1)⇔k令 g(x)=xlnx+xx−1,x>1 ，求导得 g ′(x)=(2+lnx)(x−1)−(xlnx+x)(x−1)2=x−lnx−2(x−1)2 ，
由(2)知， f(x)=x−lnx−2 在 (1,+∞) 上单调递增， f(3)=1−ln3<0 ， f(4)=21−ln2>0 ，
因此，当x>1时，存在唯一 x0∈(3,4) ，使得 f(x0)=0 ，即 x0−lnx0−2=0⇔lnx0=x0−2 ，
当 x∈(1,x0) 时， f(x)<0 ，即 g ′(x)<0 ，当 x∈(x0,+∞) 时， f(x)>0 ，即 g ′(x)>0 ，
因此函数 g(x) 在 (1,x0) 上单调递减，在 (x0,+∞) 上单调递增，
于是 g(x)min=g(x0)=x0lnx0+x0x0−1=x0(x0−2)+x0x0−1=x0 ，则 k所以整数 k 的最大值是3．