2024-2025学年四川省成都市天府师大一中高级中学高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年四川省成都市天府师大一中高级中学高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.要调查下列问题，适合采用全面调查(普查)的是( )
A. 某城市居民3月份人均网上购物的次数B. 某品牌新能源汽车最大续航里程
C. 检测一批灯泡的使用寿命D. 调查一个班级学生每周的体育锻炼时间
2.成飞中学高一年级800人，高二年级600人，现按比例分层随机抽样的方法从高一、高二年级抽取28名同学朗诵“成飞赋”，则高二抽取的人数为( )
A. 12B. 14C. 16D. 21
3.下列说法一定正确的是( )．
A. 一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况
B. 一个骰子掷一次得到2的概率是16，则掷6次一定会出现一次2
C. 若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元
D. 随机事件发生的概率与试验次数无关
4.甲､乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示：下列说法错误的是( )
A. 从平均数和方差相结合看，甲波动比较大，乙相对比较稳定
B. 从折线统计图上两人射击命中环数走势看，甲更有潜力
C. 从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，甲成绩较好
D. 从平均数和中位数相结合看，乙成绩较好
5.续航能力关乎无人机的“生命力”，太阳能供能是实现无人机长时续航的重要路径之一．某大学科研团队利用自主开发的新型静电电机，成功研制出仅重4.21克的太阳能动力微型无人机，实现纯自然光供能下的持续飞行．为激发同学们对无人机的兴趣，某校无人机兴趣社团在校内进行选拔赛，8名参赛学生的成绩依次为65，95，75，70，95，85，92，80，则这组数据的上四分位数(也叫第75百分位数)为( )
A. 93B. 92C. 91.5D. 93.5
6.【选考北师大版】小明在整理数据时得到了该组数据的平均数为20，方差为28，后来发现有两个数据记录有误，一个错将11记录为21，另一个错将29记录为19.在对错误的数据进行更正后，重新求得该组数据的平均数为x−，方差为s2，则( )
A. x−>20，s2<28B. x−<20，s2>28
C. x−=20，s2<28D. x−=20，s2>28
7.在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有1，2，3，4四个数字，这些小球除数字外都相同.甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由乙猜这个小球上的数字，记为n.如果m，n满足|m−n|≤1，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是( )
A. 14B. 38C. 12D. 58
8.已知事件A，B，且P(A)=0.2，P(B)=0.8，则下列说法正确的是( )
A. 若A⊆B，则P(A∪B)=0.8，P(AB)=0.6
B. 若A与B互斥，则P(A∪B)=0.8，P(AB)=0
C. 若A与B相互独立，则P(A∪B)=1，P(AB)=0
D. 若A与B相互独立，则P(A∪B)=0.84，P(AB)=0.16
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.甲、乙两人进行篮球比赛，若甲投中的概率为0.8，乙投不中的概率为0.1，且两人投篮互不影响，若两人各投篮一次，则下列结论中正确的是( )
A. 两人都投中的概率为0.72B. 至少一人投中的概率为0.88
C. 至多一人投中的概率为0.26D. 恰好有一人投中的概率为0.26
10.有两组样本数据，分别为x1，x2，…，x6和y1，y2，y3，y4，且平均数x−=90,y−=80，方差分别为36和16，将两组数据合并为z1，z2，…，z10，重新计算平均数和方差，则( )
A. 平均数为85B. 平均数为86C. 方差为26D. 方差为52
11.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则( )
A. 丁险种参保人数超过五成B. 41岁以上参保人数超过总参保人数的五成
C. 18−29周岁人群参保的总费用最少D. 人均参保费用不超过5000元
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：
137 960 197 925 271 815 952 683 829 436 730 257
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 ．
13.若样本数据x1，x2，…，x10的方差为10，则数据5x1−1，5x2−1，…，5x10−1的方差为______．
14.若三个元件A，B，C按照如图的方式连接成一个系统，每个元件是否正常工作不受其他元件的影响，当元件A正常工作且B，C中至少有一个正常工作时，系统就正常工作，若元件A，B正常工作的概率依次为0.7，0.8，且这个系统正常工作的概率为0.686，则元件C正常工作的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
从0，1，2，3这四个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成数对(x,y)，x为第一次取到的数字，y为第二次取到的数字.设事件A=“第一次取出的数字是1“，B=“第二次取出的数字是2”．
(1)写出此试验的样本空间及P(A)，P(B)的值；
(2)判断A与B是不是互斥事件，并求P(A∪B)的值．
16.(本小题12分)
甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取9次，记录如下：
甲828179789588938485
乙929580758380908585
(1)求甲成绩的80%分位数；
(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度(在平均数、方差或标准差中选两个)考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由？
17.(本小题12分)
唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在中国的陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔，唐三彩的生产至今已有1300多年的历史，对唐三彩的复制和仿制工艺，至今也有百余年的历史.某陶瓷厂在生产过程中，随机抽取100件工艺品测得其质量指标数据，将数据分成以下六组[40,50)、[50,60)、[60,70)、…、[90,100]，得到如下频率分布直方图．
(1)求出直方图中m的值；
(2)利用样本估计总体的思想，估计该厂所生产的工艺品的质量指标值的众数和中位数(中位数精确到0.01)；
(3)现规定质量指标值小于60的为二等品，质量指标值不小于60的为一等品.已知该厂某月生产了10000件工艺品，试利用样本估计总体的思想，估计其中一等品和二等品分别有多少件．
18.(本小题12分)
某场比赛甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是23，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是115.乙、丙两个家庭都回答正确的概率是35，各家庭是否回答正确互不影响，
(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
19.(本小题12分)
在某抽奖活动中，初始时的袋子中有3个除颜色外其余都相同的小球，颜色为2白1红．每次随机抽取一个小球后放回．抽奖规则如下：设定抽中红球为中奖，抽中白球为未中奖；若抽到白球，放回后把袋中的一个白色小球替换为红色；若抽到红球，放回后把三个球的颜色重新变为2白1红的初始状态．记第n次抽奖中奖的概率为Pn．
(1)求P2，P3；
(2)若存在实数a，b，c，对任意的不小于4的正整数n，都有Pn=aPn−1+bPn−2+cPn−3，试确定a，b，c的值，并证明上述递推公式；
(3)若累计中奖4次及以上可以获得一枚优胜者勋章，则从初始状态下连抽9次获得至少一枚勋章的概率为多少？
参考答案
1.D
2.A
3.D
4.D
5.D
6.D
7.D
8.D
9.AD
10.BD
11.ACD
12.14
13.250
14.0.9
15.解：(1)由题意可知Ω={(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,2)，(1,3)，
(2,0)，(2,1)，(2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)}，
P(A)=312=14，P(B)=312=14；
(2)P(A∩B)=112≠0，所以A，B不是互斥事件，
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)=2×14−112=512．
16.解：(1)将甲的成绩从低到高排列如下：78，79，81，82，84，85，88，93，95，
因为9×8000=7.2不是整数，所以选择第8个数作为8000分位数，即93．
(2)甲成绩的平均数为x1−=19(78+79+81+82+84+85+88+93+95)=85，
甲成绩的方差为：
s12=19[(78−85)2+(79−85)2+(81−85)2+⋯+(93−85)2+(95−85)2]≈31.6
乙成绩的平均数为x2−=19(92+95+80+75+83+80+90+85+85)=85，
乙成绩的方差为：
s22=19[(92−85)2+(95−85)2+(80−85)2+⋯+(85−85)2+(85−85)2]≈36.4．
因为x1−=x2−，s1217.解：(1)在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为1，
则10×(0.010+0.015+0.015+m+0.025+0.005)=1，得m=0.030；
(2)众数为75，因为0.1+0.15+0.15=0.4<0.5，0.1+0.15+0.15+0.3=0.7>0.5，
所以中位数在第4组，设中位数为n，则0.1+0.15+0.15+0.03(n−70)=0.5，
解得n=2203≈73.33．
所以，可以估计该厂所生产的工艺品的质量指标值的众数为75，中位数为73.33；
(3)由频率分布直方图可知100件工艺品中二等品有100×(0.01+0.15)×10=25件，
一等品有100−25=75件，
该厂生产的10000件工艺品中一等品有10000×75100=7500件，
二等品有10000−7500=2500件，
所以一等品有7500件，二等品有2500件．
18.解：(1)记“甲家庭回答正确这道题”为事件A，“乙家庭回答正确这道题”为事件B，
“丙家庭回答正确这道题”为事件C，
则P(A)=23，P(A−)P(C−)=115，P(A)=23,P(A−)P(C−)=115,P(B)P(C)=35，
即[1−P(A)][1−P(C)]=115，P(A)=23,P(A−)P(C−)=115,P(B)P(C)=35，
所以P(B)=34，P(C)=45，
所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为34，45；
(2)有3个家庭回答正确的概率为P3=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=23×34×45=25，
有2个家庭回答正确的概率为：
P2=P(A−BC+AB−C+ABC−)=13×34×45+23×14×45+23×34×15=1330，
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率P=P2+P3=1330+25=56．
19.解：(1)由题意得P2=13×13+23×23=59，
P3=P2×13+23×13×1+13×23×23=59；
(2)因为每次中奖后袋中的球会回到初始状态，
从初始状态开始，若第一次中奖，此时第n次抽奖中奖的概率为13Pn−1，
从初始状态开始，若第一次未中奖而第二次中奖，此时第n次抽奖中奖的概率为23×23×Pn−2=49Pn−2，
从初始状态开始，若前两次均未中奖，则第三次必中奖，
此时第n次抽奖中奖的概率为23×13×1×Pn−3=29Pn−3，
综上所述，对任意的n≥4，Pn=13Pn−1+49Pn−2+29Pn−3，
又Pn=aPn−1+bPn−2+cPn−3，所以a=13,b=49,c=29；
(3)由题意知每抽三次至少有一次中奖，
故连抽9次至少中奖3次，
所以只需排除3次中奖的情况即可获得一枚优胜者勋章，
另外，每两次中奖的间隔不能超过三次，每次中奖后袋中的球会回到初始状态，
从初始状态开始，抽一次中奖的概率为Q1=13，
从初始状态开始抽两次，第一次未中奖而第二次中奖的概率为Q2=49，
从初始状态开始抽三次，前两次均未中奖而第三次中奖的概率为Q3=29，
用i,j,k表示第i次，第j次，第k次中奖，其余未中奖，
则三次中奖的所有情况如下：1,4,7,2,4,7,2,5,7,2,5,8,3,4,7,3,5,7，
3,5,8,3,6,7,3,6,8,3,6,9，
故仅三次中奖的概率为
Q1×Q32×23×13×3+Q22×Q3×23×13×3+Q2×Q32×23×3+Q33=2082187，
所以从初始状态下连抽9次获得至少一枚勋章的概率为1−2082187=19792187．