2024-2025学年黑龙江省双鸭山市友谊高级中学高二（上）段考数学试卷（一）（含答案）

这是一份2024-2025学年黑龙江省双鸭山市友谊高级中学高二（上）段考数学试卷（一）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线3x+ 3y+5=0的倾斜角为( )
A. π6B. π4C. 2π3D. 3π4
2.已知直线l1：x+ay−2=0，l2：(a+1)x−ay+1=0，若p：l1//l2；q：a=−2，则p是q的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知直线l：ax+y−a+2=0与圆C：(x−2)2+(y+1)2=9交于A，B两点，则当弦AB最短时，直线l的方程为( )
A. 3x+y+1=0B. x+2y+3=0C. 2x+y=0D. x+y+1=0
4.已知平面α内有两点M(1,−1,2)，N(a,3,3)，平面α的一个法向量为n=(6,−3,6)，则a=( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
5.在平面直角坐标系中，M，N分别是x，y轴正半轴上的动点，若以MN为直径的圆与直线3x+4y−10=0相切，则该圆半径的最小值为( )
A. 12B. 1C. 32D. 2
6.点P为x轴上的点，A(1,2)，B(3,4)，以A，B，P为顶点的三角形的面积为8，则点P的坐标为( )
A. (7,0)或(−9,0)B. (7,0)或(−11,0)
C. (7,0)或(9,0)D. (−11,0)或(−9,0)
7.棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P是BC1中点，则异面直线PD与A1B所成角的余弦值是( )
A. 36B. 26C. 33D. 23
8.点P是以AB为直径的单位圆上的动点，P到A，B的距离分别为x，y，则x+y+xy的最大值为( )
A. 2 2B. 3 2C. 2+2 2D. 2+3 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线l1：x−y−1=0，动直线l2：(k+1)x+ky+k=0(k∈R)，则下列结论错误的有( )
A. 不存在k，使得l2的倾斜角为90°B. 存在实数k，使得l1与l2没有公共点
C. 对任意的k，l1与l2都不重合D. 对任意的k，l1与l2都不垂直
10.如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是( )
A. |AC1|=6 6
B. AC1⊥BD
C. 向量B1C与AA1的夹角是60°
D. 异面直线BD1与AC所成的角的余弦值为 63
11.已知圆C：(x−2)2+y2=4，直线l：(m+1)x+2y−3−m=0(m∈R)，则( )
A. 直线l恒过定点(1,1)
B. 存在实数m，使得直线l与圆C没有公共点
C. 当m=−3时，圆C上恰有两个点到直线l的距离等于1
D. 圆C与圆x2+y2−2x+8y+1=0恰有两条公切线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线l1：(2a−1)x−(a−2)y+1=0，直线l2：(a+1)x−2y−1=0.若l1⊥l2，则实数a的值为______．
13.定义a⊗b=|a|2−a⋅b，若向量a=(1,−2,3)，向量b为单位向量.则a⊗b的取值范围是______．
14.已知圆C1：x2+y2−4kx+2y+1=0与圆C2：x2+y2+2ky−1=0的公共弦所在直线恒过点P，则点P坐标为______；|PC1|2+|PC2|2的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知点A(3,4)，求下列直线的方程：
(1)求经过点A(3,4)，且在x轴上的截距是y轴上截距的2倍的直线的方程；
(2)光线自点A(3,4)射到y轴的点B(0,1)后被y轴反射，求反射光线所在直线的方程．
16.(本小题12分)
已知圆M：x−12+y−22=4，直线l过点A3,2．
(1)若直线l被圆M所截得的弦长为2 3，求直线l的方程；
(2)若直线l与圆M交于另一点B，与x轴交于点C，且A为BC的中点，求直线l的方程．
17.(本小题12分)
在①圆过点C(−9,2)；②圆心在直线x−y+1=0上；③圆与直线2x−y−10 5=0相切，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行求解．
已知圆E过点A(1,12)，B(7,10)，且_____．
(1)求圆E的方程．
(2)已知点C(−2,0)，D(2,−20)，在圆E上是否存在点P，使得|PC|2+|PD|2=258？若存在，求出点P的个数；若不存在，请说明理由．
18.(本小题12分)
如图，四棱锥E−ABCD中，AE⊥平面ABCD,AD⊥AB,AD//BC,AE=AB=BC=2,AD=1，过AD的平面分别与棱EB,EC交于点M，N．
(1)求证：AD//MN;
(2)记二面角A−DN−E的大小为θ，求csθ的最大值．
19.(本小题12分)
已知圆C:x2+(y−1)2=4，A(a,b)为圆C上一点．
(1)求b+2a的取值范围;
(2)圆D:x2+(y+1)2=r2(r>0)的圆心为D，与圆C相交于M、N两点，H为圆C上相异于M、N的点，直线HM，HN分别与y轴交于点P、Q，求S△CHP⋅S△CHQ的最大值．
参考答案
1.C
2.B
3.D
4.C
5.B
6.A
7.A
8.C
9.ABC
10.AB
11.ACD
12.1或−52
13.[14− 14,14+ 14]
14.(12,−1) 710
15.解：(1)当直线过原点时，满足在x轴上的截距是y轴上截距的2倍，
此时直线方程为y=kx，将A(3,4)代入，可得k=43，化简可得4x−3y=0；
当直线不过原点时，设直线方程为xa+yb=1，且a=2b，
即x2b+yb=1，将A(3,4)代入，可得32b+4b=1，解得b=112，
则直线方程为x11+y112=1，化简可得x+2y−11=0；
综上，直线方程为4x−3y=0或x+2y−11=0．
(2)点A关于y轴的对称点的坐标为A′(−3,4)，
由题意可知，反射光线所在的直线经过点A′(−3,4)与B(0,1)，
所以反射光线所在的直线斜率为kA′B=4−1−3−0=−1，
则反射光线所在的直线方程为y−1=−1(x−0)，
化简可得x+y−1=0．
16.解：(1)当直线斜率不存在时，l:x=3与圆相切不符合题意，舍去．
当直线斜率存在时，设直线l:y−2=k(x−3)即kx−y+2−3k=0，
圆心坐标为(1,2)，由弦长为2 3可知，圆心到直线的距离为1，
即|k−2+2−3k| k2+1=1，所以k=± 33
则直线l方程为 3x−3y+6−3 3=0或 3x+3y−6−3 3=0
(2)设C(t,0)，因为A为BC中点，
则B(6−t,4)，由B在圆M上得(6−t−1)2+(4−2)2=4
即t=5，则C(5,0)．
所以直线l:y−0=2−03−5(x−5)
即直线l:y=−x+5．
17.解：(1)若选①，设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
由已知可得1+144+D+12E+F=049+100+7D+10E+F=081+4−9D+2E+F=0，
解得D=−2，E=−4，F=−95，
所以圆E的方程为x2+y2−2x−4y−95=0．
即(x−1)2+(y−2)2=100．
若选②，由已知得AB的中点为(4,11)，直线AB的斜率为−13，
所以AB的垂直平分线的方程为y−11=3(x−4)，即y=3x−1．
因为圆心在直线x−y+1=0上，所以联立方程y=3x−1x−y+1=0，
解得x=1y=2，所以圆心E的坐标为(1,2)，
半径为AE=10，
所以圆E的方程为(x−1)2+(y−2)2=100．
若选③，设圆的方程为(x−a)2+(y−b)2=r2，
因为圆E过点A(1,12)，B(7,10)，
所以(1−a)2+(12−b)2=r2(7−a)2+(10−b)2=r2，
因为圆与直线2x−y−10 5=0相切，
所以|2a−b−10 5| 22+(−1)2=r，解得a=1，b=2，r=10，
所以圆E的方程为(x−1)2+(y−2)2=100．
(2)设P(x,y)，由已知|PC|2+|PD|2=(x+2)2+y2+(x−2)2+(y+20)2=2x2+2y2+40y+408=258，
所以x2+y2+20y+75=0，即x2+(y+10)2=25，
所以点P在圆M：x2+(y+10)2=25上，圆M的圆心M的坐标为(0,−10)，半径r1=5．
因为点P在圆E：(x−1)2+(y−2)2=100上，圆E的圆心E的坐标为(1,2)，半径r=10，
又|ME|= 1+122= 145，r−r1=5，r+r1=15，
所以r−r1