2024-2025学年山西省运城市高二（上）测评数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年山西省运城市高二（上）测评数学试卷（10月份）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在空间直角坐标系中，点(−3,2,−1)关于x轴对称的点的坐标是( )
A. (3,2,−1)B. (3,−2,1)C. (−3,−2,1)D. (−3,−2,−1)
2.直线l：x+3y+2=0的一个方向向量为( )
A. (3,−2)B. (−3,1)C. (1,3)D. (3,2)
3.已知空间向量a=(3,2,1)，b=(2,m,−3)，若(a−b)⊥a，则实数m=( )
A. 4B. 6C. 234D. 112
4.已知圆x2+y2−2x+6y+1=0关于直线x+y+m=0对称，则实数m=( )
A. −2B. 1C. −1D. 2
5.已知向量m=(1,3,−1)，n=(−1,4,−2)，p=(1,10,z)，若m，n，p共面，则实数z=( )
A. −4B. −2C. 3D. 1
6.圆C1：x2+y2−6y+5=0与圆C2：(x−3)2+(y+1)2=9的公切线的条数为( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
7.在四棱锥P−ABCD中，AB=(−3,−6,3)，AD=(3,0,6)，AP=(−5,1,3)，则此四棱锥的高为( )
A. 26B. 29C. 6D. 8
8.已知M，N是圆O：x2+y2=8上两点，且|MN|=4，若直线x−ay+6=0上存在点P使得OM+ON=OP，则实数a的取值范围为( )
A. (−∞,− 52]∪[ 52,+∞)B. (−∞,− 52)∪( 52,+∞)
C. [− 52, 52]D. (− 52, 52)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线l经过点(2,3)，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为( )
A. 3x−2y=0B. 2x+y−7=0C. x+y−5=0D. x−y+1=0
10.已知直线l：kx−y+2k=0，圆C：(x+1)2+(y−2)2=9，则下列说法正确的是( )
A. 直线l过定点(−2,0)
B. 直线l与圆C恒相交
C. 直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为x−2y+2=0
D. 直线l被圆C截得的弦长为4时，k=±12
11.已知点P是棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1表面上的一个动点，则( )
A. 存在点P，使得AP=13AB+13AD+13AA1
B. 若E是AB中点，当P在棱B1C1上运动时，存在点P使得PE=PD
C. 当P在线段B1D1上运动时，AP与BD所成角的取值范围是[π3,π2]
D. 若F是A1B1的中点，当点P在底面ABCD上运动时，存在点P使得PF//平面B1CD1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知M(1,3)，N(2,1)，若点P(x,y)在线段MN上，则yx+2的取值范围是______．
13.已知P(x,y)是圆C：(x−1)2+(y−2)2=1上任意一点，若|x+y+a|+|1−x−y|的取值与x、y无关，则实数a的取值范围是______．
14.空间直角坐标系O−xyz中，过点P(x0,y0,z0)且一个法向量为n=(a,b,c)的平面α的方程为a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面α的方程为2x−y+z−4=0，直线l是两平面2x−y+5=0与x+3z−3=0的交线，则直线l与平面α所成角的正弦值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，∠A1AD=∠BAD=∠A1AB=60°，AB=AD=1，AA1=2，P为A1C1上靠近点A1的三等分点，设AB=a，AD=b，AA1=c．
(1)用基底{a,b,c}表示向量AP；
(2)求AP⋅BD．
16.(本小题15分)
已知两直线l1：3x+y−9=0和l2：2x−y−1=0的交点为P．
(1)若直线l过点P且与直线x+2y−1=0平行，求直线l的一般式方程；
(2)若圆C过点(−2,5)且与l1相切于点P，求圆C的标准方程．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，且AD=PA=2，AB=3，∠DAB=60°，点E为线段PC的中点，点F是线段AB上靠近点A的三等分点．
(1)求证：平面DEF⊥平面PAB；
(2)求平面DEF和平面PAD的夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
已知以点C为圆心的圆(x−a)2+(y−3a)2=a2+9a2(a>0)与x轴交于点M，与y轴交于点N，O为坐标原点.(M,N与O不重合)
(1)求证：△MON的面积为定值；
(2)设直线3x+y−3=0与圆C交于点A，B，若|OA|=|OB|，求实数a的值；
(3)在(2)的条件下，设P，Q分别是直线l：x+y+4=0和圆C上的动点，求|PN|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标．
19.(本小题17分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=2，AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分别是CC1，BC的中点，动点P在直线A1B1上，且A1P=λA1B1．
(1)是否存在点P，使得AM⊥PN？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由；
(2)当λ取何值时，直线PN与平面AMN所成角的正弦值为 63；
(3)求动点P到直线MN的距离的取值范围．
参考答案
1.C
2.B
3.D
4.D
5.A
6.B
7.B
8.A
9.AC
10.AB
11.BCD
12.[14,1]
13.(−∞,− 2−3]
14. 69138
15.解：(1)平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，∠A1AD=∠BAD=∠A1AB=60°，AB=AD=1，AA1=2，P为A1C1上靠近点A1的三等分点，设AB=a，AD=b，AA1=c．
因为P为A1C1上靠近点A1的三等分点，所以A1P=13(A1B1+A1D1)=13(AB+AD)=13a+13b．
所以AP=AA1+A1P=c+13a+13b．
(2)因为AP=c+13a+13b，又BD=AD−AB=b−a，
所以AP⋅BD=(c+13a+13b)⋅(b−a)=−13a2+13b2+bc−ac=−13+13+1×2×12−1×2×12=0．
16.解：联立方程组3x+y−9=0,2x−y−1=0,解得x=2,y=3.
所以直线l1：3x+y−9=0和l2：2x−y−1=0的交点P(2,3)．
(1)因为直线l与直线x+2y−1=0平行，故可设直线l：x+2y+c1=0．
又直线l过点P，则2+6+c1=0，解得c1=−8，
即直线l的方程为x+2y−8=0．
(2)设所求圆的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=r2，
直线l1：3x+y−9=0的斜率为−3，故直线CP的斜率为13，
由题意可得(−2−a)2+(5−b)2=r2,(2−a)2+(3−b)2=r2b−3a−2=13,解得a=−1,b=2,r2=10,
故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y−2)2=10．
17.解：(1)证明：因为点F是线段AB上靠近点A的三等分点，AB=3，所以AF=1．
在△ADF中，AD=2，AF=1，∠DAB=60°，由余弦定理，得DF2=AD2+AF2−2AD⋅AF⋅cs∠DAB=3，
所以DF= 3，所以DF2+AF2=AD2，即DF⊥AF．
因为PA⊥平面ABCD，DF⊂平面ABCD，所以PA⊥DF．
又PA∩AF=A，PA，AF⊂平面PAB，所以DF⊥平面PAB．
因为DF⊂平面DEF，所以平面DEF⊥平面PAB．
(2)过点D作DG//PA，易证DG⊥平面ABCD，显然直线DF，DC，DG两两垂直，
故以D为原点，直线DF，DC，DG所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系D−xyz，

则D(0,0,0)，A( 3,−1,0)，P( 3,−1,2)，C(0,3,0)，F( 3,0,0)，E( 32,1,1)，
所以DA=( 3,−1,0)，PA=(0,0,−2)，DE=( 32,1,1)，DF=( 3,0,0)．
设平面PAD的法向量为m=(a,b,c)，
则m⋅DA= 3a−b=0m⋅PA=−2c=0，则b= 3ac=0，取a=1，则b= 3，所以m=(1, 3,0)，
设平面DEF的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅DF= 3x=0n⋅DE= 32x+y+z=0，则x=0y=−z，取y=1，则z=−1，所以n=(0,1,−1)，
设平面DEF和平面PAD的夹角为θ，
则csθ=|cs〈m,n〉|=|m⋅n||m||n|= 32× 2= 64，
即平面DEF和平面PAD的夹角的余弦值为 64．
18.解：(1)证明：由圆C的方程(x−a)2+(y−3a)2=a2+9a2(a>0)，化简得x2−2ax+y2−6ay=0，
其与x轴，y轴的交点分别为：M(2a,0)，N(0,6a)，
所以S△MON=12|2a|⋅|6a|=6为定值；
(2)如图①所示，因为|OA|=|OB|，所以OC⊥AB．
又OC的斜率k=3a2，所以(3a2)×(−3)=−1，
解得a=3(负数舍去)，所以实数a的值为3；

(3)如图②所示，由(2)知：圆C的方程为：(x−3)2+(y−1)2=10，圆心C(3,1)，半径r= 10，N(0,2)．
设点N关于直线x+y+4=0的对称点为N′(x,y)，
则NN′中点为(x2,2+y2)，
由NN′被直线x+y+4=0垂直平分可得y−2x⋅(−1)=−1x2+2+y2+4=0，解得x=−6y=−4，即N′(−6,−4)，
则|PN|+|PQ|=|PN′|+|PQ|≥|N′Q|，
又点N′到圆上点Q的最短距离为|N′C|−r= (3+6)2+(1+4)2− 10= 106− 10，
则|PN|+|PQ|的最小值为 106− 10，
此时直线N′C的方程为：y−1=1+43+6(x−3)，即5x−9y−6=0．
|PN|+|PQ|的最小值时点P为直线N′C与直线l的交点，
则5x−9y−6=0x+y+4=0，解得x=−157y=−137，即点P(−157,−137)．
19.解：(1)如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，

则A1(0,0,2)，B1(1,0,2)，M(0,1,1)，N(12,12,0)，
A1P=λA1B1=λ(1,0,0)=(λ,0,0)，AP=AA1+A1P=(λ,0,2)，
即P(λ,0,2)，PN=(12−λ,12,−2)，
因为AM=(0,1,1)，所以AM⋅PN=0+12−2=−32≠0，
所以不存在点P，使得AM⊥PN；
(2)设平面AMN的一个法向量为m=(a,b,c)，
则有m⋅AM=b+c=0m⋅AN=12a+12b=0，取a=1，得m=(1,−1,1)，
因为直线PN与平面AMN所成角的正弦值为 63，
所以sinθ=|cs〈m,PN〉|=|12−λ−12−2| 3× (12−λ)2+14+4
=|λ+2| 3× λ2−λ+92= 63，解得λ=1或5，
所以当λ=1或5时，直线PN与平面AMN所成角的正弦值为 63；
(3)由(1)知P(λ,0,2)，MN=(12,−12,−1)，PM=(−λ,1,−1)．
设点P到直线MN的距离为d，
则d= PM2−(PM⋅MN|MN|)2= λ2+1+1−(−12λ−12+1 32)2
= 56(λ+15)2+95≥ 95=3 55(当且仅当λ=−15时取等号)，
所以动点P到直线MN的距离的取值范围为[3 55,+∞)．