2024-2025学年福建省龙岩市连城一中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年福建省龙岩市连城一中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列1, 3, 5, 7,…， 9,…则3 7是它的( )
A. 第30项B. 第31项C. 第32项D. 第33项
2.直线3x+4y−25=0与圆x2+y2=4的位置关系是( )
A. 相交且直线过圆心B. 相交但直线不过圆心
C. 相切D. 相离
3.在等比数列{an}中，a1=2，a99是方程x2−10x+16=0的两个根，则a50的值为( )
A. 10B. 16C. ±4D. 4
4.若直线l的一个方向向量为(− 2, 6)，则它的倾斜角为( )
A. 150°B. 120°C. 60°D. 30°
5.“m>6”是“方程x2+y2−mx+4y+m+7=0是圆的方程”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月(按30天计算)共织390尺布，记该女子一月中的第n天所织布的尺数为an，则a14+a15+a16+a17的值为( )
A. 55B. 52C. 39D. 26
7.光线从A(−3,4)点射出，到x轴上的B点后，被x轴反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射线恰好过点D(−1,6)，则BC所在直线的方程是( )
A. 5x−2y+7=0B. 3x+y−1=0C. 3x−2y+4=0D. 2x−y−3=0
8.斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”.这一数列如下定义：设{an}为斐波那契数列，a1=1,a2=1,an=an−1+an−2(n≥3,n∈N∗)，其通项公式为an=1 5[(1+ 52)n−(1− 52)n]，设n是lg2[(1+ 5)x−(1− 5)x]A. 5B. 6C. 7D. 8
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线l1：x+ay−a=0和直线l2：ax−(2a−3)y−1=0，下列说法正确的是( )
A. l2始终过定点(23,13)B. 若l1//l2，则a=1或−3
C. 若l1⊥l2，则a=0或2D. 当a>0时，l1始终不过第三象限
10.已知正项等比数列{an}满足a1=2，a4=2a2+a3，若设其公比为q，前n项和为Sn，则( )
A. an=2nB. 数列{an}单调递减
C. Sn+1=2Sn+2D. 数列{lgan}是公差为2的等差数列
11.已知P(4,2)，A(4,0)，点Q为圆O：x2+y2=4上一动点，过点P作圆O的切线，切点分别为M、N，下列说法正确的是( )
A. 若圆C：(x−2)2+(y−3)2=1，则圆O与圆C有四条公切线
B. 若x，y满足x2+y2=4，则−4≤ 3x+y≤4
C. 直线MN的方程为2x+y−1=0
D. PQ+12AQ的最小值为 13
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若等比数列{an}共有2n项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列{an}的所有项之和为______．
13.已知直线x+2y+1=0与⊙C：(x−1)2+y2=4交于A，B两点，则△ABC的面积为______．
14.德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》.在其年幼时，对1+2+3+…+100的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数f(x)=2x2x+ 2，设数列{an}满足an=f(0)+f(1n)+f(2n)+⋯+f(n−1n)+f(1)(n∈N∗)，若存在n∈N∗使不等式n2+4n−2kan+27≤0成立，则k的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知点A(−2,1)，B(2,3)，C(−1,−3)；
(1)求过点A且与BC平行的直线方程；
(2)求过点B且在x轴和y轴上截距相等的直线方程．
16.(本小题15分)
已知数列{an}满足a1=2,an+1an=n+1n．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{an2an}的前n项和．
17.(本小题15分)
证明圆C1：x2+y2−4x−16=0与圆C2：x2+y2+2y−4=0内切，并求它们的公切线方程．
18.(本小题15分)
已知{an}的前n项和是Sn且Sn=nan，a1=2．
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)设bn=nan+1,n为奇数,1n(n+an),n为偶数.求数列{bn}的前2n项和T2n．
19.(本小题17分)
在平面直角坐标系中，圆M是以A(1,− 3),B(3, 3)两点为直径的圆，且圆N与圆M关于直线y=x对称．
(1)求圆N的标准方程；
(2)设C(0,1)，D(0,4)，过点C作直线l1，交圆N于P、Q两点，P、Q不在y轴上．
①过点C作与直线l1垂直的直线l2，交圆N于EF两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值；
②设直线OP，DQ相交于点G，试讨论点G是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．
参考答案
1.C
2.D
3.C
4.B
5.A
6.B
7.A
8.A
9.ACD
10.AC
11.ABD
12.300
13.85
14.[495,+∞)
15.解：(1)直线BC的斜率：kBC=3−(−3)2−(−1)=2，故过点A且与BC平行的直线方程斜率k=kBC=2．
且A(−2,1)，故直线方程为：y−1=2(x+2)，即2x−y+5=0；
(2)过点B(2,3)，且在x轴和y轴上截距相等的直线方程，
当截距为0时，直线过原点，直线方程为：y=32x，即3x−2y=0；
当截距不为0时，由截距相等可设直线方程为：xa+ya=1，
代入B(2,3)，得2a+3a=1,a=5，
故直线方程为x5+y5=1即x+y−5=0．
综上所述，所求直线方程为3x−2y=0或x+y−5=0．
16.解：(1)因为数列{an}满足a1=2,an+1an=n+1n，
所以an=anan−1⋅an−1an−2⋅an−2an−3⋅⋯⋅a2a1⋅a1=nn−1⋅n−1n−2⋅n−2n−3⋅⋯⋅21⋅2=2n，
即{an}的通项公式为an=2n；
(2)记数列{an2n}的前n项和为Sn，
因为an2an=2n22n=2n×(14)n，
所以Sn=2×14+2×2×(14)2+2×3×(14)3+…+2n×(14)n，
所以14Sn=2×(14)2+2×2×(14)3+2×3×(14)4+⋯+2(n−1)×(14)n+2n×(14)n+1，
两式相减得34Sn=12+2[(14)2+(14)3+(14)4+⋯+(14)n]−2n×(14)n+1=12+2×(14)2[1−(14)n−1]1−14−2n×(14)n+1=23−3n+46×22n，
故Sn=89−3n+49×22n−1，
即数列{an2an}的前n项和为Sn=89−3n+49×22n−1．
17.证明：将圆C1的方程化成标准方程，得(x−2)2+y2=20，
则圆心坐标为(2,0)，半径r1= 20=2 5．
将圆C2的方程化成标准方程，得x2+(y+1)2=5，
则圆心坐标为(0,−1)，半径r2= 5．
两圆心之间的距离d= 22+12= 5=r1−r2，因此两圆内切(如图)．

为求公切线方程，需要求切点坐标．切点是两圆唯一的公共点，
其坐标即为方程组x2+y2−4x−16=0①x2+y2+2y−4=0②的解．
②−①，得4x+2y+12=0，③
即y=−2x−6. ④
将④代入②，整理得x2+4x+4=0．
解此方程，得唯一解x=−2，代入④，得y=−2.故切点坐标为(−2,−2)．
切点(−2,−2)到圆C1的圆心(2,0)的方向向量为(2−(−2),0−(−2))=(4,2)，并且与切线方向垂直，
故向量(4,2)是切线的法向量，因此可设切线的一般式方程为4x+2y+C=0．
将切点(−2,−2)的坐标代入上述方程，解得C=12．
因此，所求切线方程为2x+y+6=0．
18.解：(Ⅰ)由Sn=nan，a1=2，可得a1+a2=2a2，解得a2=2，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=nan−(n−1)an−1，
化为an=an−1，
则数列{an}为常数列，即有an=2；
(Ⅱ)bn=nan+1,n为奇数,1n(n+an),n为偶数.⇒bn=2n+1,n为奇数1n(n+2)=12(1n−1n+2),n为偶数，
则T2n=(3+7+...+4n−1)+12(12−14+14−16+...+12n−12n+2)=12n(3+4n−1)+12(12−12n+2)
=2n2+n+n4n+4．
19.解：(1)由题意得：M为线段AB的中点，故圆M的圆心坐标为M(2,0)，半径r=12|AB|=2，
圆M的方程为：(x−2)2+y2=4，
因为圆N关于圆M关于直线y=x对称，所以圆N的圆心为N(0,2)，
所以圆N的标准方程为：x2+(y−2)2=4．
(2)设直线l1的方程为y=kx+1，即kx−y+1=0，
则圆心N(0,2)到直线l1的距离d1=|−2+1| k2+1=1 k2+1，
所以|PQ|=2 4−1k2+1=2 4k2+3k2+1，
①若k=0，则直线l2斜率不存在，则|PQ|=2 3，|EF|=4，则S=12|EF|⋅|PQ|=4 3，
若k≠0，则直线l2的方程为y=−1kx+1，即x+ky−k=0，则圆心N(0,2)到直线l1的距离d2=k k2+1，
所以|EF|=2 4−k2k2+1=2 3k2+4k2+1，
则S=12|EF|．|PQ|=2 (4k2+3)(3k2+4)(k2+1)2=2 12(k2+1)2+k2(k2+1)2=2 12+k2(k2+1)2=2 12+1k2+1k2+2≤2 12+12 k2⋅1k2+2=7，
当且仅当k2=1k2，即k=±1时，等号成立，
综上所述，因为7= 49>4 3，所以S的最大值为7；
②设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，联立方程组得：x2+(y−2)2=4y=kx+1，
消y得(k2+1)x2−2kx−3=0，则x1+x2=2kk2+1,x1x2=−3k2+1，
直线OP的方程为y=y1x1x，直线DQ的方程为y=y2−4x2x+4，联立解得x=4x1x23x1+x2，
则y=y1x1⋅4x1x23x1+x2=4y1x23x1+x2=4(kx1+1)x23x1+x2=4kx1x2+4x23x1+x2=−6x1−2x23x1+x2=−2，
所以G(4x1x23x1+x2,−2)，所以点G在定直线y=−2上．