2024-2025学年辽宁省高二（上）段考数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年辽宁省高二（上）段考数学试卷（10月份）（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法正确的是( )
A. 零向量没有方向
B. 在空间中，单位向量唯一
C. 若两个向量不相等，则它们的长度不相等
D. 若空间中的O，M，N，P四点不共面，则{OM,ON,OP}是空间的一组基底
2.已知直线l的倾斜角为2π3，则该直线的一个方向向量为( )
A. ( 3,1)B. ( 3,−1)C. (1,− 3)D. (1, 3)
3.如图所示，在三棱锥A−BCD中，O为CD的中点，设BA=a,BC=b,BD=c，则AO=( )
A. −a+12b+12c
B. a−b+12c
C. −b+12a+12c
D. −c+12b+12a
4.已知两直线l1：3x+4y−14=0，l2：a(x+1)−2x+4y=0，若l1//l2，则l1与l2间的距离为( )
A. 95B. 125C. 175D. 195
5.已知直线l1：ax+y+7=0，l2：(a+2)x−3y+2=0，则“a=1”是“l1⊥l2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.已知平面α的法向量m=(2a,3,−2)，平面β的法向量n=(−2,b,1)，若α//β，则a+2b=( )
A. −1B. 1C. 2D. 52
7.如图所示，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则( )
A. 直线DD1与直线AF垂直
B. 直线A1G与平面AEF平行
C. 三棱锥F−ABE的体积为18
D. 直线BC与平面AEF所成的角为45°
8.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，在如图所示的鳖臑A−BCD中，AB⊥平面BCD.∠BDC=90°，BD=2AB=2CD=2，E是BC的中点，H是△ABD内的动点(含边界)，且EH//平面ACD，则CA⋅EH的取值范围是( )
A. [0,3]B. [12,3]C. [12,112]D. [3,112]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线l：(2a−3)x+(1−a)y+1=0，则( )
A. 若a=1，则直线l的倾斜角为π2
B. 直线l过定点(1,2)
C. 若a=43，则直线l在x轴和y轴上的截距相等
D. 若直线l不经过第二象限，则a<1
10.如图，四边形ADEF为正方形，CD⊥平面ADEF，CD//AB，AD=AB=12CD，M为CE的中点，则( )
A. B，C，E，F四点共面
B. BM/​/平面ADEF
C. BC⊥平面BDE
D. 平面BCF⊥平面BDE
11.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为AB的中点，P为正方体表面上的一个动点，则( )
A. 当点P在线段BC1上运动时，A1P与AD1所成角的最大值是π3
B. 若点P在上底面A1B1C1D1上运动，且正方体棱长为1，AP与AA1所成角为π4，则点P的轨迹长度是π
C. 当点P在面BB1C1C上运动时，四面体P−AA1D的体积为定值
D. 当点P在棱B1C1上运动时，存在点P使PE=PD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线l：ax+by−1=0(a>0,b>0)过点P(1,2)，则当1a+2b取得最小值时，直线l的方程为______．
13.如图，正三棱柱ABC−A1B1C1的各棱长均为1，点O为棱BC上的中点，点E为棱A1B1上的动点，则OE在B1C1上的投影向量的模的取值范围为______．
14.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的体积为8，且C1E=λC1B(0<λ<1)，则当AE+EC取得最小值时，三棱锥B1−ECD1的外接球体积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知直线l1：2x+y+4=0与直线l2：x−3y−5=0的交点为M．
(1)求点M关于直线2x−3y+1=0的对称点N；
(2)求点A(4,0)到经过点M的直线l距离的最大值，并求距离最大时的直线l的方程．
16.(本小题15分)
如图，AB是半圆O的直径，C是AB的中点，PA=PB，平面PAB垂直于半圆O所在的平面，PO=AB=2．
(1)若D为PB的中点，证明：OD//平面PAC；
(2)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
如图①，在边长为4的菱形ABCD中，M，N分别是边BC，CD的中点，∠ADC=120°，如图②，将菱形ABCD沿对角线AC折起．

(1)证明：AC⊥MN；
(2)当点D折叠到使二面角D−AC−B为直二面角时，求点D到平面AMN的距离．
18.(本小题17分)
如图，在斜四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=AA1=2，∠BAA1=∠DAA1=∠BAD=π3．
(1)证明：BD⊥平面ACC1A1；
(2)求平面ABC与平面A1BC夹角的余弦值．
19.(本小题17分)
定义：如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，那么称d(A,B)=|x1−x2|+|y1−y2|为A，B两点间的曼哈顿距离．
(1)已知A，B两点的坐标分别为A(3,x)，B(2,−3)，如果它们之间的曼哈顿距离不大于2，求x的取值范围；
(2)已知A，B两点的坐标分别为A(a,x)，B(x,2)，如果它们之间的曼哈顿距离恒大于1，求a的取值范围；
(3)若点A(x,y)在函数y=3x的图象上且x∈Z，点B的坐标为(1,27)，求d(A,B)的最小值．
参考答案
1.D
2.C
3.A
4.D
5.A
6.A
7.B
8.B
9.ABC
10.BCD
11.CD
12.x+y−3=0
13.[0,12]
14.323π
15.解：(1)已知直线l1：2x+y+4=0与直线l2：x−3y−5=0的交点为M，
联立2x+y+4=0x−3y−5=0，
解得x=−1y=−2，
即M(−1,−2)，
又点M关于直线2x−3y+1=0的对称点N，
设N(a,b)，
则b+2a+1=−322×a−12−3×b−22+1=0，
解得x=−3313y=413，
即N(−3313,413)；
(2)由(1)知M(−1,−2)，
则点A(4,0)到经过点M的直线l距离的最大值为|AM|= (4+1)2+(0+2)2= 29，当且仅当直线l与直线AM垂直时取得最大值，
又kAM=0+24+1=25，
即直线l的斜率为−52，
即直线l的方程为y+2=−52(x+1)，
即5x+2y+9=0．
16.(1)证明：因为O，D分别是AB，PB的中点，
所以OD//PA，
又OD⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，
所以OD/​/平面PAC．
(2)解：因为PA=PB，O是AB的中点，所以OP⊥AB，
又平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，OP⊂平面PAB，
所以OP⊥平面ABC，
所以OP⊥OC，OP⊥OB，
因为C是AB的中点，所以OC⊥AB，
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则P(0,0,2)，A(0,−1,0)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，
所以PA=(0,−1,−2)，BP=(0,−1,2)，BC=(1,−1,0)，
设平面PBC的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅BP=−y+2z=0n⋅BC=x−y=0，
令z=1，则x=2，y=2，所以n=(2,2,1)，
设直线PA与平面PBC所成角为θ，
则sinθ=|cs|=|PA⋅n||PA|⋅|n|=|−2−2| 5×3=4 515，
故直线PA与平面PBC所成角的正弦值为4 515．
17.解：(1)证明：如图，取AC的中点O，连接OB，OD，
结合折叠后线段长度不变得到AB=BC，AD=DC，
所以AC⊥OB，AC⊥OD，
又OB∩OD=O，OB，OD⊂平面OBD，
所以AC⊥平面OBD，BD⊂平面OBD，
所以AC⊥BD，
又M，N分别是BC，CD的中点，
所以MN//BD，
所以AC⊥MN．
(2)因为点D折叠到使二面角D−AC−B为直二面角，
所以平面ABC⊥平面ACD，
又因为平面ABC∩平面ACD=AC，AC⊥OD，AC⊂平面ACD，
所以OD⊥平面ABC，又BO⊂平面ABC，
所以BO⊥OD，
结合(1)知OA，OB，OD两两垂直，
故以O为坐标原点OA，OB，OD所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz，

则A(2 3,0,0)，D(0,0,2)，M(− 3,1,0)，N(− 3,0,1)，
所以AD=(−2 3,0,2)，AM=(−3 3,1,0)，AN=(−3 3,0,1)，
设平面AMN的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅AM=−3 3x+y=0n⋅AN=−3 3y+z=0，
令x=1，n=(1,3 3,3 3)，
所以|n|= 55，
又n|n|=( 5555,3 16555,3 16555)，
所以点D到平面AMN的距离为|AD⋅n|n||=|−2 3× 5555+0×3 16555+2×3 16555|=4 16555．
18.解：(1)证明：因为AB=BC=AA1=2，∠BAA1=∠DAA1=∠BAD=π3，
设AB=a，AD=bAA1=c，
则a⋅b=|a|⋅|b|csπ3=2，
a⋅c=|a|⋅|c|csπ3=2，
b⋅c=|b|⋅|c|csπ3=2，
所以A1C=A1A+AB+BC=−c+a+b，
又BD=AD−AB=b−a，
所以A1C⋅BD=(−c+a+b)⋅(b−a)=−b⋅c+a⋅c+b2−a2=−2+2+4−4=0，
故A ​1C⊥BD，
因为四棱柱ABCD−A1B1C1D1且AB=BC，
所以四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD，
又A1C∩AC=A，AC，AC⊂平面ACC1A1，
所以BD⊥平面ACC1A1；
(2)过点A1，作A1O⊥AC，A1H⊥AB，连接OH，

设AC∩BD=M，因为BD⊥平面ACC1A1，AO⊂平面ACC1A1，
所以DB⊥A1O，又因为AO⊥AC，且AC∩BD=M，
故A ​1O⊥底面ABCD，
又因为A1O⊥AB，A1H⊥AB，A1H∩A1O=A1，
所以AB⊥平面A1OH，OH⊂平面AOH，
所以OH⊥AB，
在Rt△AAH中，AH=1，
在Rt△AOH中，AO=2 33，
在RtΔA1AO中，A1O=2 63，
以过点O且与BD平行的直线为y轴，OA，OA1所在的直线分别为x轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(2 33,0,0)，C(−4 33,0,0)，B(− 33,1,0),A(0,0,2 63)，
所以BC=(− 3,−1,0)，BA1=( 33,−1,2 63)，
设平面A1BC的法向量为m=(x,y,z)，
则BC⋅m=− 3x−y=0,BA1⋅m= 33x−y+2 63z=0⇒y=− 3xz=− 2x，
令x=−1，则m=(−1, 3, 2)，
平面ABC的法向量为n=(0,0,2 63)，
cs〈m,n〉=m⋅n|m|⋅|n|= 2×2 63 1+3+2×2 63= 33，
设平面ABC与平面A1BC的夹角为θ，
则csθ=|csm,n|= 33，
平面ABC与平面ABC夹角的余弦值为 33．
19.解：(1)因为A(3,x)，B(2,−3)，故d(A,B)=1+|x+3|，
由曼哈顿距离不大于2，得1+|x+3|≤2，
解得−4≤x≤−2．
综上，x的取值范围是[−4,−2]．
(2)因为A(a,x)，B(x,−3)，
故d(A,B)=|a−x|+|x−2|，
由题意可得|a−x|+|x−2|>1恒成立，
因为|a−x|+|x−2|≥|a−x+x−2|=|a−2|，
当且仅当(x−2)(a−x)≥0时等号成立，即|a−x|+|x−2|的最小值为|a−2|，
所以|a−2|>1，则a−2<−1或a−2>1，解得a<1或a>3．
故a的取值范围是(−∞,1)∪(3,+∞)．
(3)点A(x,y)在函数y=3x图象上且x∈Z，点B的坐标为(1,27)，
故d(A,B)=|x−1|+|3x−27|=x+3x−28,x≥3x−3x+26,1当x≥3时，d(A,B)=x+3x−28，函数y=x+3x−28在[3,+∞)上单调递增，
故d(A,B)≥3+33−28=2，
当且仅当x=3时取等号．
当1令g(x)=x−3x+26，由于x∈Z，故g(2)=19>2．
当x≤1时，d(A,B)=28−x−3x，
函数y=28−x−3x在(−∞,1]上单调递减，故d(A,B)≥28−1−3=24，
当且仅当x=1时取等号．
综上可知，d(A,B)的最小值为2．