2024-2025学年陕西省咸阳市武功县普集高级中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年陕西省咸阳市武功县普集高级中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，点M在OA上，且OM=2MA，点N为BC中点，则MN=( )
A. 12a−23b+12c
B. −23a+12b+12c
C. 12a+12b−12c
D. 23a+23b−12c
2.已知a=(2,−1,3)，b=(−4,y,2)，且a⊥(a+b)，则y的值为( )
A. 6B. 10C. 12D. 14
3.已知{a,b,c}为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是( )
A. a+b，c+b，a−c B. a+2b，b，a−c
C. 2a+b，2c+b，a+b+c D. a+b，a+b+c，c
4.已知点A(2,−3)，B(−3,−2)直线l过点P(1,1)，且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是( )
A. (−∞,−4]∪[34,+∞)B. (−∞,−14]∪[34,+∞)
C. [−4,34]D. [34,4]
5.三点A(m,2)B(5,1)C(−4,2m)在同一条直线上，则m值为( )
A. 2B. 72C. −2或72D. 2或72
6.设点B是点A(2,−3,5)关于xOy面的对称点，则A，B两点距离为( )
A. 10B. 10C. 38D. 38
7.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为BC的中点，CF=13CC1，则异面直线EF与B1D1所成角的余弦值为( )
A. 23 B. 36
C. 3 2626 D. 4 2121
8.在空间直角坐标系中，P(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，三角形ABC重心为G，则点P到直线AG的距离为( )
A. 67B. 22117C. 2 1717D. 53
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是( )
A. 若两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别是a=(2,−2,−1),b=(−2,−2,1)，则l1//l2
B. 若直线l的方向向量是a=(1,1,2)，平面α的法向量是n=(−2,−2,−4)，则l⊥α
C. 若直线l的方向向量是a=(0,2,0)，平面α的法向量是n=(−2,0,2)，则l//α
D. 若两个不同的平面α，β的法向量分别是m=(3,−4,2),n=(−2,0,3)，则α⊥β
10.已知空间中三点A0,1,0，B2,2,0，C−1,3,1，则下列说法正确的是( )
A. AB与AC是共线向量
B. 与AB同向的单位向量是2 55, 55,0
C. AB和BC夹角的余弦值是 5511
D. 平面ABC的一个法向量是1,−2,5
11.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1= 3，E，F，P，Q分别为棱AB，AD，DD1，BB1的中点，则下列结论正确的是( )
A. AC⊥BPB. B1D⊥平面EFPQ
C. BC1//平面EFPQD. 直线A1D和AC所成角的余弦值为 24
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线l经过点P(0,1)且其方向向量为(1,12)，则直线l的方程为______．
13.已知a=(2,−1,3)，b=(−1,4,−2)，c=(3,2,λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于______．
14.在直棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90°，D，D1分别是AB，A1B1的中点，AC=BC=1，A1A=2.则二面角D−A1C−C1的余弦值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知点P(−2,0,2)，Q(−1,1,2)，R(−3,0,4)，设a=PQ，b=PR，c=QR．
(1)若实数k使ka+b与c垂直，求k值．
(2)求a在b上的投影向量．
16.(本小题15分)
如图所示，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，∠BAD=π2,∠BAA1=∠DAA1=π3．
(1)用向量AB,AD,AA1表示向量BD1，并求|BD1|；
(2)求cs〈BD1,AC〉．
17.(本小题15分)
如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，点M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点．
(1)证明：平面AMN//平面EFBD；
(2)求平面AMN与平面EFBD间的距离．
18.(本小题17分)
棱长为2的正方体中，E，F分别是DD1，DB的中点，G在棱CD上，且CG=13CD，H是CG1的中点．
(1)证明：EF⊥B1C.
(2)求cs.
(3)求FH的长．
19.(本小题17分)
如图，四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面四边形ABCD为矩形，AB=4，BC=2，PD=2 3，M为PB中点，N为CD靠近D的四等分点．
(1)求证：PB⊥平面AMN；
(2)求二面角M−AN−B的余弦值；
(3)求点D到平面AMN的距离．
参考答案
1.B
2.C
3.B
4.A
5.D
6.A
7.C
8.B
9.ABCD
10.BD
11.ACD
12.x−2y+2=0
13.4
14.−23
15.解：(1)依题意，a=(1,1,0),b=(−1,0,2),c=(−2,−1,2)，
ka+b=(k,k,0)+(−1,0,2)=(k−1,k,2)，
由ka+b与c垂直，得(ka+b)⋅c=−2(k−1)−k+2×2=0，解得k=2，
所以k=2．
(2)由(1)知，a⋅b=−1，|b|= 5，
所以a在b上的投影向量为a⋅b|b|2b=−15b=(15,0,−25)．
16.解：(1)BD1=AD1−AB=AD+AA1−AB，
因为AB=AD=1，AA1=2，∠BAD=π2,∠BAA1=∠DAA1=π3，
所以AD⋅AB=0，AD⋅AA1=AA1⋅AB=1×2×csπ3=1，
所以|BD1|2=(AD+AA1−AB)2=AD2+AA12+AB2+2AD⋅AA1−2AD⋅AB−2AA1⋅AB=12+22+12+2×1−2×0−2×1=6，
所以|BD1|= 6．
(2)由(1)知，BD1=AD+AA1−AB，|BD1|= 6，
而AC=AB+AD，|AC|= 2，
所以BD1⋅AC=(AD+AA1−AB)⋅(AB+AD)=AD⋅AB+AD2+AA1⋅AB+AA1⋅AD−AB2−AB⋅AD=0+12+1+1−12−0=2，
所以cs〈BD1,AC〉=BD1⋅AC|BD1|⋅|AC|=2 6× 2= 33．
17.(1)证明：如图所示，建立空间直角坐标系，

E(0,2,4)，F(2,4,4)，N(4,2,4)，
从而EF=(2,2,0),MN=(2,2,0),AM=(−2,0,4),BF=(−2,0,4)，
所以EF=MN,AM=BF，所以EF/​/MN，AM/​/BF．
又EF⊂平面EFBD，MN⊄平面EFBD，所以MN/​/平面EFBD，
BF⊂平面EFBD，AM⊄平面EFBD，所以AM/​/平面EFBD，
因为MN∩AM=M，
所以平面AMN/​/平面EFBD；
(2)解：因为平面AMN/​/平面EFBD，
所以点B到平面AMN的距离即为平面AMN与平面EFBD间的距离．
设n=(x,y,z)是平面AMN的法向量，
则有n⋅MN=0n⋅AM=0即2x+2y=0−2x+4z=0，可取n=(2,−2,1)，
由于AB=(0,4,0)，
所以点B到平面AMN的距离为|n⋅AB|n||=|−83|=83，
所以平面AMN与平面EFBD间的距离为83．
18.解：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D−xyz，如图所示；
则E(0,0,1)，F(1,1,0)，B1(2,2,2)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)；
(1)∵EF=(1,1,−1)，B1C=(−2,0,−2)，
∴EF⋅B1C=1×(−2)+1×0−1×(−2)=0，
∴EF⊥B1C，
∴EF⊥B1C；
(2)由CG=13CD知，C(0,2,0)，∴G(0,43,0)，∴C1G=(0,−23,−2)，
∴EF⋅C1G=1×0+1×(−23)−1×(−2)=43，
|EF|= 3，|C1G|= 02+(−23)2+(−2)2=2 103，
∴cs=EF⋅C1G|EF|×|C1G|=43 3×2 103= 3015；
(3)∵H为C1G的中点，∴H(0,53,1)，F(1,1,0)，
∴FH=(−1,23,1)，
∴|FH|= (−1)2+(23)2+12= 223，
即FH的长为 223．
19.解：(1)证明：因为PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，
因此PD，AD，CD两两垂直，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，

则P(0,0,2 3),B(2,4,0),A(2,0,0),M(1,2, 3)，N(0,1,0)，
所以AN=(−2,1,0)，AM=(−1,2, 3)，PB=(2,4,−2 3)，
因为PB⋅AM=−2+8−6=0，
所以PB⊥AM，即PB⊥AM，
因为PB⋅AN=2×(−2)+4×1+(−2 3)×0=0，
所以PB⊥AN，即PB⊥AN，
又因为AM∩AN=A，AM⊂平面AMN，AN⊂平面AMN，
所以PB⊥平面AMN；
(2)因为PD⊥平面ABCD，所以n=(0,0,1)为平面ANB的一个法向量，
由(1)知PB=(2,4,−2 3)为平面AMN的一个法向量，
所以cs=n⋅PB|n||PB|=−2 31× 4+16+12=− 64，
显然二面角M−AN−B为锐二面角，
所以二面角M−AN−B的余弦值为 64．
(3)点D到平面AMN的距离为DA在平面AMN的一个法向量PB=(2,4,−2 3)上的投影的绝对值，
又DA=(2,0,0)，
所以点D到平面AMN的距离为：
d=|DA⋅PB|PB||=|(2,0,0)⋅(2,4,−2 3) 22+42+(−2 3)2|= 22．