2024-2025学年天津市经开一中强基班高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年天津市经开一中强基班高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共12小题，每小题2分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线l：x+my+1=0的倾斜角为2π3，则实数m值为( )
A. 3B. − 3C. 33D. − 33
2.直线l1：(3a+1)x+2ay−1=0和直线l2：ax−3y+3=0，则“a=53”是“l1⊥l2”的( )
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知点A(−4,2)，B(−4,−2)，C(−2,2)，则△ABC外接圆的方程是( )
A. x2+(y−3)2=5B. (x+3)2+y2=5
C. x2+(y+3)2=5D. (x−3)2+y2=5
4.已知在四面体O−ABC中，a=OA,b=OB,c=OC,OM=13MA，N为BC的中点，若MN=xa+yb+zc，则x+y+z=( )
A. 3 B. 34
C. 12 D. 13
5.如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则FG⋅ED=( )
A. 18 B. 38
C. −18 D. −38
6.已知空间中三点A(1,0,0)，B(2,1,−1)，C(0,−1,2)，则点C到直线AB的距离为( )
A. 63B. 62C. 33D. 32
7.设x，y∈R，向量a=(x,1,1)，b=(1,y,1)，c=(2,−4,2)且a⊥b，b/​/c，则|a+b|=( )
A. 2 2B. 3C. 10D. 4
8.过直线y=2x−3上的点作圆C：x2+y2−4x+6y+12=0的切线，则切线长的最小值为( )
A. 555B. 19C. 2 5D. 21
9.已知直线mx−y+2m+1=0与圆(x+1)2+(y−2)2=16相交于M，N两点，则|MN|的最小值为( )
A. 4B. 2 14C. 2 7D. 4 2
10.已知曲线x2+y2−4x−2y+1=0关于直线ax+by−1=0(a>0,b>0)对称，则1a+2b的最小值为( )
A. 2B. 4C. 2 2D. 8
11.已知A(−2,0)，B(2,0)，动点P满足|PA||PB|= 2，则点P的轨迹与圆x2+y2=8相交的弦长等于( )
A. 2 7B. 2 6C. 4 2D. 2 5
12.正四面体ABCD棱长为6，AP=xAB+yAC+zAD，且x+y+z=1，以A为球心且半径为1的球面上有两点M，N，MA=AN，则PM2+PN2的最小值为( )
A. 24B. 25C. 48D. 50
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
13.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是( )
A. 两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是a=(2,3,−1)，b=(−2,−3,1)，则l1//l2
B. 直线l的方向向量a=(1,−1,2)，平面α的法向量是u=(6,4,−1)，则l⊥α
C. 两个不同的平面α，β的法向量分别是u=(2,2,−1)，v=(−3,4,2)，则α⊥β
D. 直线l的方向向量a=(0,3,0)，平面α的法向量是u=(0,−5,0)，则l//α
14.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，AB⊥AD，∠A1AD=∠A1AB=60°，P为A1D与AD1的交点，设AB=a,AD=b,AA1=c，则( )
A. AC1=a+b−c
B. BD1=−a+b+c
C. |PC|=34
D. AC1⋅PC=54
15.已知直线l：x+ 3y+c=0(c≠0)，O为坐标原点，则( )
A. 直线l的倾斜角为120°
B. 过O且与直线l平行的直线方程为x+ 3y=0
C. 过点(2, 3)且与直线l垂直的直线方程为 3x−y− 3=0
D. 若O到直线l的距离为1，则c=2
16.已知圆C：(x−2)2+y2=1，点P是直线l：x−y=0上一动点，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别是A和B，则下列说法正确的有( )
A. 圆C上恰有两个点到直线l的距离为12
B. 切线长|PA|的最小值为 2
C. 当四边形PACB面积最小时，直线AB方程为y=x−1
D. 直线AB恒过定点(32,−12)
三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
17.过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为______．
18.已知O为坐标原点，点P在圆C：x2+y2−8x−10y+21=0上运动，则线段OP的中点M的轨迹方程为______．
19.已知向量a=(1,1, 2)，b=(−3,2,0)，则a+b在a上的投影向量为______．
20.如果直线3x+4y−10=0被圆x2+y2−2ax+a2−4=0截得的弦长为2 3，那么实数a= ______．
21.如图，在四面体OABC中，BM=12BC，MN=12NO，AP=34AN，用向量OA,OB,OC表示OP，则OP= ______.若OQ=λOB，且PQ/​/平面ABC，则实数λ= ______．
22.曲线 1−y2=|x|−1与直线y=x+b有两个不同的交点，则实数b的取值范围是______．
四、解答题：本题共4小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
23.(本小题8分)
在平面直角坐标系xy中，已知△ABC的顶点坐标为A(2,4)，B(1,−2)，C(−2,3)．
(1)求直线BC的方程；
(2)求边BC上高AD所在的直线方程．
24.(本小题10分)
求满足下列条件的曲线方程．
(1)求过点A(3,5)且与圆O：x2+y2−2x−4y+1=0相切的直线方程；
(2)求圆心在直线3x−y=0上，与x轴相切，且被直线x−y=0截得的弦长为2 7的圆的方程．
25.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中AD//BC，AB⊥AD，PA=4，AB=AD=12BC=2，E为棱BC上的点，且BE=14BC．
(Ⅰ)求证：DE⊥平面PAC；
(Ⅱ)求平面APC与平面PCD夹角的余弦值；
(Ⅲ)求点E到平面PCD的距离．
26.(本小题16分)
如图：在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC=2，AA1=2 2，∠ACB=90°，M是AA1的中点，N是BC1的中点．
(1)求证：MN//平面A1B1C1；
(2)求直线AB与直线CM所成角的余弦值；
(3)求直线AB与平面MBC夹角的正弦值；
(4)在线段BC1上是否存在点P，使得点P到平面MBC的距离为 33，若存在求此时BPBC1的值，若不存在请说明理由．
参考答案
1.C
2.B
3.B
4.B
5.A
6.A
7.B
8.A
9.B
10.D
11.A
12.D
13.AC
14.BD
15.BC
16.AC
17.2x−y=0或x−y+1=0
18.(x−2)2+(y−52)2=5
19.(34,34,3 24)
20.5或53
21.14OA+14OB+14OC， 34
22.(−1− 2,−2]∪{0}∪[2,1+ 2)
23.解：(1)因为B(1,−2)，C(−2,3)．
所以直线BC的方程：y+23+2=x−1−2−1
整理得5x+3y+1=0；
(2)因为边BC上高为AD，所以AD的斜率为35，
又A(2,4)，所以AD的方程为y−4=35(x−2)，
整理得所求方程：3x−5y+14=0．
24.解：(1)设方程为y−5=k(x+3)，圆(x−1)2+(y−2)2=4，圆心坐标是(1,2)，半径r=2，
由直线与圆相切可得，|k−2+3k+5| 1+k2=2，
∴k=512，
当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为x=3也满足题意，
综上可得，所求的切线方程为x=3和5x−12y+45=0．
(2)由已知设圆心为(a,3a)，与x轴相切则r=|3a|．
圆心到直线的距离d=|2a| 2，弦长为2 7，得：7+4a22=9a2，解得a=±1．
圆心为(1,3)或(−1,−3)，r=3，
所求圆的方程为(x−1)2+(y−3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9．
25.解：(Ⅰ)证明：以A为坐标原点，AB所成直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

由已知得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,2,0)，P(0,0,4)，E(2,1,0)，
∴DE=(2,−1,0)，AC=(2,4,0)，AP=(0,0,4)，
∵DE⋅AC=0，DE⋅AP=0，∴DE⊥AC，DE⊥AP，
∵AP∩AC=A，∴DE⊥平面PAC．
(Ⅱ)设平面PAC的法向量m，由(Ⅰ)知m=DE=(2,−1,0)，
设平面PCD的法向量n=(x,y,z)，
∵PD=(0,2,−4)，PC=(2,4,−4)，
∴n⋅PD=2y−4z=0n⋅PC=2x+4y−4z=0，设z=1，得n=(−2,2,1)，
cs=2×(−2)+(−1)×2+0 22+(−1)2+(−2)2⋅ (−2)2+22+12=2 55，
∴二面角A−PC−D夹角的余弦值为2 55．
(Ⅲ)EC=(0，3，0)，平面PCD的法向量得n=(−2,2,1)，
∴点E到平面PCD的距离d=|EC⋅n||n|=63=2．
26.解：(1)证明：取B1C1中点D，连接DN、DA1，
∵D、N分别为C1B1、C1B，∴DN//B1B，且DN=12B1B，
∵B1B与A1A平行且相等，M为A1A中点，∴DN与A1M平行且相等，
∴四边形DNMA1为平行四边形，
∴MN/​/A1D，
∵A1D⊂平面A1B1C1，MN⊄平面A1B1C1，
∴MN/​/平面A1B1C1；

(2)∵直三棱柱ABC−A1B1C1，∴CC1⊥平面ABC又CB、CA⊂平面ABC，
∴CC1⊥CB、CC1⊥CA，
∵∠ACB=90°，即CB⊥CA，
∴CC1、CB、CA两两垂直，分别以CA，CB，CC1为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则C(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0,2,0)，A1(0,2,2 2)，C1(0,0,2 2)，
∴M(0,2, 2)，N(1,0,2 2)，
∴AB=(2,−2,0)，CM=(0,2, 2)，
∴|AB|=2 2，|CM|= 6，AB⋅CM=−4，
设直线AB与直线CM所成角为θ，所以csθ=|cs|=|AB⋅CM||AB||CM|= 33；
(3)设平面MBC的法向量为n=(x,y,z)，
结合(2)知：CB=(2,0,0)，CM=(0,2, 2)，
则n⋅CB=2x=0n⋅CM=2y+ 2z=0，令y=1，得n=(0,1,− 2)，
∴|n|= 3，AB⋅n=−2，
设直线AB与平面MBC夹角为α，
则sinα=|cs|=|AB⋅n||AB||n|= 66；
(4)设BP=λBC1，λ∈[0,1]，
∵BC1=(−2,0,2 2)，
∴P(2−2λ,0,2 2λ)，
∴CP=(2−2λ,0,2 2λ)，
由(3)知平面MBC的法向量为n=(0,1,− 2)，
∴P点到平面MBC的距离为d=|CP⋅n||n|=|4λ| 3= 33，
解得λ=±14，又λ∈[0,1]，
∴λ=14．