2024-2025学年重庆市南岸区广益中学高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年重庆市南岸区广益中学高二（上）第一次月考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线 3x+3y−1=0的倾斜角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
2.已知直线l1：(a−1)x+y+1=0，l2：2ax+y+3=0，若l1//l2，则实数a=( )
A. −1或1B. 0或1C. 1D. −1
3.设e1、e2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( )
A. e1与e1−e2B. e1+e2与e1−3e2
C. e1−2e2与−3e1+6e2D. 2e1+3e2与e1−2e2
4.已知空间直角坐标系O−xyz中的点A(2,−1,−3)关于xOy平面的对称点为B，则|AB|的值为( )
A. 14B. 4C. 6D. 2 10
5.如图，四棱锥P−OABC的底面是矩形，设OA=a，OC=b，OP=c，E是棱PC上一点，且PE=2EC，则BE=xa+yb+zc，则x+y+z=( )
A. 1
B. −1
C. −13
D. −53
6.直线l的方向向量为l，平面α与β的法向量分别为m，n，则下列选项正确的是( )
A. 若l⊥α，则l⋅m=0B. 若l//β，则l=kn
C. 若α⊥β，则m⋅n=0D. 若α//β，则m⋅n=0
7.已知向量a=(3,−2,−3)，b=(−2,x−1,2)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是( )
A. (−5,+∞)B. (−5,73)∪(73,+∞)
C. (−∞,−5)D. (73,+∞)
8.若θ∈R，则直线y=xcsθ−1的倾斜角α的取值范围为( )
A. [π4,3π4]B. [0,π2)⋃(π2,3π4]C. [0,π4]∪[3π4,π)D. [0,π4]⋃(π2,3π4]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 每一条直线都有且仅有一个倾斜角与之对应
B. 倾斜角为135°的直线的斜率为1
C. 一条直线的倾斜角为α，则其斜率为k=tanα
D. 直线斜率的取值范围是(−∞,+∞)
10.如图所示，ABCD−A1B1C1D1为正方体，以下四个结论中正确的有( )
A. AC1⊥平面CB1D1
B. 直线B1C与BD所成的角为60°
C. 二面角C−B1D1−C1的正切值是 3
D. AC1与底面ABCD所成角的正切值是 2
11.在三维空间中，a×b叫作向量a与b的外积，它是一个向量，且满足下列两个条件：
①a⊥(a×b)，b⊥(a×b)，且a，b，a×b三个向量构成右手系(如图所示)；
②|a×b|=|a||b|sin〈a,b〉.
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，已知其表面积为S，下列结论正确的有( )
A. |AB1×AC|=|AD1×DB|B. AB×AD=AD×AB
C. S=6|BC×AC|D. A1C1×A1D与BD1共线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图所示，直线l1的倾斜角α1=30°，直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为______．
13.已知两点A(−3,4)，B(3,2)，过点P(2,−1)的直线l与线段AB有公共点，则l的斜率的取值范围为______．
14.空间直角坐标系xOy中，过点P(x0,y0,z0)且一个法向量为n=(a,b,c)的平面α的方程为a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0，过点P(x0,y0,z0)且方向向量为n=(u,v,w)(uvw≠0)的直线l的方程为x−x0u=y−y0v=z−z0w，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面α的方程为x−y+z+1=0，直线l是两个平面x−y+2=0与2x−z+1=0的交线，则直线l与平面α所成角的正弦值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知：a=(x,4,1)，b=(−2,y,−1)，c=(3,−2,z)，a//b，b⊥c，求：
(1)a，b，c；
(2)a+c与b+c所成角的余弦值．
16.(本小题12分)
如图，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA=AD=AB=2，M，N分别为AB，PC的中点，求证：
(1)MN//平面PAD；
(2)求PD与平面PMC所成角的正弦值．
17.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥面ABCD，AB//CD，且CD=2AB=2，BC=2 2,∠ABC=90°，M为BC的中点．
(1)求证：平面PDM⊥平面PAM；
(2)若二面角P−DM−A为30°，求直线PC与平面PDM所成角的正弦值．
18.(本小题12分)
如图，在三棱锥A−BCD中，△BCD是边长为2的等边三角形，AB=AC，O是BC的中点，OA⊥CD．
(1)证明：平面ABC⊥平面BCD；
(2)若E是棱AC上的一点，从①CE=2EA；②二面角E−BD−C大小为60°；③A−BCD的体积为 3，这三个论断中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
19.(本小题12分)
如图2，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD的对角线互相平分，AC∩BD=O；在直角边长为2的等腰直角△ADB中，∠ADB=90°；在等腰直角△PDB中，∠BPD=90°，M为PD的中点，PO⊥AC．
(1)求证：OM//平面BCP；
(2)求二面角C−BP−A的正弦值．
参考答案
1.D
2.D
3.C
4.C
5.B
6.C
7.B
8.C
9.AD
10.AB
11.ACD
12.− 3
13.(−∞,−1]∪[3,+∞)
14. 23
15.解：(1)∵a//b，
∴x−2=4y=1−1，
解得x=2，y=−4，
故a=(2,4,1)，b=(−2,−4,−1)，
又因为b⊥c，所以b⋅c=0，即−6+8−z=0，解得z=2，
故c=(3,−2,2)
(2)由(1)可得a+c=(5,2,3)，b+c=(1,−6,1)，
设向量a+c与b+c所成的角为θ，
则csθ=5−12+3 38⋅ 38=−219

16.(1)证明：取PD中点Q，连接AQ，QN，则QN//DC，QN=12DC，
又因为AM//DC，AM=12DC，所以四边形AMNQ为平行四边形，
所以MN/​/AQ，因为MN⊄平面PAD，AQ⊂平面PAD，
所以MN/​/平面PAD；
(2)解：建立空间直角坐标系如图，因为PA=AD=AB=2，
所以P(0,0,2)，D(0,2,0)，M(1,0,0)，C(2,2,0)，PD=(0,2,−2)，PM=(1,0,−2)，PC=(2,2,−2)．
设平面PMC法向量为：n=(x,y,z)，
则n⋅PC=0，n⋅PM=0，解得x=2z，y=−z，令z=1，
则n=(2,−1,1)．
设PD与平面PMC所成角为θ，则sinθ=|cs|=PD⋅n|PD||n|=−2−2 4+4⋅ 4+1+1= 33．

17.(1)证明：在直角梯形ABCD中，由已知可得，AB=1，CD=2，BM=CM= 2，
可得AM2=3，DM2=6，
过A作AE⊥CD，垂足为E，则DE=1，AE=2 2，求得AD2=9，
则AD2=AM2+DM2，∴DM⊥AM．
∵PA⊥面ABCD，∴DM⊥PA，
又PA∩AM=A，∴DM⊥平面PAM，
∵DM⊂平面PDM，∴平面PDM⊥平面PAM；
(2)解：由(1)知，PM⊥DM，AM⊥DM，则∠PMA为二面角P−DM−A的平面角为30°，
则PA=AM⋅tan30°=1．
以A为坐标原点，分别以AE，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则P(0,0,1)，D(2 2,−1,0)，C(2 2,1,0)，M( 2,1,0)，
PC=(2 2,1,−1)，PD=(2 2,−1,−1)，PM=( 2,1,−1)．
设平面PDM的一个法向量为n=(x,y,z)，
由n⋅PD=2 2x−y−z=0n⋅PM= 2x+y−z=0，取x=1，得n=(1, 22,3 22).
∴直线PC与平面PDM所成角的正弦值为|cs|=|PC⋅n||PC|⋅|n|= 2 10⋅ 6= 3030．
18.证明：(1)因为AB=AC，O是BC的中点，
所以OA⊥BC，又因为OA⊥CD，
所以OA⊥平面BCD，
因为OA⊂平面ABC，
所以平面ABC⊥平面BCD．
(2)连接OD，又因为△BCD是边长为2的等边三角形，
所以DO⊥BC，由(1)知OA⊥平面BCD，所以AO，BC，
DO两两互相垂直．以O为坐标原点，OA，OB，OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系．

设|OA|=m，则O(0,0,0)，A(0,0,m)，B(1,0,0)，C(−1,0,0)，D(0, 3,0)，
若选①②作为条件，证明③成立．
因为CE=2EA，所以E(−13,0,2m3)，易知平面BCD的法向量为n=(0,0,1)，
BE=(−43,0,2m3)，BD=(−1, 3,0)，
设m=(x,y,z)是平面BDE的法向量，
则m⋅BE=0m⋅BD=0，所以y= 3x3z=2xm，可取m=(1, 33,2m)，
由二面角E−BD−C大小为60°可得csθ=m⋅n|m|×|n|=2m 1+13+4m2=12，解得m=3，
所以A−BCD的体积为13×2× 3×12×3= 3．
若选①③作为条件，证明②成立．
因为A−BCD的体积为 3，所以13×2× 3×12×|OA|= 3，解得|OA|=3，
又因为CE=2EA，所以E(−13,0,2)，易知平面BCD的法向量为n=(0,0,1)，
BE=(−43,0,2)，BD=(−1, 3,0)，
设m=(x,y,z)是平面BDE的法向量，
则m⋅BE=0m⋅BD=0，所以y= 3x3z=2xm，可取m=(1, 33,23)，
所以csθ=m⋅n|m|×|n|=23 1+13+49=12，即二面角E−BD−C大小为60°．
若选②③作为条件，证明①成立．
因为A−BCD的体积为 3，所以13×2× 3×12×|OA|= 3，解得|OA|=3，即A(0,0,3)，
AC=(−1,0,−3)，不妨设AE=λAC(0≤λ≤1)，所以E(−λ,0,−3λ+3)，
易知平面BCD的法向量为n=(0,0,1)，
BE=(−λ−1,0,−3λ+3)，BD=(−1, 3,0)，
设m=(x,y,z)是平面BDE的法向量，
则m⋅BE=0m⋅BD=0，所以y= 3x3z=(λ+1)x−3λ+3，
csθ=m⋅n|m|×|n|=λ+1 9(1−λ)2+3(1−λ)2+(1+λ)2=12，解得λ=3(舍)，λ=13，
所以CE=2EA．
19.解：(1)证明：∵四边形ABCD的对角线互相平分，AC∩BD=O，
∴O为BD的中点，
又M为PD的中点，
∴OM//PB，
∵OM⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，
∴OM//平面PBC；
(2)∵在等腰直角△PDB中，又O为BD的中点，
∴PO⊥BD，
又PO⊥AC，AC∩BD=O，AC⊂平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD，
以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
∵AD=BD=2，AD⊥BD，
∴BC⊥BD，BC=2，AB=CD=2 2，
∵PB⊥PD，PB=PD，
∴PB=PD= 2,PO=1，
∵AD=2，AD⊥BD，DO=1，
∴AO= AD2+OD2= 5=OC，
∴A(2,0,0)，P(0,1,1)，B(0,2,0)，C(−2,2,0)，
则PA=(2,−1,−1),PB=(0,1,−1),PC=(−2,1,−1)，
设平面PAB和平面PBC的法向量分别为n=(x,y,z),m=(a,b,c)，
由n⋅PA=2x−y−z=0n⋅PB=y−z=0，则可取n=(1,1,1)，
由m⋅PB=b−c=0m⋅PC=−2a+b−c=0，则可取m=(0,1,1)，
∴cs=n⋅m|n||m|=2 3× 2= 63，
∴二面角C−BP−A的正弦值为 33．