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    2024-2025学年江西省“金太阳”高二10月联考数学试题(含答案)

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    2024-2025学年江西省“金太阳”高二10月联考数学试题(含答案)

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    这是一份2024-2025学年江西省“金太阳”高二10月联考数学试题(含答案),共7页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    1.下列直线中,倾斜角最小的是( )
    A. 4x+3y−5=0B. 4x−3y−5=0C. 3x+4y−5=0D. 3x−4y−5=0
    2.已知圆(x−1)2+(y−1)2=r2经过点P(2,2),则圆在点P处的切线方程为( )
    A. x+y−4=0B. x+y=0C. x−y=0D. x−y−4=0
    3.若方程x21+m+y22−m=1表示椭圆,则m的取值范围为( )
    A. (−1,2)B. (−2,1)C. (−1,32)∪(32,2)D. (−1,12)∪(12,2)
    4.若点P(−1,2)在圆C:x2+y2+x+y+m=0的外部,则m的取值可能为( )
    A. 5B. 1C. −4D. −7
    5.已知A(−4,2),B(3,1),过点P(0,−1)的直线l与线段AB(含端点)有交点,则直线l的斜率的取值范围为( )
    A. (−∞,−23]∪[34,+∞)B. (−∞,−34]∪[23,+∞)
    C. [−34,23]D. [−23,34]
    6.点(−2,3)关于直线2x+2y−3=0对称的点的坐标为( )
    A. (−32,72)B. (72,−32)C. (−52,32)D. (32,−52)
    7.已知圆C1:(x+3)2+y2=81和C2:(x−3)2+y2=1,若动圆P与这两圆一个内切一个外切,记该动圆圆心的轨迹为M,则M的方程为( )
    A. x216+y27=1B. x225+y29=1C. x225+y216=1D. x216+y29=1
    8.已知P是圆C:x2+y2−6y=0上一动点,若直线l:3x−4y−12=0上存在两点A,B,使得∠APB=π2能成立,则线段AB的长度的最小值是( )
    A. 185B. 225C. 435D. 985
    二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
    9.已知A(2,2),B(1,0),C(3,−2),且四边形ABCD是平行四边形,则( )
    A. 直线AD的方程为x+y−4=0B. v=(1,2)是直线CD的一个方向向量
    C. |BC|=4D. 四边形ABCD的面积为3
    10.若直线y=kx−2与曲线y= −x2+6x−5恰有一个交点,则k的值可能为( )
    A. 0B. 25C. 2D. 125
    11.已知A(−1,0),B(3,0),P是圆O:x2+y2=49上的一个动点,则下列结论正确的是( )
    A. 过点B且被圆O截得最短弦长的直线方程为x=3
    B. 直线x−my+4m−3=0与圆O总有两个交点
    C. 过点A作两条互相垂直的直线,分别交圆O于点E,G和F,H,则四边形EFGH的面积的最小值为97
    D. sin∠APB的最大值为713
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
    12.已知O为坐标原点,F(1,0)是椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点,过点F且与M的长轴垂直的直线交M于C,D两点.若△OCD为直角三角形,则M的长轴长为 .
    13.已知A(−1,3),直线l:(m+2)x−(m+1)y+2m−1=0,过点A作l的垂线,垂足为B,则点B到x轴的距离的最小值为 .
    14.在某城市中,F地位于E地的正南方向,相距2km;Q地位于E地的正东方向,相距1km.现有一条沿湖小径RS(曲线),其上任意一点到E和F的距离之和为4km.现计划在该小径上选择一个合适的点P建造一个观景台,经测算从P到F,Q两地修建观景步道的费用都是5万元/km,则修建两条观景步道的总费用最低是 万元.
    四、解答题:本题共5小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
    15.(本小题12分)
    已知直线l:(a−1)x−(2a+1)y+1=0.
    (1)若l在两坐标轴上的截距相反,求a的值;
    (2)若直线m:4x−2y+1=0,且l//m,求l与m间的距离.
    16.(本小题12分)
    已知F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,P为C上一点.
    (1)若|F1F2|=2,点P的坐标为(0,−3),求椭圆C的标准方程;
    (2)若PF1⊥PF2,△F1PF2的面积为4,求b的值.
    17.(本小题12分)
    已知圆M与y轴相切,其圆心在x轴的负半轴上,且圆M被直线x−y=0截得的弦长为2 2.
    (1)求圆M的标准方程;
    (2)若过点P(0,3)的直线l与圆M相切,求直线l的方程.
    18.(本小题12分)
    已知A,B分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上、下顶点,M是椭圆C上一动点.
    (1)若直线MA,MB的斜率之积为−34,且椭圆C的短轴长为2 6,求椭圆C的方程;
    (2)若P是圆x2+y2−2by=0上一动点,且|MP|≤3b,求椭圆C的离心率的取值范围,
    19.(本小题12分)
    定义:M是圆C上一动点,N是圆C外一点,记|MN|的最大值为m,|MN|的最小值为n,若m=2n,则称N为圆C的“黄金点”;若G同时是圆E和圆F的“黄金点”,则称G为圆“E−F”的“钻石点”.已知圆A:(x+1)2+(y+1)2=13,P为圆A的“黄金点”.
    (1)求点P所在曲线的方程.
    (2)已知圆B:(x−2)2+(y−2)2=1,P,Q均为圆“A−B”的“钻石点”.
    (ⅰ)求直线PQ的方程.
    (ⅱ)若圆H是以线段PQ为直径的圆,直线l:y=kx+13与圆H交于I,J两点,对于任意的实数k,在y轴上是否存在一点W,使得y轴平分∠IWJ?若存在,求出点W的坐标;若不存在,请说明理由.
    参考答案
    1.D
    2.A
    3.D
    4.C
    5.B
    6.A
    7.C
    8.A
    9.AB
    10.BD
    11.ABD
    12. 5+1
    13.4− 5
    14.15
    15.解:(1)
    由题意知,截距存在,
    令x=0,则y=12a+1,令y=0,则x=−1a−1,
    所以12a+1−1a−1=0,解得a=−2;
    (2)因为l/​/m,所以a−14=−(2a+1)−2≠1,解得a=−1,
    则l的方程为−2x+y+1=0,即4x−2y−2=0,
    则l与m间的距离|1−(−2)| 42+(−2)2=3 510.
    16.解:(1)已知|F1F2|=2,因为|F1F2|=2c,所以c=1,
    点P(0,−3)在椭圆上,将其代入椭圆方程x2a2+y2b2=1,
    可得02a2+(−3)2b2=1,即9b2=1,解得b=3.
    又因为c2=a2−b2,c=1,b=3,
    所以a2=b2+c2=9+1=10.
    所以椭圆C的标准方程为x210+y29=1.
    (2)因为PF1⊥PF2,所以△F1PF2的面积S=12×|PF1|×|PF2|=4,
    则|PF1|×|PF2|=8.
    根据椭圆定义,|PF1|+|PF2|=2a.
    由勾股定理可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2.
    又(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|×|PF2|,
    即(2a)2=(2c)2+16.
    在椭圆中有c2=a2−b2,将(2a)2=(2c)2+16变形为a2=c2+4,即b2=4,解得b=2.
    17.解:(1)因为圆心在x轴的负半轴上,所以设圆M:(x−a)2+y2=r2(a4,所以点P在圆M外,过圆M外一点作圆M的切线,其切线有2条.
    ①当l的斜率k存在时,设l的方程为y=kx+3,即kx−y+3=0,
    则圆心M到l的距离d=|−2k+3| 1+k2=2,解得k=512,
    此时l的方程为5x−12y+36=0.
    ②当l的斜率k不存在时,直线l的方程为x=0,圆心M(−2,0)到直线x=0的距离为2,
    所以直线x=0与圆M相切.
    综上,l的方程为5x−12y+36=0或x=0.
    18.解:(1)设M(x,y),
    根据题意2b=2 6,b= 6,A(0, 6),B(0,− 6),
    kAM=y− 6x,kBM=y+ 6x,
    kAM·kBM=−34, y2−6x2=−34,化简可得x28+y26=1,
    椭圆C的方程为x28+y26=1;
    (2)
    圆x2+y2−2by=0的标准方程为x2+(y−b)2=b2,圆心为A(0,b),半径为b,
    如图,当M,A,P三点共线,且A在线段MP上时,|MP|最大,此时|MP|=|MA|+|AP|=|MA|+b,
    设M(x,y),则x2a2+y2b2=1,x2=a2(1−y2b2),
    |MA|2=x2+(y−b)2=a2(1−y2b2)+(y−b)2=−c2b2y+b3c22+a4c2+a2+b2,−b≤y0≤b,
    当−b3c2≤−b,即b2≥c2时,(|MA|2)max=4b2,即|MA|max=2b,符合题意,由b2≥c2,可得a2≥2c2,即0−b,即b2

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