2024-2025学年江苏省常州市联盟校高二上学期学情调研（10月）数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省常州市联盟校高二上学期学情调研（10月）数学试题（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线过A(2,3)，B1,m两点，且倾斜角为45∘，则m=( )
A. 0B. 3C. 2D. 5
2.若圆x2+y2+ax−3=0的圆心是1,0，则该圆的半径为( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
3.过点A4,−1与B0,7的直线的斜截式方程是( )
A. y=−2x+7B. y=−2x−1C. y=2x+7D. y=−2x+4
4.直线l1:ax+2y−2=0，直线l2:x+a+1y−2=0，则下列结论正确的是( )
A. 若l1//l2，则a=1或a=−2
B. 若l1⊥l2，则a=23
C. 当l1//l2时，两直线的距离为 5
D. 当l1⊥l2时，两直线的交点坐标为32,32
5.方程x2+y2−2mx−4y+2m2−4m−1=0所表示的圆的最大面积为( )
A. 4πB. 9πC. 8πD. 16π
6.已知点A−1,0，B0,1，点P是圆x−22+y2=2上任意一点，则▵PAB面积的最小值为( )
A. 2B. 1C. 12D. 3− 22
7.以下四个命题表述正确的是( )
A. 斜率为−2，在y轴上的截距为3的直线方程为y=−2x±3
B. 经过点1,1且在x轴和y轴上截距相等的直线方程为x+y−2=0
C. 设点Mx,y是直线x+y−2=0上的动点，O为原点，则OM的最小值是 2
D. 已知直线kx−y−1=0和以M−3,1，N3,2为端点的线段相交，则实数k的取值范围为−23≤k≤1
8.若圆C:x−32+y−42=4上总存在两点关于直线4ax+3by+12=0对称，则过圆C外一点a,b向圆C所作的切线长的最小值是( )
A. 4B. 4 2C. 2 5D. 2 7
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在平面直角坐标系中，已知点A(2,0)，B(0,4)，C(2,4)，O(0,0)，则( )
A. 直线AC的倾斜角不存在B. 直线OC与直线AB的倾斜角相等
C. 直线OC与直线AB的斜率之和为0D. 点C到直线AB的距离为4 55
10.下列说法正确的有( )
A. 若方程x2+y2+2x+m=0表示一个圆，则实数m的取值范围−∞,1
B. 已知O为坐标原点，点Pa,b是圆x2+y2=r2r>0上的一点，则直线ax+by=r2与圆相切
C. 若圆M:x−42+y−42=r2r>0上恰有两点到点N1,0的距离为1，则r的取值范围是4,6
D. 设b为实数，若直线y=x+b与曲线x= 1−y2恰有一个公共点，则−111.已知曲线C的方程为：x2+y2=2x+2yx,y∈R，则下列结论正确的是( )
A. 曲线C关于原点对称
B. 曲线C围成的图形的面积大于16
C. 曲线C上任意两点间的距离不超过2+2 2
D. 直线y=2x− 10−12与曲线C有的四个不同公共点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线l经过点P(1,2)，且与x轴、y轴分别交于A，B两点，若P是线段AB的中点，则直线l的一般式方程为 ．
13.已知点P0,−1关于直线x−y+1=0对称的点Q在圆C:x2+y2+mx+4=0上，则m= ．
14.已知在平面直角坐标系xOy中，直线l:2kx−y+3k=0上存在动点P满足条件A−3,0，B1,0，且PA=3PB时，则实数k的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知▵ABC的三个顶点是A4,1，B6,7，C0,3．
(1)求BC边上的高的直线方程；
(2)求平分▵ABC的面积且过点C的直线的方程．
16.(本小题12分)
已知直线l过直线x+2y−3=0和2x−y+4=0的交点P．
(1)若直线l过点P，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
(2)若圆C过点P及Q3,−4，圆C面积存在最小值吗？如果存在，求出面积的最小值和此时圆的方程，若不存在，请说明理由．
17.(本小题12分)
已知圆C:x2+y2−2x−2y+m=0与y轴交于A，B两点，且∠ACB=90∘(C为圆心)，过点P0,−2且斜率为k的直线l与圆C相交于M，N两点．
(1)求实数m的值及圆C的一般方程；
(2)求k的取值范围；
(3)若OM⋅ON=0，O为坐标原点，求直线l 的 方程．
18.(本小题12分)
已知圆C过两点A−1,1、B1,3，且圆心C在直线x−2y+1=0上.
(1)求圆C的标准方程；
(2)求过点P3,4的圆C的切线方程；
(3)若直线l的横截距为aa>1，纵截距为bb>1，直线l被圆C截得的弦长为2 3，求ab的最小值．
19.(本小题12分)
在直角▵ABC中，∠C为直角，顶点A，B的坐标分别为−4,0，6,0，圆D是▵ABC的外接圆，D为圆心，已知点P4,4，过点P作两条相异直线分别与圆D相交于M，N．
(1)求圆D的方程并判断点P4,4与圆D的位置关系；
(2)若直线PM和直线PN与x轴分别交于点G、H，且∠PGH=∠PHG，试判断直线MN的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
参考答案
1.C
2.C
3.A
4.D
5.B
6.C
7.C
8.D
9.CD
10.ABC
11.AB
12.2x+y−4=0
13.92
14.− 36, 36
15.解：(1)
由题意可得：直线BC的斜率kBC=3−70−6=23，
则BC边上的高所在直线的斜率k=−32，又这条直线过点A，
所以直线方程为y−1=−32x−4，即3x+2y−14=0．
(2)
由题意可知：所求直线即为边AB的中线所在的直线，
则线段AB的中点为D5,4，可得直线CD的斜率kBD=4−35−0=15，
所以直线CD的方程为y=15x+3，即x−5y+15=0．

16.解：(1)
由题意可知：联立方程组x+2y−3=02x−y+4=0，解得x=−1y=2，即交点P−1,2，
由直线方程l在两坐标轴上的截距相等，
当直线l过原点时，则直线l的方程为y=−2x在两坐标轴上的截距相等；
当直线l不过原点时，设直线l的方程为xa+ya=1，将点P−1,2代入得−1a+2a=1，解得a=1，
所以直线l的方程为x+y=1，
综上所述直线l的方程为2x+y=0或x+y−1=0；
(2)
设圆心的坐标为Ca,b，C在PQ的垂直平分线上．
∵kPQ=−32，P、Q的中点M1,−1，
∴PQ的中垂线的方程为y+1=23x−1，即2x−3y−5=0，
∴2a−3b−5=0，即a=3b+52，
半径r=PC= a+12+b−22= 134b2+2b+5，
当b=−1时，r取得最小值 13，圆的面积的最小值为13π．
取最小值时圆心为1,−1，r= 13，则圆的方程为x−12+y+12=13．

17.解：(1)
化圆的一般方程为标准方程：x−12+y−12=2−m，
则圆心为 C1,1，半径为r= 2−m(显然有m<2)，
又∠ACB=90∘，则△ACB是等腰直角三角形，
所以C到AB的距离为 22r，
则 22× 2−m=1，解得m=0，
所以圆C:x2+y2−2x−2y=0；
(2)
设直线l:y=kx−2，其与圆x−12+y−12=2交于Mx1,y1，Nx2,y2两点，
则圆心到直线l的距离d=k−1−2 1+k2< 2，
解得：k>1或k<−7；
(3)
若OM⋅ON=0，O为坐标原点，则OM⊥ON，
因为O在圆上，
所以MN 为 直径，即直线l过圆心C，则1=k−2，
整理得：3x−y−2=0．

18.解：(1)
解：因为圆心C在直线x−2y+1=0上，设圆心为C2t−1,t，
因为点A−1,1、B1,3在圆C上，所以CA=CB，
即 4t2+t−12= 2t−22+t−32，解得t=1，
所以圆心C1,1，半径r=OA=2，所以圆的标准方程为C:x−12+y−12=4．
(2)
解：由(1)可得圆C:x−12+y−12=4，则圆心C1,1，半径r=2，
因为3−12+4−12>4，则点P在圆C外，
当过点P3,4的直线斜率不存在，则直线方程为x=3，
圆心C到直线x=3的距离为2，故直线x=3为圆C的切线；
当过点P3,4的直线斜率存在，
可设直线方程y−4=kx−3，即kx−y−3k+4=0，
圆心C到该直线的距离d=3−2k k2+1，
由直线kx−y−3k+4=0与圆C相切，则d=r，即3−2k 1+k2=2，
可得4k2−12k+9=4k2+4，解得k=512，
此时，直线方程为y−4=512x−3，即5x−12y+33=0，
综上，切线的方程为x=3或5x−12y+33=0．
(3)
解：∵直线l被圆C截的弦长为2 3，
所以，圆心C到直线l的距离为d= 4− 32=1，
又直线l的横截距为aa>1，纵截距为bb>1，
则直线l的方程为xa+yb=1，即bx+ay−ab=0，
圆心C1,1到直线l 的 距离为d=a+b−ab a2+b2=1，整理可得ab+2=2a+b，
由a+b≥2 ab，得ab+2=2a+b≥4 ab，即 ab2−4 ab+2≥0，
解得 ab≤2− 2或 ab≥2+ 2，
因为a>1，b>1，则ab>1，则 ab≥2+ 2，故ab≥6+4 2，
当且仅当a=b ab=2+ 2时，即当a=b=2+ 2时，等号成立，
所以，ab的最小值为6+4 2．

19.解：(1)
∵在直角▵ABC中，∠C是直角，顶点A，B的坐标分别为−4,0，6,0，
∴AB是直径，则AB的中点(1,0)，即圆心D1,0，
半径R=5，则圆D的方程为x−12+y2=25．
P4,4满足4−12+42=25，所以点P4,4在圆D上．
(2)
由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，
故可设PM:y−4=kx−4，PN:y−4=−kx−4，
由y−4=kx−4x−12+y2=25，得1+k2x2−8k2−8k+2x+161−k2−24=0，
因为P的横坐标x=4一定是该方程的解，故可得xM=4k2−8k−21+k2，
由y−4=−kx−4x−12+y2=25，得1+k2x2−8k2+8k+2x+161+k2−24=0，
因为P的横坐标x=4一定是该方程的解，故可得xN=4k2+8k−21+k2，
所以kMN=yM−yNxM−xN=kxM−4+kxN−4xM−xN=−8k+kxM+xNxM−xN=34，
所以，直线MN的斜率为定值34．