2024-2025学年天津五十一中高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年天津五十一中高二（上）第一次月考数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知过点P(3,2m)和Q(m,2)的直线与过点M(2,−1)和N(−3,4)的直线斜率相等，则m的值是( )
A. 1B. −1C. 2D. −2
2.在直角坐标平面内有两点A(4,2)，B(1,−2)，在x轴上有点C，使∠ACB=90°，则点C的坐标是( )
A. (3,0)B. (0,0)C. (5,0)D. (0,0)或(5,0)
3.在空间直角坐标系中，点A(2,−1,3)关于平面xOz的对称点为B，则OA⋅OB=( )
A. −10B. 10C. −12D. 12
4.已知a+b=(2, 2,2 3)，a−b=(0, 2,0)，则cs=( )
A. 13B. 16C. 63D. 66
5.正方体ABCD−A1B1C1D1中，BB1+A1D1+CD=( )
A. A1CB. BDC. CD1D. BD1
6.下列四组直线中，互相垂直的一组是( )
A. 2x+y−1=0与2x−y−1=0B. 2x+y−1=0与x−2y+1=0
C. x+2y−1=0与x−y−1=0D. x+y=0与x+y−3=0
7.若直线l：ax+y−2−a=0在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的斜率为( )
A. 1B. −1C. −2或1D. −1或−2
8.已知点A(2,−1,2)在平面α内，n=(3,1,2)是平面α的一个法向量，则下列点P中，在平面α内的是( )
A. P(1,−1,1)B. P(1,3,32)C. P(1,−3,32)D. P(−1,3,−34)
9.过点P(−1,1)的直线l与连接A(3,3)，B(−2,6)的线段总有公共点(不包含端点)，则直线l的斜率的取值范围是( )
A. (−5,12)B. (−∞,−5)∪(12,+∞)
C. (−15,2)D. (−∞,−15)∪(2,+∞)
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
10.已知A(0,3)，B(1,2)，C(3,m)三点共线，则实数m的值为______．
11.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，设AA1=1，AB=2，AD=3，则|CC1−BD1|= ______．
12.已知a=(1,1,0)，b=(−1,0,2)，且ka+b与2a−b垂直，则k的值为 ．
13.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED=2FC=2，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为______．
14.直线l的方向向量是s=(−1,x−1,x−1)，平面α的法向量n=(2,6,−4)，若直线l//平面α，则x= ______．
15.垂直于直线3x−4y−7=0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线l的方程为______．
三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
如图，棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点．

(1)求证：EF⊥CF；
(2)求EF与CG所成角的余弦值．
17.(本小题10分)
求经过直线l1：3x+4y−5=0，l2：2x−3y+8=0的交点M，且满足下列条件的直线的方程．
(1)经过点P(1,3)；
(2)与直线2x+y+5=0平行；
(3)与直线2x+y+5=0垂直．
18.(本小题10分)
如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AB=AP=1，AD= 3，E为PD的中点．
(1)求直线PD与平面AEC所成角的余弦值．
(2)求二面角E−AC−D的余弦值．
19.(本小题10分)
如图，在三棱台ABC−A1B1C1中，若A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC=AA1=2，A1C1=1，N为AB中点，M为棱BC上一动点(不包含端点)．
(1)若M为BC的中点，求证：A1N//平面C1MA；
(2)是否存在点M，使得平面C1MA与平面ACC1A1所成角的余弦值为 66？若存在，求出BM长度；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.B
2.D
3.D
4.C
5.D
6.B
7.C
8.B
9.B
10.0
11. 13
12.75
13.3 1010
14.2
15.4x+3y±12=0
16.(1)证明：建立如图所示的空间直有坐标系D−xyz，(1分)
则D(0,0,0)，E(0,0,12)，C(0,1,0)，F(12,12,0)，G(1,1,12)
所以EF=(12,12,−12)，CF=(12,−12,0)，
CG=(1,0,12)，
CE=(0,−1,12).(4分) 因为EF⋅CF=12×12+12×(−12)+(−12)×0=0，
所以EF⊥CF，
即EF⊥CF.
(2)解：因为EF⋅CF=12×1+12×0+(−12)×12=14
|EF|= (12)2+(12)2+(−12)2= 32
CG|= 12+02+14= 52
所以COS=EF⋅CG|EF|⋅|CG|=14 32⋅ 52= 1515
17.解：(1)由3x+4y−5=02x−3y+8=0，求得x=−1y=2，可得直线l1：3x+4y−5=0，l2：2x−3y+8=0的交点M(−1,2)．
∵直线还经过点P(1,3)，故它的方程为y−23−2=x+11+1，即x−2y+5=0．
(2)根据所求直线与直线2x+y+5=0平行，可设它的方程为2x+y+m=0，
再把点M(−1,2)代入，可得−2+2+m=0，求得m=0，故所求的直线的方程为2x+y=0．
(3)根据所求直线与直线2x+y+5=0垂直，可设它的方程为x−2y+n=0，
再把点M(−1,2)代入，可得−1−4+n=0，求得n=5，故所求的直线的方程为x−2y+5=0．
18.解：由题意，以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图空间直角坐标系，

由于AB=AP=1，AD= 3，所以B(1,0,0)，D(0, 3,0)，C(1, 3,0)，P(0,0,1)，
又因为E为PD的中点，故E(0, 32,12)，
所以PD=(0, 3,−1)，AE=(0, 32,12)，AC=(1, 3,0)，
设平面AEC的法向量为n=(x,y,z)，
所以n⋅AE=0n⋅AC=0，即 32y+12z=0x+ 3y=0，
令x= 3，则y=−1,z= 3，
故平面AEC的法向量为n=( 3,−1, 3)，
设直线PD与平面AEC所成角为θ，
所以sinθ=|cs|=|− 3− 3| 3+1⋅ 3+1+3= 217，
所以直线PD与平面AEC所成角的余弦值为 1−( 217)2=2 77．
(2)由(1)可知：平面AEC的法向量为n=( 3,−1, 3)，
又因为PA⊥平面ABCD，
所以平面ACD的法向量为AP=(0,0,1)，
所以cs= 3 3+1+3= 217，
因为二面角E−AC−D为锐二面角，
所以二面角E−AC−D的余弦值为 217．
19.解：(1)证明：分别取AB中点N，连接MN，

则MN为△ABC的中位线，
∴MN/​/AC，MN=12AC=1，
又A1C1=1，AC/​/A1C1，
∴MN/​/A1C1，MN=A1C1，
∴四边形MNA1C1为平行四边形，
∴A1N//C1M，又A1N⊄平面C1MA，C1M⊂平面C1MA，
∴A1N/​/平面C1MA．
(2)以A为坐标原点，AB,AC,AA1正方向为x，y，z轴，建系如图，

则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,1,2)，
∴AC1=(0,1,2)，BC=(−2,2,0)，AB=(2,0,0)，
设BM=λBC(0<λ<1)，则BM=(−2λ,2λ,0)，
∴AM=AB+BM=(2−2λ,2λ,0)，
令平面C1MA的法向量为n=(x,y,z)，
则AC1⋅n=y+2z=0AM⋅n=(2−2λ)x+2λy=0，取n=(2λ,2λ−2,1−λ)；
又易知平面ACC1A1的一个法向量m=(1,0,0)，
∴|cs〈m,n〉|=|m⋅n||m|⋅|n|=|2λ| 4λ2+4(λ−1)2+(1−λ)2= 66，
解得λ=13或λ=−1(舍)，
∴BM=13BC，∴|BM|=13|BC|=2 23，
即BM的长为2 23．