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    2024-2025学年上海市浦东新区华东师大二附中高二(上)月考数学试卷(9月份)(含答案)

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    2024-2025学年上海市浦东新区华东师大二附中高二(上)月考数学试卷(9月份)(含答案)

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    这是一份2024-2025学年上海市浦东新区华东师大二附中高二(上)月考数学试卷(9月份)(含答案),共7页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    一、单选题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
    1.空间两个角α,β的两边分别对应平行,且α=60°,则β为( )
    A. 60°B. 120°C. 30°D. 60°或120°
    2.若直线l不垂直于平面α,那么平面α内( )
    A. 不存在与l垂直的直线B. 只存在一条与l垂直的直线
    C. 存在无数条直线与l垂直D. 以上都不对
    3.若直线l与平面α所成角为π3,直线a在平面α内,且与直线l异面,则直线l与直线a所成的角的取值范围是( )
    A. [0,23π]B. [π3,2π3)C. [π3,π2]D. [π3,2π3]
    4.正方体ABCD−A1B1C1D1有六个面,每个面有两条对角线,则这十二条对角线所在的十二条直线中,可以组成异面直线( )
    A. 24对B. 30对C. 32对D. 64对
    二、填空题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
    5.直线与平面所成角的范围是______.
    6.“平面α经过直线AB”用集合符号语言可表示为______.
    7.若两直线a、b与面α所成的角相等,则a与b的位置关系是______.
    8.已知斜线段长是它在平面上的射影长的2倍,则斜线与平面所成的角为______.
    9.在空间四边形P−ABC的边与对角线六条边所在的直线中,异面直线共有______对.
    10.如图所示,正四面体ABCD的棱长为1,则点A到平面BCD的距离为______.
    11.在正方体ABCD−A1B1C1D1中,若E是BC1的中点,则直线DE与平面ABCD所成
    角的大小为______.
    12.如图,PA⊥平面ABC,在△ABC中,BC⊥AC,∠PBA=θ1,∠PBC=θ2,∠ABC=θ3.则角θ1,θ2,θ3的余弦值之间的关系可以是______.
    13.已知直角三角形ABC中,AC=6,BC=8,若EC⊥平面ABC,且EC=4,则E到斜边AB的距离为______.
    14.如图,在直角梯形ABCD中,BC⊥DC,AE⊥DC,且E为CD的中点,M,N分别是AD,BE的中点,将三角形ADE沿AE折起,则下列说法正确的是______.(写出所有正确说法的序号)
    ①不论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN/​/平面DEC;
    ②不论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN⊥AE;
    ③不论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN//AB;
    ④在折起过程中,一定存在某个位置,使EC⊥AD.
    15.在长方体ABCD−A1B1C1D1中,对角线AC1与棱AB,AD,AA1所成的角分别为α1,α2,α3,与平面ABCD,平面ABB1A1,平面ADD1A1所成的角分别为β1,β2,β3,则下列说法中正确的是______.
    ①sin2α1+sin2α2+sin2α3=1;
    ②sin2α1+sin2α2+sin2α3=2;
    ③cs2α1+cs2α2+cs2α3=1;
    ④sin2β1+sin2β2+sin2β3=1
    16.空间给定不共面的A,B,C,D四个点,其中任意两点间的距离都不相同,考虑具有如下性质的平面α:A,B,C,D中有三个点到的距离相同,另一个点到α的距离是前三个点到α的距离的2倍,这样的平面α的个数是______个.
    三、解答题:本题共3小题,共36分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
    17.(本小题12分)
    如图所示,在正方体ABCD−A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点.
    (Ⅰ)求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值;
    (Ⅱ)在棱C1D1上是否存在一点F,使B1F//平面A1BE?证明你的结论.
    18.(本小题12分)
    如图,在四棱锥P−ABCD中,AD⊥平面PDC,AD//BC,PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.
    (Ⅰ)求异面直线AP与BC所成角的余弦值;
    (Ⅱ)求证:PD⊥平面PBC;
    (Ⅲ)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
    19.(本小题12分)
    如图,在四棱锥P−ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB//DC,DC⊥AC.
    (1)求证:DC⊥平面PAC;
    (2)若PC=AB=AC=1,求PB与平面PAC成角的正弦值;
    (3)设点E为AB的中点,过点C,E的平面与棱PB交于点F,且PA//平面CEF,求PFPB的值.
    参考答案
    1.D
    2.C
    3.C
    4.B
    5.[0,π2]
    6.AB⊂平面α
    7.平行或相交或异面
    8.60°
    9.3
    10. 63
    11.arctan 55
    12.csθ1⋅csθ3=csθ2
    13.4 615
    14.①②④
    15.②③④
    16.32
    17.解:(Ⅰ)如图(a),取AA1的中点M,连接EM,BM,
    因为E是DD1的中点,四边形ADD1A1为正方形,
    所以EM/​/AD.
    又在正方体ABCD−A1B1C1D1中,AD⊥平面ABB1A1,
    所以EM⊥面ABB1A1,
    从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影,
    ∠EBM是直线BE与平面ABB1A1所成的角.
    设正方体的棱长为2,则EM=AD=2,BE= 22+22+12=3,
    于是在Rt△BEM中,sin∠EBM=EMBE=23,
    即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为23.
    (Ⅱ)在棱C1D1上存在点F,使B1F/​/平面A1BE,
    事实上,如图(b)所示,分别取C1D1和CD的中点F,G,连接EG,BG,CD1,FG,
    因A1D1/​/B1C1/​/BC,且A1D1=BC,
    所以四边形A1BCD1为平行四边形,
    因此D1C/​/A1B,又E,G分别为D1D,CD的中点,
    所以EG/​/D1C,从而EG/​/A1B,
    这说明A1,B,G,E共面,所以BG⊂平面A1BE
    因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形,F,G分别为C1D1和CD的中点,
    所以FG/​/C1C/​/B1B,且FG=C1C=B1B,
    因此四边形B1BGF为平行四边形,
    所以B1F/​/BG,
    又B1F不在平面A1BE内,BG⊂平面A1BE,
    故B1F/​/平面A1BE.
    18.(Ⅰ)解:由已知AD//BC,
    故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角,
    因为AD⊥平面PDC,PD在平面PDC上,
    所以AD⊥PD,
    在Rt△PDA中,由已知,得AP= AD2+PD2= 5,
    故cs∠DAP=ADAP= 55,
    所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为 55;
    (Ⅱ)证明:因为AD⊥平面PDC,PD在平面PDC上,
    所以AD⊥PD,
    又因为BC/​/AD,所以PD⊥BC,
    又PD⊥PB,PB∩BC=B,PB,BC均在平面PBC上,
    所以PD⊥平面PBC;
    (Ⅲ)解:过点D作AB的平行线交BC于点F,连接PF,如图,
    则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角,
    因为PD⊥平面PBC,故PF为DF在平面PBC上的射影,
    所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角,
    由于AD//BC,DF/​/AB,
    所以四边形ABFD为平行四边形,
    故BF=AD=1,
    由已知,得CF=BC−BF=2,
    因为AD⊥平面PDC,DC在平面PDC上,
    ∴AD⊥DC,又AD//BC,
    故BC⊥DC,
    ∴DF= DC2+CF2=2 5,
    在Rt△DPF中,可得sin∠DFP=PDDF= 55.
    所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为 55.
    19.(1)证明:因为PC⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,
    所以PC⊥CD,
    又DC⊥AC,AC∩PC=C,AC,PC⊂平面PAC,
    所以DC⊥平面PAC.
    (2)解:因为AB//DC,DC⊥平面PAC,
    所以AB⊥平面PAC,
    所以∠APB为直线PB与平面PAC所成角的平面角,
    在Rt△PAC中,PA= PC2+AC2= 2,
    在Rt△PAB中,PB= PA2+AB2= 3,
    所以sin∠APB=ABPB= 33.
    (3)解:因为PA//平面CEF,平面PAB∩平面CEF=EF,PA⊂平面PAB,
    所以PA/​/EF,
    因为点E为AB的中点,
    所以点F为PB的中点,
    所以PFPB=12.

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