2024-2025学年上海市浦东新区华东师大二附中高二(上)月考数学试卷(9月份)(含答案)
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这是一份2024-2025学年上海市浦东新区华东师大二附中高二(上)月考数学试卷(9月份)(含答案),共7页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
一、单选题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.空间两个角α,β的两边分别对应平行,且α=60°,则β为( )
A. 60°B. 120°C. 30°D. 60°或120°
2.若直线l不垂直于平面α,那么平面α内( )
A. 不存在与l垂直的直线B. 只存在一条与l垂直的直线
C. 存在无数条直线与l垂直D. 以上都不对
3.若直线l与平面α所成角为π3,直线a在平面α内,且与直线l异面,则直线l与直线a所成的角的取值范围是( )
A. [0,23π]B. [π3,2π3)C. [π3,π2]D. [π3,2π3]
4.正方体ABCD−A1B1C1D1有六个面,每个面有两条对角线,则这十二条对角线所在的十二条直线中,可以组成异面直线( )
A. 24对B. 30对C. 32对D. 64对
二、填空题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
5.直线与平面所成角的范围是______.
6.“平面α经过直线AB”用集合符号语言可表示为______.
7.若两直线a、b与面α所成的角相等,则a与b的位置关系是______.
8.已知斜线段长是它在平面上的射影长的2倍,则斜线与平面所成的角为______.
9.在空间四边形P−ABC的边与对角线六条边所在的直线中,异面直线共有______对.
10.如图所示,正四面体ABCD的棱长为1,则点A到平面BCD的距离为______.
11.在正方体ABCD−A1B1C1D1中,若E是BC1的中点,则直线DE与平面ABCD所成
角的大小为______.
12.如图,PA⊥平面ABC,在△ABC中,BC⊥AC,∠PBA=θ1,∠PBC=θ2,∠ABC=θ3.则角θ1,θ2,θ3的余弦值之间的关系可以是______.
13.已知直角三角形ABC中,AC=6,BC=8,若EC⊥平面ABC,且EC=4,则E到斜边AB的距离为______.
14.如图,在直角梯形ABCD中,BC⊥DC,AE⊥DC,且E为CD的中点,M,N分别是AD,BE的中点,将三角形ADE沿AE折起,则下列说法正确的是______.(写出所有正确说法的序号)
①不论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN//平面DEC;
②不论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN⊥AE;
③不论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN//AB;
④在折起过程中,一定存在某个位置,使EC⊥AD.
15.在长方体ABCD−A1B1C1D1中,对角线AC1与棱AB,AD,AA1所成的角分别为α1,α2,α3,与平面ABCD,平面ABB1A1,平面ADD1A1所成的角分别为β1,β2,β3,则下列说法中正确的是______.
①sin2α1+sin2α2+sin2α3=1;
②sin2α1+sin2α2+sin2α3=2;
③cs2α1+cs2α2+cs2α3=1;
④sin2β1+sin2β2+sin2β3=1
16.空间给定不共面的A,B,C,D四个点,其中任意两点间的距离都不相同,考虑具有如下性质的平面α:A,B,C,D中有三个点到的距离相同,另一个点到α的距离是前三个点到α的距离的2倍,这样的平面α的个数是______个.
三、解答题:本题共3小题,共36分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
如图所示,在正方体ABCD−A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点.
(Ⅰ)求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值;
(Ⅱ)在棱C1D1上是否存在一点F,使B1F//平面A1BE?证明你的结论.
18.(本小题12分)
如图,在四棱锥P−ABCD中,AD⊥平面PDC,AD//BC,PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.
(Ⅰ)求异面直线AP与BC所成角的余弦值;
(Ⅱ)求证:PD⊥平面PBC;
(Ⅲ)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
19.(本小题12分)
如图,在四棱锥P−ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB//DC,DC⊥AC.
(1)求证:DC⊥平面PAC;
(2)若PC=AB=AC=1,求PB与平面PAC成角的正弦值;
(3)设点E为AB的中点,过点C,E的平面与棱PB交于点F,且PA//平面CEF,求PFPB的值.
参考答案
1.D
2.C
3.C
4.B
5.[0,π2]
6.AB⊂平面α
7.平行或相交或异面
8.60°
9.3
10. 63
11.arctan 55
12.csθ1⋅csθ3=csθ2
13.4 615
14.①②④
15.②③④
16.32
17.解:(Ⅰ)如图(a),取AA1的中点M,连接EM,BM,
因为E是DD1的中点,四边形ADD1A1为正方形,
所以EM//AD.
又在正方体ABCD−A1B1C1D1中,AD⊥平面ABB1A1,
所以EM⊥面ABB1A1,
从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影,
∠EBM是直线BE与平面ABB1A1所成的角.
设正方体的棱长为2,则EM=AD=2,BE= 22+22+12=3,
于是在Rt△BEM中,sin∠EBM=EMBE=23,
即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为23.
(Ⅱ)在棱C1D1上存在点F,使B1F//平面A1BE,
事实上,如图(b)所示,分别取C1D1和CD的中点F,G,连接EG,BG,CD1,FG,
因A1D1//B1C1//BC,且A1D1=BC,
所以四边形A1BCD1为平行四边形,
因此D1C//A1B,又E,G分别为D1D,CD的中点,
所以EG//D1C,从而EG//A1B,
这说明A1,B,G,E共面,所以BG⊂平面A1BE
因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形,F,G分别为C1D1和CD的中点,
所以FG//C1C//B1B,且FG=C1C=B1B,
因此四边形B1BGF为平行四边形,
所以B1F//BG,
又B1F不在平面A1BE内,BG⊂平面A1BE,
故B1F//平面A1BE.
18.(Ⅰ)解:由已知AD//BC,
故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角,
因为AD⊥平面PDC,PD在平面PDC上,
所以AD⊥PD,
在Rt△PDA中,由已知,得AP= AD2+PD2= 5,
故cs∠DAP=ADAP= 55,
所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为 55;
(Ⅱ)证明:因为AD⊥平面PDC,PD在平面PDC上,
所以AD⊥PD,
又因为BC//AD,所以PD⊥BC,
又PD⊥PB,PB∩BC=B,PB,BC均在平面PBC上,
所以PD⊥平面PBC;
(Ⅲ)解:过点D作AB的平行线交BC于点F,连接PF,如图,
则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角,
因为PD⊥平面PBC,故PF为DF在平面PBC上的射影,
所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角,
由于AD//BC,DF//AB,
所以四边形ABFD为平行四边形,
故BF=AD=1,
由已知,得CF=BC−BF=2,
因为AD⊥平面PDC,DC在平面PDC上,
∴AD⊥DC,又AD//BC,
故BC⊥DC,
∴DF= DC2+CF2=2 5,
在Rt△DPF中,可得sin∠DFP=PDDF= 55.
所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为 55.
19.(1)证明:因为PC⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,
所以PC⊥CD,
又DC⊥AC,AC∩PC=C,AC,PC⊂平面PAC,
所以DC⊥平面PAC.
(2)解:因为AB//DC,DC⊥平面PAC,
所以AB⊥平面PAC,
所以∠APB为直线PB与平面PAC所成角的平面角,
在Rt△PAC中,PA= PC2+AC2= 2,
在Rt△PAB中,PB= PA2+AB2= 3,
所以sin∠APB=ABPB= 33.
(3)解:因为PA//平面CEF,平面PAB∩平面CEF=EF,PA⊂平面PAB,
所以PA//EF,
因为点E为AB的中点,
所以点F为PB的中点,
所以PFPB=12.
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