2024-2025学年河北省邢台市高二上学期第一次月考数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年河北省邢台市高二上学期第一次月考数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.经过A(2,−3),B(−1,m)两点的直线的一个方向向量为(1,−3)，则m=( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
2.已知点M是点N(6,7,8)在坐标平面xOz内的射影，则OM=( )
A. 85B. 10C. 113D. 100
3.已知直线l的 两点式为y−95−9=x−82−8，则( )
A. 直线l经过点(5,2)B. 直线l的斜截式为x=32y−112
C. 直线l的倾斜角为锐角D. 直线l的点斜式为y−2=23(x−5)
4.已知向量a=(1,2,−1),b=(2,0,1)，则向量a在向量b上的投影向量为( )
A. 15bB. − 55bC. 55bD. −15b
5.经过点P(−2,0)作直线l，若直线l与连接A(2,4),B(1,− 3)两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A. π4,5π6B. π4,2π3C. 0,π4∪5π6,πD. 0,π4∪2π3,π
6.空间内有三点P3,1,−4,E2,1,1,F1,2,2，则点P到直线EF的距离为( )
A. 14B. 3 2C. 3D. 2 3
7.在三棱锥P−ABC中，G为▵ABC的重心，PD=λPA,PE=μPB,PF=12PC,λ,μ∈0,1，
若PG交平面DEF于点M，且PM=12PG，则λ+μ的最小值为( )
A. 12B. 23
C. 1D. 43
8.在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD,AD=DC=BC=2，AB=A1A=4,E为棱AA1的中点，则点B到平面EDB1的距离为( )
A. 5
B. 2 2
C. 6
D. 2 305
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若a,b,c构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是( )
A. a−b,b+c,c−aB. a−c,b−c,a−b
C. b−a,a−b−c,cD. a,b−a,c−b
10.已知直线l经过点(−2,−1)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是( )
A. x−y+1=0B. x+y+3=0C. 2x+y+5=0D. x−2y=0
11.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4,AD=2,AA1=6,P为长方体ABCD−A1B1C1D1表面上一动点，则PA⋅PC1的值可能是( )
A. −15B. −10C. −5D. 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知▵ABC的三个顶点A(−6,3),B(2,5),C(7,−4)，则边AB的中线所在直线的一般式为 ．
13.已知直线(2m−4)x−(m+3)y+m+8=0经过定点P，则P的坐标为 ．
14.在三棱锥P−ABC中建立空间直角坐标系后，得到A(1,1,1),B(2,0,1),C(1,0,2),P(3,2,4)，则三棱锥P−ABC的体积为 ，三棱锥P−ABC外接球的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知直线l的倾斜角为π3，在x轴上的截距为2．
(1)若直线l1经过点P(2,− 3),Q(3,0)，求l的斜截式方程，并判断l1与l是否平行；
(2)若直线l2的一般式方程为x+ 3y+2=0，求l2在y轴上的截距，并判断l2与l是否垂直；
(3)若直线l3与l平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6 3，求l3的一般式．
16.(本小题12分)
在三棱柱ABC−A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC，AA1=A1C，AC=2，AC⊥BC，AA1⊥A1C．
(1)证明：BB1⊥平面A1BC；
(2)若异面直线AB1,CA1所成角的余弦值为13，求BC．
17.(本小题12分)
(1)若直线l沿x轴向右平移5个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，求l的斜率；
(2)一束光线从点P(−2,4)射出，与y轴相交于点Q(0,−1)，经y轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的方程．
18.(本小题12分)
在空间几何体ABC−DEF中，四边形ABED，ADFC均为直角梯形，∠FCA=∠CAD=∠DAB=∠ABE=∠CAB=π2，AB=AC=CF=1，AD=2，BE=3．

(1)证明：平面BEF⊥平面DEF．
(2)求直线DF与平面BEF所成角的大小．
19.(本小题12分)
在如图1所示的图形中，四边形ABCD为菱形，∠BAD=60∘,▵PAD和▵BCQ均为直角三角形，∠PDA=∠QCB=90∘,PD=AD=2CQ=2，现沿AD,BC将▵PAD和▵BCQ进行翻折，使PD//QC(PD,QC在平面ABCD同侧)，如图2．
(1)当二面角P−AD−B为90∘时，判断DQ与平面PAB是否平行；
(2)探究当二面角P−AD−B为120∘时，平面PBQ与平面PBD是否垂直；
(3)在(2)的条件下，求平面PBD与平面QBC夹角的余弦值．
参考答案
1.D
2.B
3.C
4.A
5.C
6.A
7.C
8.D
9.AD
10.ABD
11.BC
12.8x+9y−20=0
13.12,2或0.5,2
14.1；
．443π或44π3或1113π

15.解：(1)
因为直线l的倾斜角为π3，所以直线l的斜率为 3，
又直线l在x轴上的截距为2，即直线过(2,0)点，
则由点斜式可得直线l方程为y= 3(x−2)，
化为斜截式方程得y= 3x−2 3，直线l的斜率k= 3，
在y轴上的截距为−2 3．
所以l的斜截式方程为y= 3x−2 3；
由直线l1经过点P(2,− 3),Q(3,0)，
则直线l1的斜率k1=0−(− 3)3−2= 3，则直线l1的方程为y= 3(x−3)，
故l1的斜截式方程为y= 3x−3 3，在y轴上的截距为−3 3．
由两直线斜率相同，在y轴上的截距不同，则l//l1．
(2)
由直线l2的一般式方程为x+ 3y+2=0，
化为斜截式方程为y=− 33x−2 33，故l2在y轴上的截距为−23 3；
直线l2的斜率k2=− 33，由k⋅k2= 3×− 33=−1，
所以两直线l2与l互相垂直．
(3)
由直线l3与l平行，则斜率k3=k= 3，故可设直线方程为y= 3x+b，
令x=0，得y=b；令y=0，得x=− 33b；
由直线l3与两坐标轴围成的三角形的面积为6 3，
则S=12b⋅− 33b= 36b2=6 3，所以b2=36，解得b=±6．
所以直线l3的方程为y= 3x±6，
即l3的一般式方程为 3x−y±6=0．

16.解：(1)
因为平面AA1C1C⊥平面ABC，交线为AC，
AC⊥BC，BC⊂平面ABC，
所以BC⊥平面AA1C1C，
因为AA1⊂平面AA1C1C，所以BC⊥AA1，
因为AA1⊥A1C，A1C∩BC=C，A1C,BC⊂平面A1BC，
所以AA1⊥平面A1BC，
又BB1//AA1，所以BB1⊥平面A1BC；
(2)
取AC的中点P，连接PA1，因为AA1=A1C，所以A1P⊥AC，
因为平面AA1C1C⊥平面ABC，交线为AC，A1P⊂平面AA1C1C，
所以A1P⊥平面ABC，
取AB的中点H，连接PH，则PH//BC，
因为AC⊥BC，所以PH⊥AC，
故以P为坐标原点，PH,PC,PA1所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，
因为AC=2，所以A1P=12AC=1，故A0−1,0,C0,1,0,A10,0,1，
设BC=m，则Bm,1,0，设B1s,t,ℎ，
由AA1=BB1得0,1,1=s−m,t−1,ℎ，
解得s=m,t=2,ℎ=1，故B1m,2,1，
AB1=m,3,1,CA1=0,−1,1，
因为异面直线AB1,CA1所成角的余弦值为13，
所以csAB1,CA1=AB1⋅CA1AB1⋅CA1=m,3,1⋅0,−1,1 m2+9+1⋅ 1+1=2 2m2+10=13，
解得m=2 2，故BC=2 2．

17.解：(1)由题意，直线l存在斜率，可设直线方程为y=kx+b，
直线l沿x轴向右平移5个单位，沿y轴向上平移2个单位后，
所得直线的方程为：y=k(x−5)+b+2
化简得y=kx−5k+b+2．
因为平移后与原直线重合，则kx+b=kx−5k+b+2．
解得k=25，即直线的斜率为25．
(2)由P(−2,4),Q(0,−1)两点坐标，可得直线PQ的斜率为−1−40−(−2)=−52，
所以入射光线所在直线方程为y=−52x−1，即5x+2y+2=0．
因为反射光线与入射光线所在直线关于y轴对称，
所以反射光线与入射光线所在直线的倾斜角互补，斜率互为相反数，
所以反射光线所在直线的斜率为52，所以反射光线所在直线方程为y=52x−1，
即5x−2y−2=0．

18.解：(1)
证明：因为∠CAD=∠DAB=∠CAB=π2，所以AB，AC，AD两两垂直．
以A为坐标原点，分别以AB，AD，AC的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则A0,0,0,D0,2,0,B1,0,0,C0,0,1,F0,1,1,E1,3,0．
设平面BEF的法向量为n=(x1,y1,z1)，因为BE=0,3,0，BF=−1,1,1，
所以n⋅BE=3y1=0,n⋅BF=−x1+y1+z1=0,，解得y1=0，令x1=1，得z1=1，故n=1,0,1．
设平面DEF的法向量为m=x2,y2,z2，因为DF=0,−1,1，DE=1,1,0，
所以m⋅DE=x2+y2=0,m⋅DF=−y2+z2=0,令x2=1，得m=1,−1,−1．
因为m⋅n=0，所以m⊥n，所以平面BEF⊥平面DEF．
【小问2详解】
设直线DF与平面BEF所成的角为α，由(1)知DF=0,−1,1，
平面BEF的一个法向量为n=(1,0,1)，
则sin α=|DF⋅n||DF|⋅|n|=|(0,−1,1)⋅(1,0,1)| 1+1× 1+1=1 2× 2=12，
所以α=π6，
即直线DF与平面BEF所成的角为π6．

19.解：(1)
若二面角P−AD−B为90∘，则平面PAD⊥平面ABCD，
因为平面PAD∩平面ABCD=AD，且PD⊥AD，所以PD⊥平面ABCD，
如图，以D为坐标原点，DA,DP的方向分别为x,z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则P0,0,2,D0,0,0,B1, 3,0,Q−1, 3,1,A2,0,0，
设平面PAB的法向量为n=(x,y,z)，因为BP=(−1,− 3,2),BA=(1,− 3,0)，
所以n⋅BP=−x− 3y+2z=0,n⋅BA=x− 3y=0,令x=3，得n=3, 3,3，
因为DQ=(−1, 3,1)，所以DQ⋅n=−1×3+ 3× 3+1×3≠0，
所以DQ不与平面PAB平行．
(2)
取BC的中点E，连接DE，则DE⊥AD，
因为AD⊥PD，所以二面角P−AD−B的平面角为∠PDE，即∠PDE=120∘，
如图，以D为坐标原点，DA,DE的方向分别为x,y轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则P0,−1, 3,D0,0,0,B1, 3,0，Q−1, 3−12, 32，
设平面PBD的法向量为m=(x1,y1,z1)，因为DB=(1, 3,0),DP=(0,−1, 3)，
所以m⋅DB=x1+ 3y1=0,m⋅DP=−y1+ 3z1=0,令z1=1，得m=−3, 3,1，
设平面PBQ的法向量为n=x2,y2,z2，
因为BP=−1,− 3−1, 3,BQ=−2,−12, 32，
所以n⋅BP=−x2−( 3+1)y2+ 3z2n⋅BQ=−2x2−12y2+ 32z2=0,令x2= 3，得n= 3,3,4+ 3，
因为m⋅n=4+ 3≠0，所以m,n不垂直，所以平面PBQ不与平面PBD垂直．
(3)
在(2)中的坐标系中，设平面QBC的法向量为p=x,y,z，
因为BC=−2,0,0,BQ=−2,−12, 32，
所以p⋅BC=−2x=0,p⋅BQ=−2x−12y+ 32z=0,令z=1，得p=0, 3,1，
设平面PBD与平面QBC的夹角为θ，则csθ=csm,p=m⋅pmp=42 13=2 1313，
所以平面PBD与平面QBC夹角的余弦值为2 1313．