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    2024-2025学年江苏省扬州市“六校联盟”高二上学期第一次联测数学试卷(含答案)

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    2024-2025学年江苏省扬州市“六校联盟”高二上学期第一次联测数学试卷(含答案)

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    这是一份2024-2025学年江苏省扬州市“六校联盟”高二上学期第一次联测数学试卷(含答案),共7页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
    1.直线 3x+y−1=0的倾斜角为( )
    A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
    2.经过点A(5,0),且与直线2x+y−1=0垂直的直线方程为( )
    A. x+2y−5=0B. x−2y−5=0C. x−2y−1=0D. 2x+y−10=0
    3.“a=−3”是“直线l1:ax+3y+1=0与直线l2:2x+a+1y+1=0互相平行”的( )
    A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
    C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
    4.已知直线l倾斜角的余弦值为− 55,且经过点(2,1),则直线l的方程为( )
    A. 2x+y−5=0B. 2x−y−3=0C. x−2y=0D. x+2y−4=0
    5.已知圆(x−1)2+y2=4内一点P(2,1),则过P点的最短弦所在的直线方程是( )
    A. x−y−1=0B. x+y−3=0C. x+y+3=0D. x=2
    6.若直线l:y=kx+3−k与曲线C:y= 1−x2恰有两个交点,则实数k的取值范围是( )
    A. 43,+∞B. 43,32C. 0,43D. 43,32
    7.直线l1:x+1+ay=1−aa∈R,直线l2:y=−12x,给出下列命题:
    ①∃a∈R,使得l1//l2; ②∃a∈R,使得l1⊥l2;
    ③∀a∈R,l1与l2都相交; ④∃a∈R,使得原点到l1的距离为2.
    其中正确的是( )
    A. ①②B. ②③C. ②④D. ①④
    8.已知圆C:x−32+y−42=1,直线l:3kx−3y+5k−6=0上存在点P,过点P作圆C的切线,切点分别为A,B,使得∠APB=60∘,则实数k的取值范围是( )
    A. 34,145B. 43,145C. 43,125D. 34,125
    二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
    9.已知直线l:m+2x−y+m−2=0,下列说法正确的是( )
    A. 若m=−3,则直线l的倾斜角为135∘
    B. 若直线l的在两坐标轴的截距相等,则m=−3
    C. 直线l与直线x+y=0垂直,则m=−1
    D. 若直线l不过第二象限,则m∈−2,2
    10.已知直线l:kx−y+2k=0和圆O:x2+y2=16,则( )
    A. 直线l恒过定点2,0
    B. 存在k使得直线l与直线l0:x−2y+2=0垂直
    C. 直线l与圆O相交
    D. 若k=−1,直线l被圆O截得的弦长为 14
    11.已知圆O:x2+y2=4,则( )
    A. 圆O与直线mx+y−m−1=0必有两个交点
    B. 圆O上存在4个点到直线l:x−y+ 2=0的距离都等于1
    C. 圆O与圆x2+y2−6x−8y+m=0恰有三条公切线,则m=16
    D. 动点P在直线x+y−4=0上,过点P向圆O引两条切线,A、B为切点,则四边形PAOB面积最小值为2
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
    12.若直线3x+4y+1=0与直线mx+8y+7=0平行,则这两条直线间的距离为 .
    13.写出圆M:x−12+y−22=5与圆N:x+12+y+22=5的一条公切线方程 .
    14.过直线l:x−y+4=0上任意点P作圆O:x2+y2=4的两条切线,切点分别为A,B,直线AB过定点 ;记线段AB的中点为Q,则点Q到直线l的距离的最小值为 .
    四、解答题:本题共5小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
    15.(本小题12分)
    已知△ABC的顶点A(0,4),B(2,0),C(−5,m),线段AB的中点为D,且CD⊥AB.
    (1)求m的值;
    (2)求BC边上的中线所在直线的方程.
    16.(本小题12分)
    在ΔABC中,已知顶点A(2,4),AB边上的中线所在直线方程为x+2y−5=0,内角∠ABC的平分线所在直线方程为2x−y+10=0.
    (1)求点B的坐标;
    (2)求直线BC的方程.
    17.(本小题12分)
    已知定点A−1,0,B0,0,动点P满足PA= 2PB.设动点P的轨迹是曲线T,
    (1)求曲线T的方程;
    (2)直线l:2x−y−1=0和曲线T交于两点C、D,求线段CD的长;
    (3)若实数x,y满足曲线T的方程,求y−2x−3的最大值.
    18.(本小题12分)
    已知圆C经过坐标原点O,圆心在x轴正半轴上,且与直线3x+4y−8=0相切.
    (1)求圆C的标准方程;
    (2)直线l:y=kx+2与圆C交于A,B两点.
    ①求k的取值范围;
    ②证明:直线OA与直线OB的斜率之和为定值.
    19.(本小题12分)
    已知圆C过点A2,6,且与直线l1:x+y−10=0相切于点B6,4.
    (1)求圆C的方程;
    (2)过点P6,24的直线l2与圆C交于M,N两点,若▵CMN为直角三角形,求直线l2的方程;
    (3)在直线l3:y=x−2上是否存在一点Q,过点Q向圆C引两切线,切点为E,F,使▵QEF为正三角形,若存在,求出点Q的坐标,若不存在,说明理由.
    参考答案
    1.C
    2.B
    3.C
    4.A
    5.B
    6.B
    7.C
    8.D
    9.AC
    10.BC
    11.AC
    12.12
    13.x+2y=0(2x−y+5=0或2x−y−5=0之一也可以)
    14.(−1,1)
    2

    15.解:(1)因为A(0,4),B(2,0),所以D的坐标为(1,2),
    因为CD⊥AB,所以m−2−5−1×4−00−2=−1,
    解得m=−1.
    (2)设线段BC的中点为E,由(1)知C(−5,−1),则E(−32,−12),
    所以kAE=4+0.50+1.5=3,
    所以直线AE的方程为y−4=3(x−0),化简得3x−y+4=0,
    即BC边上的中线所在直线的方程为3x−y+4=0.
    16.解:1由内角∠ABC的平分线所在直线方程为2x−y+10=0知,
    点B在直线2x−y+10=0上,
    设B(m,2m+10),
    则AB中点D的坐标为m+22 , 2m+142.
    由AB边上的中线所在直线方程为x+2y−5=0知,
    点D在直线x+2y−5=0上,
    ∴m+22+2×2m+142−5=0,解得m=−4.
    ∴点B的坐标为(−4,2).
    (2)设点E(a,b)与点A(2,4)关于直线2x−y+10=0对称,
    则∴ 2×a+22−b+42+10=0 b−4a−2×2=−1,
    2a−b=−20a+2b=10,解得 a=−6 b=8.
    ∴点E的坐标为(−6,8).
    由直线2x−y+10=0为内角∠ABC的平分线所在直线,知点E在直线BC上.
    ∴直线BC方程为y−2=8−2−6−−4x+4,即3x+y+10=0.

    17.解:(1)设P(x,y),由PA= 2PB得 x+12+y2= 2 x2+y2,
    两边平方化简得x−12+y2=2,
    所以曲线T的方程x−12+y2=2.
    (2)由(1)知曲线T是以(1,0)为圆心, 2为半径的圆,
    所以圆心到直线l:2x−y−1=0的距离是d=2×1−0−1 22+−12=1 5,
    所以AB=2 22−1 52=6 55;
    (3)设点M(x,y)在圆上,Q3,2,
    所以k=y−2x−3表示圆上的点M(x,y)与定点Q3,2两点所在直线的斜率,如图,

    由图可知直线与圆相切时k取得最大值和最小值,
    此时圆心到直线距离为 2=k−0+2−3k 1+k2,整理得k2−4k+1=0,解得k=2± 3,
    所以y−2x−3的最大值为2+ 3.

    18.解:(1)由题意,设圆心为Ca,0(a>0),因为圆C过原点,所以半径r=a,
    又圆C与直线3x+4y−8=0相切,所以圆心C到直线的距离d=|3a−8|5=a⇒a=1(负值舍去),所以圆C的标准方程为:x−12+y2=1.
    (2)(ⅰ)将直线l代入圆的方程可得:k2+1x2+4k−2x+4=0,因为有两个交点,
    所以Δ=4k−22−16k2+1>0⇒k

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