2024-2025学年北京市朝阳区北京工业大学附属中学高二上学期10月阶段性检测数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市朝阳区北京工业大学附属中学高二上学期10月阶段性检测数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线x+y−1=0的倾斜角是( )
A. π4B. π3C. 3π4D. 2π3
2.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( )
A. (0,+∞)B. (0,2)C. (1,+∞)D. (0,1)
3.过点 2,2，且与椭圆y225+x216=1有相同焦点的椭圆的标准方程为( )
A. x218+y29=1B. y218+x29=1C. x212+y23=1D. y212+x23=1
4.已知点A1,3,B−2,−1.若直线l:y=kx−2+1与线段AB相交，则k的取值范围是( )
A. k≥12B. k≤−2C. k≥12或k≤−2D. −2≤k≤12
5.已知圆的一条直径的端点分别是A−1,0，B3,−4，则该圆的方程为( )
A. x+12+y−22=8B. x−12+y+22=8
C. x+12+y−22=32D. x−12+y+22=32
6.若椭圆x29+y24=1的弦AB被点P1,1平分，则AB所在直线的方程为( )
A. 4x+9y−13=0B. 9x+4y−13=0
C. x+2y−3=0D. x+3y−4=0
7.直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A,B两点，点P在圆x−22+y2=2上，则▵ABP面积的取值范围是( )
A. 2,6B. 4,8C. 2,3 2D. 2 2,3 2
8.直线y= 33x与圆(x−1)2+y2=1的位置关系是( )
A. 相交但直线不过圆心B. 相切
C. 相离D. 相交且直线过圆心
9.已知椭圆C的焦点为F1(−1,0),F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若AF2=2F2B，AB=BF1，则C的方程为
A. x22+y2=1B. x23+y22=1C. x24+y23=1D. x25+y24=1
10.吹奏乐器“埙”(如图1)在古代通常是用陶土烧制的，一种“埙”的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆，已知半椭圆y2a2+x2b2=1(y≥0,a>b>0且为常数)和半圆x2+y2=b2yb>0)的左，右焦点分别为F1,F2，过点F1垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，AB=4,∠AF2B=π3，若点P是椭圆C上的动点，则下列说法错误的是( )
A. cs∠F1PP2的最小值为−13
B. ▵PF1F2的面积的最大值为3 2
C. PF1⋅PF2的取值范围为3,6
D. C上有且只有4个点P，使得▵PF1P2是直角三角形
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
13.两条直线2x+y−8=0和x−2y+1=0的交点为 ．
14.点P2,0关于直线l：x+y+1=0的对称点Q的坐标为 ．
15.直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等的四段弧，则a2+b2= ．
16.已知F1,F2分别为椭圆C:x29+y2b2=1b>0的左，右焦点，P2,53为C上一点，▵PF1F2内切圆的半径为 ．
17.把半椭圆：x2a2+y2b2=1x≥0和圆弧：x−12+y2=a2xb>0长轴长为4，且椭圆C的离心率 32，其左右焦点分别为F1,F2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设斜率为− 33且过F2的直线l与椭圆C交于P,Q两点，求▵F1PQ的面积．
21.(本小题12分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2，F1F2=4，且a= 2b．
(1)求C的方程．
(2)若A，B为C上的两个动点，过F2且垂直x轴的直线平分∠AF2B，证明：直线AB过定点．
22.(本小题12分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 22，且椭圆C经过点(1, 62)．
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知过点P4,0的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，与直线x=1交于点Q，设AP=λPB，AQ=μQB(λ,μ∈R)，求证：λ+μ为定值．
参考答案
1.C
2.D
3.D
4.D
5.B
6.A
7.A
8.A
9.B
10.D
11.C
12.A
13.3,2
14.−1,−3
15.2
16.23
17.x24+y23=1 ； ； ； ； ；；6,8
18.解：(1)由于kBC=−3+13+3=−13，所以l1的斜率为k=3，BC中点M的坐标为M(0,−2)，则由斜截式可得，直线l1的方程为y=3x−2；
(2)当横、纵截距均为0时，l2的斜率为2，所以l2的方程为y=2x；
当横、纵截距均不为0时，设l2的方程为xa+yb=1，因为纵截距是横截距的2倍，所以b=2a，又l2因为过点A，所以1a+2b=1，解得a=2,b=4，所以直线l2的方程为2x+y−4=0，综上，直线l2的方程为y=2x或2x+y−4=0.

19.(1)圆C：x−12+y−22=4的圆心C(1,2)，半径r=2，
设过点M3,1的圆C的切线方程为：a(x−3)+b(y−1)=0(a2+b2≠0)，
于是得|−2a+b| a2+b2=2，整理得：−4ab=3b2，则有：b=0或a=−34b，
当b=0时，切线方程为：x=3，当a=−34b时，切线方程为：3x−4y−5=0，
所以，所求切线方程为：x=3或3x−4y−5=0．
(2)因直线ax−y+4=0被圆C所截弦AB的长为2 3，则圆心C到直线AB的距离为d= r2−(12AB)2=1，
于是得|a−2+4| a2+(−1)2=1，解得a=−34，
所以a的值为−34．

20.(1)由题意可知：2a=4，则a=2，
∵e=ca= 32，∴c= 3，
∴b= a2−c2=1，
∴椭圆C:x22+y2=1
(2)F1− 3,0F2 3,0，∴直线l：y=− 33x+1，
联立方程组x22+y2=1y=− 33x+1得5x2−4 3x=0
设Px1,y1,Qx2,y2，
则x1+x2=4 35，x1x2=0
PQ= 1+k2x1−x2= 1+− 332 4 352−4×0=85
点F1到直线PQ的距离d=− 33×− 3+1−0 1+− 332=22 33= 3
∴S▵F1PQ=12PQ⋅d=12×85× 3=4 35


21.解：(1)设椭圆的半焦距为c，
因为|F1F2|=4=2c，所以c=2，
则a2−b2=4，又a= 2b，所以a2=8，b2=4，
故椭圆C的方程为x28+y24=1；
(2)由题意可得直线AB的斜率存在，F2(2,0)，
设直线AB的方程为y=kx+m，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由y=kx+mx2+2y2=8可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2−8=0，
则Δ=16k2m2−4(1+2k2)(2m2−8)=64k2−8m2+32>0，
且x1+x2=−4km1+2k2，x1x2=2m2−81+2k2，
设直线F2A，F2B的倾斜角分别为α，β，
则α=π−β，k​F2A+k​F2B=y1x1−2+y2x2−2=0，代入y1=kx1+m，y2=kx2+m，
所以2kx1x2+(m−2k)(x1+x2)−4m=0，
即有2k⋅2m2−81+2k2+(2k−m)⋅4km1+2k2−4m=0，
化简可得m=−4k，
则直线AB的方程为y=kx−4k=k(x−4)，
故直线AB过定点(4,0)．
22.解：(Ⅰ)由题意可知，
由椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 22，可得e=ca= 22，
由椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点(1, 62)，可得1a2+( 62)2b2=1，
椭圆中a、b、c满足a2=b2+c2，
联立 a2=b2+c2 1a2+( 62)2b2=1 ca= 22，解得b2=2，a2=4，
所以椭圆C的方程为x24+y22=1．
(Ⅱ)由题意可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k(x−4)．
由y=k(x−4)x−1=0，得x=1y=−3k，即Q(1,−3k)，
由y=k(x−4)x2+2y2=4，得x2+2(kx−4k)2=4，
整理得(1+2k2)x2−16k2x+(32k2−4)=0，
由Δ=(−16k2)2−4(1+2k2)(32k2−4)>0，得− 66