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2024-2025学年山东省实验中学高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）
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这是一份2024-2025学年山东省实验中学高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知U=R，A={x|−1A. (−∞,−1]∪(2，+∞)B. (−∞,−1)∪[2，+∞)
C. [3,+∞)D. (3,+∞)
2.已知命题p：“∀x≥0，x2−x+1≥0”，则它的否定为( )
A. ∀x<0，x2−x+1<0B. ∃x<0，x2−x+1<0
C. ∀x≥0，x2−x+1<0D. ∃x≥0，x2−x+1<0
3.已知a，b是实数，则“a>1且b>1”是“ab+1>a+b”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4.关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0的两个实数根的平方和为12，则m的值为( )
A. m=−2B. m=3
C. n=3或m=−2D. m=−3或m=2
5.设A={x|x2−8x+15=0}，B={x|ax−1=0}，若A∩B=B，则实数a的值不可以为( )
A. 15B. 0C. 3D. 13
6.设a，b∈R+，且a+b=3，则2a+bab的最小值为( )
A. 2 2B. 2+ 23C. 1+2 23D. 2+2 2
7.已知函数f(x)=2mx2−2(4−m)x+1，g(x)=mx，若对于任一实数x，f(x)与g(x)至少有一个为正数，则实数m的取值范围是( )
A. (0,2)B. (0,8)C. (2,8)D. (−∞,0)
8.高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如：[−2.1]=−3，[3.1]=3，已知函数f(x)=(x+1)2x2+1−12，则函数y=[f(x)]的值域是( )
A. {0,1}B. {0,1,2}C. {−1,0,1}D. {−1,0,1,2}
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是( )
A. y=x0−1与y=0B. y= x⋅ 1−x与y= x−x2
C. y=|x|与z=4y4D. y=x+1与y=x3+1x2−x+1
10.下列不等式的解集正确的是( )
A. −x2+4x−4<0的解集是{x|x≠2}
B. 2x+1x−1≤1的解集是{x|−2≤x<1}
C. x2−x+14<0的解集是{x|43D. |x−1|>|2x−3|的解集是{x|4311.已知a>0，b>0，且a+1b=1，则( )
A. ab的最大值为14B. a−b的最大值为−1
C. b+1a的最小值为4D. a2+1b2的最小值为12
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数g(x)= 1−x+1 x的定义域为 ．
13.分段函数f(x)=x,x>0−x,x≤0可以表示为f(x)=|x|，分段函数f(x)=x,x≤33,x>3可表示为f(x)=12(x+3−|x−3|)，仿照上述式子，分段函数f(x)=6,x<6x,x≥6可表示为f(x)=______．
14.对任意的正实数a，b，c，满足b+c=1，则3ab2+abc+12a+1的最小值为______．
四、解答题：本题共3小题，共47分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
设集合A={x|2≤x<4}，B={x|3x−7≥8−2x}．
(1)求A∪B，A∩B；
(2)当x∈N时，求∁N(A∪B)的非空真子集个数．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=x2−(a+1)x+1(a∈R)．
(1)若不等式f(x)<1−b的解集为{x|−1(2)若对任意的x∈[2,4]，f(x)+a+3≥0恒成立，求实数a的取值范围；
(3)已知g(x)=mx+1−2m，当a=1时，若对任意的x1∈[1,4]，总存在x2∈[1,4]，使f(x1)=g(x2)成立，求实数m的取值范围．
17.(本小题17分)
将全体自然数填入如表所示的3行无穷列的表格中，每格只填一个数字，不同格内的数字不同．
对于正整数a，b，如果存在满足上述条件的一种填法，使得对任意n∈N，都有n，n+a，n+b分别在表格的不同行，则称数对(a,b)为自然数集N的“友好数对”．
(Ⅰ)试判断数对(1,2)是否是N的“友好数对”，并说明理由；
(Ⅱ)试判断数对(1,3)是否是N的“友好数对”，并说明理由；
(Ⅲ)若b=4，请选择一个数a，使得数对(a,b)是N的“友好数对”，写出相应的表格填法；并归纳给出使得数对(a,b)是N的“友好数对”的一个充分条件(结论不要求证明)．
参考答案
1.C
2.D
3.A
4.A
5.C
6.C
7.B
8.C
9.BCD
10.ABD
11.ACD
12.(0,1]
13.12(x+6+|x−6|)
14.12 2−6
15.解：(1)由A={x|2≤x<4}，B={x|3x−7≥8−2x}={x|x≥3}，
则A∪B={x|2≤x<4}∪{x|x≥3}={x|x≥2}，
A∩B={x|2≤x<4}∩{x|x≥3}={x|3≤x<4}．
(2)当x∈N时，∁N(A∪B)={0,1}，
则CN(A∪B)的非空真子集有{0}，{1}共2个．
16.解：(1)原不等式可化为x2−(a+1)x+b<0，因为该不等式解集为{x|−1可知x2−(a+1)x+b=0的两根为−1和3，
则x1+x2=a+1x1x2=b，即2=a+1−3=b，
故解得a=1b=−3；
(2)若对任意的x∈[2,4]，f(x)+a+3≥0恒成立，
所以对任意的x∈[2,4]，a(x−1)≤x2−x+4恒成立，
即对任意的x∈[2,4],a≤x2−x+4x−1恒成立，
所以a≤x−1+4x−1+1，
又因为x−1>0，x−1+4x−1+1≥2 (x−1)⋅4x−1+1=5，
当且仅当x−1=4x−1，即x=3时取等号，
所以a≤5，
所以实数a的取值范围是(−∞,5]；
(3)当a=1时，f(x)=(x−1)2，
因为x∈[1,4]，所以函数f(x)的值域是[0,9]，
因为对任意的x1∈[1,4]，总存在x2∈[1,4]，使f(x1)=g(x2)成立，
所以f(x)的值域是g(x)的值域的子集，
当m>0时，g(x)∈[1−m,2m+1]，则1−m≤02m+1≥9m>0，解得m≥4，
当m<0时，g(x)∈[2m+1,1−m]，则2m+1≤01−m≥9m<0，解得m≤−8，
当m=0时，g(x)=1，显然不成立，
综上所述，实数m的取值范围是(−∞,−8]∪[4,+∞)．
17.解：(Ⅰ)(1，2)是，
将第一行放3k，第二行放3 k+1，第三行放3 k+2(k∈N)
显然对∀n∈N，不论n被3整除余数为0，1，2，都会使n，n+1，n+2在不同行，
(Ⅱ)(1，3)不是
不妨将0放在第一行，1放在第二行，3放在第三行，
由题意1、2、4均不同行，
若2在第一行，则4在第三行，
这与3、4、6不同行矛盾；
若2在第三行，则与2、3、5不同行矛盾；
若2在第二行，则与1、2、4不同行矛盾；
∴无解．
(Ⅲ)存在．令a=6即可
构造方式如下：
(k∈N)，经验证满足要求．
使得数对(a,b)是N的“友好数对”的一个充分条件为：a=(3l+2)b或b=(3l+2)a(l∈N)． 第1行
…
第2行
…
第3行
…
1.已知U=R，A={x|−1
C. [3,+∞)D. (3,+∞)
2.已知命题p：“∀x≥0，x2−x+1≥0”，则它的否定为( )
A. ∀x<0，x2−x+1<0B. ∃x<0，x2−x+1<0
C. ∀x≥0，x2−x+1<0D. ∃x≥0，x2−x+1<0
3.已知a，b是实数，则“a>1且b>1”是“ab+1>a+b”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4.关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0的两个实数根的平方和为12，则m的值为( )
A. m=−2B. m=3
C. n=3或m=−2D. m=−3或m=2
5.设A={x|x2−8x+15=0}，B={x|ax−1=0}，若A∩B=B，则实数a的值不可以为( )
A. 15B. 0C. 3D. 13
6.设a，b∈R+，且a+b=3，则2a+bab的最小值为( )
A. 2 2B. 2+ 23C. 1+2 23D. 2+2 2
7.已知函数f(x)=2mx2−2(4−m)x+1，g(x)=mx，若对于任一实数x，f(x)与g(x)至少有一个为正数，则实数m的取值范围是( )
A. (0,2)B. (0,8)C. (2,8)D. (−∞,0)
8.高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如：[−2.1]=−3，[3.1]=3，已知函数f(x)=(x+1)2x2+1−12，则函数y=[f(x)]的值域是( )
A. {0,1}B. {0,1,2}C. {−1,0,1}D. {−1,0,1,2}
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是( )
A. y=x0−1与y=0B. y= x⋅ 1−x与y= x−x2
C. y=|x|与z=4y4D. y=x+1与y=x3+1x2−x+1
10.下列不等式的解集正确的是( )
A. −x2+4x−4<0的解集是{x|x≠2}
B. 2x+1x−1≤1的解集是{x|−2≤x<1}
C. x2−x+14<0的解集是{x|43
A. ab的最大值为14B. a−b的最大值为−1
C. b+1a的最小值为4D. a2+1b2的最小值为12
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数g(x)= 1−x+1 x的定义域为 ．
13.分段函数f(x)=x,x>0−x,x≤0可以表示为f(x)=|x|，分段函数f(x)=x,x≤33,x>3可表示为f(x)=12(x+3−|x−3|)，仿照上述式子，分段函数f(x)=6,x<6x,x≥6可表示为f(x)=______．
14.对任意的正实数a，b，c，满足b+c=1，则3ab2+abc+12a+1的最小值为______．
四、解答题：本题共3小题，共47分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
设集合A={x|2≤x<4}，B={x|3x−7≥8−2x}．
(1)求A∪B，A∩B；
(2)当x∈N时，求∁N(A∪B)的非空真子集个数．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=x2−(a+1)x+1(a∈R)．
(1)若不等式f(x)<1−b的解集为{x|−1
(3)已知g(x)=mx+1−2m，当a=1时，若对任意的x1∈[1,4]，总存在x2∈[1,4]，使f(x1)=g(x2)成立，求实数m的取值范围．
17.(本小题17分)
将全体自然数填入如表所示的3行无穷列的表格中，每格只填一个数字，不同格内的数字不同．
对于正整数a，b，如果存在满足上述条件的一种填法，使得对任意n∈N，都有n，n+a，n+b分别在表格的不同行，则称数对(a,b)为自然数集N的“友好数对”．
(Ⅰ)试判断数对(1,2)是否是N的“友好数对”，并说明理由；
(Ⅱ)试判断数对(1,3)是否是N的“友好数对”，并说明理由；
(Ⅲ)若b=4，请选择一个数a，使得数对(a,b)是N的“友好数对”，写出相应的表格填法；并归纳给出使得数对(a,b)是N的“友好数对”的一个充分条件(结论不要求证明)．
参考答案
1.C
2.D
3.A
4.A
5.C
6.C
7.B
8.C
9.BCD
10.ABD
11.ACD
12.(0,1]
13.12(x+6+|x−6|)
14.12 2−6
15.解：(1)由A={x|2≤x<4}，B={x|3x−7≥8−2x}={x|x≥3}，
则A∪B={x|2≤x<4}∪{x|x≥3}={x|x≥2}，
A∩B={x|2≤x<4}∩{x|x≥3}={x|3≤x<4}．
(2)当x∈N时，∁N(A∪B)={0,1}，
则CN(A∪B)的非空真子集有{0}，{1}共2个．
16.解：(1)原不等式可化为x2−(a+1)x+b<0，因为该不等式解集为{x|−1
则x1+x2=a+1x1x2=b，即2=a+1−3=b，
故解得a=1b=−3；
(2)若对任意的x∈[2,4]，f(x)+a+3≥0恒成立，
所以对任意的x∈[2,4]，a(x−1)≤x2−x+4恒成立，
即对任意的x∈[2,4],a≤x2−x+4x−1恒成立，
所以a≤x−1+4x−1+1，
又因为x−1>0，x−1+4x−1+1≥2 (x−1)⋅4x−1+1=5，
当且仅当x−1=4x−1，即x=3时取等号，
所以a≤5，
所以实数a的取值范围是(−∞,5]；
(3)当a=1时，f(x)=(x−1)2，
因为x∈[1,4]，所以函数f(x)的值域是[0,9]，
因为对任意的x1∈[1,4]，总存在x2∈[1,4]，使f(x1)=g(x2)成立，
所以f(x)的值域是g(x)的值域的子集，
当m>0时，g(x)∈[1−m,2m+1]，则1−m≤02m+1≥9m>0，解得m≥4，
当m<0时，g(x)∈[2m+1,1−m]，则2m+1≤01−m≥9m<0，解得m≤−8，
当m=0时，g(x)=1，显然不成立，
综上所述，实数m的取值范围是(−∞,−8]∪[4,+∞)．
17.解：(Ⅰ)(1，2)是，
将第一行放3k，第二行放3 k+1，第三行放3 k+2(k∈N)
显然对∀n∈N，不论n被3整除余数为0，1，2，都会使n，n+1，n+2在不同行，
(Ⅱ)(1，3)不是
不妨将0放在第一行，1放在第二行，3放在第三行，
由题意1、2、4均不同行，
若2在第一行，则4在第三行，
这与3、4、6不同行矛盾；
若2在第三行，则与2、3、5不同行矛盾；
若2在第二行，则与1、2、4不同行矛盾；
∴无解．
(Ⅲ)存在．令a=6即可
构造方式如下：
(k∈N)，经验证满足要求．
使得数对(a,b)是N的“友好数对”的一个充分条件为：a=(3l+2)b或b=(3l+2)a(l∈N)． 第1行
…
第2行
…
第3行
…
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