2024-2025学年江苏省盐城市七校联考高二（上）第一次学情检测数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省盐城市七校联考高二（上）第一次学情检测数学试卷（10月份）（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线x+1=0的倾斜角为( )
A. 34πB. π4C. π2D. 不存在
2.方程x2+y2−2x+4y+m−1=0表示一个圆，则m的取值范围是( )
A. (6,+∞)B. (−∞,6)C. [6+∞)D. (−∞,6]
3.两平行直线l1：x+y−1=0和l2：x+y−3=0之间的距离为( )
A. 2B. 2C. 2 2D. 3
4.直线y=2x+6被圆(x+2)2+y2=4截得的弦长为( )
A. 10B. 5 53C. 8 55D. 2 5
5.已知直线l过点P(3,4)，且在两坐标轴的截距相等，则满足条件的直线l有( )
A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条
6.若圆O1：(x−3)2+(y−4)2=25和圆O2：(x+2)2+(y+8)2=r2(5A. 6B. 7C. 8D. 9
7.已知直线l：x−my+4m−3=0(m∈R)，点P在圆x2+y2=1上，则点P到直线l的距离的最大值为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
8.已知圆C：x2+y2+6x−4y+9=0关于直线ax+by+3=0对称，过点P(a,b)作圆C的切线，切点分别为A，B，则cs∠APB的最小值为( )
A. 2764B. 2964C. 1932D. 2732
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线y=2x与x+y+a=0交于点P(1,b)，则( )
A. a=−3
B. b=2
C. 点P到直线ax+by+3=0的距离为2 1313
D. 点P到直线ax+by+3=0的距离为4 1313
10.直线y=2x+m与曲线y= 4−x2恰有两个交点，则实数m的值可能是( )
A. 92B. 4110C. 4D. 5
11.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2−2x−2ay+a2=0(a∈R)，O为坐标原点，则下列说法正确的是( )
A. 当a=2时，点(12,32)在圆C外
B. 圆C与x轴相切时，a=±1
C. 若直线y=x+1与圆C交于A，B两点，|AB|最大时，a=2
D. 当a≠0时，点O到圆C上一点的最大距离和最小距离的乘积为a2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线l1，l2的斜率k1，k2是关于a的方程2a2+8a+n=0的两根，若l1⊥l2，则实数n=______．
13.已知圆C1：(x−1)2+(y−a)2=18与圆C2：(x−a)2+(y−1)2=2有且仅有一条公共切线，则实数a的值是______．
14.在平面直角坐标系xOy中，设直线y=−x+2与圆x2+y2=r2交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足OC=54OA+34OB,则r= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知△ABC的顶点分别为A(1,3)，B(−1,−3)，C(−3,2)，求：
(1)直线AB的方程；
(2)AB边上的高所在直线的方程．
16.(本小题15分)
已知点P(−1,2)，求满足下列条件的直线l的一般方程．
(1)经过点P，且在y轴上的截距是x轴上截距的4倍；
(2)经过点P，且与坐标轴围成的三角形的面积为12．
17.(本小题15分)
已知圆C：x2+y2+mx+ny+1=0，直线l1：x−y=0，l2：x−2y=0，且直线l1和l2均平分圆C．
(1)求圆C的标准方程；
(2)直线 3x+y+a−2 3=0与圆C相交于M，N两点，且∠MCN=120°，求实数a的值．
18.(本小题17分)
已知某圆的圆心在直线y=x上，且该圆过点(−2,2)，半径为2 2，直线l的方程为(m+1)x+(2m−1)y−3m=0．
(1)求此圆的标准方程；
(2)若直线l过定点A，点B，C在此圆上，且AB⊥AC，求|BC|的取值范围．
19.(本小题17分)
如图，已知圆M：x2−4x+y2+3=0，点P(−1,t)为直线l：x=−1上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A，B．
(1)求直线AB的方程，并写出直线AB所经过的定点的坐标；
(2)求线段AB中点的轨迹方程；
(3)若两条切线PA，PB与y轴分别交于S，T两点，求|ST|的最小值．
参考答案
1.C
2.B
3.A
4.C
5.B
6.C
7.D
8.C
9.ABD
10.BC
11.BCD
12.−2
13.3或−1
14. 10
15.解：(1)设AB所在直线的斜率为k，
A(1,3)，B(−1,−3)，
则k=−3−3−1−1=3，
所以AB所在直线的方程为：y−3=3(x−1)，即3x−y=0．
(2)因为AB所在直线的斜率为3，
所以AB边上的高所在直线的斜率为−13，
所以AB边上的高所在直线的方程y−2=−13(x+3)，即x+3y−3=0．
16.解：(1)若直线l经过原点，则方程为：y=2−1x=−2x，即2x+y=0．
若直线l不经过原点，可设方程为：xa+y4a=1，
把点P(−1,2)代入可得：−1a+24a=1，解得a=−12，方程为：−2x−y2=1，即4x+y+2=0．
综上可得直线l的一般方程为：2x+y=0，或4x+y+2=0．
(2)设直线l的方程为：xa+yb=1，把点P(−1,2)代入可得：−1a+2b=1，
又12|ab|=12，化为ab=±1，
联立−1a+2b=1ab=±1，
解得a=1b=1，a=−12b=−2
∴直线l的一般方程为：x+y−1=0，4x+y+2=0．
17.解：(1)因为直线l1和l2均平分圆C，所以两条直线都过圆心，
因为x−y−1=0x−2y=0，解得x=2y=1，所以直线l1和l2的交点坐标为(2,1)，
所以圆心C的坐标为(2,1)，
因为圆C：x2+y2+mx+ny+1=0，所以圆心坐标为(−m2,−n2)，
所以−m2=2−n2=1，解得m=−4n=−2，
所以圆C的方程为x2+y2−4x−2y+1=0，即(x−2)2+(y−1)2=4；
(2)由(1)得圆C的标准方程为(x−2)2+(y−1)2=4，圆心C(2,1)，半径r=2，
因为∠MCN=120°，且△MCN为等腰三角形，所以∠CMN=30°，
因为|CM|=|CN|=r，所以圆心C到直线 3x+y+a−2 3=0的距离d=rsin∠CMN=2sin30°=1，
根据点到直线的距离公式d=|2 3+1+a−2 3| ( 3)2+12=|a+1|2=1，
解得a=1或a=−3，
所以实数a的值为a=1或a=−3．
18.解：(1)因为圆心在直线y=x上，所以设圆心(a,a)，
又圆过点(−2,2)，半径为2 2，
∴ (a+2)2+(a−2)2=2 2，解得a=0，
∴圆的标准方程为x2+y2=8；
(2)由直线l的方程为(m+1)x+(2m−1)y−3m=0，可得(x+2y−3)m+(x−y)=0，
则有x+2y−3=0x−y=0，解得x=1y=1，直线过定点A(1,1)，
取线段BC中点为D(x,y)，则|BC|=2|AD|，
令原点为O，则|OB|2=|OD|2+|BD|2，即8=x2+y2+(x−1)2+(y−1)2，
化简得(x−12)2+(y−12)2=72，即D的轨迹是以(12,12)为圆心， 142为半径的圆，
A到D的轨迹的圆心的呀离为 22，则|AD|的取值范围为[ 142− 22, 142+ 22]，
∴|BC|的取值范围为[ 14− 2, 14+ 2].
19.解：(1)|PM|= 9+t2，|AM|=1，|PA|2=|PM|2−|AM|2=t2+8，
故以P为圆心，|PA|为半径的圆P的方程为(x+1)2+(y−t)2=t2+8，
显然线段AB为圆P和圆M的公共弦，
则直线AB的方程为(x+1)2−(x−2)2+(y−t)2−y2=t2+8−1，
即3x−ty−5=0，所以(3x−5)−ty=0，所以直线AB过定点(53,0)；
(2)∵直线AB过定点(53,0)，AB的中点为直线AB与直线MP的交点，
设AB的中点为F点，直线AB过的定点为H点，

易知HF始终垂直于FM，所以F点的轨迹为以HM为直径的圆，H(53,0)，M(2,0)，
∴点F的轨迹方程为(x−116)2+y2=136(x≠2)；
(3)设切线方程为y−t=k(x+1)，即kx−y+k+t=0，
故M(2,0)到直线kx−y+k+t=0的距离d=|3k+t| k2+1=1，即8k2+6kt+t2−1=0，
设PA，PB的斜率分别为k1，k2，
由韦达定理可得k1k2=t2−18，k1+k2=−3t4，
把x=0代入kx−y+k+t=0，得y=k+t，
则|ST|=|k1+t−(k2+t)|=|k1−k2|= (k1+k2)2−4k1k2= 9t216−t2−12= t2+84，
故当t=0时，|ST|取得最小值为 22．