2024-2025学年河北省唐山二中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年河北省唐山二中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.空间直角坐标系中，已知A(2,1,3)，B(−2,3,1)，点A关于xOy平面对称的点为C，则B，C两点间的距离为( )
A. 6B. 2 6C. 2 5D. 10
2.已知(−3, 3)是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
3.如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MN=12ON，AP=34AN，用向量OA，OB，OC表示OP，则OP=( )
A. 14OA+14OB+14OC
B. 13OA+13OB+13OC
C. 14OA+13OB+13OC
D. 13OA+14OB+14OC
4.设x，y∈R，向量a=(x,1,1)，b=(1,y,1)，c=(2,−4,2)，且a⊥c，b//c，则|a+b|=( )．
A. 2 2B. 10C. 3D. 4
5.若点(1,1)在圆x2+y2−x−a=0的外部，则a的取值范围为( )
A. (−14,1)B. (14,1)C. (−∞,1)D. (1,+∞)
6.已知直线l1：x+(2a−1)y+2a−3=0，l2：ax+3y+a2+4=0，则“a=32”是“l1//l2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7.已知半径为3的圆C的圆心与点P(−2,1)关于直线x−y+1=0对称，则圆C的标准方程为( )
A. (x+1)2+(y−1)2=9B. (x−1)2+(y−1)2=81
C. x2+y2=9D. x2+(y+1)2=9
8.直线l的方向向量为m=(1,1,0)，且l过点A(1,1,1)，则点P(2,2,−1)到直线l的距离为( )
A. 2B. 3C. 2D. 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.给出下列命题，其中正确的命题是( )
A. 若直线l的方向向量为e=(1,0,3)，平面α的法向量为n=(−2,0,23)，则直线l//α
B. 若对空间中任意一点O，有OP=14OA+14OB+12OC，则P、A、B、C四点共面
C. 若{a,b,c}为空间的一个基底，则{a+b,b+c,c+a}构成空间的另一个基底
D. |a|−|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件
10.下列说法正确的是( )
A. 直线 3x+y+1=0的倾斜角为120°
B. 经过点P(2,1)，且在x，y轴上截距互为相反数的直线方程为x−y−1=0
C. 直线l：mx+y+2−m=0恒过定点(1,−2)
D. 直线l1：x+2ay+1=0，l2：(a−1)x−y−4=0，若l1⊥l2，则a=−1
11.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，O是上底面ABCD的中心，E，F分别为AB，AD的中点，则下列结论正确的是( )
A. A1O⊥EF
B. 直线A1O与平面A1B1C1D1所成角的正切值为 2
C. 平面EFB1与平面BBC1C的夹角为π4
D. 异面直线A1O与B1E所成角的余弦值为 3010
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.平面n的法向量是n=(−2,−2,1)，点A(−1,3,0)在平面α内，则点P(−2,1,4)到平面α的距离______．
13.已知圆C：(x−1)2+y2=1，以圆心C和P(3,2)为直径的圆的标准方程是______．
14.直线l的方程为(λ+2)x+(λ−1)y−3λ=0(λ∈R)，当原点O到直线l的距离最大时，λ的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知△ABC顶点A(3,3)，边AC上的高BH所在直线方程为x−y+6=0，边AB上的中线CM所在的直线方程为5x−3y−14=0．
(1)求直线AC的方程；
(2)求顶点C的坐标与△ABC的面积．
16.(本小题15分)
如图，四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．
(1)求AC1的长；
(2)求证：AC1⊥BD；
(3)求BD1与AC夹角的余弦值．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，△PCD为等边三角形，E为棱PC中点，平面PDC⊥平面ABCD．
(Ⅰ)证明：PA//平面BDE；
(Ⅱ)求直线PB与平面BDE所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
已知坐标原点在圆C：x2+y2−2mx+2 3my+4m2−4=0的内部．
(1)求实数m的取值范围；
(2)若圆C关于直线l：kx−y−k=0对称，求k的取值范围．
19.(本小题17分)
已知三棱台ABC−A1B1C1如图所示，其中AC=2BC=4B1C1=4 55A1B1=4，A1A=B1B=C1C.
(1)若直线l⊂平面ABB1A1，且l⊥AB，求证：直线l⊥平面ABC；
(2)若平面ABC与平面A1B1C1之间的距离为3，求平面A1B1B与平面A1C1B所成角的余弦值．
参考答案
1.A
2.D
3.A
4.C
5.A
6.C
7.D
8.C
9.BC
10.ACD
11.ABD
12.103
13.(x−2)2+(y−1)2=2
14.−5
15.解：(1)由于边AC上的高BH所在直线方程为x−y+6=0，
所以设直线AC的方程为x+y+c=0，由于点A(3,3)满足直线AC的方程，故c=−6；
故直线AC的方程为x+y−6=0．
(2)由于点C既满足直线5x−3y−14=0的方程，又满足x+y−6=0的方程，
故5x−3y−14=0x+y−6=0，解得x=4y=2，故C(4,2)．
设B(a,b)，由于点B满足直线x−y+6=0，
故a−b+6=0；
设AB的中点坐标为(a+32,b+32)，满足5x−3y−14=0，
故5×a+32−3×b+32−14=0，整理得5a−3b−22=0，
所以a−b+6=05a−3b−22=0，解得a=20b=26，故B(20,26)；
故点B(20,26)到直线x+y−6=0的距离d=|20+26−6| 2=20 2，|AC|= 2
故S△ABC=12× 2×20 2=20．
16.解：(1)设AB=a，AD=b，AA1=c，
由已知得，a⋅b=12，b⋅c=12，a⋅c=12，|a|=|b|=|c|=1，
又AC1=a+b+c，
∴|AC|= (a+b+c)2= 1+1+1+1+1+1= 6．
(2)证明：由题意结合空间向量的线性运算法则可得AC1=a+b+c，BD=b−a，
AC1⋅BD=(a+b+c)⋅(b−a)=a⋅b+|b|2+c⋅b−|a|2−a⋅b−a⋅c=c⋅b−a⋅c=0，
所以AC1⊥BD，
所以AC1⊥BD；
(3)解：由题意结合空间向量的线性运算法则可得BD1=b+c−a，AC=a+b，
所以cs〈BD1,AC〉=(b+c−a)⋅(a+b)|BD1||AC|=12+1+12+12−1−12 2⋅ 3= 66，
即BD1与AC夹角的余弦值为 66．
17.解：(I)证明：连接AC交BD于F，连接EF，
∵底面ABCD为菱形，∴F是AC中点，又E为棱PC中点，
故FE/​/PA，又EF⊂平面BDE，PA⊄平面BDE；
∴PA/​/平面BDE；
(II)取CD的中点O，连接OB，OP，
∵△PCD为等边三角形，∴PO⊥CD，
∵平面PDC⊥平面ABCD.平面PDC∩平面ABCD=CD．
∴OP⊥平面ABCD.又底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴OB⊥CD，
以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设CD=4，则B(2 3,0,0)，D(0,−2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2 3)，E(0,1, 3)，
则DE=((0,3, 3)，DB=(2 3,2,0)，
设平面BDE的一个法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅DE=3y+ 3z=0n⋅DB=2 3x+2y=0，令y= 3，则x=−1，z=−3，
∴平面BDE的一个法向量为n=(−1, 3,−3)，
又PB=(2 3,0,−2 3)，
设直线PB与平面BDE所成角为θ，
∴sinθ=|cs|=|PB⋅n||PB|⋅|n|=4 3 1+3+9× 12+12= 2613．
∴直线PB与平面BDE所成角的正弦值为 2613．
18.解：(1)∵原点在圆C的内部，∴4m2−4<0，∴−1(2)由圆C方程得C(m,− 3m)，
∵圆C关于直线l对称，∴圆心C在直线l上，
即km+ 3m−k=0，∴k(m−1)=− 3m，
当m=1时，0=− 3不成立．
当m≠1时，k=− 3mm−1=− 3(m−1)+ 3m−1=− 3− 3m−1，
∵−1∴− 3− 3m−1>− 32，则k>− 32，
即k的取值范围为(− 32,+∞)．
19.(1)证明：依题意，BC=2,B1C1=1,A1B1= 5，
如图所示，延长三条侧棱交于点D，
由A1A=B1B=C1C，可得DA=DB=DC，
且A1，B1，C1分别为线段DA，DB，DC的中点，
取AB的中点M，则DM⊥AB，
由B1C1BC=12，可得A1B1AB=12，则AB=2A1B1=2 5，
又AC2+BC2=AB2，则CA⊥CB，所以AM=CM，
则△DAM≌△DCM，故∠DMA=∠DMC=90°，
即DM⊥MC，而AB∩MC=M，且AB，MC⊂平面ABC，
故DM⊥平面ABC，又DM⊂平面ABB1A1，
故平面ABB1A1⊥平面ABC，
而直线l⊂平面ABB1A1，l⊥AB，平面ABB1A1∩平面ABC=AB，
故直线l⊥平面ABC；
(2)解：以C为坐标原点，CA、CB所在直线分别为x、y轴，
过点C作垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则A(4,0,0),D(2,1,6),B(0,2,0),A1(3,12,3),C1(1,12,3)，
则AB=(−4,2,0),AD=(−2,1,6),BC1=(1,−32,3),BA1=(3,−32,3)，
不妨设n1=(x1,y1,z1)为平面A1B1B的一个法向量，
由AB⋅n1=−4x1+2y1=0AD⋅n1=−2x1+y1+6z1=0，令x1=1，可得y1=2，z1=0，
则平面A1B1B的一个法向量n1=(1,2,0)，
设n2=(x2,y2,z2)为平面A1C1B的一个法向量，
由BC1⋅n2=x2−32y2+3z2=0BA1⋅n2=3x2−32y2+3z2=0，令z2=1，可得x2=0，y2=2，
则平面A1C1B的一个法向量n2=(0,2,1)，
而|cs〈n1,n2〉|=|n1⋅n2||n1|⋅|n2|=45，
所以平面A1B1B与平面A1C1B所成角的余弦值为45．