北师大版2024-2025学年九年级数学上册专题2.3根的判别式【十大题型】专题特训(原卷版+解析)

这是一份北师大版2024-2025学年九年级数学上册专题2.3根的判别式【十大题型】专题特训(原卷版+解析)，共38页。
专题2.3 根的判别式【十大题型】【北师大版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc30997" 【题型1 判断不含字母的一元二次方程的根的情况】  PAGEREF _Toc30997 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc4230" 【题型2 判断含字母的一元二次方程的根的情况】  PAGEREF _Toc4230 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc15250" 【题型3 由方程根的情况确定字母的值或取值范围】  PAGEREF _Toc15250 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc2754" 【题型4 应用根的判别式证明方程根的情况】  PAGEREF _Toc2754 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc32484" 【题型5 应用根的判别式求代数式的取值范围】  PAGEREF _Toc32484 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc17755" 【题型6 根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】  PAGEREF _Toc17755 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc29072" 【题型7 根的判别式与三角形的综合】  PAGEREF _Toc29072 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc30097" 【题型8 根的判别式与四边形的综合】  PAGEREF _Toc30097 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc31073" 【题型9 关于根的判别式的多结论问题】  PAGEREF _Toc31073 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc359" 【题型10 关于根的判别式的新定义问题】  PAGEREF _Toc359 \h 6【知识点 一元二次方程根的判别式】一元二次方程根的判别式：∆=b2−4ac．①当∆=b2−4ac>0时，原方程有两个不等的实数根；②当∆=b2−4ac=0时，原方程有两个相等的实数根；③当∆=b2−4ackb B．若ka>kb，则0＜a＜1C．若0＜a＜1，则ka1是关于x的方程x2−bx+b−a=0的实数根．下列说法：①此方程有两个不相等的实数根；②当a=t＋1时，一定有b=t−1；③b是此方程的根；④此方程有两个相等的实数根．上述说法中，正确的有（    ）A．①② B．②③ C．①③ D．③④【变式9-2】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）对于代数式ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）①若b2−4ac=0，则ax2+bx+c=0有两个相等的实数根；②存在三个实数m≠n≠s，使得am2+bm+c=an2+bn+c=as2+bs+c；③若ax2+bx+c+2=0与方程x+2x−3=0的解相同，则4a−2b+c=−2，以上说法正确的是 ．【变式9-3】（2023春·浙江·九年级期末）已知方程甲：ax2+2bx+a=0，方程乙：bx2+2ax+b=0都是一元二次方程，①若x=1是方程甲的解，则x=1也是方程乙的解；②若方程甲有两个相等的实数解，则方程乙也有两个相等的实数解；③若方程甲有两个不相等的实数解，则方程乙也有两个不相等的实数解；④若x=n既是方程甲的解，又是方程乙的解，那么n可以取1或−1．以上说法中正确的序号是（   ）A．①② B．③④ C．①②③④ D．①②④【题型10 关于根的判别式的新定义问题】【例10】（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）对于实数a、b，定义运算“*”； a∗b=a2−aba≤bb2−aba>b，关于x的方程2x∗x−1=t+3恰好有三个不相等的实数根，则t的取值范围是 ．【变式10-1】（2023春·四川雅安·九年级统考期末）对于实数a，b定义运算“☆”如下：a☆b=ab2−ab，例如3☆2=3×22−3×2=6，则方程2☆x=−12的根的情况为（    ）A．没有实数根 B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根【变式10-2】（2023春·安徽马鞍山·九年级校考阶段练习）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0(a≠0)是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（    ）A．a=b−c B．a=b C．b=c D．a=c【变式10-3】（2023春·河北沧州·九年级统考期中）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有m，p※q，n=mn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：2，3※4，5=2×5+3×4=22．若关于x的方程x2+1，x※5−2k，k=0：有两个实数根，则k的取值范围是 ．专题2.3 根的判别式【十大题型】【北师大版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc30997" 【题型1 判断不含字母的一元二次方程的根的情况】  PAGEREF _Toc30997 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc4230" 【题型2 判断含字母的一元二次方程的根的情况】  PAGEREF _Toc4230 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc15250" 【题型3 由方程根的情况确定字母的值或取值范围】  PAGEREF _Toc15250 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc2754" 【题型4 应用根的判别式证明方程根的情况】  PAGEREF _Toc2754 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc32484" 【题型5 应用根的判别式求代数式的取值范围】  PAGEREF _Toc32484 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc17755" 【题型6 根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】  PAGEREF _Toc17755 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc29072" 【题型7 根的判别式与三角形的综合】  PAGEREF _Toc29072 \h 16 HYPERLINK \l "_Toc30097" 【题型8 根的判别式与四边形的综合】  PAGEREF _Toc30097 \h 20 HYPERLINK \l "_Toc31073" 【题型9 关于根的判别式的多结论问题】  PAGEREF _Toc31073 \h 23 HYPERLINK \l "_Toc359" 【题型10 关于根的判别式的新定义问题】  PAGEREF _Toc359 \h 27【知识点 一元二次方程根的判别式】一元二次方程根的判别式：∆=b2−4ac．①当∆=b2−4ac>0时，原方程有两个不等的实数根；②当∆=b2−4ac=0时，原方程有两个相等的实数根；③当∆=b2−4ac0，∴方程有两个不相等实数根，故选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，牢记“①当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ25，∴25−4t0，解得：c1，∴此方程有两个不相等的实数根，故①说法正确；②∵b=a，∴当a=t+1时，一定有b=t+1，故②说法错误；③∵aa>1是关于x的方程x2−bx+b−a=0的实数根．且b=a，∴b也是关于x的方程x2−bx+b−a=0的实数根．故③说法正确；④此方程有两个不相等的实数根，故④说法错误；所以，正确的结论是①③，故选：C．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的意义，一元二次方程根的判别式，熟练掌握运用根的判别式判断根的情况是解答本题的关键．【变式9-2】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）对于代数式ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）①若b2−4ac=0，则ax2+bx+c=0有两个相等的实数根；②存在三个实数m≠n≠s，使得am2+bm+c=an2+bn+c=as2+bs+c；③若ax2+bx+c+2=0与方程x+2x−3=0的解相同，则4a−2b+c=−2，以上说法正确的是 ．【答案】①③/③①【分析】根据根的判别式判断①；根据一元二次方程ax2+bx+c=k (k为常数)最多有两个解判断②；将方程x+2x−3=0的解代入ax2+bx+c+2=0即可判断③．【详解】解：①∵Δ=b2−4ac=0∴方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根．∴①正确：②∵一元二次方程ax2+bx+c=k(k为常数)最多有两个解，∴②错误；③方程x+2x−3=0的解为x1=−2，x2=3，将x=−2代入ax2+bx+c+2=0得a⋅(−2)2+b⋅(−2)+c+2=0，∴4a−2b+c=−2，∴③正确．综上，正确的有①③，故答案为：①③．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ4a2，所以4a2−4b2x−1时，即x>−1，时，有x−12−2xx−1=t+3，即：x2=−t−2x>−1，要使关于x的方程2x∗x−1=t+3恰好有三个不相等的实数根，则x2=−t−2x>−1和2x2+2x−t−3=0x≤−1都必须有解，∴−t−2≥02t+7≥0，∴−72≤t≤−2，（1）当−t−2=0时，即t=−2时，方程x2=−t−2x>−1只有一个根x=0，∵当t=−2时，2t+7=3，∴−1+32>0，−1−32