北师大版2024-2025学年九年级数学上册专题4.1比例线段【九大题型】专题特训(原卷版+解析)

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专题4.1 比例线段【九大题型】【北师大版】 TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc31938" 【题型1 成比例线段的概念辨析】  PAGEREF _Toc31938 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc19557" 【题型2 成比例线段与比例尺的结合】  PAGEREF _Toc19557 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc3877" 【题型3 成比例线段的实际应用】  PAGEREF _Toc3877 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc26333" 【题型4 利用比例的性质求字母的值】  PAGEREF _Toc26333 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc8449" 【题型5 利用比例的性质求代数式的值】  PAGEREF _Toc8449 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc2846" 【题型6 利用比例的性质进行证明】  PAGEREF _Toc2846 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc11736" 【题型7 比例的性质在阅读理解中的运用】  PAGEREF _Toc11736 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc25194" 【题型8 黄金分割的概念辨析】  PAGEREF _Toc25194 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc28318" 【题型9 黄金分割的实际应用】  PAGEREF _Toc28318 \h 7【知识点1 成比例线段的概念】1．比例的项：在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足．2．成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．【题型1 成比例线段的概念辨析】【例1】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）已知线段a、b满足ab=2，且a+2b=28．(1)求a、b的值；(2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．【变式1-1】（2023春·河南平顶山·九年级统考期末）已知四条线段的长度分别为x，2，6，x+1，且它们是成比例线段，则x的值为 .【变式1-2】（2023秋·全国·九年级专题练习）已知a，b，c为△ABC的三边长，且a+b+c=36，a3=b4=c5．(1)求线段a，b，c的长；(2)若线段x是线段a，b的比例中顶（即ax=xb），求线段x的长．【变式1-3】（2023春·上海宝山·九年级统考期末）如果a:b=10:15，且b是a和c的比例中项，那么b:c等于（    ）A．4:3 B．3:2 C．2:3 D．3:4【题型2 成比例线段与比例尺的结合】【例2】（2023春·四川成都·九年级统考期中）在比例尺是1:90000000的地图上，量得甲乙两地的距离是2厘米，上午9点20分有一架飞机从甲地飞往乙地，上午11点20分到达，这架飞机每小时飞行 千米．【变式2-1】（2023春·四川乐山·九年级统考期末）地图上两地间的图上距离为13.5厘米，比例尺是1：1000000，那么这两地间的实际距离是（　　）A．1350千米 B．135千米 C．13.5千米 D．1.35千米【变式2-2】（2023春·全国·九年级统考期末）长江二桥位于长江大桥下游3公里处、桥梁长度2400米，一张平面地图上桥梁长度是4.8厘米，这张平面地图的比例尺为 【变式2-3】（2023春·江苏连云港·九年级校联考期末）相距24千米的甲、乙两地，在比例尺为1：400000的地图上的距离是 厘米．【题型3 成比例线段的实际应用】【例3】（2023春·河北石家庄·九年级统考期中）某班每位学生上、下学期各选择一个社团，下表分别为该班学生上、下学期各社团的人数比例．若该班上、下学期的学生人数不变，关于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述正确的是（　　）A．文学社增加，篮球社不变 B．文学社不变，篮球社不变C．文学社增加，篮球社减少 D．文学社不变，篮球社减少【变式3-1】（2023春·六年级校考课时练习）将10本相同厚度的书叠起来，高度为25cm．如果有18本这样厚度的书叠起来，那么书的高度是多少cm？【变式3-2】（2023春·山东滨州·九年级统考期末）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度是（    ）mA．−1−5 B．−1±5 C．5+1 D．5−1【变式3-3】（2023春·九年级课时练习）如图，一张矩形纸片AB−CD的长BC=5，宽AB=2，按照图中所示方式将它裁成矩形ABFE与矩形CDEF.若矩形ABFE与矩形CDEF的短边与长边之比相等，求AE的长.【知识点2 比例的性质】【题型4 利用比例的性质求字母的值】【例4】（2023春·四川成都·九年级校考期中）已知a，b，c均为非零的实数，且满足a+b−cc=a−b+cb=−a+b+ca=k，则k的值为 ．【变式4-1】（2023春·广东茂名·九年级统考期中）已知x3=y5=z6，且3y=2z+6，求x，y的值．【变式4-2】（2023春·安徽蚌埠·九年级校考期末）已知a，b，c为△ABC的三边长，且a+b+c=36，a3=b4=c5．(1)求线段a，b，c的长；(2)若线段x是线段a，b的比例中顶（即ax=xb），求线段x的长．【变式4-3】（2023春·四川成都·九年级成都七中校考期中）已知y+zx=x+zy=x+yz=k，则k2= ．【题型5 利用比例的性质求代数式的值】【例5】（2023春·山东威海·九年级统考期中）若a+bc=b+ca=c+ab，则(a+b)(b+c)(c+a)abc的值为 ．【变式5-1】（2023春·内蒙古包头·九年级统考期末）若ab=cd=ef=13，则3a−2c+e3b−2d+f的值为（    ）A．13 B．1 C．1.5 D．3【变式5-2】（2023春·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期末）已知代数式A=ab+c，B=ba+c，C=ca+b，下列结论：①若a:b:c=1:1:2，则A⋅C+B=23；②若A=B=C，则A+B+C=32；③若a=c=2，b为关于a的方程x2+2023x+4=0的一个解，则1A+1B+1C=−2019；④若a