人教版2024-2025学年九年级数学上册21.3根与系数的关系(压轴题专项讲练)(学生版+解析)

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专题21.3 根与系数的关系思想方法分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：1. 不重（互斥性）不漏（完备性）；2. 按同一标准划分（同一性）；3. 逐级分类（逐级性）。知识点总结一、一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是，那么，.注意：它的使用条件为a≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.典例分析 【典例1】已知：关于x的一元二次方程kx2+2x+1−2k=0有两个实数根x1，x2．（1）若x1+x2=22，求k的值；（2）当k取哪些整数时，x1，x2均为整数；（3）当k取哪些有理数时，x1，x2均为整数．【思路点拨】（1）分两种情况：①若两根同号，②若两根异号；根据根与系数的关系结合根的判别式解答即可；（2）根据根与系数的关系可得若x1+x2=−2k为整数，可得整数k=±1,±2，然后结合两根之积、解方程分别验证即可；（3）显然，当k=−1时，符合题意；由两根之积可得k应该是整数的倒数，不妨设k=1m，则方程可变形为x2+2mx+m−2=0，即为x+m2=m2−m+2，再结合整数的意义即可解答．【解题过程】解：（1）∵Δ=22−4k1−2k=4−4k+8k2=8k2−12k+12=8k−142+72>0，∴不论k为何值，关于x的一元二次方程kx2+2x+1−2k=0都有两个实数根x1，x2，∵关于x的一元二次方程kx2+2x+1−2k=0有两个实数根x1，x2，∴x1+x2=−2k,x1x2=1−2kk，分两种情况：①若两根同号，由x1+x2=22可得：x1+x2=22，或x1+x2=−22，当x1+x2=22时，则−2k=22，解得k=−22；当x1+x2=−22时，则−2k=−22，解得k=22；②若两根异号，由x1+x2=22可得：(x1−x2)2=8，即x1+x22−4x1x2=8，∴−2k2−4×1−2kk=8，解得：k=1， 综上，k的值为1或 ±22；（2）∵关于x的一元二次方程kx2+2x+1−2k=0有两个实数根x1，x2，∴x1+x2=−2k,x1x2=1−2kk，若x1，x2均为整数，则x1+x2=−2k为整数，∴整数k=±1,±2，当k=±2时，x1x2=1−2kk不是整数，故应该舍去；当k=1时，此时方程为x2+2x−1=0，方程的两个根不是整数，故舍去；当k=−1时，此时方程为−x2+2x+3=0，方程的两个根为x1=−1,x2=3，都是整数，符合题意；综上，当k取−1时，x1，x2均为整数；（3）显然，当k=−1时，符合题意；当k为有理数时，由于x1x2=1−2kk=1k−2为整数，∴k应该是整数的倒数，不妨设k=1m (m≠0)，m为整数，则方程kx2+2x+1−2k=0即为x2+2mx+m−2=0，配方得：x+m2=m2−m+2，即x=−m±m2−m+2，当m=2即k=12时，方程的两根为x1=0,x2=−4，都是整数，符合题意；当m≠2时，m2−m+2=(m−12)2+74不是完全平方数，故不存在其它整数m的值使上式成立；综上，k=−1或12．学霸必刷1．（22-23九年级上·湖北襄阳·自主招生）设方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根x1和x2，且10，n>0；③a2≥a；④关于x的一元二次方程x+12+a2−a=0的两个根为x1=m−2，x2=n−2．A．1 B．2 C．3 D．44．（22-23九年级上·浙江·自主招生）设a、b、c、d是4个两两不同的实数，若a、b是方程x2−8cx−9d=0的解，c、d是方程x2−8ax−9b=0的解，则a+b+c+d的值为 ．5．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）已知实数a,b,c满足：a+b+c=2,abc=4．求a+b+c的最小值 6．（22-23九年级上·四川成都·期末）将两个关于x的一元二次方程整理成ax+ℎ2+k＝0（a≠0，a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）与方程x+12−2=0是“同源二次方程”，且方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根为x1、x2，则b－2c＝ ，ax1+x1x2+ax2的最大值是 ．7．（23-24九年级上·山东济南·期末）已知xy+x+y=44，x2y+xy2=484，求x3+y3．8．（2024九年级·全国·竞赛）记一元二次方程x2+3x−5=0的两根分别为x1、x2．（1）求1x1−1+1x2−1的值；（2）求3x12+6x1+x22的值．9．（23-24九年级下·北京·开学考试）已知关于x的方程x2−2mx+m2−n=0有两个不相等的实数根．（1）求n的取值范围；（2）若n为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的3倍，求m的值．10．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）若关于x的一元二次方程x2+2x−m2−m=0．（1）若α和β分别是该方程的两个根，且αβ=−2，求m的值；（2）当m=1，2，3，⋅⋅⋅，2024时，相应的一元二次方程的两个根分别记为α1、β1，α2、β2，⋅⋅⋅，α2024、β2024，求1α1+1β1+1α2+1β2+⋯+1α2024+1β2024的值．11．（22-23九年级上·湖北武汉·期中）已知α、β是关于x的一元二次方程x2+2m+3x+m2=0的两个不相等的实数根（1）直接写出m的取值范围（2）若满足1α+1β=−1，求m的值．（3）若α>2，求证：β>2；12．（22-23九年级·浙江·自主招生）已知方程x2+4x+1=0的两根是α、β．（1）求|α−β|的值；（2）求αβ+βα的值；（3）求作一个新的一元二次方程，使其两根分别等于α、β的倒数的立方．（参考公式：x3+y3=(x+y)x2+y2−xy．13．（22-23九年级上·福建泉州·期末）已知关于x的方程mx2−m−1x+2=0有实数根．（1）若方程的两根之和为整数，求m的值；（2）若方程的根为有理根，求整数m的值．14．（22-23九年级下·浙江·自主招生）设m为整数，关于x的方程m2+m−2x2−7m+2x+12=0有两个整数实根．（1）求m的值．（2）设△ABC的三边长a,b,c满足c=42,m2+a2m−12a=0,m2+b2m−12b=0．求△ABC的面积．15．（22-23九年级上·湖南常德·期中）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．材料2：已知一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．解：∵一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m，n，∴m+n=1，mn=−1，则m2n+mn2=mn(m+n)=−1×1=−1．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）材料理解：一元二次方程x2−3x−1=0的两个根为x1，x2，则x1+x2=___________，x1x2=___________．（2）类比应用：已知一元二次方程x2−3x−1=0的两根分别为m、n，求nm+mn的值．（3）思维拓展：已知实数s、t满足s2−3s−1=0，t2−3t−1=0，且s≠t，求1s−1t的值．16．（23-24八年级上·北京海淀·期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当mx+n=0或px+q=0时，多项式A=mx+npx+q=mpx2+mq+npx+nq的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点．（1）已知多项式3x+1x−2，则此多项式的零点为__________；（2）已知多项式B=x−1bx+c=ax2−a−1x−a2有一个零点为1，求多项式B的另一个零点；（3）小聪继续研究x−3x−1，xx−4及x−52x−32等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线x=2对称，他把这些多项式称为“2系多项式”．若多项式M=2ax+bcx−5c=bx2−4cx−2a−4是“2系多项式”，求a与c的值．17．（22-23九年级上·湖北黄石·期末）（1）x1，x2是关于x的一元二次方程x2−2k+1x+k2+2=0的两实根，且x1+1⋅x2+1=8，求k的值．（2）已知：α，βα>β是一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根，设s1=α+β，s2=α2+β2，…，sn=αn+βn．根据根的定义，有α2−α−1=0，β2−β−1=0，将两式相加，得α2+β2−α+β−2=0，于是，得s2−s1−2=0．根据以上信息，解答下列问题：①直接写出s1，s2的值．②经计算可得：s3=4，s4=7，s5=11，当n≥3时，请猜想sn，sn−1，sn−2之间满足的数量关系，并给出证明．18．（23-24九年级上·福建宁德·期中）已知关于x的方程x2−m+2x+4m=0有两个实数根x1,x2，其中x10，∴不论k为何值，关于x的一元二次方程kx2+2x+1−2k=0都有两个实数根x1，x2，∵关于x的一元二次方程kx2+2x+1−2k=0有两个实数根x1，x2，∴x1+x2=−2k,x1x2=1−2kk，分两种情况：①若两根同号，由x1+x2=22可得：x1+x2=22，或x1+x2=−22，当x1+x2=22时，则−2k=22，解得k=−22；当x1+x2=−22时，则−2k=−22，解得k=22；②若两根异号，由x1+x2=22可得：(x1−x2)2=8，即x1+x22−4x1x2=8，∴−2k2−4×1−2kk=8，解得：k=1， 综上，k的值为1或 ±22；（2）∵关于x的一元二次方程kx2+2x+1−2k=0有两个实数根x1，x2，∴x1+x2=−2k,x1x2=1−2kk，若x1，x2均为整数，则x1+x2=−2k为整数，∴整数k=±1,±2，当k=±2时，x1x2=1−2kk不是整数，故应该舍去；当k=1时，此时方程为x2+2x−1=0，方程的两个根不是整数，故舍去；当k=−1时，此时方程为−x2+2x+3=0，方程的两个根为x1=−1,x2=3，都是整数，符合题意；综上，当k取−1时，x1，x2均为整数；（3）显然，当k=−1时，符合题意；当k为有理数时，由于x1x2=1−2kk=1k−2为整数，∴k应该是整数的倒数，不妨设k=1m (m≠0)，m为整数，则方程kx2+2x+1−2k=0即为x2+2mx+m−2=0，配方得：x+m2=m2−m+2，即x=−m±m2−m+2，当m=2即k=12时，方程的两根为x1=0,x2=−4，都是整数，符合题意；当m≠2时，m2−m+2=(m−12)2+74不是完全平方数，故不存在其它整数m的值使上式成立；综上，k=−1或12．学霸必刷1．（22-23九年级上·湖北襄阳·自主招生）设方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根x1和x2，且10，∴p2+3p+2>0，∴p+1p+3>0，∴p=−1不符合题意，∴p1+p3=−34∴符合题意，故选B．3．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）若关于x的一元二次方程x2−2x+a2+b2+ab=0的两个根为x1=m，x2=n，且a+b=1．下列说法正确的个数为（　　）①m·n＞0；②m>0，n>0；③a2≥a；④关于x的一元二次方程x+12+a2−a=0的两个根为x1=m−2，x2=n−2．A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】根据根与系数的关系得x1x2=mn=a2+b2+ab，利用a+b=1消去b得到mn=a2−a+1=a−122+34>0，从而即可对①进行判断；由于x1+x2=m+n=2>0，x1x2=mn>0，利用有理数的性质可对②进行判断；根据根的判别式的意义得到Δ=4−4a2+b2+ab≥0，即4−4a2−a+1≥0，则可对③进行判断；利用a2+b2+ab=a2−a+1把方程x2−2x+a2+b2+ab=0化为x−12+a2−a+1=0，由于方程x−12+a2−a=0可变形为x+2−12+a2−a=0，所以x+2=m或x+2=n，于是可对④进行判断．【解题过程】解：根据根与系数的关系得x1x2=mn=a2+b2+ab，∵a+b=1，∴b=1−a，∴mn=a2+1−a2+a1−a=a2−a+1=a−122+34>0，所以①正确；∵x1+x2=m+n=2>0，x1x2=mn>0，∴m>0，n>0，所以②正确；∵Δ≥0，∴4−4a2+b2+ab≥0，即4−4a2−a+1≥0，∴a≥a2，所以③错误；∵a2+b2+ab=a2−a+1，∴方程x2−2x+a2+b2+ab=0化为x−12+a2−a+1=0，即x−12+a2−a=0，∵方程x+12+a2−a=0可变形为x+2−12+a2−a=0，∴x+2=m或x+2=n，解得x1=m−2，x2=n−2，所以④正确．故选：C．4．（22-23九年级上·浙江·自主招生）设a、b、c、d是4个两两不同的实数，若a、b是方程x2−8cx−9d=0的解，c、d是方程x2−8ax−9b=0的解，则a+b+c+d的值为 ．【思路点拨】由根与系数的关系得a+b，c+d的值，两式相加得的值，根据一元二次方程根的定义可得a2−8ac−9d=0，代入可得a2−72a+9c−8ac=0，同理可得c2−72c+9a−8ac=0，两式相减即可得a+c的值，进而可得a+b+c+d的值．【解题过程】解：由根与系数的关系得a+b=8c，c+d=8a，两式相加得a+b+c+d=8a+c．    因为a是方程x2−8cx−9d=0的根，所以a2−8ac−9d=0，又d=8a−c，所以a2−72a+9c−8ac=0①            同理可得c2−72c+9a−8ac=0②            ①-②得a−ca+c−81=0．因为a≠c，所以a+c=81，所以a+b+c+d=8a+c=648．故答案为648．5．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）已知实数a,b,c满足：a+b+c=2,abc=4．求a+b+c的最小值 【思路点拨】用分类讨论的思想，解决问题即可．【解题过程】解：不妨设a是a，b，c中的最大者，即a≥b，a≥c，由题设知a>0，且b+c=2−a，bc=4a，于是b，c是一元二次方程x2−2−ax+4a=0的两实根，∴Δ=2−a2−4×4a≥0，即a2+4a−4≥0，所以a≥4．又当a=4，b=c=−1时，满足题意．故a，b，c中最大者的最小值为4．因为abc=4>0，所以a，b，c为全大于0或一正二负．①若a，b，c均大于0，a，b，c中的最大者不小于4，这与a+b+c=2矛盾．②若a，b，c为或一正二负，不妨设a>0，b<0，c<0，则a+b+c=a−b−c=a−2−a=2a−2，∵a≥4，故2a−2≥6，当a=4，b=c=−1时，满足题设条件且使得不等式等号成立．故a+b+c的最小值为6．故答案为：6．6．（22-23九年级上·四川成都·期末）将两个关于x的一元二次方程整理成ax+ℎ2+k＝0（a≠0，a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）与方程x+12−2=0是“同源二次方程”，且方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根为x1、x2，则b－2c＝ ，ax1+x1x2+ax2的最大值是 ．【思路点拨】利用ax2+bx+c=0（a≠0）与方程x+12−2=0是“同源二次方程”得出b=2a，c=a−2，即可求出b−2c；利用一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=−2，x1x2=a−2a，进而得出ax1+x1x2+ax2=−2a+1a+1，设a+1a=t（t>0），得a2−t⋅a+1=0，根据方程a2−t⋅a+1=0有正数解可知Δ=t2−4≥0，求出t的取值范围即可求出ax1+x1x2+ax2的最大值．【解题过程】解：根据新的定义可知，方程ax2+bx+c=0（a≠0）可变形为ax+12−2=0，∴ax+12−2=ax2+bx+c，展开，ax2+2ax+a−2=ax2+bx+c，可得b=2a，c=a−2，∴b−2c=2a−2a−2=4；∵x1+x2=−2，x1x2=a−2a，∴ax1+x1x2+ax2=ax1+x2+x1x2=−2a+a−2a=−2a+1a+1，∵方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根为x1、x2，∴Δ=b2−4ac=2a2−4aa−2=8a≥0，且a≠0，∴a>0，设a+1a=t（t>0），得a2−t⋅a+1=0，∵方程a2−t⋅a+1=0有正数解，∴Δ=t2−4≥0，解得t≥2，即a+1a≥2，∴ax1+x1x2+ax2=−2a+1a+1≤−3．故答案为：4，-3．7．（23-24九年级上·山东济南·期末）已知xy+x+y=44，x2y+xy2=484，求x3+y3．【思路点拨】本题主要考查了代数式求值、一元二次方程的根与系数的关系、因式分解的应用等知识点，综合应用所学知识成为解题的关键．设xy=m，x+y=n，等量代换后可得44=m+n、484=mn， 则m、n为t2−44t+484=0的根，可解得m=n=22，然后再对x3+y3变形后将m=n=22代入计算即可．【解题过程】解：设xy=m，x+y=n，∴44=xy+x+y=m+n，484=x2y+xy2=xyx+y=mn， ∴m、n为t2−44t+484=0的根，∴m=n=22， ∴x3+y3=x+yx2+y2−xy      =x+yx+y2−3xy=nn2−3m=n3−3mn=9196．8．（2024九年级·全国·竞赛）记一元二次方程x2+3x−5=0的两根分别为x1、x2．（1）求1x1−1+1x2−1的值；（2）求3x12+6x1+x22的值．【思路点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解．在利用根与系数的关系x1⋅x2=ca，x1+x2=−ba时，需要弄清楚a、b、c的意义．（1）利用根与系数的关系求得求1x1−1+1x2−1的值的值；（2）由一元二次方程的解可得x12+3x1−5=0,再利用根与系数的关系求解即可．【解题过程】（1）∵x1+x2=−3,x1x2=−5，∴1x1−1+1x2−1=x2−1+x1−1x1−1x2−1=x1+x2−2x1x2−x1+x2+1=−3−2−5−(−3)+1=5；（2）∵ x1是一元二次方程x2+3x−5=0的根，∴x12+3x1−5=0,∴x12+3x1=5，又∵x1+x2=−3,x1x2=−5，∴3x12+6x1+x22=2x12+3x1+x1+x22−2x1x2=29．9．（23-24九年级下·北京·开学考试）已知关于x的方程x2−2mx+m2−n=0有两个不相等的实数根．（1）求n的取值范围；（2）若n为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的3倍，求m的值．【思路点拨】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当判别式Δ>0时方程有两个不相等的实数根，Δ=0时方程有两个相等的实数根，Δ<0时方程没有实数根，若方程的两个实数根为x1、x2，则x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．（1）根据方程x2−2mx+m2−n=0有两个不相等的实数根得出判别式Δ>0，列出不等式即可得答案；（2）根据（1）中结果得出n值，利用一元二次方程根与系数的关系列方程求出m的值即可．【解题过程】（1）解：∵关于x的方程x2−2mx+m2−n=0有两个不相等的实数根，∴Δ=(−2m)2−4(m2−n)>0，解得：n>0．（2）设方程的两个实数根为x1、x2，且x1>x2，∴x1+x2=2m，x1⋅x2=m2−n，由（1）可知：n>0，∵n为符合条件的最小整数，∴n=1，∵该方程的较大根是较小根的3倍，∴x1=3x2，∴4x2=2m，3x22=m2−1，∴3×m24=m2−1，解得：m1=−2，m2=2．当m=2时，x2=1，则x1=3x2=3，符合题意，当m=−2时，x2=−1，则x1=3x2=−3x2不符，舍去，∴m=2．10．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）若关于x的一元二次方程x2+2x−m2−m=0．（1）若α和β分别是该方程的两个根，且αβ=−2，求m的值；（2）当m=1，2，3，⋅⋅⋅，2024时，相应的一元二次方程的两个根分别记为α1、β1，α2、β2，⋅⋅⋅，α2024、β2024，求1α1+1β1+1α2+1β2+⋯+1α2024+1β2024的值．【思路点拨】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系进行求解即可；（2）根据一元二次方程的根与系数的关系x1+x2=−ba,x1⋅x2=ca可得：1x1+1x2=x1+x2x1⋅x2=2m2+m，进一步可寻找1α2024+1β2024的规律，即可求解．【解题过程】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2+2x−m2−m=0，α和β分别是该方程的两个根，∴αβ=−m2−m∵αβ=−2，∴−2=−m2−m∴m=1或m=−2；（2）解：设方程x2+2x−m2−m=0的两个根为：x1,x2则x1+x2=−ba=−2,x1⋅x2=ca=−m2−m，∴1x1+1x2=x1+x2x1·x2=2m2+m=2mm+1∴1α1+1β1=21×2，1α2+1β2=22×3，1α3+1β3=23×4…．．1α2024+1β2024=22024×2025∴1α1+1β1+1α2+1β2+⋯+1α2024+1β2024=2×11×2+12×3+...+12024×2025=2×1−12+12−13+...+12024−12025=2×1−12025=4048202511．（22-23九年级上·湖北武汉·期中）已知α、β是关于x的一元二次方程x2+2m+3x+m2=0的两个不相等的实数根（1）直接写出m的取值范围（2）若满足1α+1β=−1，求m的值．（3）若α>2，求证：β>2；【思路点拨】（1）根据一元二次方程x2+2m+3x+m2=0的两个不相等的实数根，得Δ>0，即可列式作答；（2）结合一元二次方程根与系数的关系，得α+β=−2m+3和αβ=m2，因为1α+1β=−1，所以2m+3m2=1，解得m1=3，m2=−1，结合m>−34，即可作答；（3）因为α−2β−2=αβ−2α+β+4，结合α+β=−2m+3和αβ=m2，得m2+22m+3+4=m+22+6，则α−2β−2≥6>0，又因为α>2，即可证明β>2．【解题过程】（1）解：∵一元二次方程x2+2m+3x+m2=0的两个不相等的实数根∴Δ=b2−4ac=2m+32−4×1×m2=4m2+12m+9−4m2=12m+9>0，即m>−34；（2）解：∵1α+1β=βαβ+ααβ=α+βαβ=−1，且α+β=−ba=−2m+3，αβ=ca=m2∴2m+3m2=1整理得m2−2m−3=0，解得：m1=3，m2=−1∵由（1）知m>−34，∴m=3检验：当m=3时，m2≠0，即m=3；（3）证明：因为α−2β−2=αβ−2α+β+4，把α+β=−2m+3和αβ=m2代入上式，得m2+22m+3+4=m2+4m+10=m+22+6，∵m+22≥0，∴m+22+6≥6∴α−2β−2≥6>0∵α>2，∴α−2>0，∴β−2>0，即β>2．12．（22-23九年级·浙江·自主招生）已知方程x2+4x+1=0的两根是α、β．（1）求|α−β|的值；（2）求αβ+βα的值；（3）求作一个新的一元二次方程，使其两根分别等于α、β的倒数的立方．（参考公式：x3+y3=(x+y)x2+y2−xy．【思路点拨】（1）利用一元二次方程根与系数的关系可得α+β=−4,αβ=1，再求得α−β2的值，进而求得|α−β|的值．（2）先根据二次根式的性质将αβ+βα化为αβ+βα，然后通分化简可得α+βαβ，最后将α+β=−4,αβ=1代入计算即可；（3）由题意可得新一元二次方程的两个根为1α3和1β3，然后求得1α3+1β3和1α31β3的值，然后根据一元二次方程根与系数的关系即可解答．【解题过程】（1）解：∵方程x2+4x+1=0的两根是α、β∴α+β=−4,αβ=1∴α−β2=α+β2−4αβ=12∴|α−β|=23；（2）解：由（1）可知：α<0，β<0，∵αβ+βα2=αβ+βα+2=α2+β2αβ+2=α+β2−2αβαβ+2=16，∴αβ+βα=4（负值舍去）；（3）解：由题意可得新一元二次方程的两个根为1α3和1β3则1α3+1β3=(1α+1β)1α2+1β2−1αβ=α+βαβα2+β2α2β2−1αβ=α+βαβα+β2−2αβα2β2−1αβ=−4116−212−1=−521α31β3=1αβ3=1所以新的一元二次方程x2+52x+1=0．13．（22-23九年级上·福建泉州·期末）已知关于x的方程mx2−m−1x+2=0有实数根．（1）若方程的两根之和为整数，求m的值；（2）若方程的根为有理根，求整数m的值．【思路点拨】（1）根据关于x的方程mx2−m−1x+2=0有两个根，且为实数根，先利用一元二次方程的根的判别式确定m的取值范围，再根据一元二次方程的根与系数的关系，可知x1+x2=m−1m，若方程的两根之和为整数，即m−1m为整数，即可确定m的值；（2）分两种情况讨论：当m=0时，此时关于x的方程为x+2=0，求解可得x=−2，符合题意；当m≠0时，对于关于x的方程mx2−m−1x+2=0可有x=(m−1)±m2−10m+12m，若方程的根为有理根，且m为整数，则Δ=m2−10m+1为某一有理数的平方，据此分析即可获得答案．【解题过程】（1）解：∵关于x的方程mx2−m−1x+2=0有两个根，且为实数根，∴m≠0，且Δ=[−(m−1)]2−4m×2=m2−10m+1≥0，根据一元二次方程的根与系数的关系，可知x1+x2=−−(m−1)m=m−1m，若方程的两根之和为整数，即m−1m为整数，∵m−1m=1−1m，∴1m是整数，∴m=±1，当m=1时，Δ=1−10+1=−8<0，不符合题意；当m=−1时，Δ=1+10+1=12>0，m−1m=−1−1−1=2，为整数，符合题意；∴m的值为−1；（2）当m=0时，此时关于x的方程为x+2=0，解得x=−2；当m≠0时，对于关于x的方程mx2−m−1x+2=0的根为：x=(m−1)±m2−10m+12m，若方程的根为有理根，且m为整数，则Δ=m2−10m+1为完全平方数，设m2−10m+1=k2（k为正整数），则：m=10±100−4+4k22=5±24+k2，∵m为整数，设24+k2=n2（n为正整数），∴k+nn−k=24，∴k+n=12n−k=2或k+n=6n−k=4或k+n=8n−k=3或k+n=24n−k=1，解得：k=5n=7或k=1n=5或k=52n=112（不合题意，舍去）或k=232n=252（不合题意，舍去）∴m2−10m+1=12=1或m2−10m+1=52=25；当m2−10m+1=1时，解得m=10或m=0（舍去）；当m2−10m+1=25时，解得m=−2或m=12，综上所述，若方程的根为有理根，则整数m的值为0或10或−2或12．14．（22-23九年级下·浙江·自主招生）设m为整数，关于x的方程m2+m−2x2−7m+2x+12=0有两个整数实根．（1）求m的值．（2）设△ABC的三边长a,b,c满足c=42,m2+a2m−12a=0,m2+b2m−12b=0．求△ABC的面积．【思路点拨】（1）设原方程的两个解分别为x1,x2，根据两个整数实根，则x1+x2=7m+2m2+m−2,x1x2=12m2+m−2都是整数，进而分类讨论，即可求解；（2）由（1）得出的m的值，然后代入将m2+a2m−12a=0，m2+b2m−12b=0进行化简，得出a，b的值．然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a，b的值，用三角形的面积公式得出三角形的面积．【解题过程】（1）解：∵m2+m−2≠0，∴m≠−2或m=1，∵方程有两个实数根，∴Δ=b2−4ac=−7m+22−4×12×m2+m−12=m2−20m+580=m−102+480>0设原方程的两个解分别为x1,x2∴x1+x2=7m+2m2+m−2,x1x2=12m2+m−2都是整数，∴m2+m−2=1,2,3,4,6,12m2+m−2=1，解得：m=−1±132（舍去）m2+m−2=2，解得：m=−1±172（舍去）m2+m−2=3，解得：m=−1±212（舍去）m2+m−2=4，解得：m=−3或m=2m2+m−2=6，解得：m=−1±332（舍去）m2+m−2=12，解得：m=−1±1292（舍去）当m=−3时，7m+2m2+m−2=−21+24=−194不是整数，舍去当m=2时，7m+2m2+m−2=14+24=4符合题意，综上所述，m=2；（2）把m=2代入两等式，化简得a2−6a+2=0，b2−6b+2=0，当a=b时，a=b=3±7，当a≠b时，a、b是方程x2−6x+2=0的两根，而Δ>0，根据根与系数的关系可得，a+b=6>0，ab=2>0，则a>0、b>0，①a≠b，c=42时，由于a2+b2=(a+b)2−2ab=36−4=32=c2，故△ABC为直角三角形，且∠C=90°，SΔABC=12ab=1；②a=b=3−7，c=42时，因2(3−7)<42，故不能构成三角形，不合题意，舍去；；③a=b=3+7，c=42时，因2(3+7)>42，故能构成三角形，SΔABC=12×42×3+72−222=44+37；综上，△ABC的面积为1或44+37．15．（22-23九年级上·湖南常德·期中）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．材料2：已知一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．解：∵一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m，n，∴m+n=1，mn=−1，则m2n+mn2=mn(m+n)=−1×1=−1．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）材料理解：一元二次方程x2−3x−1=0的两个根为x1，x2，则x1+x2=___________，x1x2=___________．（2）类比应用：已知一元二次方程x2−3x−1=0的两根分别为m、n，求nm+mn的值．（3）思维拓展：已知实数s、t满足s2−3s−1=0，t2−3t−1=0，且s≠t，求1s−1t的值．【思路点拨】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；（2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出m+n=−ba=3，mn=ca=−1，再根据nm+mn=m2+n2mn=m+n2−2mnmn，最后代入求值即可；（3）由题意可将s、t可以看作方程x2−3x−1=0的两个根，即得出s+t=−ba=3，s⋅t=ca=−1，从而可求出t−s2=t+s2−4st=13，即t−s=13或t−s=−13，最后分类讨论分别代入求值即可．【解题过程】（1）解：∵一元二次方程x2−3x−1=0的两个根为x1，x2，∴x1+x2=−ba=−−31=3，x1⋅x2=ca=−11=−1．故答案为：3，−1；（2）∵一元二次方程x2−3x−1=0的两根分别为m、n，∴m+n=−ba=3，mn=ca=−1，∴nm+mn=m2+n2mn=m+n2−2mnmn=32−2×−1−1=−11；（3）∵实数s、t满足s2−3s−1=0，t2−3t−1=0，∴s、t可以看作方程x2−3x−1=0的两个根，∴s+t=−ba=3，st=ca=−1，∵t−s2=t+s2−4st=32−4×−1=13∴t−s=13或t−s=−13，当t−s=13时，1s−1t=t−sst=13−1=−13，当t−s=−13时，1s−1t=t−sst=−13−1=13，综上分析可知，1s−1t的值为13或−13．16．（23-24八年级上·北京海淀·期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当mx+n=0或px+q=0时，多项式A=mx+npx+q=mpx2+mq+npx+nq的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点．（1）已知多项式3x+1x−2，则此多项式的零点为__________；（2）已知多项式B=x−1bx+c=ax2−a−1x−a2有一个零点为1，求多项式B的另一个零点；（3）小聪继续研究x−3x−1，xx−4及x−52x−32等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线x=2对称，他把这些多项式称为“2系多项式”．若多项式M=2ax+bcx−5c=bx2−4cx−2a−4是“2系多项式”，求a与c的值．【思路点拨】（1）根据多项式的零点的定义即可求解；（2）根据多项式的零点的定义将x=1代入ax2−a−1x−a2=0，求得a=2，再解一元二次方程即可求解；（3）令cx−5c=0，求得M的一个零点为5，根据“2系多项式”的定义求得方程bx2−4cx−2a−4=0的两个根为x1=−1，x2=5，再利用根与系数的关系即可求解．【解题过程】（1）解：令3x+1x−2=0，∴3x+1=0或x−2=0，∴x=−13或x=2， 则此多项式的零点为−13或2；故答案为：−13或2；（2）解：∵多项式B=x−1bx+c=ax2−a−1x−a2有一个零点为1，∴将x=1代入ax2−a−1x−a2=0，得a−a−1−a2=0，解得a=2，∴B=2x2−x−1=x−12x+1，令2x+1=0，解得x=−12，∴多项式B的另一个零点为−12；（3）解：∵M=2ax+bcx−5c=bx2−4cx−2a−4是“2系多项式”，令cx−5c=0，解得x=5，即M的一个零点为5，∴设M的另一个零点为y，则y+52=2，解得y=−1，即2ax+b=0时，x=−1，则−2a+b=0①，令M=bx2−4cx−2a−4=0，根据题意，方程bx2−4cx−2a−4=0的两个根为x1=−1，x2=5，∴x1+x2=−−4cb=5+−1=4，x1⋅x2=−2a−4b=5×−1=−5，∴c=b②，5b−2a−4=0③，解①②③得c=b=1，a=12，∴a=12，c=1．17．（22-23九年级上·湖北黄石·期末）（1）x1，x2是关于x的一元二次方程x2−2k+1x+k2+2=0的两实根，且x1+1⋅x2+1=8，求k的值．（2）已知：α，βα>β是一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根，设s1=α+β，s2=α2+β2，…，sn=αn+βn．根据根的定义，有α2−α−1=0，β2−β−1=0，将两式相加，得α2+β2−α+β−2=0，于是，得s2−s1−2=0．根据以上信息，解答下列问题：①直接写出s1，s2的值．②经计算可得：s3=4，s4=7，s5=11，当n≥3时，请猜想sn，sn−1，sn−2之间满足的数量关系，并给出证明．【思路点拨】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可得出x1+x2=2k+1，x1x2=k2+2．由x1+1x2+1=8，可得x1x2+x1+x2+1=8，即得出关于k的一元二次方程，解出k的值，再根据一元二次方程根的判别式验证，舍去不合题意的值即可；（2）①根据一元二次方程根与系数的关系可得出α+β=−ba=1，αβ=ca=−1，进而可求出s1=α+β=1，s2=α2+β2=(α+β)2−2αβ=3；②由一元二次方程的解的定义可得出α2−α−1=0，两边都乘以αn−2，得：αn−αn−1−αn−2=0①，同理可得：βn−βn−1−βn−2=0②，再由①+②，得：αn+βn−αn−1+βn−1−αn−2+βn−2=0．最后结合题意即可得出sn−sn−1−sn−2=αn+βn−αn−1+βn−1−αn−2+βn−2=0，即sn=sn−1+sn−2．【解题过程】解：（1）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2−2k+1x+k2+2=0的两实根，∴x1+x2=−ba=−−2k+11=2k+1，x1x2=ca=k2+21=k2+2，∴x1+1x2+1=x1x2+x1+x2+1=k2+2+2k+1+1=8，整理，得：k2+2k−3=0，解得：k1=−3，k2=1．当k=−3时，Δ=b2−4ac=−2k+12−4k2+2=−2−3+12−4−32+2=−28<0，∴此时原方程没有实数根，∴k=−3不符合题意；当k=1时，Δ=b2−4ac=−2k+12−4k2+2=−2×1+12−412+2=4>0，∴此时原方程有两个不相等的实数根，∴k=1符合题意，∴k的值为1； （2）①∵x2−x−1=0，∴a=1，b=−1，c=−1．∵α，βα>β是一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根，∴α+β=−ba=1，αβ=ca=−1，∴s1=α+β=1，s2=α2+β2=(α+β)2−2αβ=12−2×(−1)=3；②猜想：sn=sn−1+sn−2． 证明：根据一元二次方程根的定义可得出α2−α−1=0，两边都乘以αn−2，得：αn−αn−1−αn−2=0①，同理可得：βn−βn−1−βn−2=0②，由①+②，得：αn+βn−αn−1+βn−1−αn−2+βn−2=0，∵sn=αn+βn，sn−1=αn−1+βn−1，sn−2=αn−2+βn−2，∴sn−sn−1−sn−2=αn+βn−αn−1+βn−1−αn−2+βn−2=0，即sn=sn−1+sn−2．18．（23-24九年级上·福建宁德·期中）已知关于x的方程x2−m+2x+4m=0有两个实数根x1,x2，其中x1m−k−6，然后分三种情况取值即可解答；【解题过程】（1）当m=−1时，方程为x2−x−4=0，Δ=b2−4ac=−12−4×1×−4=17>0，∴x1+x2=−ba=1，x1⋅x2=ca=−4，即x12+x22=x1+x22−2x1x2=12−2×−4=9；（2）将Ax1,y1,Bx2,y2代入y=3x+1可得Ax1，3x1+1，Bx2，3x2+1，又Δ=m+22−4×4m>0，故x1+x2=m+2,x1⋅x2=4m，AB2=x1−x22+y1−y22=10x1−x22，即10x1−x22=10，x1−x22=1，x1−x22=x1+x22−4x1x2=1，m+22−4×4m=1，m−62=33，m1=6+33,m2=6−33；（3）∵直角三角形两直角边x1,x2为整数，∴Δ=b2−4ac=m+22−4×4m=m2−12m+4为平方数，不妨令m2−12m+4=k2(k为正整数)，m−62−32=k2，m+k−6m−k−6=32，m+k−6>m−k−6，当①∴m+k−6=32,m−k−6=1，解得m=452（不合题意舍去）；当②m+k−6=16,m−k−6=2，解得m=15，∴方程x2−17x+60=0，x1=12,x2=5，则斜边为13，即S=x1⋅x22=30；当③m+k−6=8,m−k−6=4，解得m=12，∴方程x2−14x+48=0，x1=6,x2=8，则斜边为10，即S=x1⋅x22=24，综上所述：该直角三角形的面积为30或24．19．（22-23九年级上·全国·单元测试）如果方程x2+px+q=0有两个实数根x1，x2，那么x1+x2=−p，x1x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知a，b是方程x2+15x+5=0的二根，则ab+ba=?（2）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．（3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知x=x1y=y1和x=x2y=y2是关于x，y的方程组x2−y+k=0x−y=1的两个不相等的实数解．问：是否存在实数k，使得y1y2−x1x2−x2x1=2？若存在，求出的k值，若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）根据a，b是方程x2+15x+5=0的二根，求出a+b，ab的值，即可求出ab+ba的值；（2）根据a+b+c=0，abc=16，得出a+b=−c，ab=16c，a、b是方程x2+cx+16c=0的解，再根据c2−4×16c≥0，即可求出c的最小值；（3）运用根与系数的关系求出x1+x2=1，x1x2=k+1，再解y1y2−x1x2−x2x1=2，即可求出k的值．【解题过程】（1）解：∵a，b是方程x2+15x+5=0的二根，∴a+b=−15，ab=5，∴ab+ba=a+b2−2abab=−152−2×55=43，∴ab+ba=43；（2）∵a+b+c=0，abc=16，∴a+b=−c，ab=16c，∴a、b是方程x2+cx+16c=0的解，∴c2−4×16c≥0，∴c2−43c≥0，∵c是正数，∴c3−43≥0，∴c3≥43，∴c≥4，∴正数c的最小值是4；（3）存在，当k=−2时，y1y2−x1x2−x2x1=2．理由如下：∵x2−y+k=0①x−y=1②，由①得：y=x2+k，由②得：y=x−1，∴x2+k=x−1，即x2−x+k+1=0，由题意思可知，x1，x2是方程x2−x+k+1=0的两个不相等的实数根，∴−12−4k+1>0x1+x2=1x1x2=k+1，则k<−34，∵x=x1y=y1和x=x2y=y2是关于x，y的方程组x2−y+k=0x−y=1的两个不相等的实数解，∴y1y2=x1−1x2−1，∴y1y2−x1x2−x2x1=x1−1x2−1−x1+x22−2x1x2x1x2=2，∴x1x2−x1+x2+1−x1+x22−2x1x2x1x2=2，∴k+1−1+1−1−2k+1k+1=2，整理得：k2+2k=0，解得：k1=−2，k2=0（舍去），∴k的值为−2．20．（22-23九年级上·四川资阳·期末）定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个实数根，若x10，m<0且m≠−1，可求出m的取值范围．最后分类讨论即可求解．【解题过程】（1）解：x2+9x+14=0，x+2x+7=0，∴x+2=0或x+7=0，∴x1=−7，x2=−2．∵−7<−2，3<−7−2=72<4，∴此方程为“限根方程”；（2）∵方程2x2+k+7x+k2+3=0的两个根分比为x1、x2，∴x1+x2=−k+72，x1x2=k2+32 ．∵x1+x2+x1x2=−1，∴−k+72+k2+32=−1，解得：k1=2，k2=−1．分类讨论：①当k=2时，原方程为2x2+9x+7=0，∴x1=−72，x2=−1，∴x10，m<0且m≠−1，∴1−m2+4m>0，即1+m2>0，∴m<0且m≠−1．分类讨论：①当−1