北师大版2024-2025学年九年级数学上册专题1.6特殊四边形中的动点问题五大题型(50题)专题特训（学生版+教师版）

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专题1.6 特殊四边形中的动点问题五大题型（50题）【北师大版】【题型1 与矩形有关的动点问题】1．（2024·河北唐山·二模）如图，在矩形ABCD中，动点E，F分别从点D，B同时出发，沿DA，BC向终点A，C移动．要使四边形AECF为平行四边形，甲、乙分别给出了一个条件，下列判断正确的是（    ）甲：点E，F的运动速度相同；乙：AF=CEA．甲、乙都可行 B．甲、乙都不可行C．甲可行，乙不可行 D．甲不可行，乙可行2．（23-24九年级·广东潮州·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=10cm，点E在线段AD上，且AE=6cm，动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段BC上．以vcm/s的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBQ全等时，v的值为（    ）A．2 B．4 C．4或65 D．2或1253．（23-24九年级·江苏扬州·期中）如图，点E是矩形ABCD边CD上一点，连接BE，将△CEB沿BE翻折，点C落在点F处，∠ABF的角平分线与EF的延长线交于点M，若AB=3，BC=6，当点E从点C运动到点D时，则点M运动的路径长是（    ）  A．2 B．3 C．4 D．54．（2024九年级·全国·专题练习）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA=OB=OC=OD，点E从点B开始，沿四边形的边BA−AD运动至点D停止，CE与BD相交于点N，点F是线段CE的中点．连接OF，下列选项不正确的是（　　）  A．四边形ABCD是矩形B．当点E是AB的中点时， OF=14CDC．当AB=6，BC=8时，线段OF长度的最大值为4D．当点E在边AB上，且∠COF=60°时，△OFN是等边三角形5．（23-24九年级·浙江台州·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=4，∠ACB=30°．点P从点A出发沿AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点C出发沿CA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动．连接PQ，当时间是1秒时，PQ的长度是（    ）  A．41 B．6 C．31 D．46．（2024·河南·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，点E是边AB延长线上一点，BE=8，点M从点E出发，先以每秒2个单位长的速度向点B运动，点到达点B后，再以每秒6个单位长的速度沿射线BE方向运动，同时点N从点D出发，沿射线DC方向以每秒4个单位长的速度运动，设运动时间为t（s），若以E，M，C，N为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为（    ）A．1或3 B．3或13 C．1或13 D．1或3或137．（23-24九年级·四川自贡·期末）如图．在四边形ABCD中，AD ∥ BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=10cm．BC=12cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以4cm/s的速度在线段BC上来回运动，当点P当到达点D时，P、O两点停止运动．在此运动过程中，出现PQ ∥ CD和PQ=CD的次数分别是（    ）A．3，6 B．3，7 C．4，6 D．4，78．（23-24九年级·天津蓟州·期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=12，BC=18，点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度向点A运动，点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P运动时间为t秒．(1)当点P运动停止时，t=______，线段DP的长为______；(2)①用含t的式子填空：DP=______，BQ=______，AP=______；② t为何值时，四边形ABQP为矩形，求出t的值；(3)在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．9．（23-24九年级·云南昭通·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=11，延长BC到点E，使CE=8．连接DE．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿折线BC−CD向终点D运动，设点P运动的时间为t秒(t>0)．(1)求DE的长；(2)连接AP，当四边形APED是平行四边形时，求t的值；(3)连接BP、PD，设四边形ABPD的面积为S，求S与t之间的函数关系式．10．（23-24九年级·浙江温州·期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，AB=62cm，AD=CD=10cm．(1)求BC的长；(2)点P从点A开始沿着AD边向点D以1cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿着CB边向点B以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，C同时出发，当点P运动到点D时，点Q也随之停止运动．若设运动的时间为t秒，当PQ与四边形ABCD的其中一边平行时，求此时t的值．(3)如图，点E，G分别在边AB，AD上，将△AEG沿EG折叠，点A恰好落在BC边上的点F处．若5BE=AE，则AG长度为 ．【题型2 与菱形形有关的动点问题】11．（23-24九年级·北京·期中）在菱形ABCD中，∠BAD=120°，动点P在直线BC上运动，作∠APM=60°，且直线PM与直线CD相交于点G,G点到直线BC的距离为GH．(1)证明：∠BAP=∠GPC；(2)若P在线段BC上运动，求证：CP=DG；(3)若P在线段BC上运动，探求线段AC,CP,CH的一个数量关系，并证明你的结论．12．（23-24九年级·江苏苏州·期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=16，∠BAD=60°，点E从点A 出发，沿AB以每秒4个单位长度的速度向终点B运动，当点E与点A不重合时，过点E作EF⊥AD于点F，作EG∥AD交AC于点G，过点G作射线AD垂线段GH，垂足为点H，得到矩形EFHG，设点E的运动时间为t秒．(1)当点H与点D重合时，t=　　；(2)设矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；(3)设矩形EFHG的对角线EH与FG相交于点O′，①当OO′∥AD时，t的值为　　；②当OO′⊥AD时，求出t的值．13．（23-24九年级·广西柳州·期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，AD=12cm，AB=18cm，CD=23cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿折线B−C−D向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒.  (1)当t为何值时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？(2)只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形PBCQ为菱形，则点O的运动速度应为多少？14．（23-24九年级·江苏无锡·期中）如图1，在菱形ABCD中，∠ABC = 60°，对角线AC、BD交于点O，P从B点出发，沿B→D→C方向匀速运动，P点运动速度为1 cm/s．图2是点P运动时，△APC的面积y（cm2）随P点运动时间x（s）变化的函数图像．(1)AB = cm，a = ；(2)P点在BD上运动时，x为何值时，四边形ADCP的面积为433；(3)在P点运动过程中，是否存在某一时刻使得△APB为直角三角形，若存在，求x的值；若不存在，请说明理由．15．（23-24九年级·全国·课后作业）已知点P，Q分别在菱形ABCD的边BC，CD上运动（点P不与B，C重合），且∠PAQ=∠B．(1)如图①，若AP⊥BC，求证：AP=AQ；(2)如图②，若AP与BC不垂直，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．16．（23-24九年级·广东广州·期中）已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P为菱形内部或边上一点．(1)如图1，若点P在对角线BD上运动，以AP为边向右侧作等边△APE，点E在菱形ABCD内部或边上，连接CE，求证：BP=CE．(2)如图2，若点P在对角线BD上运动，以AP为边向右侧作等边△APE，点E在菱形ABCD的外部，若AB=4，DP=1，求CE；(3)如图3，若∠APB=60°，点E，F分别在AP，BP上，且AE=BF，连接AF，EF，∠AFE=30°，求证：AF2+FE2=AB2．17．（23-24九年级·江苏徐州·期中）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE=AD，且BE⊥DC．(1)求证：四边形DBCE为菱形；(2)若△DBC是边长为1的等边三角形，点P、M、N分别在线段DC、DE、CE上运动，求PM+PN的最小值．18．（23-24九年级·河北廊坊·期中）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E，F分别是边AB、BC上的点，且∠EDF=60°．(1)若点E是AB的中点，则DE与DF之间的数量关系为______；(2)若点E不是AB的中点，判断DE与DF之间的数量关系并说明理由；(3)若AB=4，直接写出△EDF周长的最小值；(4)当点E在AB边上运动时，小亮发现，四边形DEBF的面积保持不变，请你帮助小亮验证他的发现．19．（23-24九年级·辽宁沈阳·期末）如图1，已知△ABD≌△CBD,AB=AD,CB=CD，点E从点A出发，沿A→D→B的方向以1cm/s的速度匀速运动到点B． 图2是点E运动时△EBC的面积ycm2随时间xs变化的关系图象． (1)BD=__________；(2)求a的值．20．（23-24九年级·重庆北碚·期中）如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠A=60°．点P，Q分别以每秒2个单位长度的速度同时从点A出发，点P沿折线A→D→C方向匀速运动，点Q沿折线A→B→C方向匀速运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为x秒，点P，Q的距离为y．(1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)结合函数图象，直接写出当y≤4时x的取值范围．【题型3 与正方形有关的动点问题】21．（2024·山东临沂·一模）在正方形ABCD中，E是BC边上一点（点E不与点B，C重合），AE⊥EF，垂足为点E，EF与正方形的外角∠DCG的平分线交于点F．(1)如图1，若点E是BC的中点，猜想AE与EF的数量关系是_________；证明此猜想时，可取AB的中点P，连接EP，根据此图形易证△AEP≌△EFC，则判断△AEP≌△EFC的依据是_______．(2)点E在BC边上运动，如图2，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由．22．（23-24九年级·广东广州·期中）如图，在正方形ABCD中，点M在CD边上，点N在正方形ABCD外部，且满足∠CMN=90°，CM=MN，连接AN，CN，取AN的中点E，连接BE，AC，交于F点．(1)依题意补全图形；(2)求∠ABE的度数；(3)设AB=2，若点M沿着线段CD从点C运动到点D，则在该运动过程中，线段EN所扫过的面积为多少？23．（23-24九年级·河南周口·期末）正方形ABCD的边长为4，点E从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BC向点C运动．AE交BD于点F，DG⊥AE于点G，∠DGE的平分线GH分别交BD，CD于点P，H，连接FH，FC．设点E的运动时间为t．（1）在点E的运动过程中，∠DHG与∠DFC有什么数量关系？请证明你的结论；（2）当AE把正方形ABCD的面积分成1:2两部分时，请直接写出t的值．24．（23-24九年级·山西太原·期中）综合与实践问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“大小不等的两个正方形”为主题开展数学活动，如图1，现有一个边长为6cm的正方形ABCD，点E从对角线AC的点A出发向点C运动，连接EB并延长至点F，使EF>AB，以EF为边在EF右侧作正方形EFGH，边EH与射线DC交于点M.操作发现（1）点E在运动过程中，判断线段BE与线段EM之间的数量关系，并说明理由；实践探究（2）在点E的运动过程中，某时刻正方形ABCD与正方形EFGH重叠的四边形EBCM的面积是16cm2，求此时AE的长；探究拓广（3）请借助备用图2，探究当点E不与点A，C重合时，线段AE，EC与MC之间存在的数量关系，请直接写出.25．（23-24九年级·山东烟台·期中）如图，正方形ABCD中，对角线AC＝8cm．射线AF⊥AC，垂足为A．动点P从点C出发在CA上运动，动点Q从点A出发在射线AF上运动，两点的运动速度都是2cm/s．若两点同时出发，多少时间后，四边形AQBP是特殊四边形？请说明特殊四边形的名称及理由．26．（23-24九年级·河南安阳·期末）【问题情境】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在正方形ABCD中，E是边BC上一动点（点E与点B，C不重合），连接AE，作AE⊥EP，EP与正方形的外角∠DCG的平分线交于P点．【思考尝试】（1）如图1，当E是边BC的中点时，观察并猜想AE与EP的数量关系：________；【实践探究】（2）小王同学受问题（1）的启发，提出了新的问题：如图2，在正方形ABCD中，若E是边BC上一动点（点E与点B，C不重合），那么问题（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；【拓展迁移】（3）小李同学深入研究了小王同学提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，当E在边BC上运动时（点E与点B，C不重合），连接DP，AP．若知道正方形的边长，则可以求出△ADP周长的最小值．当AB=4时，请你直接写出△ADP周长的最小值：________．（说明：备用图中CJ是外角∠DCG的平分线）27．（23-24九年级·吉林四平·期中）如图1，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=2．动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB向终点B运动，过点P作PE⊥AB交AC于点E．以PE为一边向右作正方形PEFG．设点P的运动时间为t秒．正方形PEFG与△ABC重叠部分图形的面积为S．(1)当t=12时，S=________；(2)当点F落在BC上时，t=________；(3)当t=32时，在图2中画出图形，并求出S的值；(4)连接CF，当△CEF是等腰三角形时，直接写出t的值．28．（23-24九年级·山东济南·期末）已知四边形ABCD是边长为8cm的正方形，P，Q是正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C方向运动，点Q同时从点D出发以1cm/s速度沿D→C方向运动．设点P运动的时间为t00秒．(1)求点C的坐标．(2)当t=1时，求△POQ的面积．(3)试探究在点 P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得以C，O，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出此时t的值与点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)3，33(2)932(3)存在，当t=1.5时，Q4.5，33，当t=3时，Q6，33【分析】（1）由题意知，OA=6，由菱形OABC，可得OC=OA=6，BC∥OA，如图，延长BC交y轴于D，则BD⊥y轴，即∠CDO=90°，∠COD=90°−∠COA=30°，CD=12OC=3，由勾股定理得，OD=OC2−CD2=33，进而可求C3，33；（2）由题意知，t=1时，AP=3，CQ=1，则OP=3，Q4，33，根据S△POQ=12OP×yQ，计算求解即可；（3）由题意知，CQ∥OP，当以C，O，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，CQ=OP，由题意知，AP=3t，CQ=t，当t≤2时，OP=6−3t；此时6−3t=t，可求t=1.5；则Q4.5，33；当t>2时，OP=3t−6；此时3t−6=t，可求t=3；则Q6，33．【详解】（1）解：由题意知，OA=6，∵菱形OABC，∴OC=OA=6，BC∥OA，如图，延长BC交y轴于D，则BD⊥y轴，即∠CDO=90°，∴∠COD=90°−∠COA=30°，∴CD=12OC=3，由勾股定理得，OD=OC2−CD2=33，∴C3，33；（2）解：由题意知，t=1时，AP=3，CQ=1，则OP=3，Q4，33，∴S△POQ=12OP×yQ=12×3×33=932，∴△POQ的面积为932；（3）解：∵CQ∥OP，∴当以C，O，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，CQ=OP，由题意知，AP=3t，CQ=t，当t≤2时，OP=6−3t；此时6−3t=t，解得，t=1.5；∴Q4.5，33；当t>2时，OP=3t−6；此时3t−6=t，解得，t=3；∴Q6，33；综上所述，存在，当t=1.5时，Q4.5，33，当t=3时，Q6，33．【点睛】本题考查了菱形的性质，坐标与图形，含30°的直角三角形，勾股定理，平行四边形的性质等知识．熟练掌握菱形的性质，坐标与图形，含30°的直角三角形，勾股定理，平行四边形的性质是解题的关键．45．（23-24九年级·江苏无锡·期中）如图，正方形OABC的顶点O在坐标原点，定点A的坐标为4,3．                                (1)求正方形OABC顶点C的坐标为（ ， ）顶点B的坐标为（ ， ）；(2)现有一动点P从C点出发，沿线段CB向终点B运动，P的速度为每秒1个单位长度，同时另一动点Q从点A出发沿A→O→C向终点C运动，速度为每秒k个单位长度．设运动时间为2秒时，将三角形CPQ沿它的一边翻折，若翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，求k的值．【答案】(1)−3，4，1，7(2)k的值为2或4【分析】（1）过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥AD交DA的延长线于E，过点C作CF⊥x轴于点F，证出△COF≌△AOD≌△BAEAAS，求出OF=AD=BE=3，CF=OD=AE=4，即可求出点C，点B的坐标；（2）分两种情况：①当点Q在OA上时；②当点Q在OC上时．分别计算即可．【详解】（1）过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥AD交DA的延长线于E，过点C作CF⊥x轴于点F，∴∠ADO=∠OFC=∠BEA=90°，∴∠DAO+∠AOD=90°，∵四边形ABCO是正方形，∴∠OAB=∠AOC=90°，OA=OC=AB，∴∠COF+∠AOD=90°，∠BAE+∠DAO=90°，∴∠FOC=∠DAO，∠BAE=∠AOD，∴△COF≌△AOD≌△BAEAAS，∴OF=AD=BE，CF=OD=AE，∵点A的坐标为4,3，∴OF=AD=BE=3，CF=OD=AE=4，∴点C的坐标为−3,4；∴ED=4+3=7，点B到y轴的距离为OD−BE=4−3=1，∴点B的坐标为1,7；故答案为：−3，4，1，7；（2）由题意，得AO=CO=BC=AB=42+32=5，当t=2 时，CP=2．将三角形CPQ沿它的一边翻折，若翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，只需三角形CPQ是等腰三角形即可．①当点Q在OA上时，∵PQ≥AB>PC，∴只存在一点Q，使QC=QP．过点Q作QD⊥PC于点D，如图，则CD=PD=1，∵QA=BD，∴2k=5−1=4，∴k=2；②当点Q在OC上时，∵∠BCO=90°，∴只存在一点Q，使CP=CQ=2，∴2k=10−2=8，∴k=4．综上所述，k的值为2或4．【点睛】本题考查正方形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，菱形的判定，深入理解题意，熟练应用分类讨论思想是解决问题的关键．46．（23-24九年级·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B坐标为12,5，点D在CB边上从点C运动到点B，以AD为边作正方形ADEF，连BE、BF，在点D运动过程中，请探究以下问题：(1)若△BEF为直角三角形，求此时正方形ADEF的边长；(2)△ABF的面积是否改变，如果不变，求出该定值；如果改变，请说明理由；(3)设Ex,y，直接写出y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围．【答案】(1)52(2)不会改变，252(3)当5≤x≤17时，y=22−x【分析】（1）根据条件，若△BEF为直角三角形，正方形ADEF的对称中心为点B，点A、B、E在同一直线上，点D、B、F在同一直线上，利用勾股定理求解即可；（2）过点F作FH⊥AB，交AB的延长线于H，根据矩形的性质可得∠DAB+∠FAB=90°，且∠DAB+∠BDA=90°，证明△ABD≌△FHAAAS，可得HF=AB=5，利用三角形的面积公式求解即可；（3）由全等三角形的性质可得DH=AB=5，EH=DB，可得y=EH+5=DB+5，x=12−DB+DH=17−DB，即可求解．【详解】（1）解：∵△BEF为直角三角形，∴正方形ADEF的对称中心为点B，点A、B、E在同一直线上，点D、B、F在同一直线上，∵AB=BD=BE=BF=5，∴正方形边长EF=2BE=52．（2）解：△ABF的面积不会改变，如图，过点F作FH⊥AB，交AB的延长线于H，∵矩形OABC的顶点B坐标为12,5，∴AB=5，BC=12，∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，∴∠DAB+∠FAB=90°，且∠DAB+∠BDA=90°，在△ABD和△FHA中，∠BDA=∠FAB∠ABD=∠AHFAD=AF，∴△ABD≌△FHAAAS，∴HF=AB=5，∴S△ABF=12×AB×HF=252；（3）解：当5≤x≤12时，如图，过点E作EH⊥DB于H，同理（2）可知△EDH≌△DAB∴DH=AB=5，EH=DB，且Ex,y，∴y=EH+5=DB+5，x=12−DB+DH=17−DB，∴y=22−x，当122)，以BD为边作正方形BDEF，点E在第四象限．(1)线段CD的长为_______（用m的代数式表示）．(2)试判断线段AD与CF的数量关系，并说明理由；(3)设正方形BDEF的对称中心为M，直线CM交y轴于点G．随着点D的运动，点G的位置是否会发生变化？若保持不变，请求出点G的坐标；若发生变化，请说明理由．【答案】(1)m−2(2)AD=CF，见解析(3)不变，G0，2【分析】（1）利用坐标、坐标与图形的性质即可求解；（2）证明△ABD≌△CBFSAS可得结论．（3）过点F作FH⊥CB交CB的延长线于点H，过点M作MN⊥x轴．证明△BCD≌△FHBAAS，推出CD=BH=m−2，BC=FH=2，求得M2+m2，−m2，进而可得MN=CN，即可证明△OCG是等腰直角三角形即可解决问题．【详解】（1）解：∵B2，−2，Dm，0，∴OC=2，OD=m，∴CD=m−2，故答案为：m−2；（2）解：AD=CF．∵四边形OABC和四边形BDEF都是正方形，∴AB=BC，BD=BF，∠ABC=∠FBD=90°，∴∠ABD=∠FBC，∴△ABD≌△CBFSAS，∴AD=CF；（3）解：点G的位置保持不变，理由：过点F作FH⊥CB交CB的延长线于点H，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，∵∠BCD=∠DBF=∠H=90°，∴∠CBD+∠FBH=90°，∠FBH+∠BFH=90°，∴∠CBD=∠BFH，∵BD=BF，∴△BCD≌△FHBAAS，∴CD=BH=m−2，BC=FH=2，∴F4，−m，又Dm，0，M是DF的中点，∴M2+m2，−m2，在△CMN中，MN=m2，CN=m2，∴△CMN是等腰直角三角形，∴∠OCG=∠NCM=45°，∴△OCG也是等腰直角三角形，∴OG=OC=2，∴G0，2．【点睛】本题考查了中心对称，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是正确构造辅助线证明三角形全等．48．（23-24九年级·福建福州·期中）如图①所示，以正方形ABCO的点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中线段OA在y轴上，线段OC在x轴上，其中正方形ABCO的周长为16．(1)直接写出B、C两点坐标；(2)如图②，连接OB，若点P在y轴上，且S△BOP=2S△BOA，求P点坐标．(3)如图③，若OB//DE，点P从点O出发，沿x轴正方向运动，连接PB,PE．则∠OBP，∠DEP，∠BPE三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑点P与点O，D，C重合的情况）？并说明理由．【答案】(1)点B坐标为（4,4）点C坐标为（4,0）(2)点P坐标为（0,8）或（0，-8）(3)∠BPE=∠OBP+∠DEP【分析】（1）根据题意可知正方形边长为4，可求坐标；（2）求出S△BOA=12×4×4=8，根据题意可知S△BOP=16，可以求出点P的纵坐标；（3）过点P作PQ∥OB交BC于点Q，根据平行线的性质可求解；【详解】（1）解：∵正方形ABCO的周长为16∴正方形边长为4，∴点B坐标为（4,4）点C坐标为（4,0）．（2）解：由题意可知OA=OB=4，∴S△BOA=12×4×4=8，则S△BOP=2S△BOA =2×8=16，设点P的坐标为（0，m），则OP=m，S△BOP=12×4m=16，解得m=8，∴m=8或m=-8，∴点P坐标为（0,8）或（0，-8）．（3）解：∠BPE=∠OBP+∠DEP，理由如下：如图，过点P作PQ∥OB交BC于点Q，则OB∥PQ∥DE，∴∠OBP=∠BPQ，∠PED=∠QPE，∵∠BPE=∠BPQ+∠EPQ，∴∠BPE=∠OBP+∠DEP．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形的面积以及平行线的性质，掌握平行线性质和三角形面积的求法是解题的关键．49．（23-24九年级·江苏宿迁·期中））如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为(−3,3)．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的正方向运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D．BD与y轴交于点E，连接PE，设点P运动的时间为t(s)．(1)∠EBP的度数为______，点D的坐标为______（用含t的代数式表示）；(2)当t=1时，平面内是否存在点M，使以点P、D、C、M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在整个运动过程中，判断线段PE、AP与CE之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】(1)45°，(t,t)(2)存在，点M的坐标为(3,4)或(−3,2)或(−1,−2)(3)PE=AP+CE．证明见解析【分析】（1）证明△DPQ≌△PBA(ASA)，得出PD=PB，DQ=AP=t，则可得出答案；（2）求出点D，点P的坐标，分三种情况，由平行四边形的性质以及点的平移可得出答案；（3）延长PA至M，使AM=CE，证明△BCE≌△BAM(SAS)，得出BE=BM，∠CBE=∠ABM，证明△PBE≌△PBM(SAS)，得出PE=PM=AP+AM=AP+CE．【详解】（1）解：由题意知AP=OQ，∴OA=QP，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=OA，∠BAP=90°，∴AB=PQ，∵DQ∥y轴，∴∠DQP=90°，∴∠DQP=∠BAP，∵BP⊥PQ，∴∠APB+∠DPQ=90°，∵∠APB+∠ABP=90°，∴∠DPQ=∠ABP，∴△DPQ≌△PBA(ASA)，∴PD=PB，DQ=AP=t，∵∠BPD=90°，∴∠PBE=45°，∵OQ=DQ=AP=t，∴D(t,t)．故答案为：45°，(t,t)；（2）解：当t=1时，D (1,1)，∵B(−3,3)，四边形OABC为正方形，∴AB=AO=3，C(0,3)，由（1）知AP=DQ=1，∴OP=2，∴P(−2,0)，若CD为平行四边形的对角线，DM∥PC，CM∥PD，可得点P向右平移3个单位，向上平移1个单位得到点D，∴点C0,3向右平移3个单位，向上平移1个单位得到M(3,4)，∴M(3,4)若CP为平行四边形的对角线，PM∥DC，CM∥PD，同理可求∴M(−3,2)，若CD为平行四边形的对角线，PM∥DC，DM∥PC，同理可求∴M(−1,−2)，综上所述，点M的坐标为(3,4)或(−3,2)或(−1,−2)；（3）解：PE=AP+CE．证明：延长PA至M，使AM=CE，∵BC=BA，∠BCE=∠BAM=90°，∴△BCE≌△BAM(SAS)，∴BE=BM，∠CBE=∠ABM，∵∠PBE=45°，∴∠CBE+∠PBA=∠ABM+∠PBA=45°，∴∠PBE=∠PBM，∵PB=PB，∴△PBE≌△PBM(SAS)，∴PE=PM=AP+AM=AP+CE．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，点的平移，平行四边形的性质等知识，熟练掌握以上知识是解决本题的关键．50．（23-24九年级·吉林四平·期末）如图1，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°．B−3,0，C3,0，D0，3．(1)点A坐标为 ，四边形ABOD的面积为 ；(2)如图2，点E在线段AC上运动，△DEF为等边三角形．①求证：AF=BE，并求AF的最小值；②点E在线段AC上运动时，点F的横坐标是否发生变化？若不变，请求出点F的横坐标．若变化，请说明理由．【答案】(1)A−23，3，932(2)①证明见解析；AF的最小值为3；②不变，点F的横坐标为−3【分析】（1）先求出OD=3，BC=23，OB=3，再由菱形的性质得到AD⊥OD，则A−23，3，进而由梯形面积公式可得S四边形ABOD=3+232×3=932（2）设AC交BD于J，由菱形的性质结合题意易证△ADB，△DBC都是等边三角形，即得出∠EDF=∠ADB=60°，从而可证∠ADF=∠BDE．再结合AD=DB，DF=DE，即可证△ADF≌△BDESAS，得出AF=BE，即说明当BE⊥AC时，AF的值最小．最后结合含30度角的直角三角形的性质求解即可；②过点F作FH⊥AD于H．由全等的性质可得DF=DE，∠FDH=∠EDJ，即易证△FDH≌△EDJAAS，得出DH=DJ=BJ=3，即说明点F的横坐标为−3，不变．【详解】（1）解：∵D0,3，B−3,0，C3,0，∴OD=3，BC=23，OB=3，∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，AD=BC=23，∴AD⊥OD，∴A−23，3，∴S四边形ABOD=3+232×3=932，故答案为：−23，3，932；（2）①证明：如图，设AC交BD于J．∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠ADC=120°，AC⊥BD，∠DAB=∠DCB=60°，∴△ADB，△DBC都是等边三角形，∴∠EDF=∠ADB=60°，∴∠ADF=∠BDE.∵AD=DB，DF=DE，∴△ADF≌△BDESAS，∴AF=BE，∴当BE⊥AC时，AF的值最小．∵∠BJC=90°，∠JBC=60°，∴∠BCJ=90°－∠JBC=30°，∴BJ=12BC=3∴AF的最小值为3．②点F的横坐标不变，理由如下：如图，过点F作FH⊥AD于H．∵△ADF≌△BDE，∴DF=DE，∠FDH=∠EDJ．∵∠FHD=∠EJD=90°，∴△FDH≌△EDJAAS，∴DH=DJ=BJ=3，∴点F的横坐标为−3，不变．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，综合性强．正确作出辅助线是解题关键．