北师大版2024-2025学年九年级数学上册专题4.3相似三角形的判定【十大题型】专题特训（学生版+教师版）

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专题4.3 相似三角形的判定【十大题型】【北师大版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc13677" 【题型1 判断两个三角形是否相似】  PAGEREF _Toc13677 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc32673" 【题型2 补充条件使两个三角形相似】  PAGEREF _Toc32673 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc27275" 【题型3 裁剪使两个三角形相似】  PAGEREF _Toc27275 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc3822" 【题型4 尺规作图使两个三角形相似】  PAGEREF _Toc3822 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc27985" 【题型5 格点中判断两三角形相似】  PAGEREF _Toc27985 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc16058" 【题型6 确定与已知三角形相似的三角形】  PAGEREF _Toc16058 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc22329" 【题型7 确定哪两个三角形相似】  PAGEREF _Toc22329 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc12349" 【题型8 确定相似三角形的对数】  PAGEREF _Toc12349 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc9118" 【题型9 坐标系中确定使两三角形相似的点的个数】  PAGEREF _Toc9118 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc23650" 【题型10 相似三角形的证明】  PAGEREF _Toc23650 \h 11知识点1：相似三角形的判定【题型1 判断两个三角形是否相似】【例1】（23-24九年级·四川遂宁·期中）下列条件中，能使△ABC∽△DEF成立的是（    ）A．∠C＝98°，∠E＝98°，ACBC=DEDF；B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，EF＝8，DE＝10，FD＝6C．∠A＝∠F＝90°，AC＝5，BC＝13，DF＝10，EF＝26；D．∠B＝35°，BC ＝10，BC上的高AG＝7；∠E＝35°，EF＝5，EF上的高DH ＝3.5【变式1-1】（23-24九年级·四川眉山·期中）下列判断中，不正确的有（    ）A．三边对应成比例的两个三角形相似B．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似C．有一个锐角相等的两个直角三角形相似D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似【变式1-2】（2024·江苏无锡·中考真题）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA：OC-=OB：OD，则下列结论中一定正确的是 ( )  A．①与②相似 B．①与③相似C．①与④相似 D．②与④相似【变式1-3】（23-24九年级·上海浦东新·期末）下列命题中，说法正确的是（    ）A．如果一个直角三角形中有两边之比为1:2，那么所有这样的直角三角形一定相似B．如果一个等腰三角形中有两边之比为1:2，那么所有这样的等腰三角形一定相似C．如果一个直角三角形中有两个内角的度数之比为1:2，那么所有这样的直角三角形一定相似D．如果一个等腰三角形中有两个内角的度数之比为1:2，那么所有这样的等腰三角形一定相似【题型2 补充条件使两个三角形相似】【例2】（23-24九年级·山东泰安·开学考试）已知P是△ABC的边AC上一点，连接BP，则下列不能判定△ABP∽△ACB的是（    ）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．ABAP=ACAB D．ABBP=ACBC【变式2-1】（2024·云南昆明·三模）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，且AB=4，AC=6．当AD= 时，△ABC∽△ACD．【变式2-2】（2024·江西景德镇·三模）如图，在四边形ABCD中，已知∠ADC=∠BAC，那么补充下列条件后不能判定△ADC和△BAC相似的是（　　）A．CA平分∠BCD B．ADAB=DCAC C．AC2=BC⋅CD D．∠DAC=∠ABC 【变式2-3】（23-24九年级·河南鹤壁·阶段练习）直线DE与△ABC的边AB相交于点D，与AC边相交于点E，下列各条件：①∠AED=∠B，②DE∥BC，③ADAB=DEBC，④AEAB=ADAC，⑤AD⋅AC=AE⋅AB，能够判断△ADE∽△ABC的是 ．【题型3 裁剪使两个三角形相似】【例3】（23-24九年级·海南·期末）点P是ΔABC斜边BC上的一个点(不与B,C重合),过点P作直线PD截ΔABC,使截得的三角形与ΔABC相似,满足这样的条件的截线共有 条【变式3-1】（23-24九年级·山西·期中）如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图中的虚线剪开，下列四种剪开的方法中，剪下的阴影三角形一定与原三角形相似的是（    ）A．①②③ B．③④ C．①②③④ D．①②④【变式3-2】（23-24九年级·浙江宁波·期末）如图，△ABC中∠A=60°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的三角形与△ABC不相似的是（    ）A． B．C． D．【变式3-3】（2024九年级·浙江·专题练习）如图，在△ABC纸片中，∠C=90°，BC=5，AC=7，将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）A．   B．  C．   D．  【题型4 尺规作图使两个三角形相似】【例4】（23-24九年级·陕西宝鸡·期末）如图，在△ABC中，∠B=2∠A，利用尺规作图法在边AC上求作一点D，使得△BDC∽△ABC．（不写作法，保留作图痕迹）【变式4-1】（23-24九年级·河南·期末）如图，已知钝角△ABC中∠ABC=2∠ACB．(1)请用无刻度直尺和圆规在AC上定一点P，使得△ABP∽△ACB．（保留痕迹，不写作法）(2)请用数学语言简述作图的合理性．【变式4-2】（23-24九年级·陕西西安·期末）如图，在△ABC中，D为边AB上任意一点，利用尺规作图法，在边AC上找一点E，使得△DEA∽△BCA.（不写作法，保留作图痕迹）【变式4-3】（23-24九年级·陕西榆林·期末）如图，等腰△ABC的顶角∠A=108°，请用尺规作图法，在BC边上求作一点D，使得△ACD∽△BCA．（保留作图痕迹，不写作法）【题型5 格点中判断两三角形相似】【例5】（23-24九年级·广东梅州·阶段练习）如图，网格中有一个△ABC，下图中与△ABC相似的三角形的个数有（     ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式5-1】（23-24九年级·上海宝山·期末）如图，在正方形网格中，A、B、C、D、M、N都是格点，从A、B、C、D四个格点中选取三个构成一个与△AMN相似的三角形，某同学得到两个三角形：①△ABC；②△ABD．关于这两个三角形，下列判断正确的是（    ）A．只有①是 B．只有②是 C．①和②都是 D．①和②都不是【变式5-2】（23-24九年级·山东威海·期末）如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①△ABC，②△ACD，③△ADE，④△AEF，⑤△AGH，其中与⑤相似的三角形是（    ）  A．①③ B．①④ C．②④ D．①③④【变式5-3】（23-24九年级·安徽合肥·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D、E都是小正方形的顶点，则图中所形成的三角形中，与△ABC相似的三角形是 ．【题型6 确定与已知三角形相似的三角形】【例6】（2024·黑龙江大庆·中考真题）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M，若点M恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是 ．  【变式6-1】（23-24九年级·广西贺州·期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，则下列三角形中，与△AOD一定相似的是（　　）A．△BOC B．△AOB C．△DOC D．△ABC【变式6-2】（23-24九年级·福建福州·期末）如图，△ABC的高AD，BE相交于点O，写出一个与△ACD相似的三角形，这个三角形可以是 ．【变式6-3】（23-24九年级·河北保定·期末）如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（点D不与点A，C重合），DE，AB交于点F，则下列一定与△BCD相似的是（　　）A．△BDF B．△BEF C．△ABC D．△BAD【题型7 确定哪两个三角形相似】【例7】（23-24九年级·上海·期末）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转，使得点A落在边AC上，点A、C的对应点分别为D、E，边DE交BC于点F，连接CE，下列两个三角形不一定相似的是（    ）A．△BAD与△BCE B．△BDF与△ECFC．△BAC与△BDE D．△DBF与△CEB【变式7-1】（23-24九年级·河北保定·期末）如图，∠AOD=90°，OA=OB=BC=CD，以下结论成立的是（    ）A．△OAB∽△OCA B．△OAB∽△ODAC．△BAC∽△BDA D．以上结论都不对【变式7-2】（2024·辽宁鞍山·一模）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，且∠DCE＝∠B．那么下列各判断中，错误的是（　　）A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACDC．△DEC∽△CDB D．△ADE∽△DCB【变式7-3】（23-24九年级·上海静安·期中）将两个完全相同的等腰直角三角形△ABC与△AFG摆成如图的样子，两个三角形的重叠部分为△ADE，那么图中一定相似的三角形是（    ）△ABC与△ADE B．△ABD与△AEC C．△ABE与△ACD D．△AEC与△ADC【题型8 确定相似三角形的对数】【例8】（23-24九年级·广西贵港·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边的中点，AF⊥CD于点E，交BC边于点F，连接DF，则图中与△ACE相似的三角形共有（　　）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式8-1】（23-24九年级·江苏无锡·期末）如图，点E为平行四边形ABCD边BC延长线上的一点，连接AE与CD相交于点F．则图中相似三角形共有（    ）  A．1对 B．2对 C．3对 D．4对【变式8-2】（23-24九年级·福建宁德·阶段练习）如图，点D是等腰Rt△ABC斜边BC上的一个动点，以AD为边作等腰Rt△ADE，斜边AE交BC于F，则图中相似三角形共有（    ）对．A．2 B．3 C．4 D．5【变式8-3】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，E为矩形ABCD的CD边延长线上一点，BE交AD于G  ， AF⊥BE于F  ， 图中相似三角形的对数是（　　）   A．5 B．7 C．8 D．10【题型9 坐标系中确定使两三角形相似的点的个数】【例9】（23-24九年级·江苏·期中）平面直角坐标系中，直线y=−12x+2和x、y轴交于A、B两点，在第二象限内找一点P，使△PAO和△AOB相似的三角形个数为(    )  A．2 B．3 C．4 D．5【变式9-1】（2024·江西九江·三模）如图，在平面直角坐标系中，已如A1,0，B2,0，C0,1，在坐标轴上有一点P，它与A,C两点形成的三角形与△ABC相似，则P点的坐标是 ．  【变式9-2】（2024·湖北宜昌·中考真题）如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（   ）  A．（6，0） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2）【变式9-3】（23-24九年级·广东深圳·阶段练习）如图，△ABO的顶点坐标是A(2,6)，B(3,1)，O(0,0)，平面内点P使得△ABP与△ABO相似，则不与点O重合的点P有 个．【题型10 相似三角形的证明】【例10】（23-24九年级·广东清远·期末）如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．求证：  (1)△BDG∽△DEG；(2)BG⊥DF．【变式10-1】（23-24九年级·陕西·期中）已知：如图在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CF的延长线交BA的延长线于点H．求证：△BEC∽△BCH．【变式10-2】（2024九年级·全国·专题练习）在△ABC和△AED中，AB⋅AD=AC⋅AE，∠BAD=∠CAE，求证：△ABC∽△AED．  【变式10-3】（23-24九年级·安徽合肥·期末）如图，在平行四边形ABCD中，AC=CD，若点E、F分别为边BC、CD上的两点，且∠EAF=∠CAD．求证：△ADF∽△ACE．  专题4.3 相似三角形的判定【十大题型】【北师大版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc13677" 【题型1 判断两个三角形是否相似】  PAGEREF _Toc13677 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc32673" 【题型2 补充条件使两个三角形相似】  PAGEREF _Toc32673 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc27275" 【题型3 裁剪使两个三角形相似】  PAGEREF _Toc27275 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc3822" 【题型4 尺规作图使两个三角形相似】  PAGEREF _Toc3822 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc27985" 【题型5 格点中判断两三角形相似】  PAGEREF _Toc27985 \h 14 HYPERLINK \l "_Toc16058" 【题型6 确定与已知三角形相似的三角形】  PAGEREF _Toc16058 \h 17 HYPERLINK \l "_Toc22329" 【题型7 确定哪两个三角形相似】  PAGEREF _Toc22329 \h 19 HYPERLINK \l "_Toc12349" 【题型8 确定相似三角形的对数】  PAGEREF _Toc12349 \h 23 HYPERLINK \l "_Toc9118" 【题型9 坐标系中确定使两三角形相似的点的个数】  PAGEREF _Toc9118 \h 26 HYPERLINK \l "_Toc23650" 【题型10 相似三角形的证明】  PAGEREF _Toc23650 \h 30知识点1：相似三角形的判定【题型1 判断两个三角形是否相似】【例1】（23-24九年级·四川遂宁·期中）下列条件中，能使△ABC∽△DEF成立的是（    ）A．∠C＝98°，∠E＝98°，ACBC=DEDF；B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，EF＝8，DE＝10，FD＝6C．∠A＝∠F＝90°，AC＝5，BC＝13，DF＝10，EF＝26；D．∠B＝35°，BC ＝10，BC上的高AG＝7；∠E＝35°，EF＝5，EF上的高DH ＝3.5【答案】D【分析】根据相似三角形的判定定理对四个选项进行分析即可.【详解】A、若△ABC~△DEF，则ACBC=DFEF，故本选项错误；B、若△ABC~△DEE，则ABDE=ACDF=BCEF而ABDE=110≠ACDF=1.56，故本选项错误；C、若△ABC~△DEF，∠A＝90°，则∠D＝90°，故本选项错误；D、BCEF=AGDH=2且∠AGC＝∠BHF＝90°，因此△AGC∽△BHF，所以∠C＝∠F，而∠B＝∠E＝35°，因此可判断相似，故本选项正确；所以D选项是正确的.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定定理，解答此类题目时要熟知相似三角形的判定方法，即：（1）三组对应边的比相等的两个三角形相似；（2）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（3）有两组角对应相等的两个三角形相似【变式1-1】（23-24九年级·四川眉山·期中）下列判断中，不正确的有（    ）A．三边对应成比例的两个三角形相似B．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似C．有一个锐角相等的两个直角三角形相似D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似【答案】B【分析】由相似三角形的判定依次判断可求解．【详解】解：A、三边对应成比例的两个三角形相似，故A选项不合题意；B、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，故B选项符合题意；C、有一个锐角相等的两个直角三角形相似，故C选项不合题意；D、有一个角是100°的两个等腰三角形，则它们的底角都是40°，所以有一个角是100°的两个等腰三角形相似，故D选项不合题意；故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．【变式1-2】（2024·江苏无锡·中考真题）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA：OC-=OB：OD，则下列结论中一定正确的是 ( )  A．①与②相似 B．①与③相似C．①与④相似 D．②与④相似【答案】C【详解】试题分析：由两边成比例和夹角相等（对顶角相等），即可得出△AOB∽△COD，即可得出结果．解：∵OA：OC=OB：OD，∠AOB=∠COD，∴△AOB∽△COD，C正确；故选C．考点：相似三角形的判定．【变式1-3】（23-24九年级·上海浦东新·期末）下列命题中，说法正确的是（    ）A．如果一个直角三角形中有两边之比为1:2，那么所有这样的直角三角形一定相似B．如果一个等腰三角形中有两边之比为1:2，那么所有这样的等腰三角形一定相似C．如果一个直角三角形中有两个内角的度数之比为1:2，那么所有这样的直角三角形一定相似D．如果一个等腰三角形中有两个内角的度数之比为1:2，那么所有这样的等腰三角形一定相似【答案】B【分析】本题考查相似三角形的判定，直角三角形和等腰三角形的性质．根据直角三角形中有两边之比为1:2，可能是两直角边的比，也可能是直角 边与斜边的比，可判定A；根据等腰三角形中有两边之比为1:2，只能是底与腰的比为1:2，所有这样的等腰三角形三边对应成比例，一定相似，可判定B；若一个直角三角形是直角是锐角的2倍，则这个三角形是等腰直角三角形，另一个直角三角形是一锐角是另一锐角的2倍，则两锐角为30°和60°，所以所有这样的直角三角形不一定相似，可判定C；设等腰三角形两角为x和2x，则三个内角分别为x，2x，2x或x，x，2x；所以所有这样的等腰三角形不一定相似，可判定D．【详解】解：A、如果一个直角三角形中有两边之比为1:2，那么所有这样的直角三角形不一定相似，如：一个直角三角形两直角边为a、b，斜边为c，且a:b=1:2，另一个直角三角形两直角边为d，e，斜边为f，且d:f=1:2，则这两个直角三角形不相似；故此选项不符合题意；B、如果一个等腰三角形中有两边之比为1:2，那么等腰三角形只能是底与腰的比是1:2，所以所有这样的等腰三角形三边对应成比例，所以一定相似，故此选项符合题意；C、如果一个直角三角形中有两个内角的度数之比为1:2，若一个三角形是直角是锐角的2倍，则这个三角形是等腰直角三角形，若是直角三角形是一锐角是另一锐角的2倍，则两锐角为30°和60°，所以所有这样的直角三角形不一定相似，故此选项不符合题意；D、如果一个等腰三角形中有两个内角的度数之比为1:2，设这两角为x和2x，则三个内角分别为x，2x，2x或x，x，2x；所以所有这样的等腰三角形不一定相似；故此选项不符合题意；故选：B．【题型2 补充条件使两个三角形相似】【例2】（23-24九年级·山东泰安·开学考试）已知P是△ABC的边AC上一点，连接BP，则下列不能判定△ABP∽△ACB的是（    ）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．ABAP=ACAB D．ABBP=ACBC【答案】D【分析】本题考查了相似三角形的性质．解题的关键是掌握有两角对应相等的三角形相似与两边对应成比例且夹角相等的三角形相似定理的应用．根据题意画出草图，结合相似三角形的判定定理（①有两角分别相等的两三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似）逐个进行判断即可．【详解】解：根据题意作图如下：A、∵∠A=∠A，∠ABP=∠C，∴△ABP∽△ACB，不符合题意；B、∵∠A=∠A，∠APB=∠ABC，∴△ABP∽△ACB，不符合题意；C、∵∠A=∠A，ABAP=ACAB，∴△ABP∽△ACB，不符合题意；D、根据∠A=∠A和ABBP=ACBC不能判断△ABP∽△ACB，符合题意；故选：D．【变式2-1】（2024·云南昆明·三模）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，且AB=4，AC=6．当AD= 时，△ABC∽△ACD．【答案】9【分析】本题考查相似三角形的判定，根据两组对应边成比例，且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可．【详解】解：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，当ABAC=ACAD时，△ABC∽△ACD，即：AC2=AB⋅AD，∵AB=4，AC=6，∴62=4AD，∴AD=9；故答案为：9．【变式2-2】（2024·江西景德镇·三模）如图，在四边形ABCD中，已知∠ADC=∠BAC，那么补充下列条件后不能判定△ADC和△BAC相似的是（　　）A．CA平分∠BCD B．ADAB=DCAC C．AC2=BC⋅CD D．∠DAC=∠ABC 【答案】C【分析】本题考查添加条件使三角形相似，根据相似三角形的判定方法，逐一进行判断即可．【详解】解：∵CA平分∠BCD，∴∠BCA=∠DCA，∵∠ADC=∠BAC，∴△ACB∽△DCA，故A选项不符合题意；∵ADAB=DCAC，∠ADC=∠BAC，∴△ACB∽△DCA，故B选项不符合题意；C选项无法判定△ADC和△BAC相似，不符合题意；∵∠ADC=∠BAC，∠DAC=∠ABC，∴△ACB∽△DCA，故D选项不符合题意；故选C．【变式2-3】（23-24九年级·河南鹤壁·阶段练习）直线DE与△ABC的边AB相交于点D，与AC边相交于点E，下列各条件：①∠AED=∠B，②DE∥BC，③ADAB=DEBC，④AEAB=ADAC，⑤AD⋅AC=AE⋅AB，能够判断△ADE∽△ABC的是 ．【答案】②⑤【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．根据相似三角形的判定方法，分别进行判定即可得出答案．【详解】解：①∵∠AED=∠B，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，故此选项错误；②DE∥BC，可以根据相似三角形的判定方法中的平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，判断出△ADE∽△ABC，故此选项正确；③ADAB=DEBC，缺少夹角相等，故不能判定△ADE∽△ABC，故此选项错误；④AEAB=ADAC，又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，故此选项错误；⑤AD⋅AC=AE⋅AB可以变形为：ADAB=AEAC，又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，故此选项正确； 故正确的有2个．故答案为：②⑤．【题型3 裁剪使两个三角形相似】【例3】（23-24九年级·海南·期末）点P是ΔABC斜边BC上的一个点(不与B,C重合),过点P作直线PD截ΔABC,使截得的三角形与ΔABC相似,满足这样的条件的截线共有 条【答案】3【分析】过点P作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．【详解】由于△ABC是直角三角形，过P点作直线截△ABC，则截得的三角形与△ABC有一公共角，所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt△ABC相似，过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC的垂线，共3条直线．故答案为3．【点睛】本题主要考查三角形相似判定定理及其运用．解题时运用了两角法（有两组角对应相等的两个三角形相似）来判定两个三角形相似．【变式3-1】（23-24九年级·山西·期中）如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图中的虚线剪开，下列四种剪开的方法中，剪下的阴影三角形一定与原三角形相似的是（    ）A．①②③ B．③④ C．①②③④ D．①②④【答案】D【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【详解】解：①阴影部分的三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似；②阴影部分的三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似；③两三角形虽然满足23=46，但两边所夹的角不一定相等，故两三角形不一定相似；④两三角形对应边成比例4−16=6−44=12且夹角相等，故两三角形相似．故正确的有①②④，故选：D．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．【变式3-2】（23-24九年级·浙江宁波·期末）如图，△ABC中∠A=60°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的三角形与△ABC不相似的是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【详解】A、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意，B、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意，C、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意，D、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意，故选：A.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．【变式3-3】（2024九年级·浙江·专题练习）如图，在△ABC纸片中，∠C=90°，BC=5，AC=7，将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）A．   B．  C．   D．  【答案】D【分析】本题主要考查相似三角形的判定，由CD⊥AB于点D，得∠ADC=90°，则∠ADC=∠ACB，而∠A=∠A，即可证明△ACD∽△ABC，可判断A不符合题意；由EF⊥AC，得∠AFE=∠C，则EF∥BC，可证明△AEF∽△ABC，可判断B不符合题意；由BC=5,AC=7,HC=2.5,GC=3.5，得HCBC=GCAC=12，而∠GCH=∠ACB，可证明△GHC∽△ABC，可判断C不符合题意；由BC=5,AC=7,LC=2,KC=3，得LCBC=25，KCAC=37，则LCBC≠KCAC，而∠KCL=∠ACB，所以△KLC与△ABC不相似，可判断D符合题意，于是得到问题的答案．【详解】解：如图1，∵CD⊥AB于点D，∴∠ADC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ADC=∠ACB，∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，故A不符合题意；如图2，∵EF⊥AC，∴∠AFE=90°，∵∠C=90°，∴∠AFE=∠C，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，故B不符合题意；如图3，∵BC=5,AC=7,HC=2.5,GC=3.5，∴HCBC=2.55=12，GCAC=3.57=12，∴HCBC=GCAC，∵∠GCH=∠ACB，∴△GHC∽△ABC，故C不符合题意；如图4，∵BC=5,AC=7,LC=2,KC=3，∴LCBC=25，KCAC=37，∴LCBC≠RCAC，假设△KLC∽△ABC，∵∠KCL=∠ACB，∴LCBC=KCAC，与已知条件不符，∴△KLC与△ABC不相似，故D符合题意，故选：D．【题型4 尺规作图使两个三角形相似】【例4】（23-24九年级·陕西宝鸡·期末）如图，在△ABC中，∠B=2∠A，利用尺规作图法在边AC上求作一点D，使得△BDC∽△ABC．（不写作法，保留作图痕迹）【答案】见解析【分析】本题考查相似三角形的判定，作角平分线．掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．作∠ABC平分线，交AC于D即可．【详解】解：如图所示，点D即为所作求．由作图可知：BD是∠ABC平分线，∴∠ABC=2∠CBD，∵∠ABC=2∠A，∴∠CBD=∠A，∵∠C=∠C，∴△BDC∽△ABC．【变式4-1】（23-24九年级·河南·期末）如图，已知钝角△ABC中∠ABC=2∠ACB．(1)请用无刻度直尺和圆规在AC上定一点P，使得△ABP∽△ACB．（保留痕迹，不写作法）(2)请用数学语言简述作图的合理性．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了线段垂直平分线的基本作图，熟练掌握作图是解题的关键．(1)作线段BC的垂直平分线EF，交AC于点P，连接PB，点P即为所求作．(2)利用两个角对应相等的两个三角形相似，说明即可．【详解】（1）如图，作线段BC的垂直平分线EF，交AC于点P，连接PB，则点P即为所求作．（2）根据作图，得PB=PC，∴∠PBC=∠ACB，∵∠ABC=2∠ACB，∴∠ABP+∠PBC=2∠ACB，∴∠ABP=∠ACB，∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB．故作法是合理的．【变式4-2】（23-24九年级·陕西西安·期末）如图，在△ABC中，D为边AB上任意一点，利用尺规作图法，在边AC上找一点E，使得△DEA∽△BCA.（不写作法，保留作图痕迹）【答案】见解析【分析】本题主要考查相似三角形，以点B为圆心，任意长度为半径画弧，交AB于M，交BC于N，以点D为圆心，以相同的半径画弧，再以MN为半径画弧，两弧交于点F，连接DF并延长，交AC于E，则∠ADE=∠ABC，结合∠A=∠A可得△DEA∽△BCA．【详解】解：如图，△ADE即为所作，．【变式4-3】（23-24九年级·陕西榆林·期末）如图，等腰△ABC的顶角∠A=108°，请用尺规作图法，在BC边上求作一点D，使得△ACD∽△BCA．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】图见解析．【分析】以点B为圆心、BA长为半径画弧，交BC于点D即可．【详解】以点B为圆心、BA长为半径画弧，交BC于点D，连接AD，则点D即为所作，如图所示：理由如下：∵等腰△ABC的顶角∠BAC=108°，∴∠B=∠C=12(180°−∠BAC)=36°，由作图可知，BA=BD，∴∠BDA=∠BAD=12(180°−∠B)=72°，∴∠ADC=180°−∠BDA=108°=∠BAC，在△ACD和△BCA中，∠ADC=∠BAC∠C=∠C，∴△ACD∼△BCA．【点睛】本题考查了相似三角形的判定、等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．【题型5 格点中判断两三角形相似】【例5】（23-24九年级·广东梅州·阶段练习）如图，网格中有一个△ABC，下图中与△ABC相似的三角形的个数有（     ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】本题分别求出每个三角形的三边长，然后根据三边对应成比例的两个三角形相似得出答案.【详解】解：AB=2,BC=2,AC=10,对于图①，三角形三边为2,32,25，因为22=222=1025,所以图①的三角形与△ABC相似；对于图②，三角形三边为25,210,10，因为 225=2102=1010,所以图②的三角形与△ABC相似；对于图③，三角形三边为5,10,5，因为  25=210=105,所以图③的三角形与△ABC相似；对于图④，三角形三边为10,25,52，因为 210=225=1052,所以图④的三角形与△ABC相似．故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似．解决本题的关键是利用勾股定理分别计算出图中所有三角形的边长．【变式5-1】（23-24九年级·上海宝山·期末）如图，在正方形网格中，A、B、C、D、M、N都是格点，从A、B、C、D四个格点中选取三个构成一个与△AMN相似的三角形，某同学得到两个三角形：①△ABC；②△ABD．关于这两个三角形，下列判断正确的是（    ）A．只有①是 B．只有②是 C．①和②都是 D．①和②都不是【答案】B【分析】此题考查了相似三角形的判定和勾股定理逆定理，先根据网格判定∠BAC=90°，∠ADB=90°，然后用相似三角形的判定即可，解题的关键是熟练掌握勾股定理逆定理和相似三角形的判定【详解】如图，连接AB，AC，BC，AD，BD，在Rt△AMC中，∠BAC=90°，AM=1，AN=1，由网格可知：AB=22，AC=32，BC=26，BD=42，AD=210，∴AB2+AC2=BC2，AB2+BD2=AD2，∴∠BAC=90°，∠ADB=90°，∴AMAN=ABAD，AMAN≠ABAC，∴△ABD与△AMN相似，△ABC与△AMN相似，故选：B．【变式5-2】（23-24九年级·山东威海·期末）如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①△ABC，②△ACD，③△ADE，④△AEF，⑤△AGH，其中与⑤相似的三角形是（    ）  A．①③ B．①④ C．②④ D．①③④【答案】A【分析】两三角形三条边对应成比例，两三角形相似，据此即可解答．【详解】解：设每个小正方形的边长为1，则①△ABC的各边长分别为1、2、5． ②△ACD的各边长分别为1、5、2 2；③△ADE的各边长分别为2、2 2、2 5；④△AEF的各边长分别为22、25、6；⑤△AGH的各边长分别为2、2、10；∴△ABC∽△AGH，△ADE∽△AGH，故选A．【点睛】此题主要考查学生对三组对应边的比相等的两个三角形相似的运用．正确掌握网格中求线段长度的方法及掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．【变式5-3】（23-24九年级·安徽合肥·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D、E都是小正方形的顶点，则图中所形成的三角形中，与△ABC相似的三角形是 ．【答案】△DEB【分析】本题考查相似三角形的判定，利用两边成比例夹角相等， 证明三角形相似，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．【详解】解：观察图象可知，∠BAC=∠BDE=135°，∴AB=1，AC=2，BD=22， DE=2，∴BDAC=DEAB=2，∴△ABC∽△DEB．故答案为：△DEB．【题型6 确定与已知三角形相似的三角形】【例6】（2024·黑龙江大庆·中考真题）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M，若点M恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是 ．  【答案】△MCB【分析】由矩形的性质得∠A=∠D=∠C=90°，从而得到∠DNM+∠DMN=90°，由折叠的性质可得：∠BMN=∠A=90°，从而得到∠DNM=∠BMC，由此推断出△NDM∽△MCB．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=∠C=90°，∴∠DNM+∠DMN=90°，由折叠的性质可得：∠BMN=∠A=90°，∵∠NMD+∠BMN+∠BMC=180°，∴∠NMD+∠BMC=90°，∴∠DNM=∠BMC，∴△NDM∽△MCB，故答案为：△MCB．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，是解题的关键．【变式6-1】（23-24九年级·广西贺州·期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，则下列三角形中，与△AOD一定相似的是（　　）A．△BOC B．△AOB C．△DOC D．△ABC【答案】A【分析】根据平行线内错角相等即可证明两个三角形相似．【详解】解：∵AD∥BC，∴∠OBC=∠ODA，∠OCB=∠OAD，∵∠AOD=∠BOC，∴△BOC∽△DOA，故选：A．【点睛】本题考查三角形相似的判定，数量掌握几种判定定理是解题关键．【变式6-2】（23-24九年级·福建福州·期末）如图，△ABC的高AD，BE相交于点O，写出一个与△ACD相似的三角形，这个三角形可以是 ．【答案】△AOE（答案不唯一）【分析】根据已知条件得∠ADC=∠AEO=90°，∠CAD=∠OAE，推出△ACD∼△AOE，其他同理.【详解】解： △ACD∼△AOE；证明：∵△ABC的高AD，BE相交于点O，∴∠ADC=∠AEO=90°，∵∠CAD=∠OAE，∴△ACD∼△AOE；故答案为：△AOE（答案不唯一）.【点睛】本题考查相似三角形的判定，三角形的高的定义，解题的关键是掌握有两角对应的两个三角形相似.【变式6-3】（23-24九年级·河北保定·期末）如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（点D不与点A，C重合），DE，AB交于点F，则下列一定与△BCD相似的是（　　）A．△BDF B．△BEF C．△ABC D．△BAD【答案】B【分析】首先根据等边三角形的性质得到∠E=∠C=60°，∠EBD=∠ABC=60°，然后根据角的和差关系得到∠EBF=∠DBC，即可证明出△BCD∽△BEF．【详解】∵△ABC与△BDE都是等边三角形，∴∠E=∠C=60°，∠EBD=∠ABC=60°∴∠EBD−∠ABD=∠ABC−∠ABD，即∠EBF=∠DBC∴△BCD∽△BEF．故选：B．【点睛】本题考查的是三角形相似的判定，等边三角形的性质，掌握三角形相似的判定方法是解题的关键．【题型7 确定哪两个三角形相似】【例7】（23-24九年级·上海·期末）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转，使得点A落在边AC上，点A、C的对应点分别为D、E，边DE交BC于点F，连接CE，下列两个三角形不一定相似的是（    ）A．△BAD与△BCE B．△BDF与△ECFC．△BAC与△BDE D．△DBF与△CEB【答案】D【分析】本题考查了相似三角形的判定、旋转的性质等知识，根据旋转的性质得到AB=DB，∠ABC=∠DBE，BC=BE，∠A=∠BDE，∠ACB=∠DEB，再根据相似三角形的判定定理判断求解即可．【详解】解：根据旋转的性质得，△ABC≌△DBE，∴AB=DB，∠ABC=∠DBE，BC=BE，∠A=∠BDE，∠ACB=∠DEB，∴∠ABD=∠CBE，ABBC=DBBE，∴△BAD∽△BCE，故A不符合题意；∵∠ABD=∠CBE，AB=BD，BC=BE，∴∠A=∠BDA=∠BCE=∠BEC，∴∠BDF=∠ECF，又∵∠BFD=∠EFC，∴△BDF∽△ECF，故B不符合题意；又∠ABC=∠DBE，ABBD=CEBE，∴△BAC∽△BDE，故C不符合题意；根据题意，无法求解△DBF与△CEB相似，故D符合题意；故选：D．【变式7-1】（23-24九年级·河北保定·期末）如图，∠AOD=90°，OA=OB=BC=CD，以下结论成立的是（    ）A．△OAB∽△OCA B．△OAB∽△ODAC．△BAC∽△BDA D．以上结论都不对【答案】C【分析】根据已知条件结合相似三角形的判定定理逐项分析即可．【详解】解：∵∠AOD=90°，设OA=OB=BC=CD=x∴AB=2x，AC=5x，AD=10x，OC=2x，OD=3x，BD=2x ,∴ABBD=22，BCAB=12=22,ACDA=510=22∴ABBD=BCAB=ACDA∴△BAC∽△BDA．故答案为C．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．【变式7-2】（2024·辽宁鞍山·一模）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，且∠DCE＝∠B．那么下列各判断中，错误的是（　　）A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACDC．△DEC∽△CDB D．△ADE∽△DCB【答案】D【分析】由相似三角形的判定方法得出A、B、C正确，D不正确；即可得出结论．【详解】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∠BCD=∠CDE，∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB，∵∠DCE=∠B，∴∠ADE=∠DCE，又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD；∵∠BCD=∠CDE，∠DCE=∠B，∴△DEC∽△CDB；∵∠B=∠ADE，但是∠BCD